Relatório IV - Refração em Lentes

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Refrac¸a˜o em lentes
Augusto Lassen
Professora:Cilaine Veronica Teixeira
Grupo: Ramon Nunes, Fabio Rasera, Luan Bottin de Toni
04 de Outubro de 2015
Resumo
O experimento relatado a seguir e´ composto de treˆs distintas eta-
pas. A primeira etapa objetiva a observac¸a˜o das imagens formadas
por lentes convergentes e divergentes. A segunda etapa introduz dife-
rentes experimentos concernentes a lentes convergentes, onde, em dois
deles, procura-se corroborar a equac¸a˜o para lentes delgadas a partir
de dois me´todos diferentes. E´ poss´ıvel, ainda, a constatac¸a˜o da igual-
dade entre foco objeto e foco imagem. Na etapa 3, concernente a
lentes divergentes, procura-se corroborar a equac¸a˜o das lentes delga-
das, bem como evidenciar a relac¸a˜o de igualdade entre foco imagem e
foco objeto tambe´m para essa espe´cie de lente.
Introduc¸a˜o
As lentes sa˜o objetos com duas faces de formatos esfe´ricos que permitem
que um feixe de luz incidente refrate ao passar por elas e forme uma imagem.
Normalmente as lentes sa˜o feitas de vidro, na˜o necessariamente puro, mas
de maneira que a luz refrate pelo objeto e saia do outro lado, ou seja, com
a menor absorc¸a˜o poss´ıvel. Para efeitos pra´ticos, normalmente trabalha-se
com lentes delgadas, o que significa que a espessura desta e´ muito pequena
comparada com os outros paraˆmetros envolvidos no problema estudado. As
lentes utilizadas nesse experimento, por exemplo, va˜o ser aproximadas por
lentes delgadas, uma vez que as distaˆncias focais informadas pelo fabricante
sa˜o muito maiores que a espessura.
Dentro dessa aproximac¸a˜o de lentes delgadas, e´ poss´ıvel estabelecer uma
relac¸a˜o entre os paraˆmetros estudados que e´ muito u´til. Partindo da lei da
refrac¸a˜o, e dentro das aproximac¸o˜es para raios paraxiais, podemos definir
1
a equac¸a˜o para lentes delgadas. Seja do a distaˆncia entre o objeto e o
ve´rtice da lente, di a distaˆncia entre a imagem e o ve´rtice da lente e f a
distaˆncia focal desta, temos a relac¸a˜o:
1
do
+
1
di
=
1
f
(1)
Apesar de ser chamada de equac¸a˜o para as lentes delgadas, a expressa˜o 1
pode ser utilizada, tambe´m, dentro das mesmas aproximac¸o˜es, para espelhos
esfe´ricos. Na verdade, ela e´ va´lida tambe´m para espelhos planos, visto que
um espelho plano nada mais e´ do que um espelho esfe´rico de raio tendendo a
infinito. Diferentemente do espelho, pore´m, observa-se que ha´ dois tipos de
foco: o foco imagem e o foco objeto, definidos da seguinte forma:
Foco objeto: Se a imagem estiver se formando no infinito o objeto esta´,
por definic¸a˜o, sobre o foco objeto. A distaˆncia entre esse ponto e o ve´rtice e´
representada por f .
Foco imagem: Se o objeto estiver no infinito, sua imagem se forma,
por definic¸a˜o, sobre o foco imagem.A distaˆncia entre esse ponto e o ve´rtice e´
representada por f ′.
Matematicamente, isso equivale a fazer do → ∞ no primeiro caso e
di → ∞ no segundo caso, obtendo, respectivamente, do = f e di = f ′.
Dentro da aproximac¸a˜o de lentes delgadas, observa-se que a distaˆncia focal
f e a distaˆncia focal f ′, apesar de conceitualmente diferentes, possuem o
mesmo valor, diferentemente do caso em que se trata de superf´ıcies esfe´ricas
refratoras. Como espera-se que a imagem se forme no lado da luz refratada,
o sinal alge´brico sempre indicara´ de que lado esta´ o objeto ou a imagem e,
consequentemente, o foco objeto/imagem. Como ambos sa˜o iguais, mesmo
no sinal alge´brico, ambos os focos estara˜o sempre em lados opostos (tomando
o ve´rtice como divisor).
