Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Espectroˆmetro de Rede Augusto Lassen Professora: Cilaine Veronica Teixeira Grupo: Fabio Rasera, Luan Bottin de Toni 12 de Novembro de 2015 Resumo O experimento de conclusa˜o da disciplina trata das aplicac¸o˜es das redes de difrac¸a˜o como espectroˆmetros. Utilizando-se de laˆmpadas espectrosco´picas de Mercu´rio, He´lio e Neoˆnio, observa-se o espectro de cada uma e, medindo os aˆngulos de separac¸a˜o em relac¸a˜o ao ma´ximo central, determina-se o comprimento de onda das cores escolhidas pelo grupo. Introduc¸a˜o Este experimento pode ser visto como uma aplicac¸a˜o para os fenoˆmenos estudados no experimento anterior, e servira´ como conclusa˜o dos experi- mentos realizados acerca da natureza corpuscular e ondulato´ria da luz. O espectroˆmetro de rede utiliza-se de uma rede de difrac¸a˜o, instrumento ja´ uti- lizado em experimentos anteriores. A rede de difrac¸a˜o opera, basicamente, separando a luz incidente em seus diversos comprimentos de onda a uma distaˆncia angular θ. O qua˜o bem uma rede de difrac¸a˜o consegue realizar a separac¸a˜o dessas linhas de diferentes comprimentos de onda depende, basi- camente, de duas propriedades da rede: o poder separador (S) e a dispersa˜o (D). A dispersa˜o de uma rede de difrac¸a˜o esta´ ligada a` capacidade da rede de separar dois ma´ximos de difrac¸a˜o separados por uma diferenc¸a de compri- mento de onda (∆λ) relativamente pequena. Isto e´, uma rede de difrac¸a˜o com alta dispersa˜o consegue separar duas linhas cujo comprimento de onda e´ quase igual, enquanto que uma dispersa˜o baixa acaba por confundir os dois picos, de maneira que o observador na˜o possa resolveˆ-los. Matematicamente, a dispersa˜o e´ definida desta maneira: 1 D ≡ dθ dλ (1) Diferentemente do que o nome pode indicar, o poder separador na˜o esta´ ligado diretamente a` separac¸a˜o de duas linhas pro´ximas, apesar de que um bom poder separador auxilia este processo. O poder separador, na verdade, esta´ ligado a` resoluc¸a˜o das linhas sobre o anteparo, informando, assim, a largura da linha espectral sobre o anteparo e, consequentemente, sua niti- dez. Linhas mais grossas, por exemplo, sera˜o menos n´ıtidas; uma boa rede de difrac¸a˜o precisa ter uma boa dispersa˜o e um bom poder separador. Do contra´rio, a separac¸a˜o angular de dois comprimentos de onda pro´ximos pode acabar se tornando invia´vel. Matematicamente, o poder de separac¸a˜o pode ser definido desta maneira: S ≡ λ¯ ∆λ (2) Onde λ¯ e´ o valor me´dio entre os dois comprimentos de onda analisados. Tomando uma rede de difrac¸a˜o cujo espac¸amento entre as fendas e´ d, temos a ja´ conhecida expressa˜o que relaciona a diferenc¸a de caminho entre dois raios e condic¸a˜o necessa´ria para obtermos um ma´ximo de intensidade: dsen(θm) = mλ m = 0, 1, 2, 3... (3) O aˆngulo θm indica que, para cada ordem m diferente, o raio forma um novo aˆngulo. Mantendo m fixo, pore´m, observa-se um detalhe: se incidir- mos luz branca perpendicularmente sobre a rede de difrac¸a˜o, por exemplo, sabemos que esta carrega luz verde, amarela,violeta, etc., que possuem dife- rentes valores de λ. Se analisarmos o que acontece com cada um na primeira ordem (fixamos m = 1), vemos que o termo sen(θm) e´ diferente para cada cor. Isto causara´ uma diferenc¸a clara sobre onde cada cor ira´ aparecer sobre o anteparo: enquanto uma cor aparece deslocada com um aˆngulo θ1, a ou- tra cor, por exemplo, estara´ deslocada de θ2 em relac¸a˜o ao ma´ximo central. Nota-se que o ma´ximo central sera´ branco, pois, tomando m = 0 o valor de λ utilizado torna-se irrelevante: necessariamente