Aula 04 - Implicacao logica e equivalencia logica

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Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense 
 
AULA 04 
IMPLICAÇÃO LÓGICA E EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
 
Bom, acho que quem vem acompanhando as aulas vem observando que não é tão difícil 
nossa lógica matemática. Para entrarmos no operacional da matéria, foi necessário conhecer, 
antes, alguns conceitos básicos. 
A partir de agora, cada informação será mais importante ainda. Será com a aula de hoje 
que teremos condições de resolver (finalmente!) uma primeira questão de concurso. 
De ante mão, gostaria de comentar algumas características das tabelas-verdade, que nos 
auxiliarão na compreensão de muitas questões: a tautologia, a contradição e a contigência. 
A tautologia e a contradição são as de maior relevo para as questões de lógica. Mas o que 
significa uma coisa e outra? Ora, observa-se a tautologia quando, ao resolver uma proposição 
composta qualquer, através de sua tabela-verdade, a última coluna encerra somente com a 
letra V. Ou melhor, é toda proposição composta cujo seu valor lógico será sempre V (verdade), 
independemente dos valores lógicos de suas preposições simples. Para uma visualização da 
tautologia, veja a tabela-verdade seguinte para a proposição (p v ~p) – princípio do terceiro 
excluído, visto na Aula 02: 
 
p ~p p v ~p 
V F V 
F V V 
 
E a tabela-verdade que mostra o princípio da não contradição ~ (p ^ ~p), visto também na 
Aula 02: 
 
p ~p p v ~p 
V F V 
F V V 
 
Mais uma tabela-verdade tautológica, agora para a proposição p v ~ (p ^ q): 
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p q p ^ q ~ (p ^ q) p v ~ (p ^ q) 
V V V F V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F V V 
 
Vale resaltar que existem outras proposições compostas tautológicas, bastando para isso 
verificar suas respectivas tabelas-verdade e olharmos para a última coluna: sendo tudo V, será a 
proposição composta uma tautologia. Mas, por enquanto, para não perdermos tempo, 
mostraremos apenas estas tautolgias, pois, para se saber a tautologia de uma proposição, há 
caminhos mais fáceis... deixemos para próxima aula. 
“E a contradição?”, você deve está me perguntando. A contradição é o oposto da 
tautologia. Enquanto que nesta há unanimidade da letra V na última coluna da tabela-verdade, 
naquela somente aparece a letra F. Quer conferir?! Observe a proposição (p ^ ~p): 
 
p ~p p ^ ~p 
V F F 
F V F 
 
Olhando outra proposição (p ↔ ~p): 
 
P ~p p ↔ ~p 
V F F 
F V F 
 
Igualmente a nossa observação anterior, deixemos para encontrar a contradição de uma 
proposição por um meio mais fácil, porque as tabelas-verdade é um caminho muito trabalhoso para 
saber da tautologia ou contradição de uma proposição. 
Para finalizar esta parte inicial, ocorre a contigência quando uma proposição composta 
não é nem tautologica nem contradição. Há, pelo menos, um V e um F na última coluna da 
tabela-verdade. Veja as tabelas-verdade para (~p ^ q) e (~p → q) logo a seguir e confira: 
 
 
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P q ~p ~p ^ q 
V V F F 
V F F F 
F V V V 
F F V F 
 
Nesta, há um V na 3ª linha. 
 
P q ~p ~p → q 
V V F V 
V F F F 
F V V V 
F F V F 
 
Nesta outra, há 2 V’s e 2 F’s. 
A contigência não nos oferece muita opção para resolução de provas de concursos, pois, 
na maioria das vezes, estamos atrás do atributo tautológico ou contraditório de uma proposição. 
Quando vamos escolher um item para gabaritar em uma questão de lógica, estaremos atrás da 
verdade ou falsidade da proposição composta. 
 
IMPLICAÇÃO LÓGICA 
 
Tendo em mente os conceitos de tautologia e contradição, vamos dar continuidade e 
começar a ver um tema chamado implicação lógica. Para isso, vou montar a tabela-verdade para 
as proposições (p ^ q), (p v q) e (p ↔ q): 
 
p q p ^ q p v q p ↔ q 
V V V V V 
V F F V F 
F V F V F 
F F F F V 
 
Vamos observar (p ^ q). Esta proposição é verdadeira apenas na 1ª linha. Nesta mesma 
linha, p, q, (p v q) e (p ↔ q) são também verdadeiras. Quer dizer, (p ^ q) implica logicamente em p, 
por exemplo. Representamos a implicação através do símbolo “=>”. Assim, podemos escrever: 
(p ^ q) => p 
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Pois bem, a partir disso, podemos dizer que uma proposição “p” implica em uma outra 
“q” se “q” é verdadeira toda as vezes que “p” é verdadeira. Foi, aliás, o que acabamos de 
comprovar, só que foi com a proposição (p ^ q). 
A par destas considerações, vamos escrever as implicações lógicas mais importantes, 
sem desenhar as tabelas-verdade, pois estamos aqui atrás de um método mais fácil de resolução, 
já que dissemos antes da dificuldade de se trabalhar com tais tabelas em provas de concurso, 
onde o tempo é ouro! Então, estão abaixo as implicações lógicas fundamentais: 
p => p v q 
p ^ q => p 
(p v q) ^ ~p => q 
(p → q) ^ p => q (Modus ponens) 
(p → q) ^ ~q => ~p (Modus tollens) 
(p → q) ^ (q → r) => p → r (Silogismo hipotético) 
p ↔ q => p → q 
p ↔ q => q → p 
(p ↔ q) ^ p => q 
As implicações que estão destacadas em vermelho são as mais importantes regras de 
inferência, e as que mais aparecem em questões de concurso. No mais, apenas grave: a 
implicação (=>), para fins de cálculo lógico, corresponde a condicional (→). Veremos isso mais à 
frente. 
 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
 
