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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Avaliação III \u2013 Integrais 
 
As atividades a seguir estão apresentadas por tema de estudo. Para aprofundamento dos estudos, você pode 
também consultar as referências a seguir: 
 
FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Florianópolis: Editora da UFSC, 1988. 
GRANVILE, W. A. Elementos de cálculo diferencial e integral. Rio de Janeiro: Row do Brasil, 1977, Volume 1. 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo em Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. Volume I e II. 
DOMÊNICO, Luiz Carlos de. Matemática. Volume 1. Ed. IBEP, 1997. 
GIOVANI, José Ruy. Matemática. Volume 1. São Paulo: Atual, 1997. 
IEZZI, Gelson e MURATONI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos e Funções. Volume 1. 
São Paulo: Atual, 1994. 
MACHADO, A. dos S., Funções e Derivadas. Matemática \u2013 Temas e Metas. São Paulo: Atual, 1991. Volume 6. 
TAYLOR, R. e Thomas, W. Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa Willey S.A. 
Bons Estudos! 
 
 
CONTEÚDOS ABORDADOS: 
 
\uf0b7 Cálculo da superfície de sólido de revolução. 
\uf0b7 Cálculo de volume dos sólidos de revolução. 
\uf0b7 Cálculo de comprimento de arco de curvas 
\uf0b7 Derivadas parciais 
\uf0b7 Integrais com transformação de coordenadas 
\uf0b7 Integrais duplas e triplas 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
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DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
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1. Calcule a área de superfície de revolução gerada pela rotação, em torno do eixo y, da curva dada por 
 . 
Resposta: 
 
 
( \u221a ) 
 
2. Determine a área da superfície de revolução obtida com a rotação da curva limitada pelas retas 
 , em torno do eixo ox. 
Resposta: \u221a 
 
3. Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0 \uf0a3 x \uf0a3 9, em torno do eixo do y. 
 
Resposta: A \uf040 258,8468 u.a. 
 
4. Calcule o volume de revolução, em torno de ox. 
a) ( ) 
b) \u221a 
Respostas: 
a) 15\u3c0/4 uv b) 31\u3c0/5 uv 
 
5. Calcule o volume de revolução, em torno de oy. 
a) 
b) 
Respostas: 
a) 24\u3c0/7 uv b) 2\u3c0 uv 
 
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UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
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6. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das curvas f(x), rotacionados em 
torno do eixo x. 
)5,1(,63)()
)3,2(,43)()
)4,1(,
4
1
)()
2
2
2
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d\uf03d
\uf03d\uf02b\uf02d\uf03d
\uf03d\uf03d
xxxxcurvafc
xxxxcurvafb
xxxcurvafa
 
Respostas: 
..
5
7614
)
..
30
251
)
..
80
1023
)
vuc
vub
vua
\uf070
\uf070
\uf070
 
 
7. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das curvas f(y), rotacionados em 
torno do eixo y. 
)3,2(,52)()
)4,2(,54)()
)1,0(,
4
3
)()
2
2
2
\uf03d\uf02d\uf02d\uf03d
\uf02d\uf03d\uf02d\uf02b\uf03d
\uf03d\uf03d
yyyycurvafc
yyyycurvafb
yyycurvafa
 
Respostas: 
..
15
9782
)
..
5
3726
)
..
80
9
)
vuc
vub
vua
\uf070
\uf070
\uf070
 
 
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DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
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8. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das regiões indicadas, ao redor 
do eixo x. 
xyxxyc
xyxxyb
yxxya
2,3)
2,2)
1,12)
2
2
2
\uf03d\uf02d\uf03d
\uf03d\uf02d\uf03d
\uf03d\uf02b\uf02d\uf03d
 
Respostas: 
..
6
625
)
..
15
992
)
..
5
8
)
vuc
vub
vua
\uf070
\uf070
\uf070
 
 
9. Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y \u2013 1)³ = x² no intervalo [0,8]. 
Resposta: L \uf040 9,0734 u.c. 
 
10. Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). 
Resposta: L \uf040 7,6 u.c. 
 