o raio e´ conduzido para o centro. Tomando a expressa˜o 3, podemos isolar o termo sen(θm), e, utilizando um m fixo, deriva-se a expressa˜o dos dois lados. Obte´m-se, portanto, a expressa˜o abaixo: cos(θm)dθm = m d dλ 2 Isolamos dθm dλ de um lado da equac¸a˜o. Pore´m, conforme explicitado pela relac¸a˜o 1, o termo dθm dλ e´ justamente a definic¸a˜o de dispersa˜o. Dessa maneira, a dispersa˜o de uma rede de difrac¸a˜o pode ser reescrita[1] como: D = m dcos(θm) (4) De maneira semelhante, podemos encontrar uma nova forma de expressar o poder separador de uma rede de difrac¸a˜o. Tomando a expressa˜o 3, isola-se o sen(θm). Adicionando um pedac¸o infinitesimal de aˆngulo dθ ao argumento do seno, consequentemente o valor de λ sofre uma adic¸a˜o infinitesimal de um dλ. Dessa forma, temos que: sen(θm + dθ) = m d (λ+ dλ) Efetuando a multiplicac¸a˜o, chega-se em: sen(θm + dθ) = m d λ+ m d dλ Para o caso em que θ e´ muito pequeno, temos que senθ ≈ θ. Realizando a substituic¸a˜o e cancelando os termos opostos, chega-se na expressa˜o abaixo: dθ = m d dλ Se N e´ o nu´mero de fendas que possui a rede de difrac¸a˜o, a expressa˜o acima pode ser ampliada para: dθ = m d dλ = λ Ndcosθ Como o aˆngulo e´ considerado muito pequeno, o cosseno e´ aproximadamente igual a 1. Realizando os cortes necessa´rios e valendo-se da definic¸a˜o 2, che- gamos a uma nova expressa˜o [1] para S: S = mN (5) A expressa˜o acima determina o poder separador necessa´rio que uma rede de difrac¸a˜o com N fendas precisa ter para separar a m-e´sima ordem de duas linhas de comprimento de onda λ. Cada cor possuira´ uma linha em uma posic¸a˜o espec´ıfica para uma or- dem espec´ıfica. Essas linhas sa˜o chamados de linhas espectrais e o conjunto dessas e´ conhecido como espectro. Apesar de existirem, em teoria, infinitas ordens para m (ou seja, m pertence ao conjunto dos nu´meros naturais), nas observac¸o˜es reais esbarramos em dois principais empecilhos: o primeiro e´ o fato de que, quanto mais distante do ma´ximo central, menor a intensidade do 3 ma´ximo de interfereˆncia, por motivos discutidos em experimentos anteriores, de maneira que a observac¸a˜o de uma linha espectral de 30a ordem, por exem- plo, seja muito invia´vel. O outro empecilho e´ determinado pela expressa˜o 3. Matematicamente, a func¸a˜o seno na˜o admite valores maiores do que 1, o que significa que, tendo um d e um λ fixos, o valor do m ma´ximo sera´ automatica- mente definido, impossibilitando a observac¸a˜o das linhas espectrais de ordens superiores, pois estara˜o fora do campo de visa˜o. Na verdade, a configurac¸a˜o das linhas em si se repete a cada ordem, de maneira que, tendo observado as primeiras linhas espectrais e´ poss´ıvel inferir sobre o comportamento destas em qualquer ordem. Esta te´cnica de separar a luz incidente em seus diversos comprimentos de onda possui uma capacidade de extrair informac¸a˜o acerca da fonte de luz analisada, que e´ muito u´til aos f´ısicos, principalmente aos astroˆnomos. Isto acontece principalmente pelo fato de que os n´ıveis de transic¸a˜o de uma camada para a outra dos ele´trons de um determinado a´tomo requerem uma quantidade de energia muito bem conhecida. Quando os ele´trons voltam de seu n´ıvel de excitac¸a˜o, eles liberam energia luminosa. Sabendo que o com- primento de onda da luz e a energia associada a esta esta˜o ligadas por uma constante [2], a constante de Planck, o valor de λ da luz liberada na transic¸a˜o dos ele´trons de cada elemento possui um valor muito bem determinado. E´ como se o espectro funcionasse como uma carteira de identidade de cada elemento, o que e´ vital para analisar a