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Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense AULA 04 IMPLICAÇÃO LÓGICA E EQUIVALÊNCIA LÓGICA Bom, acho que quem vem acompanhando as aulas vem observando que não é tão difícil nossa lógica matemática. Para entrarmos no operacional da matéria, foi necessário conhecer, antes, alguns conceitos básicos. A partir de agora, cada informação será mais importante ainda. Será com a aula de hoje que teremos condições de resolver (finalmente!) uma primeira questão de concurso. De ante mão, gostaria de comentar algumas características das tabelas-verdade, que nos auxiliarão na compreensão de muitas questões: a tautologia, a contradição e a contigência. A tautologia e a contradição são as de maior relevo para as questões de lógica. Mas o que significa uma coisa e outra? Ora, observa-se a tautologia quando, ao resolver uma proposição composta qualquer, através de sua tabela-verdade, a última coluna encerra somente com a letra V. Ou melhor, é toda proposição composta cujo seu valor lógico será sempre V (verdade), independemente dos valores lógicos de suas preposições simples. Para uma visualização da tautologia, veja a tabela-verdade seguinte para a proposição (p v ~p) – princípio do terceiro excluído, visto na Aula 02: p ~p p v ~p V F V F V V E a tabela-verdade que mostra o princípio da não contradição ~ (p ^ ~p), visto também na Aula 02: p ~p p v ~p V F V F V V Mais uma tabela-verdade tautológica, agora para a proposição p v ~ (p ^ q): Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense p q p ^ q ~ (p ^ q) p v ~ (p ^ q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V Vale resaltar que existem outras proposições compostas tautológicas, bastando para isso verificar suas respectivas tabelas-verdade e olharmos para a última coluna: sendo tudo V, será a proposição composta uma tautologia. Mas, por enquanto, para não perdermos tempo, mostraremos apenas estas tautolgias, pois, para se saber a tautologia de uma proposição, há caminhos mais fáceis... deixemos para próxima aula. “E a contradição?”, você deve está me perguntando. A contradição é o oposto da tautologia. Enquanto que nesta há unanimidade da letra V na última coluna da tabela-verdade, naquela somente aparece a letra F. Quer conferir?! Observe a proposição (p ^ ~p): p ~p p ^ ~p V F F F V F Olhando outra proposição (p ↔ ~p): P ~p p ↔ ~p V F F F V F Igualmente a nossa observação anterior, deixemos para encontrar a contradição de uma proposição por um meio mais fácil, porque as tabelas-verdade é um caminho muito trabalhoso para saber da tautologia ou contradição de uma proposição. Para finalizar esta parte inicial, ocorre a contigência quando uma proposição composta não é nem tautologica nem contradição. Há, pelo menos, um V e um F na última coluna da tabela-verdade. Veja as tabelas-verdade para (~p ^ q) e (~p → q) logo a seguir e confira: Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense P q ~p ~p ^ q V V F F V F F F F V V V F F V F Nesta, há um V na 3ª linha. P q ~p ~p → q V V F V V F F F F V V V F F V F Nesta outra, há 2 V’s e 2 F’s. A contigência não nos oferece muita opção para resolução de provas de concursos, pois, na maioria das vezes, estamos atrás do atributo tautológico ou contraditório de uma proposição. Quando vamos escolher um item para gabaritar em uma questão de lógica, estaremos atrás da verdade ou falsidade da proposição composta. IMPLICAÇÃO LÓGICA Tendo em mente os conceitos de tautologia e contradição, vamos dar continuidade e começar a ver um tema chamado implicação lógica. Para isso, vou montar a tabela-verdade para as proposições (p ^ q), (p v q) e (p ↔ q): p q p ^ q p v q p ↔ q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V Vamos observar (p ^ q). Esta proposição é verdadeira apenas na 1ª linha. Nesta mesma linha, p, q, (p v q) e (p ↔ q) são também verdadeiras. Quer dizer, (p ^ q) implica logicamente em p, por exemplo. Representamos a implicação através do símbolo “=>”. Assim, podemos escrever: (p ^ q) => p Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense Pois bem, a partir disso, podemos dizer que uma proposição “p” implica em uma outra “q” se “q” é verdadeira toda as vezes que “p” é verdadeira. Foi, aliás, o que acabamos de comprovar, só que foi com a proposição (p ^ q). A par destas considerações, vamos escrever as implicações lógicas mais importantes, sem desenhar as tabelas-verdade, pois estamos aqui atrás de um método mais fácil de resolução, já que dissemos antes da dificuldade de se trabalhar com tais tabelas em provas de concurso, onde o tempo é ouro! Então, estão abaixo as implicações lógicas fundamentais: p => p v q p ^ q => p (p v q) ^ ~p => q (p → q) ^ p => q (Modus ponens) (p → q) ^ ~q => ~p (Modus tollens) (p → q) ^ (q → r) => p → r (Silogismo hipotético) p ↔ q => p → q p ↔ q => q → p (p ↔ q) ^ p => q As implicações que estão destacadas em vermelho são as mais importantes regras de inferência, e as que mais aparecem em questões de