As lentes, apesar de assumirem va´rios formatos diferentes, podem fa-
cilmente ser classificadas em duas diferentes classes: as lentes convergentes
e as lentes divergentes. As lentes convergentes destacam-se por apresenta-
rem as bordas menos espessas que o centro do objeto, enquanto observa-se o
contra´rio para uma lente divergente. Ambas sa˜o chamadas assim pelo fato de
que a luz refratada ou converge para o foco imagem ou diverge deste.Abaixo,
temos uma figura com lentes divergentes e convergentes de va´rios tipos:
2
Objeto no foco = do= f
di= f. A imagem está no foco.
Figura 1: Lentes convergentes e divergentes e seus formatos variados
Materiais Utilizados
• Banco o´ptico com cavaleiros com re´gua
• Canha˜o laser
• Vela
• 2 Lentes convergentes
• 1 Lente divergente
• Re´gua (±0, 05 cm) e paqu´ımetro (±0, 003 cm)
• Anteparo
• Espelho plano
• Laˆmina com va´rios orif´ıcios
• Clipe de papel (opcional)
Procedimentos
O experimento e´ realizado em va´rias partes; algumas objetivam a ob-
servac¸a˜o de fenoˆmenos f´ısicos envolvidos, e outras objetivam a aplicac¸a˜o da
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expressa˜o 1 e sua verificac¸a˜o, ou ainda fo´rmulas alternativas que otimizam o
processo de obtenc¸a˜o de dados.Dessa forma, torna-se mais pra´tico dividir o
experimento em treˆs principais etapas e suas respectivas sub-etapas.
• Atividade de observac¸a˜o
Essa e´ uma atividade de observac¸a˜o que objetiva a obtenc¸a˜o de resul-
tados qualitativos sobre a formac¸a˜o de imagens para lentes convergentes e
divergentes. Coloca-se um objeto luminoso qualquer diante de uma lente
convergente de distaˆncia focal conhecida e varia-se a posic¸a˜o do objeto em
relac¸a˜o a` lente, e enta˜o anotac¸o˜es sa˜o feitas sobre o tipo de imagens formadas
para posic¸o˜es espec´ıficas do objeto, incluindo as modificac¸o˜es no tamanho e
orientac¸a˜o da imagem.
Da mesma forma, realiza-se o experimento para uma lente divergente de
distaˆncia focal conhecida. Os dados qualitativos obtidos encontram-se em
uma tabela na sec¸a˜o dados experimentais.
• Lente convergente
a) Primeiramente, objetiva-se determinar a distaˆncia focal de uma lente
convergente utilizando a expressa˜o 1. Para isso, posiciona-se o canha˜o laser
em uma posic¸a˜o fixa sobre o banco o´ptico e anota-se a posic¸a˜o sobre a qual
este se encontra a partir da re´gua pro´pria do banco o´ptico. A lente conver-
gente, enta˜o, e´ posicionada entre o canha˜o laser e o anteparo. Varia-se a
posic¸a˜o da lente e do anteparo ate´ encontrar a imagem mais n´ıtida poss´ıvel e
anota-se as posic¸o˜es sobre a re´gua em que a lente e o anteparo esta˜o. Sabe-se,
enta˜o, que do sera´ a diferenc¸a entre a posic¸a˜o da lente e a posic¸a˜o do canha˜o
e que di sera´ a diferenc¸a entre a posic¸a˜o do anteparo e a posic¸a˜o da lente.
Aplica-se a expressa˜o 1 e encontra-se a distaˆncia focal para a lente utilizada,
comparando o valor com o valor fornecido pelo fabricante.
b) Pode-se fazer um refinamento do procedimento anterior, visto que ha´
um erro intr´ınseco a` posic¸a˜o da lente em relac¸a˜o a` posic¸a˜o do cavaleiro sobre a
re´gua que pode se propagar e resultar num valor final na˜o muito satisfato´rio.
