Problemas_resolvidos_de_CN_1

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Questão 1 - A figura a seguir mostra a seção transversal de um rio, cuja determinação 
do relevo do fundo da área fluvial apresentada foi obtida por batimetria. Utilizando a 
Fórmula de Simpson 1/3, calcule a área aproximada da seção transversal do rio. 
Opere com duas casas decimais. 
 
Solução: Fórmula: Area = (h/3)[YInicial+ YFinal+4.(∑YImpares)+2.(∑YPares), note que existem 
os índices: inicial, final, impares e pares, os índices começam de zero (inicial) e vão 
até n (final). 
No caso não existe fórmula para calcular Y, então não existe essa coluna na 
resolução. 
Índice Xi Yi Fator Yi*Fator 
h = 6 
Area = 6*416,12 /3 
Area = 832,24 m2 
0 0 0 1 0 
1 6 27,24 4 108,96 
2 12 31,14 2 62,28 
3 18 27,80 4 111,20 
4 24 29,10 2 58,20 
5 30 18,92 4 75,68 
6 36 0 1 0 
 ∑ 416,12 
 
Questão 2 - Uma instalação industrial libera poluentes em um rio. O poluente se 
espalha à medida que é carregado pela corrente do rio e, três horas após a liberação, 
o derramamento assume a forma de a Figura a seguir. Utilize a Fórmula dos 
Trapézios para estimar a área poluída do rio. 
 
 
Solução: Fórmula: Area = (h/2)[YInicial+ YFinal+2.(∑ �
���
� N) note que existem os índices: 
inicial, final, N. 
No caso não existe fórmula para calcular Y, então não existe essa coluna na 
resolução. 
Índice Xi Yi Fator Yi*Fator 
h = 5 
Area = 5*135 /2 
Area = 337,5 m2 
0 0 3 1 3 
1 5 5 2 10 
2 10 6 2 12 
3 15 8 2 16 
4 20 11 2 22 
5 25 10 2 20 
6 30 11 2 22 
7 35 10 2 20 
8 40 5 2 10 
9 45 0 1 0 
 ∑ 135 
 
Questão 3 – Resolver o sistema de equações abaixo pelo 
método pelo método de Jacobi, o sistema já é convergente 
 10X1 + 2 X2 + X3 = 7 
 X1 - 15X2 + X3 = 32 
 2X1 + 3X2 + 10X3 = 6 
Solução: Utilizando Jacobi 
 X1 = (7 - 2X2 – X3)/10 
 X2 = (-32 + X1 + X3)/15 
 X3 = (6-2 X1-3 X2)/10 
Escolhendo iteração inicial com os valores (X1, X2, X3) = (0,0,0) 
 
Iteração X1 X2 X3 
Logo X1 = 1, X2 = -2 e X3 = 1 0 0,0000 0,0000 0,0000 
1 0,7000 -2,1330 0,6000 
2 1,0670 -2.0470 1,1000 
3 0,9990 -1,9840 1.0010 
4 0,9980 -2,0000 0,9970 
5 1,0200 -2,0000 1,0000 
6 1,0000 -2,0000 1,0000 
 
 
Questão 4 – Avalie a convergência do sistema abaixo. 
 
 
 
 
 
Solução: Para tanto basta somar os módulos dos valores que multiplicam as variáveis 
(menos o da matriz diagonal de uma linha), para isso o maior valore resultante deverá 
ser menor que 1. 
 
a1 = (2+3)/10 = 0,3 ; a2 = (1+1)/5 = 0,4 ; a3 = (2+3)/10 = 0,5. Logo 0,5 < 1, portanto há 
convergência. 
 
Questão 5 – Obter o valor das variáveis do sistema linear 
abaixo pelo método de Jacobi. 
 
 X + 8Y – Z = 16 
 6X - Y + Z = 7 
 X + Y + 5Z = 18 
Solução: 
 
Verificando a convergência a1 = (8+1)/2 = 9, como já tem um valor > 1, não há 
convergência, para obter a solução é possível modificar a ordem das linhas, assim: 
 
 6X - Y + Z = 7 
 X + 8Y – Z = 16 
 X + Y + 5Z = 18 
 
a1 = (1+1)/6 = 0,33 ; a2 = (1+1)/8 = 0,25 ; a3 = (1+1)/5 = 0,4. Logo 0,4 < 1, portanto há 
convergência. 
 
