Circuito Segunda Ordem

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Circuitos de segunda ordem
Estudo dos circuitos resistivos-indutivos-capacitivos (RLC) ou circuitos de segunda ordem. Apresentação
das estruturas conectadas em série ou em paralelo. Resposta dos circuitos quanto à inserção de fontes
(resposta ao degrau).
Profa. Isabela Oliveira Guimarães
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender os circuitos de segunda ordem e sua aplicação em diversos equipamentos e áreas, como:
comunicação, controle, filtros e sistema de ignição de automóveis.
Preparação
Antes de iniciar, tenha em mãos caneta, papel e uma calculadora para executar os cálculos e tomar notas dos
exercícios propostos.
Objetivos
Definir o circuito RLC em série e seu modelo matemático.
Definir o circuito RLC em paralelo, matematicamente descrito.
Circuitos elétricos 1, circuitos de segunda ordem
Neste vídeo, conheça mais sobre circuitos de segunda ordem.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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• 
1. O circuito RLC em série e seu modelo matemático
Conceitos iniciais
Circuitos elétricos 1, circuitos RLC em série.
Neste vídeo, conheça mais sobre circuitos de segunda ordem.
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Antes de iniciar o estudo referente aos circuitos RLC, é necessário o conhecimento das características dos
seus componentes, sendo eles:
Resistor
Os resistores são componentes do circuito que se opõem à passagem de corrente elétrica, podendo
apresentar valores fixos ou variáveis. Os resistores em que o valor da resistência é variável são chamados de
potenciômetros. Pela primeira Lei de Ohm, a relação entre tensão e corrente em um resistor possui
característica linear, isto é, a tensão varia em proporção com a corrente ( ).
 
Associação:
- Resistores em Série: 
- Resistores em paralelo: 
Capacitor
Os capacitores são elementos passivos caracterizados por armazenarem energia no campo elétrico. A
corrente que atravessa o capacitor é definida por:
sendo i a corrente, v a tensão sobre o capacitor e a capacitância.
 
Associação:
- Capacitores em Série: 
- Capacitores em paralelo: 
Indutor
Os indutores são elementos passivos caracterizados por armazenarem energia no campo magnético. A tensão
sobre esse elemento é modelada por:
sendo i a corrente que atravessa o indutor, v a tensão sobre ele e a indutância.
 
Associação:
- Indutores em Série: 
- Indutores em paralelo: 
Funções de singularidade
As funções de singularidade, também conhecidas por comutação, servem para exemplificar situações e
fenômenos que ocorrem nos circuitos elétricos.
As características dessas funções se dão pela descontinuidade que apresentam, ou, ainda,
apresentam derivadas descontínuas.
Dentre as funções de singularidade mais comuns, encontram-se:
 
Degrau unitário, foco deste estudo;
Impulso unitário;
Rampa unitária.
Atenção
Nem sempre essa função é unitária, como será aplicado nos exemplos de estudo posteriores. 
A modelagem matemática da função degrau unitário pode ser descrita assim:
Na qual nota-se que a mudança ocorre em .
Leis de Kirchhoff
As Leis de Kirchhoff são utilizadas para analisar os circuitos elétricos de primeira e segunda ordem, sendo
subdivididas em duas:
• 
• 
• 
Lei dos nós
Ou lei das correntes, comumente conhecida por
LKC, define que a soma das correntes que
entram em um nó é igual à soma das correntes
que saem do nó.
Lei das malhas
Ou lei das tensões, comumente conhecida por
LKT, afirma que a soma algébrica das quedas
de tensão em um caminho fechado em um
circuito elétrico é nula.
Circuitos de segunda ordem
Nos circuitos cuja composição construtiva contém mais de um elemento armazenador de energia, como no
exemplo proposto, o indutor e o capacitor são considerados circuitos de segunda ordem.
O modelo matemático que descreve esse circuito é caracterizado por conter uma equação
diferencial de segunda ordem. Apesar da distinção, a análise deste quando comparado aos de
primeira ordem se mantém.
Considerando um modelo descrito por equações diferenciais de ordem dois, é necessário que sejam
determinadas as condições iniciais e finais das variáveis envolvidas no processo, bem como suas derivadas.
Para isso, é importante destacar os seguintes pontos referentes ao circuito:
 
1. Observar atentamente a polaridade da tensão nos elementos capacitivos e o sentido da corrente que
percorre os elementos indutivos.
2. A tensão no capacitor é contínua, bem como a corrente que percorre o indutor.
 
