Relatório VII - Espectrômetro de Rede

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Espectroˆmetro de Rede
Augusto Lassen
Professora: Cilaine Veronica Teixeira
Grupo: Fabio Rasera, Luan Bottin de Toni
12 de Novembro de 2015
Resumo
O experimento de conclusa˜o da disciplina trata das aplicac¸o˜es das
redes de difrac¸a˜o como espectroˆmetros. Utilizando-se de laˆmpadas
espectrosco´picas de Mercu´rio, He´lio e Neoˆnio, observa-se o espectro de
cada uma e, medindo os aˆngulos de separac¸a˜o em relac¸a˜o ao ma´ximo
central, determina-se o comprimento de onda das cores escolhidas pelo
grupo.
Introduc¸a˜o
Este experimento pode ser visto como uma aplicac¸a˜o para os fenoˆmenos
estudados no experimento anterior, e servira´ como conclusa˜o dos experi-
mentos realizados acerca da natureza corpuscular e ondulato´ria da luz. O
espectroˆmetro de rede utiliza-se de uma rede de difrac¸a˜o, instrumento ja´ uti-
lizado em experimentos anteriores. A rede de difrac¸a˜o opera, basicamente,
separando a luz incidente em seus diversos comprimentos de onda a uma
distaˆncia angular θ. O qua˜o bem uma rede de difrac¸a˜o consegue realizar a
separac¸a˜o dessas linhas de diferentes comprimentos de onda depende, basi-
camente, de duas propriedades da rede: o poder separador (S) e a dispersa˜o
(D).
A dispersa˜o de uma rede de difrac¸a˜o esta´ ligada a` capacidade da rede de
separar dois ma´ximos de difrac¸a˜o separados por uma diferenc¸a de compri-
mento de onda (∆λ) relativamente pequena. Isto e´, uma rede de difrac¸a˜o
com alta dispersa˜o consegue separar duas linhas cujo comprimento de onda
e´ quase igual, enquanto que uma dispersa˜o baixa acaba por confundir os dois
picos, de maneira que o observador na˜o possa resolveˆ-los. Matematicamente,
a dispersa˜o e´ definida desta maneira:
1
D ≡ dθ
dλ
(1)
Diferentemente do que o nome pode indicar, o poder separador na˜o esta´
ligado diretamente a` separac¸a˜o de duas linhas pro´ximas, apesar de que um
bom poder separador auxilia este processo. O poder separador, na verdade,
esta´ ligado a` resoluc¸a˜o das linhas sobre o anteparo, informando, assim, a
largura da linha espectral sobre o anteparo e, consequentemente, sua niti-
dez. Linhas mais grossas, por exemplo, sera˜o menos n´ıtidas; uma boa rede
de difrac¸a˜o precisa ter uma boa dispersa˜o e um bom poder separador. Do
contra´rio, a separac¸a˜o angular de dois comprimentos de onda pro´ximos pode
acabar se tornando invia´vel. Matematicamente, o poder de separac¸a˜o pode
ser definido desta maneira:
S ≡ λ¯
∆λ
(2)
Onde λ¯ e´ o valor me´dio entre os dois comprimentos de onda analisados.
Tomando uma rede de difrac¸a˜o cujo espac¸amento entre as fendas e´ d,
temos a ja´ conhecida expressa˜o que relaciona a diferenc¸a de caminho entre
dois raios e condic¸a˜o necessa´ria para obtermos um ma´ximo de intensidade:
dsen(θm) = mλ m = 0, 1, 2, 3... (3)
O aˆngulo θm indica que, para cada ordem m diferente, o raio forma um
novo aˆngulo. Mantendo m fixo, pore´m, observa-se um detalhe: se incidir-
mos luz branca perpendicularmente sobre a rede de difrac¸a˜o, por exemplo,
sabemos que esta carrega luz verde, amarela,violeta, etc., que possuem dife-
rentes valores de λ. Se analisarmos o que acontece com cada um na primeira
ordem (fixamos m = 1), vemos que o termo sen(θm) e´ diferente para cada
cor. Isto causara´ uma diferenc¸a clara sobre onde cada cor ira´ aparecer sobre
o anteparo: enquanto uma cor aparece deslocada com um aˆngulo θ1, a ou-
tra cor, por exemplo, estara´ deslocada de θ2 em relac¸a˜o ao ma´ximo central.
Nota-se que o ma´ximo central sera´ branco, pois, tomando m = 0 o valor de
λ utilizado torna-se irrelevante: necessariamente o raio e´ conduzido para o
centro.
