Teoremas e Definições Importantes

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UNIVERSIDADE CATO´LICA DOM BOSCO
DISCIPLINA: INTRODUCA˜O AO CA´LCULO
PROF. Me. DIEˆGO LUIZ RODRIGUES SANTOS
Teoremas e Definic¸o˜es Importantes
Definic¸a˜o:
O valor absoluto de x, denotado por |x|, e´ definido por
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Teorema:
Se a, b ∈ R, enta˜o
|ab| = |a|.|b|.
Teorema:
Se a, b ∈ R e b 6= 0, enta˜o
|a
b
| = |a||b| .
Teorema:
Se a, b ∈ R, enta˜o
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Definic¸a˜o:
Se P1(x1, y1) e P2(x2, y2) forem dois pontos distintos sobre uma reta r, na˜o
paralela ao eixo y, enta˜o a inclinac¸a˜o de r (ou coeficiente angular), denotada
por m, sera´ dada por
m =
y2 − y1
x2 − x1 .
Teorema:
O gra´fico da equac¸a˜o ax+ by + c = 0, onde a, b, c sa˜o constantes reais e onde a
e b na˜o sa˜o ambos nulos, e´ uma reta.
Definic¸a˜o:
Dois pontos P e Q sera˜o sime´tricos com respeito a uma reta se e somente
se a reta for a perpendicular bissetora do segmento de reta PQ. Dois pontos P
e Q sera˜o sime´tricos com respeito a um terceiro ponto se e somente se o
terceiro ponto for o ponto me´dio do segmento de reta PQ.
Definic¸a˜o:
O gra´fico de uma func¸a˜o sera´ sime´trico com respeito a uma reta r se e somente se
para todo ponto P sobre o gra´fico existir um ponto Q, tambe´m sobre o gra´fico,
tal que P e Q sejam sime´tricos com relac¸a˜o a r. O gra´fico de uma func¸a˜o e´
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sime´trico com respeito a uma ponto R se e somente se, para todo ponto P so-
bre o gra´fico, existir um ponto S tambe´m sobre o gra´fico, tal que P e S sejam
sime´tricos com respeito a R.
Teorema:
O gra´fico de uma func¸a˜o em x e y sera´
(i) sime´trico com respeito ao eixo x se e somente se, obtivermos uma func¸a˜o
equivalente ao substituirmos y por −y na func¸a˜o dada;
(ii) sime´trico com respeito ao eixo y se e somente se, obtivermos uma func¸a˜o
equivalente ao substituirmos x por −x na func¸a˜o dada;
(iii) sime´trico com respeito a` origem se e somente se, obtivermos uma func¸a˜o
equivalente quando x for substitu´ıdo por −x e y for substitu´ıdo por −y na
func¸a˜o dada.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o e´ uma forma de correspondeˆncia de um conjunto X de nu´meros
reais x a um conjunto Y de nu´meros reais y, onde o nu´mero y e´ o u´nico para
um valor espec´ıfico de x.
Ou mais formalmente,
Uma func¸a˜o e´ um conjunto de pares ordenados de nu´meros (x, y, sendo que da-
dos dois pares ordenados distintos, nenhum deles tera´ o mesmo primeiro nu´mero.
O conjunto de todos os valores admiss´ıveis de x e´ chamado de domı´nio da
func¸a˜o e o conjunto de todos os valores resultantes de y e´ chamado a imagem
da func¸a˜o.
Definic¸a˜o:
Se f for uma func¸a˜o, enta˜o o gra´fico de f sera´ o conjunto dos pontos (x, y) em
R2 para os quais (x, y) e´ um par ordenado de f .
Definic¸a˜o:
Dadas as duas func¸o˜es f e g:
(i) a sua soma, denotada por f + g, e´ a func¸a˜o definida por
(f + g)(x) = f(x) + g(x);
(ii) a sua diferenc¸a, denotada por f − g, e´ a func¸a˜o definida por
(f − g)(x) = f(x)− g(x);
(iii) o seu produto, denotado por f · g, e´ a func¸a˜o definida por
(f · g)(x) = f(x) · g(x);
(iv) o seu quociente, denotado por f/g, e´ a func¸a˜o definida por
(f/g)(x) =
f(x)
g(x)
.
Definic¸a˜o:
Dadas as duas func¸o˜es f e g, a func¸a˜o composta, denotada por f ◦g e´ definida
por
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
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e o domı´nio de f ◦ g e´ o conjunto de todos os nu´meros x no domı´nio de g, tal
que g(x) esteja no domı´nio de f .
Definic¸a˜o:
(i) Uma func¸a˜o e´ par se, para todo valor de x no domı´nio de f , f(−x) = f(x).
(ii) Uma func¸a˜o e´ ı´mpar se, para todo valor de x no domı´nio de f , f(−x) =
−f(x).
Em ambos os casos (i) e (ii), devemos entender que −x esta´ no domı´nio de f ,
sempre que x estiver la´.
References
[1] Leithold, Louis., O Ca´lculo Com Geometria Anal´ıtica, Editora Harbra, 3a
Edic¸a˜o, 1994.
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