Assim: X = (7 + Y –Z)/6; Y = (-16 -X + Z)/8; Z = (18-X-Y)/5 
 
 
Iteração X Y Z 
0 0,0000 0,0000 0,0000 
1 1,1667 2,0000 3,6000 
2 0,9000 2,3042 2,9667 
3 1,0562 2,2583 2,9592 
4 1,0498 2,2379 2,9371 
5 1,0501 2,2359 2,9425 
6 





=++
−=++
=++
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Questão 6 – Explique a regra de arredondamento. 
Solução: As regras de arredondamento, seguindo a Norma ABNT NBR 5891, aplicam-
se aos algarismos decimais situados na posição seguinte ao número de algarismos 
decimais que se queira transformar, ou seja, se tivermos um número de 4, 5, 6, n 
algarismos decimais e quisermos arredondar para 2, aplicar-se-ão estas regras de 
arredondamento: 
 Se os algarismos decimais seguintes forem menores que 50, 500, 5000..., o anterior 
não se modifica. 
 Se os algarismos decimais seguintes forem maiores que 50, 500, 5000..., o anterior 
incrementa-se em uma unidade. 
 Se os algarismos decimais seguintes forem iguais a 50, 500, 5000... e o anterior for 
ímpar, o anterior incrementa-se em uma unidade. 
Exemplos: 
Arredondando a 2 algarismos decimais deveremos ter em atenção o terceiro e quarto 
decimal. Assim, conforme as regras anteriores: 
 O número 12,6529 seria arredondado para 12,65 (aqui fica 12.65, uma vez que 29 é 
inferior a 50, então não se modifica) 
 O número 12,86512 seria arredondado para 12,87 (aqui fica 12.87, uma vez que 512 
é superior a 500, então incrementa-se uma unidade) 
 O número 12,744623 seria arredondado para 12,74 (aqui fica 12.74, uma vez que 
4623 é inferior a 5000, então não se modifica) 
 O número 12,8752 seria arredondado para 12,88 
 O número 12,8150 seria arredondado para 12,82 (aqui fica 12.82, uma vez que os 
algarismos seguintes é 50 e o anterior é ímpar, então incrementa-se uma unidade) 
 O número 12,8050 seria arredondado para 12,80 (aqui fica 12.80, uma vez que os 
algarismos seguintes é 50 e o anterior é par, então não se modifica) 
 O numero 13,4666..., se fossemos arredondar à parte inteira, será sempre 
arredondado para 13, pois 4666... sempre será menor que 5000... (Comumente faz-se 
o arredondamento número a número, assim sendo, 13,4666... → 13,47 → 13,5 → 14 
(pois 3 é ímpar), porém, isso seria afirmar que 13,4666... está mais próximo de 14 do 
que está de 13, que não é verdade) 
 
Questão 7 – Resolva a equação f(x) = x2-3 pelo método da 
bissecção, considere o intervalo [0, 2]. Fazer quatro iterações 
Solução: No intervalo [0, 2] (1) 
Xm = (0+2)/2 = 1, 
X | 0 | 1 | 2 | 
--------------------------- 
Y |-3 | -2 | 1 | 
 
Novo intervalo [1, 2] (2) 
Xm = (1+2)/2 = 1,5 
X | 1 | 1,5 | 2 | 
--------------------------- 
Y |-2 | -0,75 | 1 | 
 
Novo intervalo [1,5 , 2] (3) 
Xm = (1,5+2)/2 = 1,75 
X | 1,5 | 1,75 | 2 | 
----------------------------- 
Y |-0,75| 0,0625 | 1 | 
 
Novo intervalo [1,5 , 1,75] (4) 
Xm = (1,5+1,75)/2 = 1,625 
X | 1,5 | 1,625 | 1,75 | 
-------------------------------------- 
Y |-0,75| -0,359375| 0,0625 | 
 
Novo intervalo [1,625, 1,75] 
Xm = (1,625+1,75)/2 = 1,6875 
Se avançar chegará a um valor próximo à 1,7320508