O refinamento e´ introduzido pelo procedimento de Bessel, que mede na˜o a
posic¸a˜o exata, e sim o deslocamento da lente, fazendo os prova´veis erros
cancelarem-se entre si. O procedimento de Bessel leva a` expressa˜o abaixo:
f =
(A2 −D2)
4A
(2)
Onde A e´ a distaˆncia entre o anteparo e a vela. Nota-se que, em dois pontos
sobre a re´gua, tendo deslocado a lente e mantido fixo o anteparo, duas ima-
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Nessa aula não se usou laser. A obtenção. da distância focal através da equação dos pontos conjugados posicionando-se a vela no banco ótico.
gens n´ıtidas sa˜o formadas. A diferenc¸a entre essas duas posic¸o˜es da lente e´
a varia´vel D.
c) Nessa parte do experimento, procura-se determinar o valor do foco
objeto e, consequentemente, do foco imagem. O conceito de ambos e´ discu-
tido acima, na introduc¸a˜o.Para a mensurac¸a˜o do foco objeto, pode-se fazer
com que a luz do laser incida sobre a laˆmina com orif´ıcio, sobre o qual
e´ interessante colocar uma re´gua com um clipe de papel preso nesta. Os
raios que passam pelo orif´ıcio atingem a lente convergente e sa˜o refratados
na direc¸a˜o de um espelho plano, que reflete os raios novamente,fazendo-os
percorrer, aproximadamente, o mesmo caminho da volta. Uma imagem do
pro´prio orif´ıcio (por isso e´ interessante usar o clipe de papel) e´ formada sobre
a laˆmina. Ajusta-se a lente para que a imagem formada sobre a laˆmina tenha
a maior nitidez poss´ıvel, o que indica que a laˆmina esta´ exatamente sobre o
foco da lente, conforme ilustra a imagem abaixo:
Figura 2: Determinac¸a˜o do foco objeto da lente convergente
Sabemos que o valor do foco imagem, para lentes delgadas, coincide com
o valor do foco objeto, mas ha´ uma forma experimental de se verificar isto.
Ajusta-se o laser para que os feixes de luz incidentes sejam paralelos (como se
o objeto estivesse se formando no infinito). A luz do laser incide sobre a lente
convergente e e´ refratada sobre o foco imagem. Move-se, enta˜o, um anteparo
que se encontra atra´s da lente, a fim de obter a imagem mais n´ıtida poss´ıvel
sobre este (e´ extremamente interessante utilizar um orif´ıcio maior da laˆmina
e continuar com o clipe de papel para se comparar a nitidez). Segue, abaixo,
um esquema com a montagem relativa a essa etapa dos procedimentos:
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Figura 3: Determinac¸a˜o do foco imagem da lente convergente
• Lente divergente
a) Para essa etapa dos procedimentos, e´ necessa´rio utilizar-se de uma
combinac¸a˜o de lentes convergente e divergente. Monta-se, sobre o banco
o´ptico, um objeto (neste experimento o grupo usou uma vela artificial) se-
guido por uma lente convergente e um anteparo, respectivamente. Mede-se
a posic¸a˜o dessa imagem que foi formada sobre o anteparo e tem a maior
nitidez poss´ıvel, se introduz uma lente divergente entre a lente convergente
e o anteparo e toma-se a imagem anterior como objeto virtual para a lente
divergente. Como o objeto e´ virtual, a imagem final, para a lente divergente,
sera´ uma imagem real, ou seja, ela e´ projeta´vel. Dessa forma, fixam-se as
posic¸o˜es da vela e da lente convergente, e as posic¸o˜es da lente divergente e do
anteparo sa˜o modificadas ate´ que se encontre a imagem com maior nitidez
projetada sobre o anteparo, agora em uma nova posic¸a˜o. O do e´, portanto,
a distaˆncia entre a lente divergente e o objeto virtual (antiga posic¸a˜o do
anteparo) e o di e´ a distaˆncia entre a nova posic¸a˜o do anteparo e a lente
divergente. Aplicando a expressa˜o 1 encontra-se o valor do foco objeto para
a lente divergente utilizada.