Dessa forma, descreve-se a continuidade:
Em que o instante representa o momento imediatamente anterior à comutação, e , o momento
imediatamente após, considerando determinado evento ocorrido em . Com isso, pode-se entender que
a continuidade representa a característica presente em cada um desses elementos de resistir à alteração de
brusca de corrente e tensão.
Curto-circuito
Um indutor na condição estável em corrente
contínua se comporta como um curto-circuito.
Circuito aberto
O capacitor na condição estável em corrente
contínua se comporta como um circuito aberto.
Circuito RLC em série
Incialmente, definimos as seguintes nomenclaturas referentes aos componentes do circuito, sendo:
 
R: a resistência
C: a capacitância
L: a indutância
 
Para analisar um circuito de segunda ordem, pode-se considerar o comportamento sob duas condições:
Utilizando as condições de carregamento dos
elementos armazenadores de energia (indutor e
capacitor).
• 
• 
• 
Utilizando a excitação vinda da fonte do
circuito.
Sendo assim, explora-se as duas formas de
avaliação de forma isolada, que fornecem
respostas distintas para o problema.
Circuito RLC em série sem fonte
Primeiramente, avalia-se a resposta natural do
circuito. Neste contexto, o circuito é excitado
pela energia armazenada em seus
componentes, que, por sua vez, é representada
pela tensão inicial no capacitor e pela
corrente inicial no indutor .
 
A tensão em um capacitor em um instante ' ' qualquer é descrita pela seguinte equação 1:
 
(1)
Na qual se refere à capacitância do componente.
Ao se tratar da energia inicial armazenada, considera-se o instante inicial em , assim:
 
(2)
Da mesma forma:
 
(3)
Para melhor entendimento e exemplificação, considera-se o circuito da Figura 1, a seguir, onde é possível
observar a representação de um circuito RLC sem fonte:
 
Circuito RLC sem fonte
Sendo “R” o resistor, “L” o indutor e “C” o capacitor.
 
Do mesmo modo como é feito em circuitos de primeira ordem, para avaliar os resultados promovidos por
estes, aplica-se a Lei de Kirchhoff para Tensões (LKT), que define:
“A soma das quedas de tensão calculadas em cada elemento do circuito resulta em zero.” 
Lei de Kirchhoff para Tensões (LKT)
Assim, aplicando a LKT, tem-se:
 
(4)
(5)
Para eliminar a integral, aplica-se a derivada em todos os componentes:
 
(6)
Em seguida, todos os termos são divididos por "L"e, após isso, são reorganizados. Com isso, obtém-se a
equação de segunda ordem do problema, Equação 7, ao qual deseja-se solucionar:
 
(7)
Para tal equação, é necessário encontrar as soluções iniciais, sendo elas:
 
Valor inicial ' ' e sua derivada, ou valores iniciais de " " e " ".
 
Sabe-se que pela Equação 3:
Substituindo a condição inicial na Equação 5 do circuito:
(8)
De posse das duas condições iniciais, a Equação 7 pode ser solucionada.
 
Como este é um circuito oscilante, a solução pode ser dada sob a forma exponencial, ou seja:
Utilizando a Transformada de Laplace para a transformação no domínio da frequência, tem-se:
• 
Assim, após a reescrita no domínio da frequência:
 
(9)
Solucionando a Equação 9:
 
(10)
(11)
Por simplificação, pode-se reescrever como segue:
 
