Propriedades de LI e LD

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Adaptado de: 
 
 http://wwwp.fc.unesp.br/~emilia/Cursos/
GAAL/Aulas/apostila.htm 
Propriedades 
Sejam conjuntos de um espaço 
vetorial Então: 
1 2, eS S S
, , . V
 P1)Se é um conjunto L.D. então 
 ,u v V
0 v u   
ou seja, 
v
é combinação linear de 
ou 
u
é combinação linear de 
u v
Propriedades 
 P2) Se o vetor nulo pertence ao conjunto 
então esse conjunto é sempre L.D., pois o 
vetor nulo pode sempre ser escrito como 
combinação linear de quaisquer outros 
vetores. 
 P3) Se e então S é L.I. 
0u   S u
 P4) Se e é L.D. Então é L.D. 
1 2S S 1S 2S
 P5) Se e é L.I. Então é L.I. 
1 2S S 1S2S
Propriedades 
 P6) Se é L.I. e para algum 
 
 1 2, ,..., nS u u u
e 0v v V
temos que 
 S v
é um conjunto L.D. então 
(v é combinação linear de u1, u2, ..., un). 
 v S
temos que . 
Então . 
 P7) Se é L.D. e para algum 
 
 1 2, ,..., nS u u u
 j ju S u    1,2,...j n
   jS S u   
Base 
Definição: Seja espaço vetorial 
finitamente gerado. Um subconjunto 
finito é chamado de base do 
espaço vetorial se satisfaz as 
condições abaixo: 
 
, , V
BV
 BV é L.I.B
e 
Exercícios 
Exercício 01: Verifique se os conjuntos 
abaixo são base para os respectivos 
subespaços vetoriais: 
a) 
     21,0 , 0,1B  R
b) 
c) 
   2 3 3 31 , , 1 ,B t t t t t P      R
       31,2,3 , 0,0,1 , 1,0,2B   R
Exercícios 
d) 
e) 
       21,2 , 0,1 , 1,0B   R
 2 3
1 0 1 0 1 1
,
0 0 1 1 0 0
xB
     
     
    
M R
Base 
Teorema: Seja um espaço vetorial 
gerado por um conjunto finito de 
vetores . Então 
qualquer conjunto com mais do que n 
vetores é necessariamente linearmente 
dependente (L.D.). 
 
V
 1 2, , ..., nS u u u V
Dimensão 
Corolário: Qualquer base de um espaço 
vetorial tem sempre o mesmo número 
de elementos. 
 
 
V
Definição: Dado um espaço vetorial 
finitamente gerado, denominamos 
dimensão de ao número de vetores 
de uma base de . 
 
 
V
V
Dimensão - Exemplos 
 2dim 2R  3dim 3R  dim n nR
  2dim 3P R   dim 1n n P R
  2dim 4M R
  2 3dim 6x M R
  dim .mxn mnM R
Base e Dimensão 
Teorema: Qualquer conjunto L.I. de 
vetores de um espaço vetorial de 
dimensão finita pode ser completado de 
modo a se tornar uma base para . 
 
 
V
V
Corolário: Se , qualquer 
conjunto com n vetores L.I. formam 
uma base de . V
 dim nV
Exercício 
 Obtenha bases e dimensões para os 
subespaços vetoriais abaixo: 
 
  3, , 2 3 0x y z x y z    W R
 2 3 0
a b
a b c d
c d
  
       
  
W M R
1. 
2.