Tomando a expressa˜o 3, podemos isolar o termo sen(θm), e, utilizando um
m fixo, deriva-se a expressa˜o dos dois lados. Obte´m-se, portanto, a expressa˜o
abaixo:
cos(θm)dθm =
m
d
dλ
2
Isolamos dθm
dλ
de um lado da equac¸a˜o. Pore´m, conforme explicitado pela
relac¸a˜o 1, o termo dθm
dλ
e´ justamente a definic¸a˜o de dispersa˜o. Dessa maneira,
a dispersa˜o de uma rede de difrac¸a˜o pode ser reescrita[1] como:
D =
m
dcos(θm)
(4)
De maneira semelhante, podemos encontrar uma nova forma de expressar
o poder separador de uma rede de difrac¸a˜o. Tomando a expressa˜o 3, isola-se
o sen(θm). Adicionando um pedac¸o infinitesimal de aˆngulo dθ ao argumento
do seno, consequentemente o valor de λ sofre uma adic¸a˜o infinitesimal de um
dλ. Dessa forma, temos que:
sen(θm + dθ) =
m
d
(λ+ dλ)
Efetuando a multiplicac¸a˜o, chega-se em:
sen(θm + dθ) =
m
d
λ+
m
d
dλ
Para o caso em que θ e´ muito pequeno, temos que senθ ≈ θ. Realizando a
substituic¸a˜o e cancelando os termos opostos, chega-se na expressa˜o abaixo:
dθ =
m
d
dλ
Se N e´ o nu´mero de fendas que possui a rede de difrac¸a˜o, a expressa˜o acima
pode ser ampliada para:
dθ =
m
d
dλ =
λ
Ndcosθ
Como o aˆngulo e´ considerado muito pequeno, o cosseno e´ aproximadamente
igual a 1. Realizando os cortes necessa´rios e valendo-se da definic¸a˜o 2, che-
gamos a uma nova expressa˜o [1] para S:
S = mN (5)
A expressa˜o acima determina o poder separador necessa´rio que uma rede
de difrac¸a˜o com N fendas precisa ter para separar a m-e´sima ordem de duas
linhas de comprimento de onda λ.
Cada cor possuira´ uma linha em uma posic¸a˜o espec´ıfica para uma or-
dem espec´ıfica. Essas linhas sa˜o chamados de linhas espectrais e o conjunto
dessas e´ conhecido como espectro. Apesar de existirem, em teoria, infinitas
ordens para m (ou seja, m pertence ao conjunto dos nu´meros naturais), nas
observac¸o˜es reais esbarramos em dois principais empecilhos: o primeiro e´ o
fato de que, quanto mais distante do ma´ximo central, menor a intensidade do
3
ma´ximo de interfereˆncia, por motivos discutidos em experimentos anteriores,
de maneira que a observac¸a˜o de uma linha espectral de 30a ordem, por exem-
plo, seja muito invia´vel. O outro empecilho e´ determinado pela expressa˜o 3.
Matematicamente, a func¸a˜o seno na˜o admite valores maiores do que 1, o que
significa que, tendo um d e um λ fixos, o valor do m ma´ximo sera´ automatica-
mente definido, impossibilitando a observac¸a˜o das linhas espectrais de ordens
superiores, pois estara˜o fora do campo de visa˜o. Na verdade, a configurac¸a˜o
das linhas em si se repete a cada ordem, de maneira que, tendo observado as
primeiras linhas espectrais e´ poss´ıvel inferir sobre o comportamento destas
em qualquer ordem.
Esta te´cnica de separar a luz incidente em seus diversos comprimentos
de onda possui uma capacidade de extrair informac¸a˜o acerca da fonte de
luz analisada, que e´ muito u´til aos f´ısicos, principalmente aos astroˆnomos.
Isto acontece principalmente pelo fato de que os n´ıveis de transic¸a˜o de uma
camada para a outra dos ele´trons de um determinado a´tomo requerem uma
quantidade de energia muito bem conhecida. Quando os ele´trons voltam de
seu n´ıvel de excitac¸a˜o, eles liberam energia luminosa. Sabendo que o com-
primento de onda da luz e a energia associada a esta esta˜o ligadas por uma
constante [2], a constante de Planck, o valor de λ da luz liberada na transic¸a˜o
dos ele´trons de cada elemento possui um valor muito bem determinado. E´
como se o espectro funcionasse como uma carteira de identidade de cada
elemento, o que e´ vital para analisar a quantidade de cada elemento presente
na amostra de um ga´s o qual esta´ distante demais para se coletar amostras,
como e´ o caso de estrelas, nebulosas, quasares etc.