(12)
(13)
(14)
(15)
As raizes e são as frequências naturais do sistema, representada em nepers por segundo ,
enquanto é a frequência de ressonância ou frequência não amortecida, dada em radianos por segundo ( 
 ). Por fim, representa o fator de amortecimento (ou fator de carga). Com isso, a equação que
descreve o circuitopode ser reescrita, como mostra a Equação 16 :
Dica
Pode-se substituir na equação do circuito e a mesma solução é obtida;A existência de e indica que há
duas possiveis soluções para o circuito, sendo a resposta do circuito dada pela combinação linear
delas: Os valores de A são definidos partindo dos valores iniciais e de suas derivadas;Os fatores
fundamentais que descrevem o comportamento do circuito RLC são e ;Se o circuito não possui resistor,
;Transformada de Laplace: A transformada de Laplace gera uma função no domínio da frequência, , a
partir de uma função escrita no domínio do tempo, . É uma ferramenta útil para a solução de equações
diferenciais como as descritas neste tema. 
Análise das soluções
Em um circuito ressonante, existem três tipos de solução, que podem ser analisadas de acordo com o perfil do
amortecimento (α) calculado. Por amortecimento, entende-se a perda gradual da energia armazenada nos
componentes. Esse efeito ocorre devido à presença do resistor, por onde há dissipação da energia. Com isso,
tem-se os seguintes casos:
Amortecimento supercrítico ou superamortecido
O resultado contém duas raizes reais, negativas e distintas. Logo, a resposta natural do circuito sem excitação
é dada pela equação a seguir:
Amortecimento Crítico
Neste caso, as raízes são iguais e a resposta natural do circuito é representada desta forma:
Amortecimento Crítico
A figura mostra um esboço da resposta referente ao amortecimento crítico. Note que, com o passar do tempo
(eixo x), a corrente tende ao decaimento.
Subamortecido
As raízes são imaginárias (raízes complexas), podendo ser representadas da seguinte forma:
Na qual a frequência de amortecimento das oscilações, é dada por:
Cada um dos casos leva a uma análise distinta das raízes do problema quanto à resposta (solução), como será
apresentado a seguir.
Resposta ao degrau
O conceito de análise ao degrau trata-se da avaliação de uma mudança abrupta no estado do sistema.
Exemplo
Uma mudança com essa característica pode ocorrer em caso de fechamento de chaves em que o
sistema transitará de um estado para o outro. 
Essa análise tem como intuito a verificação do comportamento do circuito sob condições transitórias.
Assim, este tema aborda a resposta ao degrau do ponto de vista da aplicação de uma fonte CC em
determinado período " " da análise, como pode ser visto na representação descrita a seguir:
Circuito RLC com excitação
Como já mencionado, para avaliar o circuito, é necessário aplicar a LKT:
 
(17)
À diferença do circuito sem excitação por fonte, observa-se agora que a variável referente à corrente pode ser
calculada pela equação 18. Com isso, obtém-se a equação do circuito descrita a seguir:
 
(18)
(19)
A solução da Equação 19 possui agora duas componentes:
Como a resposta possui duas componentes, para obter a resposta completa ao degrau, basta somar a
componente estável à resposta já encontrada para o circuito sem fonte.
1º exemplo comentado
Para melhor compreensão do conteúdo, considere o circuito a seguir, onde serão pontuados os passos
essenciais para calcular as variáveis necessárias para a análise. Aqui, deseja-se encontrar a tensão v sobre o
capacitor.
Circuito RLC com excitação
Passo 1:
Dica
Para solucionar este problema, é necessário avaliar inicialmente a condição do circuito em que a chave
se encontra fechada, . 
Componente transiente 
É a parcela que se extingue com o tempo,
sendo a mesma apresentada para um
circuito sem fonte, isto é, à medida que o
tempo passa, há decaimento da energia
armazenada.
Componente estável 
Se trata do valor final, ou seja,
considerando e analisando o
circuito do exemplo, à medida que 
, o capacitor é carregado e a
tensão sobre ele passa a ser .
Nesta situação, o indutor comporta-se como um curto-circuito, e o capacitor como um circuito aberto, devido
à alimentação, cc. O circuito pode ser redesenhado da seguinte forma:
Circuito RLC com excitação, redesenhado
A corrente inicial que passa no indutor é calculada aplicando a Lei de Ohm:
A tensão no capacitor é a mesma que está sob o resistor de , segundo a lei dos nós:
Passo 2:
Avaliando o instante em que a chave é aberta, o resistor deixa de compor o circuito, restando o RLC série.
Determina-se:
 sistema é superamortecido.
Sendo vss a resposta estável, ou seja, o valor final da tensão no capacitor.
Fazendo , ou seja, usando as condições iniciais:
Fazendo :
Considerando agora o mesmo circuito com os seguintes dados, determine as condições iniciais:
A corrente inicial que passa no indutor é calculada aplicando a Lei de Ohm:
A tensão no capacitor é a mesma que está sob o resistor de , segundo a lei dos nós:
Pela regra da continuidade, a corrente no indutor não muda abruptamente, assim como a tensão no capacitor:
Passo 3:
Avaliando o instante em que a chave é aberta, o resistor deixa de compor o circuito, restando o RLC série.
A corrente que passa pelo indutor é dada por:
Sabe-se que:
O que pode ser feito para o indutor.
 