concurso. No mais, apenas grave: a implicação (=>), para fins de cálculo lógico, corresponde a condicional (→). Veremos isso mais à frente. EQUIVALÊNCIA LÓGICA Diferentemente da implicação, diz-se que duas proposições são equivalentes se as suas tabelas-verdade forem iguais. Representamos a equivalência do seguinte modo: p <=> q; lê-se p é equivalente a q. Para exemplificar, tomemos as seguintes proposições (~p v q) e (p → q). Criando suas tabelas-verdade: Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense p q ~p p → q ~p v q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V Verifica-se que as colunas 4 e 5 são idênticas, ou seja, as proposições (~p v q) e (p → q) são equivalentes. Representando esta equivalência lógica: (~p v q) <=> (p → q) Para nos mantermos na objetividade destas aulas, não procuraremos demonstrar as equivalências lógicas abaixo relacionadas. Demos, entretanto, os fundamentos básicos para se demonstrar qualquer equivalência. Além disso, para se demonstrar tais equivalências, seria mais racional usarmos o método dedutivo, através da álgebra das proposições, tema esse que trarei na próxima aula. Então, são válidas: ~~p <=> p (dupla negação) ~p → p <=> p (Clavius) p → q <=> ~p v q p ↔ q <=> (p → q) ^ (q → p) p ↔ q <=> (p ^ q) v (~p ^ ~q) p → q <=> ~q → ~p p → p ^ q <=> p → q (absorção) p ^ ~q → c <=> p → q p ^ q → r <=> p → (q → r) (exportação-importação) As equivalências lógicas destacadas em vermelho são as mais usadas nas resoluções de questões. Uma diferença importantíssima entre a implicação e equivalência reside no fato de que, na implicação, só há o caminho de ida, não existe o de volta. Ou melhor, toda equivalência é uma implicação lógica por natureza. Diferentemente, a implicação não se trata necessariamente de uma equivalência lógica. Podemos então dizer que toda equivalência é uma implicação lógica, mas nem toda implicação é uma equivalência lógica. Assim: p ^ q => p (certo) O caminho de volta pode estar errado se desejado: p => p ^ q (errado) Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense Na equivalência, pode-se ir e vir entre duas proposições. Temos: (~p v q) <=> (p → q) O caminho de volta seria perfeitamente válido: (~p v q) <=> (p → q) Em outras palavras: dizer que p ^ q <=> p é a mesma coisa que afirmar que p ^ q => p porém p ^ q => p não é a mesma coisa de dizer que p <=> p ^ q Mas depois desse monte de informações, o que nos podemos fazer então. Como eu disse no início, já podemos resolver nossa primeira questão. (AFC-2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Albertoé alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. Resolução Legal, não?! A primeira coisa que devemos fazer em questões de lógica matemática é sempre representar as proposições simples, da linguagem corrente para a linguagem simbólica. Logo: p: Pedro é pobre q: Alberto é alto A proposição é Pedro é pobre e Alberto é alto. (p ^ q) Logo, dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é negar toda a proposição Pedro é pobre e Alberto é alto. Aí, escrevendo a nossa proposição composta em linguagem simbólica: ~ (p ^ q) Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense Vamos lá! Montaremos a tabela-verdade do problema. p Q ~p ~q p ^ q ~ (p ^ q) V V F F V F V F F V F V F V V F F V F F V V F V Agora, construiremos a tabela-verdade de cada item da questão e ver qual é a idêntica com a do enunciado, que será a proposição equivalente: a) P q ~p ~q ~p v ~q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V b) P q ~p ~q ~p ^ ~q V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V c) p q ~q p v ~q V V F V V F V V F V F F F F V V d) p q ~p ~p → q V V F V V F F V F V V V F F V F Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense e) p q ~p ~q ~p → ~q V V F F V V F F V V F V V F F F F V V V Pronto, a tabela-verdade do enunciado é idêntica com a do item a), que é a resposta correta. Assim, podemos afirmar que: ~ (p ^ q) <=> ~p v ~q Ou, no bom português, podemos dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Essa questão foi bem trabalhosa. Isso prova que tentar resolver questões de lógica através de tabelas-verdade é sobremaneira trabalhoso e quase inviável em concursos públicos. Possível é, mas não recomendo. Tal questão pode ser resolvida em apenas um passo. Devido a inviabilidade, a priori, das tabelas-verdade para os concurseiros, devemos aprender a álgebra das proposições e usar uma outra forma de se resolver exercícios de lógica, através do chamado método dedutivo. O entendimento da próxima aula ajudará (e muito!) a fixar essas regras das implicações e equivalências lógicas. Fui! Dudu cearense. Exercício Questão) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Isso é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Jorge é juiz e Breno é bonito b) Carlos é carioca ou Breno é bonito c) Breno é bonito e Ana é artista d) Ana não é artista e Carlos é carioca e) Nenhuma das alternativas anteriores
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