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Universidade Federal do Pampa Campus Sa˜o Gabriel Biotecnologia Prof. Cristhian Augusto Bugs LISTA DE EXERCI´CIOS 1 Exerc´ıcio 1: Dada a func¸a˜o polinomail f(x) = 4x− 1, determine: a) f(0) b) f(-1) c) f(18) d) f( √ 2) Respostas: a) -1 b) -5 c) −12 d) √ 2− 1 Exerc´ıcio 2: Para quais valores reais de x na func¸a˜o f(x)=1-3x tem-se: a) f(x)=4 b) f(x)=0 c) f(x) = −12 d) f(x) = 34 e) f(x) = √ 3 Respostas: a) -1 b) 13 c) 1 2 d) Basta subsituir na func¸a˜o. e) Basta subsituir na func¸a˜o. Exerc´ıcio 3: Dada a func¸a˜o f(x)=ax+2, determine o valor de a para que se tenha f(4)=20. Resposta: a = 92 Exerc´ıcio 4: Dada a func¸a˜o f(x)=ax-5, determine o valor de a para que se tenha f(3)=7. Resposta: a = 4 Exerc´ıcio 5: Dada a func¸a˜o f(x)=3x+b determine o valor de b para que se tenha f(2)=6. Resposta: b = 0 Exerc´ıcio 6: Dada a func¸a˜o f(x)=-5x+b determine o valor de b para que se tenha f(34) = −2. Resposta: b = 74 Exerc´ıcio 7: Dada a func¸a˜o f(x)=ax+b determine o valor de a,b para que se tenha f(3)=5 e f(-2)=-5. Resposta: f(x) = 2x− 1 1 Exerc´ıcio 8: Dada a func¸a˜o f(x)=ax+b determine o valor de a,b para que se tenha f(−1) = 52 e f(4)=5. Resposta: f(x) = 12x + 3 Exerc´ıcio 9: Dada a func¸a˜o f(x)=ax+b determine o valor de a,b para que se tenha f(1)=3 e f(-3)=-9. Resposta: f(x) = 3x Exerc´ıcio 10: Dada a func¸a˜o f(x)=ax+b determine o valor de a,b para que se tenha f(-2)=6 e f(1)=3. Resposta: Encontre a func¸a˜o e verifique se as condic¸o˜es f(-2)=6 e f(1)=3 sa˜o satis- feitas Exerc´ıcio 11: Dada a func¸a˜o f(x)=ax+b determine o valor de a,b para que se tenha f(32) = 2 e f( 2 3) = −1. Resposta: Encontre a func¸a˜o e verifique se as condic¸o˜es f(-2)=6 e f(1)=3 sa˜o satis- feitas Exerc´ıcio 12: Construa o gra´fico das seguintes func¸o˜es, verifique onde o gra´fico da func¸a˜o intersecta o eixo y calculando f(0) e verifique onde intersecta o eixo x calculando o zero da func¸a˜o, ou seja, basta resolver a equac¸a˜o f(x)=0. a) f(x)=x+3 b) f(x)=2x+1 c) f(x) = −x + 4 d) f(x) = 3x e) f(x) = 12 − x f) f(x) = −2x Os gra´ficos podemos discutir na aula de exerc´ıcios. Exerc´ıcio 13: Um botaˆnico mede o crescimento de uma planta de uma planta, em cent´ımetros, todos os dias. Se no quinto dia a planta mede 1 cent´ımetro e no de´cimo dia mede 2, supondo um crescimento linear(f(x)=ax+b) determine a func¸a˜o e contrua o gra´fico de f(x). Resposta: f(x) = 15x Exerc´ıcio 14: O nu´mero de indiv´ıduos de uma certa populac¸a˜o de bacte´rias au- menta de forma linear. Se no quarto dia existem 30 indiv´ıduos e no de´cimo dia existem 120 indiv´ıduos, determine a func¸a˜o que descreve o crescimento desta po- pulac¸a˜o e calcule f(12). Resposta: f(x) = 15x− 30 Exerc´ıcio 15: Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso nor- mal de 56kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em umm agrecimento de 2 exatamente 200g por semana. Determine uma func¸a˜o da forma f(x) = ax + b que descreve a variac¸a˜o do peso da pessoa. Exerc´ıcio 16: Para transformar graus Fahrenheit em graus cent´ıgrados usa-se a fo´rmula linear: C(F ) = 5(F − 32) 9 onde F e´ o nu´mero em graus Fahrenheit e C e´ o nu´mero de graus cent´ıgrados. a) Transforme 35 graus cent´ıgrados em graus Fahrenheit b) Qual a temperatura(em graus cent´ıgrados) en que o nu´mero de graus Fahrenheit e´ dobro do nu´mero de graus cent´ıgrados? Resposta: a)Basta subsituir 35 na func¸a˜o acima b)F=32 Exerc´ıcio 17: Dada a func¸a˜o f(x) = x2 − 5x + 4, calcule: a) f(0) b) f(-1) c) f(12) d ) f( √ 2) e) f(− √ 5 5 ) Respostas: a) 4 b) 10 c) 74 d) 6− 5 √ 2 e) 21+5 √ 5 5 Exerc´ıcio 18: Dada a func¸a˜o f(x) = x2 − 4x − 5, determine os valores reais de x para que se tenha: a) f(x)=7 b) f(x)=0 c) f(x)=-5 Respostas: a) -2,6 b) -1,5 c) 0,4 Exerc´ıcio 19: Construa o gra´fico das func¸o˜es abaixo observando o seguinte: • Verifique onde o gra´fico intersecta o eixo y calculando f(0) • Verifique onde o gra´fico intersecta o eixo x calculando os zeros da func¸o˜es, ou seja, basta resolver f(x)=0 • Verifique a concavidade pelo sinal do a na func¸a˜o f(x) = ax2 + bx + c • Calcule o ve´rtice da para´bola. Dada f(x) = ax2 + bx + c as coordenadas do ve´rtice sa˜o dadas por xV = −b 2a , yV = −∆ 4a 3 a) f(x) = x2 − 6x + 5 b) f(x) = x2 − 7x + 10 c) f(x) = −x2 + 4 d) f(x) = x2 + 2x + 5 Exerc´ıcio 20: Sabe-se que, nos pulmo˜es, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior a` do corpo, ja´ que e´ resfriado nas paredes do nariz. Atrave´s de medic¸o˜es realizadas em um laborato´rio foi obtida a func¸a˜o TA = 8, 5 + 0, 75× TB, 12◦ ≤ TB ≤ 30◦ em que TA e TB representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) A temperatura do ambiente quando TA = 25 ◦C; b) O maior valor que pode ser obtido para TA Exerc´ıcio 21: Suponha que o n´ıvel de concentrac¸a˜o y, em mg, de uma determinada vitamina no organismo varie linearmente com o tempo x, em horas, conforme o gra´fico abaixo. Figura 1: Grafico da T(t) a) Determine a expressa˜o da func¸a˜o acima. b) Qual a concentrac¸a˜o imediatamente apo´s a ingesta˜o? c) Quantas horas apo´s a ingesta˜o o n´ıvel de concentrac¸a˜o e´ zerado? 4 Respostas: a) C(x)=+5x+120 Exerc´ıcio 22:A tabela abaixo apresenta o peso me´dio w, em libras, correspondente a va´rias alturas h, em polegadas, de sexagena´rios nos Estados Unidos. h(polegadas) 68 69 70 71 72 73 74 w(libras) 171 176 181 186 191 196 201 a) Verifique qual o valor de 1 libra em Kg; b) Verifique o valor de 1 polegada em cenctimetros; c) Os dados da tabela acima esta˜o relacionados com uma func¸a˜o linear? Em caso afirmativo, escreva o peso w como func¸a˜o da altura h. d) Escreva agora a altura h como func¸a˜o do peso w. Respostas: c) w(h) = 5h− 174 d) h = 0, 2w + 34, 8 Exerc´ıcio 23:O s´ımbolo MHR(Maximum heart rate) e´ o nu´mero de vezes que o corac¸a˜o de uma pessoa pode bater, em seguranc¸a, em um minuto. Se MHR esta´ em batimentos por minuto e a e´ a idade em anos, as fo´rmulas usadas para estimar MHR sa˜o dadas para homens e mulheres como segue: Para mulheres : MHR = 226− a Para homens : MHR = 220− a a) Verique o nu´mero de batimentos card´ıacos para a sua idade. b) O que se pode dizer sobre as idades de um homem e de uma mulher que tem a mesma taxa ma´xima de batimento card´ıaco Exerc´ıcio 24:Para a realizac¸a˜o de uma experieˆncia colocaram-se em dois frascos A e B, duas substaˆncias diferentes que se foram evaporando. O gra´fico reflete a altura, em mil´ımetros, do l´ıquido em func¸a˜o do nu´mero de dias passados desde o in´ıcio da experieˆncia. 5 a) Para cada l´ıquido, indique a altura do l´ıquido no frasco no in´ıcio da experieˆncia. E quantos dias levaram estes a evaporar totalmente. b) Determine uma expressa˜o anal´ıtica para cada uma das func¸o˜es, que relacione o tempo decorrido e a altura de l´ıquido existente em cada um dos frascos. c) Ha´ um momento em que a altura do l´ıquido nos dois frascos e´ igual. Qual e´ ele (aproximadamente)? E que altura de l´ıquido teˆm os frascos (aproxima- damente)? Como voceˆ poderia determinar, com precisa˜o, esses valores que observamos no gra´fico? Quais sa˜o esses valores? Exerc´ıcio 25: Certo dia, num laborato´rio, a temperatura atingiu o seu valor ma´ximo a`s 14 horas. Suponha que nesse dia a temperatura f(t), em graus, era dado em func¸a˜o do tempo t, medido em horas, dado por f(t) = −t2 + bt− 160 quando 8 ≤ t ≤ 20. Obtenha a) O valor de b. b) A temperatura ma´xima atingida nesse