Lista de Exercícios II_Introdução ao Cálculo

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UNIVERSIDADE CATO´LICA DOM BOSCO
DISCIPLINA: INTRODUCA˜O AO CA´LCULO
PROF. Me. DIEˆGO LUIZ RODRIGUES SANTOS
LISTA II: Func¸o˜es Exponenciais e Logar´ıtmicas.
1-) Calcule o valor de:
a-)
(−2)3 + 12
3.5−2
=
Resp.: −1252
b-) (27
1
3 + 64
1
2 − 8 23 + 4 12 ) 12 =
Resp.: 3
c-)
a.b−2.(a−1.b2)4.(a.b−1)2
a−3.b.(a2.b−1)(a−1.b)
=
quando a = 10−3 e b = 10−2.
Resp.: 10−9
d-) 4.(0, 5)4 +
√
0, 25 + 8−
2
3 =
Resp.: 1
2-) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
a-) 3x−2 = 9
b-) 5x
2−2x = 125
c-) 101−x = 110
d-) (
√
2)x = 4
e-) (0, 5)2x = 21−3x
f-) 24x−x
2
= 8
g-) (10x)1−x = 0, 000001
h-) 32−x = 127
i-) 3x−5 = 271−x
j-)
(
1
2
)x2−4
= 8x+2
k-) 2x + 2x−1 = 12
l-) 3x−2 + 3x+1 = 84
m-) 7x + 7x−1 = 8
n-) 32x + 2.3x − 15 = 0
o-) 22x+1 + 3.2x+1 = 8
p-) 4x+2 − 3.2x+3 = 160
q-) 25
x+125
6 = 5
x+1
Algumas Respostas: a-) 4, b-) −1 e 3, d-) 4, k-) 3, n-) 1, o-) 0, q-) 1 e 2.
1
3-) A func¸a˜o N(t) = 103.20,2t indica o nu´mero de bacte´rias existentes em um
recipiente, em que t e´ o nu´mero de horas decorridas.
a-) Quantas bacte´rias havera´ no recipiente apo´s 10 horas do in´ıcio do exper-
imento?
Resp.: 4 mil.
b-) Em quanto tempo apo´s o in´ıcio do experimento havera´ 64 mil bacte´rias?
Resp.: 30 horas.
c-) Haver 32 mil bacte´rias no recipiente significa que o tempo decorrido apo´s
o in´ıcio do experimento e´ metade do tempo necessa´rio para totalizar 64 mil
bacte´rias? Por queˆ?
Resp.: Na˜o.
4-) A expressa˜o P (t) = K.20,05t fornece o nu´mero P de milhares de habitantes
de uma cidade, em func¸a˜o do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha
300 mil habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela
tenha no ano 2000?
Resp.: 423 mil habitantes.
5-) O carbono-14 e´ um iso´topo raro do carbono presente em todos os seres
vivos. Com a morte, o n´ıvel de C-14 no corpo comec¸a a decair. Como e´ um
iso´topo radioativo de meia vida de 5730 anos, e como e´ relativamente fa´cil saber
o n´ıvel original de C-14 no corpo dos seres vivos, a medic¸a˜o da atividade de
C-14 num fo´ssil e´ uma te´cnica muito utilizada para datac¸o˜es arqueolo´gicas. A
atividade radioativa do C-14 decai com o tempo po´s-morte segundo a func¸a˜o
exponencial
A(t) = A0
(
1
2
) t
5730
,
em que A0 e´ a atividade natural do C-14 no organismo vivo e t e´ o tempo decor-
rido em anos apo´s a morte.
Suponha que um fo´ssil encontrado em uma caverna foi levado ao laborato´rio
para ter sua idade estimada. Verificou-se que emitia 7 radiac¸o˜es de C-14 por
grama por hora. Sabendo que o animal vivo emite 896 radiac¸o˜es por grama por
hora, qual e´ a idade aproximada do fo´ssil?
Resp.: aproximadamente, 40 mil anos.
6-) Considere como verdadeiras as igualdades Ax−y = 2 e A3y = 8. Nessas
condic¸o˜es, qual e´ o valor de Ax?