Assim, aplicando a LKT no circuito RLC, tem-se:
2º exemplo comentado
Para esse circuito, pretende-se analisar o comportamento teórico ocorrido ao transitar com a chave da
posição aberta para a posição fechada. Considerando, neste caso, que há um resistor de baixo valor.
Ao avaliar o circuito, é possível verificar os seguintes pontos quanto ao seu comportamento:
3º exemplo comentado
Considerando um circuito RLC série com e C= 1F, calcule as raizes características do
circuito.
A resposta natural é com amortecimento supercrítico, com subamortecimento ou com
amortecimento crítico?
Primeiro, aplicam-se as seguintes equações:
Para a chave aberta: 
Considerando
um resistor
de valor baixo
e como
mostrado no
circuito
acima, o valor
inicial do
capacitor é
igual a ;
 A chave desse
circuito é
caracterizada
para fechar em 
, ou seja,
inicialmente, a
chave está
aberta (para todo
 ), havendo
uma tensão no
capacitor,
conforme
descrito;
 A chave
estando em
condições
abertas,
não há
corrente
circulando
no indutor,
de modo
que a
corrente
inicial do
circuito é
nula.
Para a chave fechada: 
O
fechamento
da chave
produz o
que
chamamos
de resposta
natural do
circuito;
 O indutor
inicialmente
tem
corrente e
tensão
iguais a
zero. O
mesmo
ocorre com
o resistor, o
fechamento
da chave
permite
circulação
da carga
armazenada
no
capacitor;
 A carga
armazenada
produz uma
corrente no
circuito, de
forma que
passa a haver
queda de
tensão e no
resistor, que,
por sua vez, é
baixa, dado
seu valor
predefinido. O
indutor, que
agora passa a
ser circulado
por uma
corrente,
armazena
energia;
 A tensão
no
capacitor
decai até
zero;
 O capacitor
e o indutor
passam a
trocar
energia
armazenada.
• 
Pode-se observar que e se conclui que o sistema é superamortecido, o que resulta em duas
raizes reais distintas;
 
Calculando as raízes, tem-se o seguinte resultado:
Verificando o aprendizado
Questão 1
(Sercomtel-PR ‒ 2015) Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou
circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo em um resistor (R), um indutor (L) e um
capacitor (C), conectados em série ou em paralelo. O circuito RLC é chamado de circuito de
segunda ordem, visto que qualquer tensão ou corrente podem ser descritas por uma equação
diferencial de segunda ordem. Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o
comportamento dos circuitos RLC. Assinale a alternativa que mostra quais são esses dois
parâmetros:
A
Frequência de ressonância e Fator de carga.
B
Largura de banda e Qualidade Q.
C
Frequência de ressonância e Ressonância com carga.
D
Frequência de ressonância e Qualidade Q.
E
Qualidade e Fator de carga.
• 
• 
A alternativa A está correta.
Os fatores fundamentas que descrevem o comportamento do circuito RLC são e . Em que: e 
, sendo a frequência de ressonância ou frequência não amortecida, que é dada em radianos
por segundo (rad/s), enquanto a representa o fator de amortecimento (ou fator de carga).
Questão 2
Considerando o circuitoabaixo, determine e , a chave é aberta em .
A
2A e 12V
B
2A e -12V
C
3A e 12V
D
-3A e 12V
E
3A e -12V
A alternativa C está correta.
Em , o indutor comporta como curto-circuito e o capacitor como um circuito aberto, de modo que a
corrente circula apenas em .
Como por definição:
2. O circuito RLC em paralelo, matematicamente descrito
Circuito RLC em paralelo sem fonte
Circuitos elétricos 1, circuitos RLC em paralelo
Neste vídeo, conheça mais sobre circuitos elétricos 1, circuitos RLC em paralelo.
Conteúdo interativo
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Assim como no Módulo 1, a análise do circuito RLC paralelo é avaliada sob duas perspectivas, sendo a primeira
sem fonte, fazendo uso da excitação dos próprios elementos armazenadores de energia, capacitor e indutor,
e, em seguida, a análise do circuito sob excitação, ou seja, a resposta ao degrau.
 