11. O comprimento de arco de f(x) = 
 
 \u2044 entre (8, 3) e (27, 8) 
Resposta: 19,65 
 
12. O comprimento de arco de f(x) = 
 
 \u2044 entre (0, 0) e (4, 8). 
Resposta: 
( \u221a 
 
 )
 
 
 
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DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
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13. Determine o comprimento de arco da curva dada. 
31,
4
1
3
1
)
21,
8
1
4
1
)
22,25)
3
2
4
\uf0a3\uf0a3\uf02b\uf03d
\uf0a3\uf0a3\uf02b\uf03d
\uf0a3\uf0a3\uf02d\uf02d\uf03d
y
y
yxc
x
x
xyb
xxya
 
Respostas: 
..
6
53
)
..
32
123
)
..264)
cuc
cub
cua
 
 
14. Considere a função Encontre as derivadas parciais 
 
 
 
 
 
. 
Respostas:
 
 
 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
 
15. Calcule as derivadas parciais das funções : 
 ) ) 
 
 
 
Respostas: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
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16. Calcule 
x
z
\uf0b6
\uf0b6
 e 
y
z
\uf0b6
\uf0b6
 para a função z = 4xy \u2013 2x²y² + 3x³y². 
Respostas: 
x
z
\uf0b6
\uf0b6
 = 4y - 4xy² + 9x² y² 
y
z
\uf0b6
\uf0b6
 = 4x - 4x²y + 6x³y 
 
17. Calcule as derivadas parciais das funções : 
a ) h(x,y) = 
443 \uf02b\uf02b yx
 
Respostas: 
x
h
\uf0b6
\uf0b6
 = 
42
3
3.
42
1
43
2
2
43 \uf02b\uf02b
\uf03d
\uf02b\uf02b yx
x
x
yx
 
y
h
\uf0b6
\uf0b6
 = 
4
2
4.
42
1
43
3
3
43 \uf02b\uf02b
\uf03d
\uf02b\uf02b yx
y
y
yx
 
 
b) z = cos ( 5x - 3y ) 
Respostas: 
x
z
\uf0b6
\uf0b6
 = -sen ( 5x - 3y ) . 5 = -5. sen ( 5x - 3y ) 
y
z
\uf0b6
\uf0b6
 = -sen ( 5x - 3y ) . ( -3 ) = 3. sen ( 5x - 3y ) 
 
 
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c ) f(x,y) = 6x²y - 5x3y2 \u2013 6y 
Respostas: 
x
f
\uf0b6
\uf0b6
 = 12xy - 15x2y2 
y
f
\uf0b6
\uf0b6
 = 6x² - 10x3y \u2013 6 
 
d) f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 
Respostas: 
\u2202f(x, y) /\u2202x = 2x + y; 
\u2202f(x, y) / \u2202y = 2y + x 
 
18. Determinar as derivadas parciais das seguintes funções. 
2),()
432),()
22
22
\uf02d\uf02b\uf03d
\uf02d\uf02b\uf03d
yxyxgb
xxyyxyxfa 
Respostas: 
2
2
)
62
434)
22
22
2
2
\uf02d\uf02b
\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
\uf02d\uf02b
\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
\uf02d\uf02b\uf03d
\uf0b6
\uf0b6
yx
y
y
g
yx
x
x
g
b
xyx
y
f
yxy
x
f
a
 
 
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DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
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19. Resolver as integrais múltiplas: 
 
a)\u222b \u222b ( ) 
 
 
 
 
 
 
b)\u222b \u222b \u222b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) \u222b \u222b 
\u221a 
 
 
 
 
d) \u222b \u222b ( ) 
\u221a 
 
 
 
 
 ) \u222b \u222b \u222b 
 
 
 
 
 
 
 
f) \u222b \u222b 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
a) 
 
 
 b) c) 1/6 d) 
 
 
 e) 
 
 
 f) 
 
20. Calcule as integrais duplas: 
a) 
dxdyy
y
y
\uf0f2\uf0f2
\uf02d32
3
1
 
b) 
dydxx\uf0f2\uf0f2 \uf02b
2
0
1
0
)3(
 
c) 
dydxxy
x
x
\uf0f2\uf0f2
2
2
1
0
 
 
Respostas: 
a) 7/24 
b) 7 
c) 1/40 
 
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