Lista 5 calculo 2

Prévia do material em texto

UFPB / CCEN / Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
5a Lista de Exercícios - Período 2011.2
Assunto:Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Aplicações.
Professor:Fred
[01] Para cada função dada abaixo, calcule as derivadas
@z
@x
,
@z
@y
e
@2z
@x@y
:
a) z = 3x2 � 5xy3 � sen (xy) b) z = �x�py� (x2 + y2)
c) z = 3
p
xy � x2y2 + y4 d) z = arctg
�y
x
�
e) z =
x
y
exp (x2 + y2) f) z =
1
x
log (1� x2 � y2)
[02] Em cada caso abaixo, calcule as derivadas parciais indicadas :
a) f (x; y) = x exp (x� y); fx (1; 1) b) f (x; y) = exp (xy); fy (2; 0)
c) f (x; y) = xseny; fxy (1; �) e fyx (1; �) d) f (x; y) = 3x2y; fx (1; 1) e fy (1; 1)
[03] Considere a função � (x; y) =
8<: exp
� �1
x2 + y2
�
; se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
:Calcule, caso
existam, as derivadas �x (0; 0), �y (0; 0), �xy (0; 0) e �yx (0; 0).
[04] Considere a função: f (x; y) =
8<:
xy (x2 � y2)
x2 + y2
; se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
:
a) Mostre que fxy (0; 0) 6= fyx (0; 0);
b) Estude a continuidade das derivadas fx e fy na origem.
[05] Mostre que as derivadas parciais de primeira ordem da função z =
pjxyj embora
existam em todo o plano R2 calcule as derivadas
@z
@x
,
@z
@y
e
@2z
@x@y
, não são contínuas
na origem.
[06] Considere três funções de uma variávelreal ' , � e , deriváveis até segunda ordem
e satisfazendo às condições '00 (x) + �2' (x) = 0 e 00 (t) + c2�2 (t) = 0, onde c e
� são constantes.Mostre que as funções u (x; t) = ' (x) (t) e v (x; t) = � (x� ct)
satisfazem a equação linear de ondas:
@2w
@t2
� c2@
2w
@x2
= 0.
[07] Mostre que a função u (x; t) =
1p
t
exp
�
� x
2
4kt
�
, onde t > 0 e k é uma constante,
satisfaz a equação de transmissão do calor:
@w
@t
� k@
2w
@x2
= 0.
[08] Denote por4 = @
2
@x2
+
@2
@t2
o Operador Laplaciano. Mostre que as funções u (x; y) =
arctg
�y
x
�
e u (x; y) = ex cos y satisfazem a equação de Laplace 4u = 0.
[09] Determine condições sobre as constantes A;B;C;D;E e F para que a função
u (x; y) = Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F
seja solução da equação de Laplace.
[10] Sejam u (x; y)e v (x; y) funções com derivadas parciais contínuas até segunda ordem
e satisfazendo às equações
@u
@x
=
@v
@y
e
@u
@y
= �@v
@x
. Mostre que u e v satisfazem a
equação de Laplace.
[11] Mostre que w = x2y+ y2z+ z2x satisfaz a equação
@w
@x
+
@w
@y
+
@w
@z
= (x+ y + z)2.
[12] Considere a função f (x; y) =
8<:
3x2y
x2 + y2
; se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
.
a) Prove que f é contínua na origem.
b) Prove que as derivadas parciais fx e fy existem na origem, mas não são con-
tínuas nesse ponto.
c) Veri…que que f não é diferenciável na origem. Por que isto não contradiz o
Lema Fundamental ?
[13] Prove ou apresente um contra-exemplo :
a) Toda função diferenciável possui derivadas parciais de primeira ordem con-
tínuas.
b) Toda função diferenciável é contínua.
c) Se uma função de duas variáveis possui derivadas parciais de primeira ordem,
então ela é contínua.
[14] Usando o Lema Fundamental, veri…que se as funções dadas a seguir são diferen-
ciáveis nos domínios indicados:
a) z = x2y4; D = R2 b) z =
exy
x� y ; D = f(x; y) 2 R
2 j x 6= yg
c) z = log (x2 + y2) ; D = R2 � f(0; 0)g d) z = xy
x2 + y2
; D = R2 � f(0; 0)g
[15] Mostre que a função
f (x; y) =
8><>: (x
2 + y2) sen
 
1p
x2 + y2
!
; se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
é diferenciável na origem, mas as derivadas parciais fx e fy são descontínuas.