Para ilustrar o circuito paralelo e proporcionar melhor entendimento dele, considera-se a figura a seguir:
Circuito RLC Paralelo sem excitação
Neste caso, é desejável saber a corrente que percorre o indutor e a tensão sobre o capacitor, definindo assim
que as condições iniciais destas são dadas pelas seguintes equações:
 
(20)
(21)
Dica
Para avaliar o circuito em paralelo, aplica-se a Lei de Kirchhoff para as correntes, que implica que a soma
das correntes que entram em um nó é igual àquelas que saem do nó. 
Assim definido, o circuito pode ser modelado pela equação a seguir:
 
(22)
Tomando a Equação 22, aplica-se a derivada para extrair a integral e dividem-se todos os membros por .
Após isso, aplica-se as regras de transformação do domínio do tempo para frequência , reescrevendo,
então, a equação:
 
(23)
A solução da Equação 23 resulta nas raizes abaixo, dadas por e , em que:
 
(24)
(25)
Sendo:
Assim, como no sistema série tem-se três respostas diante da avaliação dos valores de e , são elas:
Amortecimento supercrítico ou superamortecido, 
Contém duas raízes reais distintas.
Amortecimento crítico
Contém duas raízes iguais.
Subamortecido
Contém duas raízes complexas.
A determinação das constantes e são obtidas das condiçőes iniciais, fazendo o tempo ser igual a
zero.
Resposta ao degrau
Para analisar a resposta ao degrau, considere o circuito abaixo, onde aplica-se a LKC para determinação da
corrente gerada pela aplicação da fonte de contínua inserida:
Circuito RLC paralelo com excitação
Avaliando o instante de tempo , em que a chave do circuito é fechada, a modelagem matemática que o
descreve é dada pela equação a seguir:
 
(26)
Em um circuito em paralelo, sabe-se que as tensões são iguais para um mesmo nó e podem ser descritas pela
equação de tensão do indutor:
 
(27)
(28)
A solução da equação é composta de duas parcelas:
 
Resposta transiente;
Resposta de estado estável.
 
Dito isso, basta somar a resposta de estado estável àquela já encontrada para o circuito sem a presença da
fonte.
• 
• 
Resposta natural
Calculada com as fontes do circuito desligadas.
Resposta forçada
Calculada com as fontes ligadas.
Resposta total ou completa
É a resposta ao degrau, composta da resposta
natural e da resposta forçada.
Um degrau pode ser descrito das seguintes formas, cada representação indica quando o degrau atuará no
sistema.
Circuitos de segunda ordem gerais
Os circuitos de segunda ordem não são somente compostos por RLC.
Atenção
Existem diversas configurações, como somente indutores ou capacitores, desde que sejam
caracterizados por uma equação diferencial de ordem dois. 
Os RLC, contudo, são de maior interesse, pois consistem em uma fonte de alimentação e um conjunto que
pode ser conhecido como ressonador (LC). As fontes de alimentação podem ser equivalentes de Thévenin ou
Norton, resultando em quatro possíveis combinações para estes:
 
Circuito RLC em série, com fonte Thévenin;
Circuito RLC em série, com fonte Norton;
Circuito RLC em paralelo, com fonte Thévenin;
Circuito RLC em paralelo, com fonte Norton.
 