b) E´ poss´ıvel verificar, experimentalmente, se o foco imagem de uma lente
divergente realmente coincide com o valor do foco objeto, conforme esperado
teoricamente. Para isso, o grupo utilizou um feixe de luz colimado que incidia
paralelamente sobre uma lente divergente. Depois de os raios refratarem pela
lente, eles encontram um orif´ıcio de diaˆmetro d e sa˜o projetados sobre um
anteparo atra´s do orif´ıcio, formando uma imagem de altura y. O esquema de
montagem para essa etapa do procedimento junto dos paraˆmetros necessa´rios
ilustrados segue abaixo:
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Figura 4: Determinac¸a˜o do foco imagem para uma lente divergente
Dados os paraˆmetros ilustrados acima, a distaˆncia focal imagem pode ser
determinada pela expressa˜o abaixo:
f ′ =
(xd− yz)
y − d (3)
Dados Experimentais
Observa-se, pela tabela 1, os dados qualitativos obtidos atrave´s da ob-
servac¸a˜o da formac¸a˜o de imagens para uma lente convergente. Observa-se,
curiosamente, que quando o objeto encontra-se em cima do ponto focal, na˜o
ha´ imagem formada, nem mesmo virtual. E´ fa´cil de perceber, a partir da
expressa˜o 1 que, se do = f , di →∞ , de forma que a imagem formada esteja
no infinito.
Outro comportamento muito interessante ocorre para o caso em que o
objeto situa-se entre o ve´rtice e o foco, para o caso da lente convergente: ela se
comporta como uma lupa. Na verdade, a pro´pria explicac¸a˜o por tra´s do efeito
introduzido pela lupa e´ a utilizac¸a˜o de uma lente convergente combinada a`
aproximac¸a˜o do objeto em relac¸a˜o a` lupa.
Tabela 1: Dados observados para a lente convergente
Distaˆncia em relac¸a˜o ao ve´rtice d0 > 2f d0 = 2f d0 > f d0 < f
Tamanho da imagem Menor Igual Maior Maior
Espe´cie de imagem formada Real Real Real Virtual
Orientac¸a˜o da imagem Invertida Invertida Invertida Direita
Obviamente, os resultados obtidos sa˜o subjetivos; na˜o se pode dizer com
clareza que quando o objeto esta´ a uma distaˆncia focal 2f a imagem tera´ o
mesmo tamanho: o que se percebe e´ que em um determinado ponto, a ima-
gem do objeto deixa de ser maior e vai diminuindo, e este ponto dista apro-
ximadamente o dobro da distaˆncia focal. O grupo na˜o realizou observac¸o˜es
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espec´ıficas para o caso da lente divergente, mas notou-se, durante a realizac¸a˜o
dos outros experimentos, que a imagem formada por uma lente desse tipo
(em caso de o objeto ser real) era sempre virtual e menor, o que, de fato,
corrobora a teoria. De maneira semelhante, e´ poss´ıvel agrupar os dados e os
resultados obtidos para cada sub-etapa das etapas 2 e 3 numa u´nica tabela,
tal qual a tabela abaixo:
Tabela 2: Dados experimentais obtidos/calculados para as etapas 2 e 3
2 a)
di (±0, 05cm) do (±0, 05cm) f (cm)
39,55 40,15 19, 92± 0, 02
2 b)
A (±0, 05cm) D (±0, 05cm) Dmed (cm) f(cm)
87,55
23,65
25, 0± 0, 6 20, 1± 0, 124,50
25,45
26,35
2 c)
d1 (±0, 05cm) d2 (±0, 05cm)
20,5 28,5
3 a)
di ±0, 05cm do ±0, 05cm f (cm)
14,00 -5,00 −7, 8± 0, 1
3 b)
d(±0, 003cm) y(±0, 05cm) x(±0, 05cm) z(±0, 05cm) f(cm)
2 3,40 38,9 19,50 −8, 2± 0, 1
As incertezas relativas a`s varia´veis de comprimento sa˜o introduzidas pela
incerteza da pro´pria trena/re´gua utilizada. Somente a varia´vel d, relativa a`
etapa 3b, mostra uma incerteza diferente, visto que o diaˆmetro do orif´ıcio
foi medido com um paqu´ımetro. A t´ıtulo de organizac¸a˜o, todas as grandezas
obtidas experimentalmente esta˜o com a suas respectivas incertezas no ı´ndice,
enquanto as grandezas calculadas e cujas incertezas foram propagadas, pos-
suem sua incerteza no mesmo quadro.
