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GA UERJ P2 2015.2 Prof Carneiro (Assunto: Cônicas)

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P2 de GA 1
P2 de GA
Per´ıodo de 2015.2 - Prof. Fernando Carneiro
Observac¸o˜es: escrever a prova toda a caneta; proibida a consulta a livros, notas de aula
e colegas; tambe´m proibido o uso de celular, laptop, calculadora, tablet, etc. Escrever o
nome em todas as folhas. Escrever vetores diretores de retas e vetores normais dos planos
de cada um destes que aparec¸am nos enunciados, na˜o deixe questo˜es em branco.
1) Seja a reta dada pelo eixo Oy, r : x = 0, e o ponto A(1, 0). Determine o conjunto
de pontos P (x, y) tais que √
2d(P,A) = d(P, r).
Determine os pontos do eixo Ox que pertencem a este conjunto e escreva uma equac¸a˜o
que diga a relac¸a˜o que as coordenadas de P devem satisfazer para pertencer ao conjunto.
R:
d(P (x, y), r) = |x|; d(P (x, y), (1, 0) =
√
(x− 1)2 + y2.
√
2d(P,A) = d(P, r)⇒ 2((x−1)2+y2) = |x|2 ⇒ 2x2−4x+2+2y2 = x2 ⇒ x2+2y2−4x+2 = 0,
(x− 2)2 + 2y2 = 2⇒ (x− 2)
2
2
+ y2 = 1 e´ elipse.
Os pontos do eixo Ox sa˜o os de tipo (x, 0) que satisfazem a equac¸a˜o:
x2 − 4x+ 2 = 0⇒ x = 4±
√
16− 8
2
= 2±
√
2⇒ (2−
√
2, 0) e (2 +
√
2, 0).
2) Determine a equac¸a˜o da elipse cujos ve´rtices sa˜o os pontos A(0, 2), B(4, 2), C(2, 1)
e D(2, 3).
Se esses pontos sa˜o os ve´rtices, desenhando a figura temos o eixo maior ligando A e
B e o eixo menor ligando C e D. O eixo maior tem tamanho 2a = 4 e o menor 2b = 2.
O centro e´ o ponto (2, 2), que e´ tanto ponto me´dio do eixo maior quanto do eixo menor.
Logo
(x− 2)2
4
+
(y − 2)2
1
= 1.
3) Determine as coˆnicas, suas inclinac¸o˜es e centros:
• 5x2 + 4xy + 2y2 − 4x− 10y − 10 = 0,
• 3x2 − 8xy + 3y2 + 4x+ 8y + 2 = 0.
R: No primeiro caso, A = 5, B = 2, C = 2, D = −2, E = −5, F = −10. Logo,
∆ = 10− 4 = 6, Det =
 5 2 −22 2 −5
−2 −5 −10
 = 5(−20− 25)− 2(−20− 10)− 2(−10 + 4) =
P2 de GA 2
5(−45) + 2(36) = −225 + 72 = −153 < 0,
portanto e´ elipse. Inclinac¸a˜o
1
2
arctan
2B
C − A =
1
2
arctan−4
3
.
Centro {
Ax0 +By0 +D = 0,
Bx0 + Cy0 + E = 0
⇒
{
5x0 + 2y0 = 2,
2x0 + 2y0 = 5
⇒
x0 = −1,y0 = 7
2
.
No segundo caso, A = 3, B = −4, C = 3, D = 2, E = 4, F = 2. Logo,
∆ = 9− 16 = −7, Det =
 3 −4 2−4 3 4
2 4 2
 = 3(6− 16) + 4(−8− 8) + 2(−16− 6) =
−30− 64− 44 = −138 6= 0,
portanto e´ hipe´rbole. Inclinac¸a˜o
A = C ⇒ 45o.
Centro
{
Ax0 +By0 +D = 0,
Bx0 + Cy0 + E = 0
⇒
{
3x0 − 4y0 = −2,
−4x0 + 3y0 = −4 ⇒

x0 =
−6− 16
−7 =
22
7
,
y0 =
−8− 12
−7 =
20
7
.
4) Determine a equac¸a˜o da para´bola que tem reta diretriz r : x + y = 0 e ve´rtice
V (1, 1).
R: E´ so´ usar a definic¸a˜o:
d(P (x, y), F ) = d(P, r).
Mas na˜o sabemos o foco. Sabemos que o ve´rtice esta´ na reta ortogonal a` diretriz que
passa pelo foco:
r2 : x− y = 1− 1 = 0.
A intersec¸a˜o entre as duas retas e´ a origem e o ve´rtice e´ o ponto me´dio entre esta intersec¸a˜o
e o foco. Logo,
(0, 0) + F
2
= (1, 1)⇒ F = (2, 2)− (0, 0) = (2, 2).
Substituindo na definic¸a˜o:
√
(x− 2)2 + (y − 2)2 = |x+ y|√
2
⇒ 2((x−2)2+(y−2)2) = (x+y)2 ⇒ x2−2xy+y2−8x−8y+16 = 0.
P2 de GA 3
5) A equac¸a˜o seguinte e´ a de duas retas concorrentes:
x2 + 3xy + 2y2 − 5x− 7y + 6 = 0.
Qual e´ o ponto de intersec¸a˜o entre elas e a intersec¸a˜o delas com o eixo Oy. Qual e´ o
aˆngulo entre elas?
R: Ha´ pelos menos duas maneiras de resolver:
Primeiro, a intersec¸a˜o e´ o centro da coˆnica:
{
Ax0 +By0 +D = 0,
Bx0 + Cy0 + E = 0
⇒

x0 +
3
2
y0 − 5
2
= 0,
3
2
x0 + 2y0 − 7
2
= 0
⇒
 x0 + y0 = 2,2− y0 + 3
2
y0 =
5
2
⇒ (x0, y0) = A(1, 1).
Ale´m disso as intersec¸o˜es com o eixo Oy sa˜o os pontos (0, y) que satisfazem a equac¸a˜o,
isto e´, tais que
2y2 − 7y + 6 = 0⇒ y = 7±
√
49− 4 · 12
4
=
7± 1
4
=
3
2
ou 2;B(0,
3
2
) e C(0, 2).
Para calcular o aˆngulo entre as retas podemos aproveitar as coordenadas dos pontos
que calculamos, pois o aˆngulo entre as retas tem cosseno com mesmo valor absoluto que
o cosseno do aˆngulo entre ~AB e ~AC:
cos θ =
~AB · ~AC
| ~AB|| ~AC| =
(−1, 1
2
) · (−1, 1)√
5
4
√
2
=
3√
10
.
A segunda maneira e´ encontrar as duas retas:
x2+3xy+2y2 = (x+y)(x+2y) e (x+y+d)(x+2y+e) = x2+3xy+2y2+(d+e)x+(2d+e)y+de.
d+ e = −5, 2d+ e = −7⇒ d = −2, e = −3.
Logo, as retas sa˜o
r1 : x+ y = 2 , r2 : x+ 2y = 3.
Sabendo as equac¸o˜es fica simples determinar o que pede o enunciado.

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