quantidade de cada elemento presente na amostra de um ga´s o qual esta´ distante demais para se coletar amostras, como e´ o caso de estrelas, nebulosas, quasares etc. Materiais Utilizados • Luneta • Rede de difrac¸a˜o • Laˆmpadas espectrosco´picas de Mercu´rio, He´lio e Neoˆnio • Colimador • Disco graduado (±0, 05◦) • Suporte para disco graduado 4 Procedimentos Neste experimento, o grupo vai utilizar laˆmpadas espectrosco´picas, que sa˜o laˆmpadas preenchidas pelo vapor de certos elementos. O grupo utilizou as laˆmpadas de Mercu´rio, He´lio e Neoˆnio. A estrutura dalaˆmpada e´ ligada na tomada, e o vapor dentro da laˆmpada espectrosco´pica e´ aquecido, de forma que os ele´trons do elemento realizem saltos quaˆnticos e liberem energia na forma de luz com um λ muito bem definido. A laˆmpada e´ colocada numa das extremidades do disco graduado, e os feixes de luz passam por um colimador, de forma a incidirem aproximada- mente perpendiculares sobre a rede de difrac¸a˜o. O observador movimenta uma luneta fixada ao plano do disco ate´ achar a linha espectral branca, que representa o ma´ximo central da interfereˆncia (m = 0). O observador segue movendo a luneta ate´ encontrar as linhas espectrais da cor que o grupo deseja analisar em diferentes ordens. O aˆngulo θm da expressa˜o 3 vai ser justamente a diferenc¸a entre o valor obtido e o valor antigo para ma´ximo central, pois o aˆngulo do ma´ximo central, independentemente do valor apontado pelo disco, deve ser definido como 0◦ (consultar expressa˜o 3). O fabricante informa o nu´mero de fendas por mil´ımetro da respectiva rede de difrac¸a˜o, sendo poss´ıvel obter, dessa forma, o valor de d. Tendo medido os valores do aˆngulo para uma determinada ordem, podemos calcular o comprimento de onda associado a cada cor do espectro. Abaixo encontra-se uma figura representando a montagem do experimento: Figura 1: Representac¸a˜o ilustrativa da montagem do experimento 5 oilane Nota Os elétrons absorvem energia e depois voltam para o estado de energia mais baixo. A liberação da energia ocorre quando o elétron volta para o estado de energia mais baixo. O texto deixa a ideia de que o fóton é liberado quando a energia é absorvida, mas ocorre o contrário. Tendo os valores de λ para cada cor analisada em cada laˆmpada, pode-se comparar os valores obtidos, que na˜o necessariamente precisam ser iguais, visto que uma cor abarca uma regia˜o espectral (ou seja, um intervalo de comprimentos de onda), e na˜o um valor espec´ıfico e pode-se comparar com alguns valores encontrados na literatura. Dados Experimentais As redes de difrac¸a˜o utilizadas pelo grupo tinham um valor informado pelo fabricante sobre o nu´mero de fendas por mil´ımetro. Utilizou-se uma rede com 50 fendas por mil´ımetro e, posteriormente, uma fenda com 530 fendas por mil´ımetro. A partir dessa informac¸a˜o, e´ poss´ıvel calcular, por uma regra de treˆs simples, o valor de d1 e d2, que sa˜o a distaˆncia entre as fendas para a rede de 50 e de 530, respectivamente. Obte´m-se os seguintes resultados: d1 = 20, 0µm d2 = 1, 9µm Realizam-se, enta˜o, as medidas para as laˆmpadas de Mercu´rio, He´lio e Neoˆnio. As tabelas a seguir mostrara˜o as 3 primeiras ordens de diferentes cores, onde o aˆngulo medido pelo disco e´, na verdade, a diferenc¸a entre o aˆngulo medido e o aˆngulo do ma´ximo central (definido como 0◦). Abaixo, encontra-se a tabela concernente aos valores da laˆmpada de Mercu´rio: Tabela 1: Aˆngulos medidos para a laˆmpada de Mercu´rio Aˆngulo medido (±0, 05◦) Laˆmpada Ordem Verde Amarelo Vermelho Mercu´rio 0 0 0 0 1 1,4 1,6 1,6 1,7 1,9 2,0 Nota-se que a ordem m = 2 na˜o