Materiais Utilizados
• Luneta
• Rede de difrac¸a˜o
• Laˆmpadas espectrosco´picas de Mercu´rio, He´lio e Neoˆnio
• Colimador
• Disco graduado (±0, 05◦)
• Suporte para disco graduado
4
Procedimentos
Neste experimento, o grupo vai utilizar laˆmpadas espectrosco´picas, que
sa˜o laˆmpadas preenchidas pelo vapor de certos elementos. O grupo utilizou
as laˆmpadas de Mercu´rio, He´lio e Neoˆnio. A estrutura dalaˆmpada e´ ligada na
tomada, e o vapor dentro da laˆmpada espectrosco´pica e´ aquecido, de forma
que os ele´trons do elemento realizem saltos quaˆnticos e liberem energia na
forma de luz com um λ muito bem definido.
A laˆmpada e´ colocada numa das extremidades do disco graduado, e os
feixes de luz passam por um colimador, de forma a incidirem aproximada-
mente perpendiculares sobre a rede de difrac¸a˜o. O observador movimenta
uma luneta fixada ao plano do disco ate´ achar a linha espectral branca, que
representa o ma´ximo central da interfereˆncia (m = 0). O observador segue
movendo a luneta ate´ encontrar as linhas espectrais da cor que o grupo deseja
analisar em diferentes ordens. O aˆngulo θm da expressa˜o 3 vai ser justamente
a diferenc¸a entre o valor obtido e o valor antigo para ma´ximo central, pois o
aˆngulo do ma´ximo central, independentemente do valor apontado pelo disco,
deve ser definido como 0◦ (consultar expressa˜o 3).
O fabricante informa o nu´mero de fendas por mil´ımetro da respectiva
rede de difrac¸a˜o, sendo poss´ıvel obter, dessa forma, o valor de d. Tendo
medido os valores do aˆngulo para uma determinada ordem, podemos calcular
o comprimento de onda associado a cada cor do espectro. Abaixo encontra-se
uma figura representando a montagem do experimento:
Figura 1: Representac¸a˜o ilustrativa da montagem do experimento
5
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Nota
Os elétrons absorvem energia e depois voltam para o estado de energia mais baixo. A liberação da energia ocorre quando o elétron volta para o estado de energia mais baixo. O texto deixa a ideia de que o fóton é liberado quando a energia é absorvida, mas ocorre o contrário.
Tendo os valores de λ para cada cor analisada em cada laˆmpada, pode-se
comparar os valores obtidos, que na˜o necessariamente precisam ser iguais,
visto que uma cor abarca uma regia˜o espectral (ou seja, um intervalo de
comprimentos de onda), e na˜o um valor espec´ıfico e pode-se comparar com
alguns valores encontrados na literatura.
Dados Experimentais
As redes de difrac¸a˜o utilizadas pelo grupo tinham um valor informado
pelo fabricante sobre o nu´mero de fendas por mil´ımetro. Utilizou-se uma
rede com 50 fendas por mil´ımetro e, posteriormente, uma fenda com 530
fendas por mil´ımetro. A partir dessa informac¸a˜o, e´ poss´ıvel calcular, por
uma regra de treˆs simples, o valor de d1 e d2, que sa˜o a distaˆncia entre as
fendas para a rede de 50 e de 530, respectivamente. Obte´m-se os seguintes
resultados:
d1 = 20, 0µm d2 = 1, 9µm
Realizam-se, enta˜o, as medidas para as laˆmpadas de Mercu´rio, He´lio e
Neoˆnio. As tabelas a seguir mostrara˜o as 3 primeiras ordens de diferentes
cores, onde o aˆngulo medido pelo disco e´, na verdade, a diferenc¸a entre o
aˆngulo medido e o aˆngulo do ma´ximo central (definido como 0◦). Abaixo,
encontra-se a tabela concernente aos valores da laˆmpada de Mercu´rio:
Tabela 1: Aˆngulos medidos para a laˆmpada de Mercu´rio
Aˆngulo medido (±0, 05◦)
Laˆmpada Ordem Verde Amarelo Vermelho
Mercu´rio
0 0 0 0
1 1,4 1,6 1,6 1,7 1,9 2,0
Nota-se que a ordem m = 2 na˜o foi medida, pois as linhas espectrais
das cores utilizadas estavam muito sobrepostas e, portanto, o grupo na˜o
realizou as medidas para essa ordem. Abaixo, segue uma tabela semelhante
a` superior, mas com os dados concernentes a` laˆmpada de He´lio:
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Nota
As duas medidas para cada cor significam a raia da direita e a da esquerda? Não está explicado no texto. Também não há informação sobre qual fenda foi utilizada para obter os dados apresentados nesta tabela.