Assim, para determinar a resposta de qualquer um dos circuitos citados, ou qualquer outro de ordem dois,
basta seguir as etapas abaixo:
 
u(t) 
0 degrau será aplicado em todo ; nos
valores inferiores, a fonte de tensão ou
corrente é igual a zero.
u(-t) 
Define que o degrau será aplicado para
todo , enquanto para valores
superiores a , a fonte será nula.
1. 
2. 
3. 
4. 
1. Determinar as condições iniciais e o valor final.
2. Obter a resposta transiente sem a conexão das fontes. Para isso, é necessário aplicar a LKT e LKC. Neste
passo, define-se a equação característica, na qual é possível analisar o circuito quanto à sua frequência, bem
como determinar suas raízes.
3. Obter a resposta do estado estável, considerando o tempo infinito.
4. Fornecer a resposta completa por meio da soma das respostas transiente e de estado estável.
1º exemplo comentado
Para melhor compreensão do conteúdo, considere o circuito a seguir, onde serão pontuados os passos
essenciais para calcular as variáveis necessárias para a análise. Aqui, iremos encontrar as variáveis básicas
para caracterizar o sistema.
Circuito RLC paralelo com excitação
Passo 1
Chave aberta, , pode-se observar dois circuitos, um com a fonte de corrente e outro com a fonte de
tensão. Assim, a corrente que passa pelo indutor é dada por:
 
Analisando a fonte de tensão, quando e 0 para . Assim, o capacitor opera como
circuito aberto com a tensão do resistor sobre ele.
Passo 2
Ao fechar a chave, , observa-se o circuito RLC em paralelo com uma fonte de corrente;
Os dois resistores podem ser associados em paralelo;
 
Assim, define-se:
• 
• 
Como é , a resposta é superamortecida. Assim, têm-se duas raizes reais negativas, bastando aplicar
na equação a seguir:
2º exemplo comentado
Considerando o circuito abaixo, toma-se que os valores dos componentes são os seguintes:
 
Tensão inicial no capacitor, ;
Corrente inicial no indutor, ;
 
 .
 
Para os valores de resistência: e , deseja-se saber o valor da tensão 
quanto .
Para :
Primeiro, calcula-se o valor do amortecimento dado pela equação a seguir:
• 
• 
• 
• 
Em seguida, calcula-se:
Avaliando os dois parâmetros da equação característica, vemos que , o que indica uma resposta cujo
amortecimento é supercrítico. Assim, calcula-se as raizes da equação, descritas por:
A resposta referente é dada por:
Na qual:
Em seguida, faz-se necessário o cálculo dos coeficientes e , que são obtidos por meio das condições
iniciais do circuito. Para isso, aplicam-se essas condições, sendo elas:
E ainda:
Aplicando a derivada na equação a seguir:
Obtém-se o seguinte resultado:
Avaliando a condição inicial, em que , tem-se:
Considerando a equação já encontrada:
É possível obter os valores dos coeficientes, como apresentados a seguir:
Substituindo na equação, resulta na resposta natural do sistema:
Considerando agora :
Primeiro, calcula-se o valor do amortecimento dado pela seguinte equação:
Depois, calcula-se:
Que permanece o mesmo, uma vez que houve mudanc̣a apenas em .
Avaliando os dois parâmetros da equação característica, vemos que , o que indica uma resposta cujo
amortecimento é crítico, isto é, duas raizes iguais. Assim, calcula-se as raízes da equação, descritas por:
A resposta referente é dada por:
Na qual:
Em seguida, faz-se necessário o cálculo dos coeficientes e , que são obtidos por meio das condições
iniciais do circuito. Para isso, aplicam-se essas condições, sendo elas:
E ainda:
Aplicando a derivada na equação a seguir:
Obtém-se o seguinte resultado:
Avaliando a condição inicial, em que , tem-se:
Considerando a equação já encontrada:
É possível obter os valores dos coeficientes, conforme apresentados a seguir:
Substituindo na equação, resulta na resposta natural do sistema:
Para o último caso, sendo :
Primeiro, calcula-se o valor do amortecimento dado pela equação seguinte:
Em seguida, calcula-se:
Que permanece o mesmo, uma vez que houve mudança apenas em .
 