foi medida, pois as linhas espectrais das cores utilizadas estavam muito sobrepostas e, portanto, o grupo na˜o realizou as medidas para essa ordem. Abaixo, segue uma tabela semelhante a` superior, mas com os dados concernentes a` laˆmpada de He´lio: 6 oilane Nota As duas medidas para cada cor significam a raia da direita e a da esquerda? Não está explicado no texto. Também não há informação sobre qual fenda foi utilizada para obter os dados apresentados nesta tabela. oilane Nota O número de casas decimais dos ângulos não está de acordo com a incerteza apresentada. Tabela 2: Aˆngulos medidos para a laˆmpada de He´lio Aˆngulo medido (±0, 05◦) Laˆmpada Ordem Verde Amarelo Vermelho Violeta He´lio 0 0 0 0 0 1 1,4 1,6 1,5 1,8 1,9 2,0 1,4 1,4 2 2,8 2,9 3,4 3,6 3,9 2,6 2,7 Os dados para a laˆmpada de He´lio conteˆm as 3 primeiras ordens e uma cor a mais. Por fim, e´ introduzida a tabela concernente a` laˆmpada de Neoˆnio: Tabela 3: Aˆngulos medidos para a laˆmpada de Neoˆnio Aˆngulo medido (±0, 05◦) Laˆmpada Ordem Verde Amarelo Vemelho Neoˆnio 0 0 0 0 1 1,6 1,8 1,7 1,9 1,8 2,0 2 3,3 3,4 3,5 3,7 3,7 3,9 Ana´lise de Dados Munidos dos dados fornecidos pelas tabelas 1,2 e 3, podemos calcular um valor me´dio para cada cor associada a` respectiva laˆmpada. Os dados concernentes ao deslocamento angular me´dio encontram-se na tabela abaixo: Tabela 4: Deslocamento angular me´dio para as laˆmpadas utilizadas Aˆngulo me´dio (◦) Mercu´rio m Verde Amarelo Vermelho Violeta 0 0 0 0 - 1 1, 5± 0, 1 1, 65± 0, 05 1, 95± 0, 05 - He´lio 0 0 0 0 0 1 1, 5± 0, 1 1, 7± 0, 2 1, 95± 0, 05 1, 4± 0, 05 2 2, 85± 0, 05 3, 5± 0, 1 3, 9± 0, 05 2, 65± 0, 05 Neoˆnio 0 0 0 0 - 1 1, 7± 0, 1 1, 8± 0, 1 1, 9± 0, 1 - 2 3, 35± 0, 05 3, 6± 0, 1 3, 8± 0, 1 - Utilizando-se da expressa˜o 3 e utilizando θm como o valor do deslocamento angular me´dio que se encontra na tabela 4 podemos determinar o valor do 7 oilane Nota Nas três tabelas valem os comentários feitos na tabela 1. comprimento de onda de cada cor. Nota-se que, para as laˆmpadas de He´lio e Neoˆnio, que teˆm medidas ate´ a segunda ordem, obteˆm-se dois valores para λ. Dessa forma, pode-se realizar a me´dia entre estes. Primeiramente, os dados sera˜o calculados para a fenda com d = d1. As incertezas foram obtidas via propagac¸a˜o de incertezas. Durante o experimento, notou-se uma sobreposic¸a˜o de algumas cores devido ao poder separador relativamente baixo da rede de difrac¸a˜o, que engrossa as linhas espectrais e dificulta o processo de separac¸a˜o destas. A luneta, por exemplo, na˜o tinha uma cruz, e o processo de posicionar a linha no centro da luneta era subjetivo, o que certamente introduziu diversos erros nas medidas realizadas. Em contrapartida, na˜o foi poss´ıvel realizar medidas para a outra rede de difrac¸a˜o, que continha 530 fendas por mil´ımetro, pois o grupo na˜o conseguia encontrar as linhas espectrais, mesmo girando a luneta em sua capacidade ma´xima; atribui-se este defeito ao mal alinhamento da rede e a` excessiva claridade das linhas espectrais. Em posse de valores encontrados na literatura [3] para o comprimento de onda relativo a`s cores das respectivas laˆmpadas, podemos comparar os valores obtidos com os valores-alvo e estimar um erro percentual inerente a`s medidas obtidas pelo grupo. A tabela com os valores me´dios dos comprimento de onda calculados pelo grupo, bem como os erros associados a estes encontram-se na tabela abaixo: Tabela 5: Erros relacionados aos valores me´dios obtidos Mercu´rio He´lio Neoˆnio Verde λ medido (nm) 524± 35 510± 13 589± 4 λ alvo (nm) 546,1 501,5 582,2 Erro 4,1% 1,7% 1,2% Amarelo λ medido (nm) 