Diferentemente da implicação, diz-se que duas proposições são equivalentes se as suas 
tabelas-verdade forem iguais. Representamos a equivalência do seguinte modo: 
p <=> q; lê-se p é equivalente a q. 
Para exemplificar, tomemos as seguintes proposições (~p v q) e (p → q). Criando suas 
tabelas-verdade: 
 
 
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p q ~p p → q ~p v q 
V V F V V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
 
Verifica-se que as colunas 4 e 5 são idênticas, ou seja, as proposições (~p v q) e (p → q) 
são equivalentes. Representando esta equivalência lógica: 
(~p v q) <=> (p → q) 
Para nos mantermos na objetividade destas aulas, não procuraremos demonstrar as 
equivalências lógicas abaixo relacionadas. Demos, entretanto, os fundamentos básicos para se 
demonstrar qualquer equivalência. Além disso, para se demonstrar tais equivalências, seria mais 
racional usarmos o método dedutivo, através da álgebra das proposições, tema esse que trarei 
na próxima aula. Então, são válidas: 
~~p <=> p (dupla negação) 
~p → p <=> p (Clavius) 
p → q <=> ~p v q 
p ↔ q <=> (p → q) ^ (q → p) 
p ↔ q <=> (p ^ q) v (~p ^ ~q) 
p → q <=> ~q → ~p 
p → p ^ q <=> p → q (absorção) 
p ^ ~q → c <=> p → q 
p ^ q → r <=> p → (q → r) (exportação-importação) 
As equivalências lógicas destacadas em vermelho são as mais usadas nas resoluções de 
questões. 
Uma diferença importantíssima entre a implicação e equivalência reside no fato de que, na 
implicação, só há o caminho de ida, não existe o de volta. Ou melhor, toda equivalência é uma 
implicação lógica por natureza. Diferentemente, a implicação não se trata necessariamente de uma 
equivalência lógica. Podemos então dizer que toda equivalência é uma implicação lógica, mas 
nem toda implicação é uma equivalência lógica. Assim: 
p ^ q => p (certo) 
O caminho de volta pode estar errado se desejado: 
p => p ^ q (errado) 
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Na equivalência, pode-se ir e vir entre duas proposições. Temos: 
(~p v q) <=> (p → q) 
O caminho de volta seria perfeitamente válido: 
(~p v q) <=> (p → q) 
Em outras palavras: 
dizer que p ^ q <=> p é a mesma coisa que afirmar que p ^ q => p 
porém p ^ q => p não é a mesma coisa de dizer que p <=> p ^ q 
Mas depois desse monte de informações, o que nos podemos fazer então. Como eu disse 
no início, já podemos resolver nossa primeira questão. 
(AFC-2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Albertoé alto, é logicamente equivalente 
a dizer que é verdade que: 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 
Resolução 
Legal, não?! A primeira coisa que devemos fazer em questões de lógica matemática é sempre 
representar as proposições simples, da linguagem corrente para a linguagem simbólica. Logo: 
p: Pedro é pobre 
q: Alberto é alto 
A proposição é Pedro é pobre e Alberto é alto. 
(p ^ q) 
Logo, dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é negar toda a proposição 
Pedro é pobre e Alberto é alto. Aí, escrevendo a nossa proposição composta em linguagem 
simbólica: 
~ (p ^ q) 
 
 
 
Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense 
Vamos lá! Montaremos a tabela-verdade do problema. 
p Q ~p ~q p ^ q ~ (p ^ q) 
V V F F V F 
V F F V F V 
F V V F F V 
F F V V F V 
 
Agora, construiremos a tabela-verdade de cada item da questão e ver qual é a idêntica 
com a do enunciado, que será a proposição equivalente: 
a) 
P q ~p ~q ~p v ~q 
V V F F F 
V F F V V 
F V V F V 
F F V V V 
 
b) 
P q ~p ~q ~p ^ ~q 
V V F F F 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
 
c) 
p q ~q p v ~q 
V V F V 
V F V V 
F V F F 
F F V V 
 
d) 
p q ~p ~p → q 
V V F V 
V F F V 
F V V V 
F F V F 
 
 
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e) 
p q ~p ~q ~p → ~q
V V F F V 
V F F V V 
F V V F F 
F F V V V 
 
Pronto, a tabela-verdade do enunciado é idêntica com a do item a), que é a resposta 
correta. Assim, podemos afirmar que: 
~ (p ^ q) <=> ~p v ~q 
Ou, no bom português, podemos dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto 
é alto é logicamente equivalente a dizer que Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
Essa questão foi bem trabalhosa. Isso prova que tentar resolver questões de lógica 
através de tabelas-verdade é sobremaneira trabalhoso e quase inviável em concursos públicos. 
Possível é, mas não recomendo. Tal questão pode ser resolvida em apenas um passo. 
Devido a inviabilidade, a priori, das tabelas-verdade para os concurseiros, devemos 
aprender a álgebra das proposições e usar uma outra forma de se resolver exercícios de lógica, 
através do chamado método dedutivo. O entendimento da próxima aula ajudará (e muito!) a fixar 
essas regras das implicações e equivalências lógicas. 
Fui! 
Dudu cearense. 
 
Exercício 
 
Questão) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se 
Carlos é carioca, então Breno é bonito. Isso é logicamente equivalente a dizer que é verdade 
que: 
a) Jorge é juiz e Breno é bonito 
b) Carlos é carioca ou Breno é bonito 
c) Breno é bonito e Ana é artista 
d) Ana não é artista e Carlos é carioca 
e) Nenhuma das alternativas anteriores