Resp.: 4
7-) Construa o esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es abaixo:
a-) f(x) = 5x
b-) f(x) =
(
1
2
)x
c-) f(x) = 3x+1
d-) f(x) = 2x + 1
e-) f(x) =
(
1
3
)x − 1
f-) f(x) = 4x−1
g-) f(x) =
(√
2
2
)x
2
8-) Determine o ponto de intersec¸a˜o dos gra´ficos das func¸o˜es f(x) = 19x−1 e
g(x) = 3x+1.
Resp.:
(
1
3 , 3
4
3
)
.
9-) Sejam as func¸o˜es f(x) = 2x e g(x) = 32x + 1. Analise o gra´fico e identi-
fique em quais intervalos ocorrem:
a-) f(x) > g(x)
b-) f(x) < g(x)
10-) Calcule:
a-) log√22 =
b-) log0, 1 =
c-) log2
√
128 =
d-) log4
√
256 =
e-) log2(log4256) =
f-) log2[log3(log2512)] =
g-) log[log3(log1000)] =
h-) ln2 =
i-) ln14, 46 =
Algumas Respostas: a-) 2, e-) 2, f-) 1.
11-) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
a-) logx125 = 5
b-) 3 = logx
(
1
343
)
c-) log3(2x) = 2
d-) logx+281 = 1
e-) logx2 = x
f-) log 1
5
(x− 1) = log 1
5
3
g-) logx + 2log2x− 1 = 0
h-) logx(x
3 + 18x− 144) = 3
i-) log(x− 1)2 = log1
j-) log2(x− 3) + log2(x + 3) = 4
k-) log
2x−81
19 = 1
l-) logx2 + log4x = 0
3
m-) log 1
3
(
x+2
x−1
)
= −3
Algumas Respostas: b-) 17 , f-) 4, g-)
1
10 ou
√
10, k-) 1010 ou 110 , l-) na˜o existe
12-) Determine o conjunto de valores reais poss´ıveis para que exista:
a-) logx5
b-) log2(3x + 5)
c-) log3
(
x−2
x+4
)
d-) log5(x
2 − 2x + 1)
e-) logx(x− 3)
f-) log1−x2
√
3
g-) logx−1(x + 4)
h-) logx(x
2 − 4)
i-) logx+1(x
2 − 5x + 6)
Algumas Respostas: b-) x > − 53 , c-) x < −4 ou x > 2, d-) x 6= 1, h-) x > 2.
13-) A massa A de uma substaˆncia radioativa decai segundo a lei A = A0.10
−0,012t,
em que t e´ o tempo de decaimento, em hora, e A0 e´ a massa inicial, isto e´, a
massa correspondente a t = 0.
Para calcular a meia-vida dessa substaˆncia, ou seja, o tempo decorrido para
que A = 12A0, um qu´ımico substituiu A por
1
2A0 nessa lei e obteve a equac¸a˜o
log0, 5 = log10−0,012t. Considerando log0, 5 = −0, 30, resolva esta esquac¸a˜o
para obter a meia-vida da substaˆncia.
Resp.: 25 horaas.
14-) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, e´ um nu´mero
que varia de I = 0 ate´ I = 8, 9 para o maior terremoto conhecido. I e´ dado pela
fo´rmula:
I =
2
3
log10
E
E0
,
na qual E e´ a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora (kWh) e E0 =
7, 0.10−3kWh.
a-) Qual e´ a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
Resp.: 7.109
b-) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica
multiplicada a energia liberada?
Resp.: 10
√
10
4
15-) Fac¸a um esboc¸o dos gra´ficos a seguir:
a-) f(x) = log2x
b-) f(x) = log2(x + 5)
c-) f(x) = log2x + 5
d-) f(x) = lnx
16-) Construa, no mesmo plano, o esboc¸o dos gra´ficos abaixo:
a-) f(x) = log5x e g(x) = 5
x
b-) f(x) = log 1
5
x e g(x) =
(
1
5
)x
c-) f(x) = log4x e g(x) = 2
2x
d-) f(x) = log 1
4
x e g(x) =
(
1
2
)2x
17-) Utilizando as propriedades dos logaritmos e sabendo que log2 ≈ 0, 301029
e log6 ≈ 0, 778151, calcule log75.
5