576± 17 593± 17 628, 1± 0, 1 λ alvo (nm) 577,0 587,5 618,2 Erro 0,2% 0,9% 1,6% Vermelho λ medido (nm) 681± 17 680, 3± 0, 2 662, 9± 0, 2 λ alvo (nm) 623,2 667,8 640,2 Erro 9,3% 1,9% 3,5% Ressalta-se que, por motivos de organizac¸a˜o da tabela, o violeta na˜o foi inclu´ıdo. A fonte usada para fixar os valores de λ alvo tampouco continha informac¸a˜o sobre λ do violeta, de maneira que na˜o se associou um erro ao valor obtido pelo grupo. Encontrou-se o seguinte: λV ioleta = (476± 13)nm 8 oilane Nota Deve corresponder ao azul apresentado. oilane Nota Acima está escrito que foram utilizadas duas redes (50 fendas/mm e 530 fendas/mm), mas foram apresentados apenas 1 conjunto de dados para cada lâmpada. O que aconteceu com o outro conjunto de dados? Como compara as duas redes? O valor de λ acima e´ concernente a` laˆmpada de He´lio. Nota-se que os valores dos comprimentos na˜o sa˜o iguais para as diferentes laˆmpadas, o que e´ compreens´ıvel, visto que cada elemento possui uma energia diferente para cada uma de suas camadas, de maneira que seu espectro de emissa˜o apresente cores de diferentes comprimentosde onda. Conclusa˜o O grupo resolveu determinar, atrave´s do uso de uma rede de difrac¸a˜o, os comprimentos de onda emitidos por diferentes laˆmpadas espectrosco´picas, fazendo uso, principalmente, da expressa˜o 3. Como a luneta utilizada na˜o possu´ıa uma cruz para auxiliar no processo de centrar a linha espectral, cer- tamente a incerteza intr´ınseca do disco graduado na˜o representa fielmente a incerteza das medidas obtidas, que certamente foram influenciados pelos crite´rios subjetivos de cada participante. Outro ponto importante de se res- saltar no que diz respeito a fontes de erro nas medidas e´ o fato de o grupo na˜o ter realizado a calibragem conforme o sugerido, o que tambe´m certamente introduziu mais erros a`s medidas obtidas. Mesmo com todos empecilhos instrumentais, pore´m, foi poss´ıvel rea- lizar as medidas para os valores de λ da rede de difrac¸a˜o de 50 fendas por mil´ımetro, obtendo valores que, se comparados aos valores adotados como valores-alvo, apresentaram erros satisfato´rios, abaixo de 10%. Na˜o foi poss´ıvel, pore´m, realizar medidas para a rede de difrac¸a˜o de 530 fendas por mil´ımetro, pois esta encontrava-se mal alinhada, e o seu grande poder separador (ver expressa˜o 5) acabou deixando as linhas muito claras. O experimento e´ interessante, tambe´m, no sentido em que familiariza o aluno com um espectroˆmetro, instrumento important´ıssimo na f´ısica, ainda mais na a´rea da astronomia, bem como permitiu trabalhar com aplicac¸o˜es pra´ticas dos efeitos de difrac¸a˜o e interfereˆncia e a verificar as expresso˜es matema´ticas relacionadas. Refereˆncias [1] Jearl Walker, David Halliday, and Robert Resnick. Fundamentos de f´ısica: volume 4: O´ptica e F´ısica Moderna. LTC, 2009. [2] Eduardo de Campos Valadares and Alysson Magalha˜es Moreira. Ensi- nando f´ısica moderna no segundo grau: efeito fotoele´trico, laser e emissa˜o de corpo negro. Caderno Brasileiro de Ensino de F´ısica, 15(2):121–135, 1998. 9 oilane Nota Neste caso pode-se estimar uma incerteza maior. oilane Realce oilane Realce Neste caso, deve-se deixar claro no texto que não foram realizadas as medidas. O texto faz com que o leitor aguarde o resultado. oilane Nota oilane Nota Introduçãonullnull0,9/1,0nullRespostas às perguntasnull2,5/3,0nullExperimento/cálculosnull2,8/3,0nullComparação/conclusãonull2,5/3,0nullnullTotalnullnullnull 8,7/10nullnull [3] Marcia Gallas. Laborato´rio 8: Espectroˆmetro de rede. http://www.if. ufrgs.br/~marcia/lab8.pdf. Acessado: 12/11/15. 10
Compartilhar