Avaliando os dois parâmetrosda equação característica, vemos que , o que indica que uma resposta é
subamortecida, isto é, duas raizes complexas. Assim, o cálculo das raízes da equação é descrito como:
A resposta referente é dada por:
Na qual:
Em seguida, faz-se necessário o cálculo dos coeficientes e , que são obtidos por meio das condições
iniciais do circuito. Para isso, aplicam-se essas condições, sendo elas:
E ainda:
Aplicando a derivada na equação a seguir:
Obtém-se o seguinte resultado:
Avaliando a condição inicial, em que , tem-se:
Considerando a equação já encontrada:
É possível obter os valores dos coeficientes, conforme apresentados a seguir:
Substituindo na equação, resulta na resposta natural do sistema:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considerando o circuito da Figura A1, determine e , ou seja, a tensão no indutor e capacitor
desse circuito:
A
 e 
B
 e 
C
D
 e 
E
 e 
A alternativa C está correta.
Em , a fonte de corrente é nula, o indutor se comporta como curto-circuito e o capacitor, como um
circuito aberto, assim:
Em , aplicando a LKC, a corrente que entra no nó é igual à soma das correntes que saem do nó:
Sabe-se que:
Questão 2
Para o circuito abaixo, determine e . Considere que e .
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Como o circuito está em paralelo, as tensões são iguais.
Derivando a equação de :
3. Conclusão
Considerações finais
Este tema teve por objetivo a apresentação dos circuitos RLC em série e em paralelo, conhecidos como
circuitos de segunda ordem. Neste âmbito, foram apresentadas técnicas de solução para eles. Assim, foram
detalhados os aspectos básicos, bem como a modelagem matemática do circuito em série. Depois, os
mesmos tópicos se repetem, contudo, com uma abordagem descritiva, enfatizando o circuito paralelo.
 
Dito isso, é possível correlacionar os tópicos, sendo necessário o bom entendimento de cada um deles para
melhor absorção do conteúdo seguinte.
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Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada ‒ teoria e exercícios, de Otávio Markus.
Referências
ALEXANDER, C. K; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Amgh, 2013.
 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2004.
 
JOHNSON, D. E. Fundamentos de análise de circuitos elétricos. 4. ed. Rio de Janeiro, LTC, 1994.
• 
	Circuitos de segunda ordem
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Circuitos elétricos 1, circuitos de segunda ordem
	Conteúdo interativo
	1. O circuito RLC em série e seu modelo matemático
	Conceitos iniciais
	Circuitos elétricos 1, circuitos RLC em série.
	Conteúdo interativo
	Resistor
	Capacitor
	Indutor
	Funções de singularidade
	Atenção
	Leis de Kirchhoff
	Lei dos nós
	Lei das malhas
	Circuitos de segunda ordem
	Curto-circuito
	Circuito aberto
	Circuito RLC em série
	Circuito RLC em série sem fonte
	Dica
	Análise das soluções
	Amortecimento supercrítico ou superamortecido
	Amortecimento Crítico
	Subamortecido
	Resposta ao degrau
	Exemplo
	1º exemplo comentado
	Passo 1:
	Dica
	Passo 2:
	Passo 3:
	2º exemplo comentado
	3º exemplo comentado
	Verificando o aprendizado
	(Sercomtel-PR ‒ 2015) Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo em um resistor (R), um indutor (L) e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo. O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem, visto que qualquer tensão ou corrente podem ser descritas por uma equação diferencial de segunda ordem. Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento dos circuitos RLC. Assinale a alternativa que mostra quais são esses dois parâmetros:
	Questão 2
	2. O circuito RLC em paralelo, matematicamente descrito
	Circuito RLC em paralelo sem fonte
	Circuitos elétricos 1, circuitos RLC em paralelo
	Conteúdo interativo
	Dica
	Amortecimento supercrítico ou superamortecido,
	Amortecimento crítico
	Subamortecido
	Resposta ao degrau
	Resposta natural
	Resposta forçada
	Resposta total ou completa
	Circuitos de segunda ordem gerais
	Atenção
	1º exemplo comentado
	Passo 1
	Passo 2
	2º exemplo comentado
	Para :
	Considerando agora :
	Para o último caso, sendo :
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	3. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referências