dia. c) o gra´fico de f(t) Respostas: a) b=28 b) 36 graus Exerc´ıcio 26: A temperatura t de uma estufa (em graus Celsius) e´ determinada, em func¸a˜o da hora h do dia, pela expressa˜o T (h) = −h2 + 22h− 85 Responda: a) Em quais os hora´rios a temperatura e´ de 0 graus? b) Em que per´ıodo do dia a temperatura e´ crescente? E decrescente? c) Em que hora´rio a temperatura e´ ma´xima? Qual e´ a temperatura ma´xima? Respostas: a) h=5 e h=7 b) crescente no intervalo [0,11] decrescente no intervalo [11,24] c) h=11Exerc´ıcio 27: Duas plantas da mesma espe´cie A e B foram tratadas desde o in´ıcio com adubos diferentes. Um botaˆnico mediu todos os dias o crescimento, em cent´ımetros,destas plantas. Apo´s 10 dias de observac¸a˜o, ele notou que o gra´fico que representa o crescimento da planta A e´ expresso pela func¸a˜o yA = 3x 2 e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito por yB = −x2 12 + 2x. Determine o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. Resposta: x=6 6 Exerc´ıcio 28: O balanc¸o de ca´lcio e´ a diferenc¸a entre a quantidade de ca´lcio ingerida e a quantidade excretada na urina e nas fezes. E´ usualmente positivo durante o cres- cimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando pode ocorrer a osteoporose, uma doenc¸a caracterizada pela diminuic¸a˜o da absorc¸a˜o de ca´lcio pelo organismo. A baixa concentrac¸a˜o de ı´on ca´lcio (Ca++) no sangue estimula as glaˆndulas para- tireo´ides a produzirem hormoˆnio paratireo´ideo (HP). Nesta situac¸a˜o, o hormoˆnio pode promover a remoc¸a˜o de ca´lcio dos ossos, aumentar sua absorc¸a˜o pelo intestino e reduzir sua excrec¸a˜o pelos rins. Admita que, a partir dos cinqu¨enta anos, a perda da massa o´ssea ocorra de forma linear conforme mostra o gra´fico abaixo: 3.jpg Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres teˆm, respectivamente, 90tinham aos 30 anos. Nes- sas condic¸o˜es, determine: O percentual de massa o´ssea que as mulheres ja´ perderam aos 76 anos, em relac¸a˜o a` massa aos 30 anos a) A func¸a˜o linear que determina a porcentagem de massa o´ssea em func¸a˜o do tempo a partir dos 50 anos. b) O percentual de massa o´ssea que as mulheres ja´ perderam aos 76 anos, em relac¸a˜o a` massa aos 30 anos Exerc´ıcio 29:Uma macieira produz, em me´dia, 400kg de mac¸a˜s a cada estac¸a˜o. No entanto, se forem plantadas mais de 200 a´rvores por km2, a produc¸a˜o e´ reduzida em 1kg para cada a´rvore que execede 200. a) Expresse a produc¸a˜o total de um quiloˆmetro quadrado em func¸a˜o do nu´mero de a´rvores que ele conte´m. Fac¸a o gra´fico desta func¸a˜o. b) Quantas a´rvores um biotecno´logo deve plantar em cada quiloˆmetro quadrado para maximizar a produc¸a˜o? Respostas: a) 200x b) 300 a´rvores por Km2 7 Exerc´ıcio 30:A velocidade v de uma reac¸a˜o autocatal´ıtica pode ser representada pela func¸a˜o v(x) = x(a− x) onde a e´ a quantidade de material originalmente presente e x e´ a quantidade que foi decomposta em qualquer instante dado. Encontre a velocidade ma´xima da reac¸a˜o para uma quantidade de a=20g. Lembrando que a cata´lise e´ a mudanc¸a de veloci- dade de uma reac¸a˜o qu´ımica devido a` adic¸a˜o de uma substaˆncia (catalisador) que praticamente na˜o se transforma ao final da reac¸a˜o. Exerc´ıcio 31:A expectativa de vida em uma determinada regia˜o depende do ano que nasceram. A func¸a˜o abaixo f(x) = −0, 00249x2 + 0, 568x + 44, 413 descreve a expectativa de vida considerando-se que x=0 representa 1900. a) Determine a expectativa de vida para uma pessoa que nasceu no ano 200. b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x) c) Determine para qual ano a expectativa de vide e´ ma´xima. Respostas: a) 76,313 8
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