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P2 de GA 1 P2 de GA Per´ıodo de 2015.2 - Prof. Fernando Carneiro Observac¸o˜es: escrever a prova toda a caneta; proibida a consulta a livros, notas de aula e colegas; tambe´m proibido o uso de celular, laptop, calculadora, tablet, etc. Escrever o nome em todas as folhas. Escrever vetores diretores de retas e vetores normais dos planos de cada um destes que aparec¸am nos enunciados, na˜o deixe questo˜es em branco. 1) Seja a reta dada pelo eixo Oy, r : x = 0, e o ponto A(1, 0). Determine o conjunto de pontos P (x, y) tais que √ 2d(P,A) = d(P, r). Determine os pontos do eixo Ox que pertencem a este conjunto e escreva uma equac¸a˜o que diga a relac¸a˜o que as coordenadas de P devem satisfazer para pertencer ao conjunto. R: d(P (x, y), r) = |x|; d(P (x, y), (1, 0) = √ (x− 1)2 + y2. √ 2d(P,A) = d(P, r)⇒ 2((x−1)2+y2) = |x|2 ⇒ 2x2−4x+2+2y2 = x2 ⇒ x2+2y2−4x+2 = 0, (x− 2)2 + 2y2 = 2⇒ (x− 2) 2 2 + y2 = 1 e´ elipse. Os pontos do eixo Ox sa˜o os de tipo (x, 0) que satisfazem a equac¸a˜o: x2 − 4x+ 2 = 0⇒ x = 4± √ 16− 8 2 = 2± √ 2⇒ (2− √ 2, 0) e (2 + √ 2, 0). 2) Determine a equac¸a˜o da elipse cujos ve´rtices sa˜o os pontos A(0, 2), B(4, 2), C(2, 1) e D(2, 3). Se esses pontos sa˜o os ve´rtices, desenhando a figura temos o eixo maior ligando A e B e o eixo menor ligando C e D. O eixo maior tem tamanho 2a = 4 e o menor 2b = 2. O centro e´ o ponto (2, 2), que e´ tanto ponto me´dio do eixo maior quanto do eixo menor. Logo (x− 2)2 4 + (y − 2)2 1 = 1. 3) Determine as coˆnicas, suas inclinac¸o˜es e centros: • 5x2 + 4xy + 2y2 − 4x− 10y − 10 = 0, • 3x2 − 8xy + 3y2 + 4x+ 8y + 2 = 0. R: No primeiro caso, A = 5, B = 2, C = 2, D = −2, E = −5, F = −10. Logo, ∆ = 10− 4 = 6, Det = 5 2 −22 2 −5 −2 −5 −10 = 5(−20− 25)− 2(−20− 10)− 2(−10 + 4) = P2 de GA 2 5(−45) + 2(36) = −225 + 72 = −153 < 0, portanto e´ elipse. Inclinac¸a˜o 1 2 arctan 2B C − A = 1 2 arctan−4 3 . Centro { Ax0 +By0 +D = 0, Bx0 + Cy0 + E = 0 ⇒ { 5x0 + 2y0 = 2, 2x0 + 2y0 = 5 ⇒ x0 = −1,y0 = 7 2 . No segundo caso, A = 3, B = −4, C = 3, D = 2, E = 4, F = 2. Logo, ∆ = 9− 16 = −7, Det = 3 −4 2−4 3 4 2 4 2 = 3(6− 16) + 4(−8− 8) + 2(−16− 6) = −30− 64− 44 = −138 6= 0, portanto e´ hipe´rbole. Inclinac¸a˜o A = C ⇒ 45o. Centro { Ax0 +By0 +D = 0, Bx0 + Cy0 + E = 0 ⇒ { 3x0 − 4y0 = −2, −4x0 + 3y0 = −4 ⇒ x0 = −6− 16 −7 = 22 7 , y0 = −8− 12 −7 = 20 7 . 4) Determine a equac¸a˜o da para´bola que tem reta diretriz r : x + y = 0 e ve´rtice V (1, 1). R: E´ so´ usar a definic¸a˜o: d(P (x, y), F ) = d(P, r). Mas na˜o sabemos o foco. Sabemos que o ve´rtice esta´ na reta ortogonal a` diretriz que passa pelo foco: r2 : x− y = 1− 1 = 0. A intersec¸a˜o entre as duas retas e´ a origem e o ve´rtice e´ o ponto me´dio entre esta intersec¸a˜o e o foco. Logo, (0, 0) + F 2 = (1, 1)⇒ F = (2, 2)− (0, 0) = (2, 2). Substituindo na definic¸a˜o: √ (x− 2)2 + (y − 2)2 = |x+ y|√ 2 ⇒ 2((x−2)2+(y−2)2) = (x+y)2 ⇒ x2−2xy+y2−8x−8y+16 = 0. P2 de GA 3 5) A equac¸a˜o seguinte e´ a de duas retas concorrentes: x2 + 3xy + 2y2 − 5x− 7y + 6 = 0. Qual e´ o ponto de intersec¸a˜o entre elas e a intersec¸a˜o delas com o eixo Oy. Qual e´ o aˆngulo entre elas? R: Ha´ pelos menos duas maneiras de resolver: Primeiro, a intersec¸a˜o e´ o centro da coˆnica: { Ax0 +By0 +D = 0, Bx0 + Cy0 + E = 0 ⇒ x0 + 3 2 y0 − 5 2 = 0, 3 2 x0 + 2y0 − 7 2 = 0 ⇒ x0 + y0 = 2,2− y0 + 3 2 y0 = 5 2 ⇒ (x0, y0) = A(1, 1). Ale´m disso as intersec¸o˜es com o eixo Oy sa˜o os pontos (0, y) que satisfazem a equac¸a˜o, isto e´, tais que 2y2 − 7y + 6 = 0⇒ y = 7± √ 49− 4 · 12 4 = 7± 1 4 = 3 2 ou 2;B(0, 3 2 ) e C(0, 2). Para calcular o aˆngulo entre as retas podemos aproveitar as coordenadas dos pontos que calculamos, pois o aˆngulo entre as retas tem cosseno com mesmo valor absoluto que o cosseno do aˆngulo entre ~AB e ~AC: cos θ = ~AB · ~AC | ~AB|| ~AC| = (−1, 1 2 ) · (−1, 1)√ 5 4 √ 2 = 3√ 10 . A segunda maneira e´ encontrar as duas retas: x2+3xy+2y2 = (x+y)(x+2y) e (x+y+d)(x+2y+e) = x2+3xy+2y2+(d+e)x+(2d+e)y+de. d+ e = −5, 2d+ e = −7⇒ d = −2, e = −3. Logo, as retas sa˜o r1 : x+ y = 2 , r2 : x+ 2y = 3. Sabendo as equac¸o˜es fica simples determinar o que pede o enunciado.
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