Combinacao Linear

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Exercício 1 
 Verifique se o conjunto abaixo, com as 
operações definidas é um espaço vetorial: 
u+(v+w) = (x1,y1)+((x2,y2) +(x3,y3))= 
(x1,y1)+(x2+x3,0)= 
(x1+(x2+x3),0)= 
((x1+x2)+x3,0)= 
(x1+x2,0)+(x3,0)= 
((x1,0)+(x2,0))+(x3,0) 
 
 
 
(x1+x2,0)+(x3,y3)= 
((x1,y1)+(x2,y2))+(x3,y3)= 
(u+v)+w 
 
 
   , , ,u v w u v w u v w      V
u+0 = u 
(x1,y1)+(x0,y0)=(x1,y1) 
(x1+ x0, 0)=(x1,y1) 
 
x1+x0=x1 0 = y1 
x0=0 y0=? 
 
 
 NÃO É ESPAÇO VETORIAL 
0 , 0 0u u u u       V V
Exercício 2 
 Verifique se o conjunto A, com as 
operações usuais, é um espaço vetorial. 
 
 
Exemplo 
SUBESPAÇO VETORIAL 
Definição: Um subconjunto não vazio 
é dito subespaço vetorial real de V (espaço 
vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial real 
considerando as operações restritas a ele. 
 
é um subespaço vetorial real se e somente se: 
Teorema: Um subconjunto não vazio 
, W V W
, W V W
0W
,u v u v    W W
,u u      W R W
i) 
ii) 
iii) 
Exemplo 
Contra-Exemplo 
0W
,u v u v    W W
,u u      W R W
Exemplo/ Exercício 
Subespaços Vetoriais 
Seja o Espaço Vetorial Real e 
 dois subespaços vetoriais. 
 
, , V
, , ,  U W V U W
U W
, , V
Proposição: A interseção de é um 
subespaço vetorial de . 
Subespaços Vetoriais 
Subespaços Vetoriais 
Obs: 1) Note que a união de subespaços vetoriais não é 
um subespaço vetorial. 
 2) Todo espaço vetorial possui pelo menos dois 
subespaços, os quais são chamados de subespaços 
triviais. 
São eles: 
 0 , U U V
Subespaços Vetoriais 
Proposição: Considere o conjunto 
dado por: 
 ,u w u w    U W U W
Este conjunto é um subespaço vetorial de 
, chamado de Subespaço Soma. 
V
Subespaços Vetoriais 
Subespaços Vetoriais 
Subespaços Vetoriais 
Obs: Nestas condições temos que: 
  U W W U
 0 U U
,   U U W W U W
Exemplo 
Exemplo 
Subespaços Vetoriais 
Definição: Seja um espaço vetorial e sejam 
 , dois subespaços vetoriais 
de , tais que: 
, , V
, , ,  U W V U W
 U W V
e 
 0 U W
U W
Neste caso, dizemos que é a Soma Direta de 
 e . 
Os subespaços são ditos Subespaços 
Suplementares. 
Notação: 
 
U W
V
Subespaços Vetoriais 
Proposição: Sejam e subespaços vetoriais 
de um espaço vetorial. Então se e 
somente se cada vetor admite uma única 
decomposição , onde . 
 V U W
U
vV
v u w 
u e w U W
W
Exemplo 
Exemplo 
Combinação Linear 
Definição: Seja um espaço vetorial 
real e . Diz-se que 
um vetor é combinação linear dos 
elementos de , se existirem escalares 
tais que: e 
V
 1 2, ,..., nS u u u  V
v
S
1 2, , ..., n   R
1 1 2 2
1
...
n
n n j j
j
v u u u u   

    
Subespaço Gerado 
Proposição: Seja um espaço vetorial 
real e . Considere 
o conjunto de todas as combinações 
possíveis de , ou seja, 
V
 1 2, ,..., nS u u u  V
S
1
,
n
j j j j
j
u u S 

 
   
 
W R
Esse subconjunto é um subespaço vetorial 
real chamado Subespaço Vetorial Gerado 
por . Notação: 
S
 SW
Exemplo 
Exemplo/ Exercício 
Espaços Finitamente Gerados 
Definição: Um espaço vetorial é 
finitamente gerado se existe um sistema (ou 
conjunto) finito de vetores geradores, isto é, 
 tais que . 
, , V
1 2, ,..., nu u u V  1 2, ,..., nu u uV
 Exemplo 01: O espaço é finitamente gerado 
pois os vetores ortogonais formam 
um conjunto de geradores para ele. 
, ei j k
Espaços Finitamente Gerados 
 Exemplo 02: Considere o conjunto: 
1 0 0 1 0 0 0 0
, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1
S
        
         
        
Então é finitamente gerado. 
   2 SM R
Observe que 
 2
a b
A M
c d
 
   
 
1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
a b
a b c d
c d
         
            
         
Dependência e Independência 
Linear - L.D. e L.I. 
Definição: Um conjunto S de vetores é chamado 
de Linearmente Independente (L.I.), sendo 
 
se existe uma única solução para a equação: 
 1 2, ,..., nS u u u  V
A qual seja: 
1
0
n
k k
k
u


 0, 1,2,...,k k n   
Dependência e Independência 
Linear - L.D. e L.I. 
Definição: Um conjunto S de vetores é chamado 
de Linearmente Dependente (L.D.), sendo 
 
se existem infinitas soluções para a equação: 
 1 2, ,..., nS u u u  V
Ou seja: 
1
0
n
k k
k
u


 1,2,..., 0kk n   
Dependência e Independência 
Linear - L.D. e L.I. 
Observações: 
 
 1) Um conjunto de vetores é L.I. se e somente 
se não é L.D. 
 
 2) O conjunto vazio é dito L.I., por convenção. 
 
Exercício 
Exercício 01: Determine se os conjuntos 
abaixo são L.I. ou L.D. 
 a) 
b) 
       31,2,1 , 0, 1,1 , 1,1,2S   R
     21,2 , 5,0S  R
c) 
 2
1 1 0 1 1 2
, ,
3 1 0 2 1 0
S M
        
       
      