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Nota
O número de casas decimais dos ângulos não está de acordo com a incerteza apresentada.
Tabela 2: Aˆngulos medidos para a laˆmpada de He´lio
Aˆngulo medido (±0, 05◦)
Laˆmpada Ordem Verde Amarelo Vermelho Violeta
He´lio
0 0 0 0 0
1 1,4 1,6 1,5 1,8 1,9 2,0 1,4 1,4
2 2,8 2,9 3,4 3,6 3,9 2,6 2,7
Os dados para a laˆmpada de He´lio conteˆm as 3 primeiras ordens e uma
cor a mais. Por fim, e´ introduzida a tabela concernente a` laˆmpada de Neoˆnio:
Tabela 3: Aˆngulos medidos para a laˆmpada de Neoˆnio
Aˆngulo medido (±0, 05◦)
Laˆmpada Ordem Verde Amarelo Vemelho
Neoˆnio
0 0 0 0
1 1,6 1,8 1,7 1,9 1,8 2,0
2 3,3 3,4 3,5 3,7 3,7 3,9
Ana´lise de Dados
Munidos dos dados fornecidos pelas tabelas 1,2 e 3, podemos calcular
um valor me´dio para cada cor associada a` respectiva laˆmpada. Os dados
concernentes ao deslocamento angular me´dio encontram-se na tabela abaixo:
Tabela 4: Deslocamento angular me´dio para as laˆmpadas utilizadas
Aˆngulo me´dio (◦)
Mercu´rio
m Verde Amarelo Vermelho Violeta
0 0 0 0 -
1 1, 5± 0, 1 1, 65± 0, 05 1, 95± 0, 05 -
He´lio
0 0 0 0 0
1 1, 5± 0, 1 1, 7± 0, 2 1, 95± 0, 05 1, 4± 0, 05
2 2, 85± 0, 05 3, 5± 0, 1 3, 9± 0, 05 2, 65± 0, 05
Neoˆnio
0 0 0 0 -
1 1, 7± 0, 1 1, 8± 0, 1 1, 9± 0, 1 -
2 3, 35± 0, 05 3, 6± 0, 1 3, 8± 0, 1 -
Utilizando-se da expressa˜o 3 e utilizando θm como o valor do deslocamento
angular me´dio que se encontra na tabela 4 podemos determinar o valor do
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Nota
Nas três tabelas valem os comentários feitos na tabela 1.
comprimento de onda de cada cor. Nota-se que, para as laˆmpadas de He´lio e
Neoˆnio, que teˆm medidas ate´ a segunda ordem, obteˆm-se dois valores para λ.
Dessa forma, pode-se realizar a me´dia entre estes. Primeiramente, os dados
sera˜o calculados para a fenda com d = d1.
As incertezas foram obtidas via propagac¸a˜o de incertezas. Durante o
experimento, notou-se uma sobreposic¸a˜o de algumas cores devido ao poder
separador relativamente baixo da rede de difrac¸a˜o, que engrossa as linhas
espectrais e dificulta o processo de separac¸a˜o destas. A luneta, por exemplo,
na˜o tinha uma cruz, e o processo de posicionar a linha no centro da luneta era
subjetivo, o que certamente introduziu diversos erros nas medidas realizadas.
Em contrapartida, na˜o foi poss´ıvel realizar medidas para a outra rede de
difrac¸a˜o, que continha 530 fendas por mil´ımetro, pois o grupo na˜o conseguia
encontrar as linhas espectrais, mesmo girando a luneta em sua capacidade
ma´xima; atribui-se este defeito ao mal alinhamento da rede e a` excessiva
claridade das linhas espectrais.
