Cálculo II: Integrais e Derivadas Parciais

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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
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Avaliação III – Integrais 
 
As atividades a seguir estão apresentadas por tema de estudo. Para aprofundamento dos estudos, você pode 
também consultar as referências a seguir: 
 
FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Florianópolis: Editora da UFSC, 1988. 
GRANVILE, W. A. Elementos de cálculo diferencial e integral. Rio de Janeiro: Row do Brasil, 1977, Volume 1. 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo em Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. Volume I e II. 
DOMÊNICO, Luiz Carlos de. Matemática. Volume 1. Ed. IBEP, 1997. 
GIOVANI, José Ruy. Matemática. Volume 1. São Paulo: Atual, 1997. 
IEZZI, Gelson e MURATONI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos e Funções. Volume 1. 
São Paulo: Atual, 1994. 
MACHADO, A. dos S., Funções e Derivadas. Matemática – Temas e Metas. São Paulo: Atual, 1991. Volume 6. 
TAYLOR, R. e Thomas, W. Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa Willey S.A. 
Bons Estudos! 
 
 
CONTEÚDOS ABORDADOS: 
 
 Cálculo da superfície de sólido de revolução. 
 Cálculo de volume dos sólidos de revolução. 
 Cálculo de comprimento de arco de curvas 
 Derivadas parciais 
 Integrais com transformação de coordenadas 
 Integrais duplas e triplas 
 
 
 
 
 
 
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1. Calcule a área de superfície de revolução gerada pela rotação, em torno do eixo y, da curva dada por 
 . 
Resposta: 
 
 
( √ ) 
 
2. Determine a área da superfície de revolução obtida com a rotação da curva limitada pelas retas 
 , em torno do eixo ox. 
Resposta: √ 
 
3. Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0  x  9, em torno do eixo do y. 
 
Resposta: A  258,8468 u.a. 
 
4. Calcule o volume de revolução, em torno de ox. 
a) ( ) 
b) √ 
Respostas: 
a) 15π/4 uv b) 31π/5 uv 
 
5. Calcule o volume de revolução, em torno de oy. 
a) 
b) 
Respostas: 
a) 24π/7 uv b) 2π uv 
 
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6. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das curvas f(x), rotacionados em 
torno do eixo x. 
)5,1(,63)()
)3,2(,43)()
)4,1(,
4
1
)()
2
2
2



xxxxcurvafc
xxxxcurvafb
xxxcurvafa
 
Respostas: 
..
5
7614
)
..
30
251
)
..
80
1023
)
vuc
vub
vua



 
 
7. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das curvas f(y), rotacionados em 
torno do eixo y. 
)3,2(,52)()
)4,2(,54)()
)1,0(,
4
3
)()
2
2
2



yyyycurvafc
yyyycurvafb
yyycurvafa
 
Respostas: 
..
15
9782
)
..
5
3726
)
..
80
9
)
vuc
vub
vua



 
 
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8. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das regiões indicadas, ao redor 
do eixo x. 
xyxxyc
xyxxyb
yxxya
2,3)
2,2)
1,12)
2
2
2



 
Respostas: 
..
6
625
)
..
15
992
)
..
5
8
)
vuc
vub
vua



 
 
9. Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8]. 
Resposta: L  9,0734 u.c. 
 
10. Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). 
Resposta: L  7,6 u.c. 
 
11. O comprimento de arco de f(x) = 
 
 ⁄ entre (8, 3) e (27, 8) 
Resposta: 19,65 
 
12. O comprimento de arco de f(x) = 
 
 ⁄ entre (0, 0) e (4, 8). 
Resposta: 
( √ 
 
 )
 
 
 
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13. Determine o comprimento de arco da curva dada. 
31,
4
1
3
1
)
21,
8
1
4
1
)
22,25)
3
2
4



y
y
yxc
x
x
xyb
xxya
 
Respostas: 
..
6
53
)
..
32
123
)
..264)
cuc
cub
cua
 
 
14. Considere a função Encontre as derivadas parciais 
 
 
 
 
 
. 
Respostas:
 
 
 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
 
15. Calcule as derivadas parciais das funções : 
 ) ) 
 
 
 
Respostas: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
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16. Calcule 
x
z


 e 
y
z


 para a função z = 4xy – 2x²y² + 3x³y². 
Respostas: 
x
z


 = 4y - 4xy² + 9x² y² 
y
z


 = 4x - 4x²y + 6x³y 
 
17. Calcule as derivadas parciais das funções : 
a ) h(x,y) = 
443  yx
 
Respostas: 
x
h


 = 
42
3
3.
42
1
43
2
2
43 

 yx
x
x
yx
 
y
h


 = 
4
2
4.
42
1
43
3
3
43 

 yx
y
y
yx
 
 
b) z = cos ( 5x - 3y ) 
Respostas: 
x
z


 = -sen ( 5x - 3y ) . 5 = -5. sen ( 5x - 3y ) 
y
z


 = -sen ( 5x - 3y ) . ( -3 ) = 3. sen ( 5x - 3y ) 
 
 
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c ) f(x,y) = 6x²y - 5x3y2 – 6y 
Respostas: 
x
f


 = 12xy - 15x2y2 
y
f


 = 6x² - 10x3y – 6 
 
d) f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 
Respostas: 
∂f(x, y) /∂x = 2x + y; 
∂f(x, y) / ∂y = 2y + x 
 
18. Determinar as derivadas parciais das seguintes funções. 
2),()
432),()
22
22


yxyxgb
xxyyxyxfa 
Respostas: 
2
2
)
62
434)
22
22
2
2














yx
y
y
g
yx
x
x
g
b
xyx
y
f
yxy
x
f
a
 
 
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19. Resolver as integrais múltiplas: 
 
a)∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
b)∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ∫ ∫ 
√ 
 
 
 
 
d) ∫ ∫ ( ) 
√ 
 
 
 
 
 ) ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
f) ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
a) 
 
 
 b) c) 1/6 d) 
 
 
 e) 
 
 
 f) 
 
20. Calcule as integrais duplas: 
a) 
dxdyy
y
y

32
3
1
 
b) 
dydxx 
2
0
1
0
)3(
 
c) 
dydxxy
x
x

2
2
1
0
 
 
Respostas: 
a) 7/24 
b) 7 
c) 1/40 
 
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21. Calcule as integrais duplas. 







x
x
x
x
x
ydyxdxc
dyxdxb
dydxa
2
2
3
1
4
1
3
2
0
1
0
)
)
)
2
2
3
 
Respostas: 
15
1754
)
3
16
)
12
1
)
c
b
a