A ana´lise de dados se torna sempre mais fa´cil quando se sabe com que
valor se pode comparar os resultados obtidos. No caso desse experimento, os
valores de distaˆncia focal estavam gravados na borda das lentes utilizadas, e
o grupo assumira´, portanto, o valor como o valor alvo do experimento, que
encontram-se na tabela abaixo:
Tabela 3: Distaˆncias focais fornecidas pelo fabricante
Lente Distaˆncia focal fornecida
Convergente 20 cm
Divergente −10 cm
Dados os valores alvos calculados acima, podemos associar um erro per-
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centual a cada etapa do experimento, de forma a evidenciar a eficieˆncia do
grupo e do me´todo de mensurac¸a˜o utilizado:
Tabela 4: Erros associados ao valor me´dio obtido para cada etapa
Etapa do experimento
Valor experimental
me´dio (cm)
| Erro | (%)
2 a) 19,92 0,4
2 b) 20,1 0,5
2 c) 20,5 28,5 2,5 42,5
3 a) -7,8 22
3 b) -8,2 18
Dessa maneira, torna-se clara a eficieˆncia das etapas 2a e 2b. Nas etapas
3a e 3b o grupo teve muita dificuldade em ajustar o equipamento de forma
apropriada, de maneira que ambos os resultados, dependentes do mesmo
canha˜o laser, foram igualmente afetados. Os resultados, apesar de esta-
rem distantes do valor informado pelo fabricante, encontram-se relativamente
pro´ximos um do outro, conforme o esperado.
Conclusa˜o
Notou-se, apo´s a coleta de dados, que a calibragem do laser, em alguns
experimentos, afetou claramente os resultados obtidos, caso das etapas 3a
e 3b, onde o resultado mostrou distante do valor informado pelo fabricante,
mas ambos os resultados estiveram pro´ximos um do outro, conforme espe-
rado teoricamente para duas lentes delgadas. Certamente, outra fonte de
erro esta´ na observac¸a˜o das imagens: diversas vezes os integrantes do grupo
discordaram sobre a posic¸a˜o em que a imagem era mais n´ıtida, que e´ um
crite´rio bem subjetivo.
Por outro lado, os resultados obtidos nas etapas 2a e 2b foram extre-
mamentesatisfato´rios, possuindo erros de menos de 1% relacionados a eles.
Como foi utilizada a expressa˜o 1 e o grupo obteve ta˜o bons resultados, cer-
tamente esta etapa do experimento vem a corroborar a equac¸a˜o para lentes
delgadas, discutida anteriormente. Para a etapa 2c nota-se um bom resul-
tado para o foco objeto, com um erro de 2,5%, enquanto que o foco imagem
diferiu em muito do esperado teoricamente. Novamente evidencia-se o erro
no ajuste do canha˜o laser, o que prejudicou muito a coleta de dados para o
foco imagem, que, teoricamente, deveria ser igual ao foco objeto.
Na etapa de observac¸a˜o o grupo notou com clareza as transformac¸o˜es que
a imagem passava conforme se alterava sua distaˆncia em relac¸a˜o ao ve´rtice
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Era luz branca.
3a usou a vela, não lâmpada.
da lente convergente, inclusive adquirindo conhecimento emp´ırico de algu-
mas aplicac¸o˜es para cada tipo de situac¸a˜o. Na˜o realizaram-se observac¸o˜es
espec´ıficas para as lentes divergentes, mas ficou claro, ao longo dos experi-
mentos da etapa 3, que envolviam lentes divergentes, que a imagem era sem-
pre virtual para objetos reais, e sempre menor. Acredita-se, portanto, que
esse comportamento estende-se para qualquer distaˆncia ao longo do eixo da
lente divergente, exceto pelo foco, onde a imagem formada e´ dita impro´pria.
Refereˆncias
[1] Halliday, David - Fundamentos de f´ısica, volume 4: O´ptica e
f´ısica moderna, 8a ed. Rio de Janeiro, LTC, 2009.
[2] VUOLO, J.H. Fundamentos da teoria de erros. 1 ed. Sa˜o Paulo, SP:
Edgard Blu¨cher, 1992. 225 p.
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2a. 1,0/2,0null2b. 2,0/2,0null2c. 2,0/2,0null3a. 2,0/2,0null3b. 2,0/2,0nullTotal. 9,0/10