Em posse de valores encontrados na literatura [3] para o comprimento de
onda relativo a`s cores das respectivas laˆmpadas, podemos comparar os valores
obtidos com os valores-alvo e estimar um erro percentual inerente a`s medidas
obtidas pelo grupo. A tabela com os valores me´dios dos comprimento de onda
calculados pelo grupo, bem como os erros associados a estes encontram-se na
tabela abaixo:
Tabela 5: Erros relacionados aos valores me´dios obtidos
Mercu´rio He´lio Neoˆnio
Verde
λ medido (nm) 524± 35 510± 13 589± 4
λ alvo (nm) 546,1 501,5 582,2
Erro 4,1% 1,7% 1,2%
Amarelo
λ medido (nm) 576± 17 593± 17 628, 1± 0, 1
λ alvo (nm) 577,0 587,5 618,2
Erro 0,2% 0,9% 1,6%
Vermelho
λ medido (nm) 681± 17 680, 3± 0, 2 662, 9± 0, 2
λ alvo (nm) 623,2 667,8 640,2
Erro 9,3% 1,9% 3,5%
Ressalta-se que, por motivos de organizac¸a˜o da tabela, o violeta na˜o foi
inclu´ıdo. A fonte usada para fixar os valores de λ alvo tampouco continha
informac¸a˜o sobre λ do violeta, de maneira que na˜o se associou um erro ao
valor obtido pelo grupo. Encontrou-se o seguinte:
λV ioleta = (476± 13)nm
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Nota
Deve corresponder ao azul apresentado.
oilane
Nota
Acima está escrito que foram utilizadas duas redes (50 fendas/mm e 530 fendas/mm), mas foram apresentados apenas 1 conjunto de dados para cada lâmpada. O que aconteceu com o outro conjunto de dados? Como compara as duas redes?
O valor de λ acima e´ concernente a` laˆmpada de He´lio. Nota-se que os
valores dos comprimentos na˜o sa˜o iguais para as diferentes laˆmpadas, o que
e´ compreens´ıvel, visto que cada elemento possui uma energia diferente para
cada uma de suas camadas, de maneira que seu espectro de emissa˜o apresente
cores de diferentes comprimentosde onda.
Conclusa˜o
O grupo resolveu determinar, atrave´s do uso de uma rede de difrac¸a˜o,
os comprimentos de onda emitidos por diferentes laˆmpadas espectrosco´picas,
fazendo uso, principalmente, da expressa˜o 3. Como a luneta utilizada na˜o
possu´ıa uma cruz para auxiliar no processo de centrar a linha espectral, cer-
tamente a incerteza intr´ınseca do disco graduado na˜o representa fielmente
a incerteza das medidas obtidas, que certamente foram influenciados pelos
crite´rios subjetivos de cada participante. Outro ponto importante de se res-
saltar no que diz respeito a fontes de erro nas medidas e´ o fato de o grupo na˜o
ter realizado a calibragem conforme o sugerido, o que tambe´m certamente
introduziu mais erros a`s medidas obtidas.
Mesmo com todos empecilhos instrumentais, pore´m, foi poss´ıvel rea-
lizar as medidas para os valores de λ da rede de difrac¸a˜o de 50 fendas
por mil´ımetro, obtendo valores que, se comparados aos valores adotados
como valores-alvo, apresentaram erros satisfato´rios, abaixo de 10%. Na˜o
foi poss´ıvel, pore´m, realizar medidas para a rede de difrac¸a˜o de 530 fendas
por mil´ımetro, pois esta encontrava-se mal alinhada, e o seu grande poder
separador (ver expressa˜o 5) acabou deixando as linhas muito claras.
O experimento e´ interessante, tambe´m, no sentido em que familiariza o
aluno com um espectroˆmetro, instrumento important´ıssimo na f´ısica, ainda
mais na a´rea da astronomia, bem como permitiu trabalhar com aplicac¸o˜es
pra´ticas dos efeitos de difrac¸a˜o e interfereˆncia e a verificar as expresso˜es
matema´ticas relacionadas.
Refereˆncias
[1] Jearl Walker, David Halliday, and Robert Resnick. Fundamentos de f´ısica:
volume 4: O´ptica e F´ısica Moderna. LTC, 2009.
[2] Eduardo de Campos Valadares and Alysson Magalha˜es Moreira. Ensi-
nando f´ısica moderna no segundo grau: efeito fotoele´trico, laser e emissa˜o
de corpo negro. Caderno Brasileiro de Ensino de F´ısica, 15(2):121–135,
1998.
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Nota
Neste caso pode-se estimar uma incerteza maior.
oilane
Realce
oilane
Realce
Neste caso, deve-se deixar claro no texto que não foram realizadas as medidas. O texto faz com que o leitor aguarde o resultado.
oilane
Nota
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Nota
Introduçãonullnull0,9/1,0nullRespostas às perguntasnull2,5/3,0nullExperimento/cálculosnull2,8/3,0nullComparação/conclusãonull2,5/3,0nullnullTotalnullnullnull 8,7/10nullnull
[3] Marcia Gallas. Laborato´rio 8: Espectroˆmetro de rede. http://www.if.
ufrgs.br/~marcia/lab8.pdf. Acessado: 12/11/15.
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