Matematica Discreta Aula 1

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MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 1
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. 
Aula 1
Teoria dos Conjuntos
Conteúdo
•Introdução
•A Importância da Matemática Discreta
•Teoria dos Conjuntos
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
“Um profissional de computação que possui
conhecimentos em matemática é capaz de resolver
problemas profundos, oferecendo soluções claras,
organizadas, criativas e eficientes.” (Silva, 2005)
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática
Valoriza o pensamento abstrato, a formalização, a 
capacidade de reconhecer estruturas semelhantes sob um 
manto de detalhes irrelevantes.
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Introdução à Matemática Discreta
Fazer Matemática
Não é trabalhar com números, e sim, com abstrações do 
mundo real, envolvam ou não estas abstrações 
quantidades exatas e mensuráveis.
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Introdução à Matemática Discreta
Finalidades da Matemática
• Apresentar informações em uma forma assimilável,
• Prover métodos (estruturas) convenientes para resolver
• problemas,
• Predizer o comportamento de sistemas reais.
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PROBLEMA 
REAL
MODELO 
MATEMÁTICO
RESULTADO
SOLUÇÃO
MODELAGEM ABSTRAÇÃO
ANÁLISE
INTERPRETAÇÃO
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Possui como ênfase os estudos matemáticos baseados em
conjuntos contáveis, finitos ou infinitos.
O estudo da Matemática Discreta irá permitir o
desenvolvimento da maturidade matemática (habilidade de
entender e criar argumentos matemáticos).
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Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Fundamento para várias áreas da computação, como:
• Algorítmos
• Bancos de Dados
• Linguagens de Programação
• Sistemas Operacionais
• etc.
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Introdução à Matemática Discreta
A Matemática Discreta
Background para solução de problemas em outras áreas,
como:
• Pesquisa Operacional
• Engenharia
• Biologia
• Ciências Sociais
• etc.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos
O que estes grupos têm em comum?????
Buquê de Rosas Grupo de pessoas
Dúzia de ovos
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos - Coleção não ordenada de objetos
(denominados elementos ou membros do conjunto).
Normalmente todos os objetos em um conjunto
gozam de uma mesma propriedade (além da de pertencer
ao conjunto!).
Qualquer objeto que contenha a propriedade é um
elemento do conjunto e qualquer objeto que não tem a
propriedade não é um elemento.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Buquê de Rosas Grupo de pessoas
Dúzia de ovos
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
- Conceitos
• Pertinência – Notação:∈∈∈∈
Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é
dito pertencer aquele conjunto, ou ainda, o elemento x
possui o predicado P.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Exemplos:
Uma rosa pertence ao ∈∈∈∈
conjunto buquê de rosas.
∈∈∈∈ Uma pessoa pertence ao 
conjunto grupo de pessoas
Um ovo pertence ao
conjunto dúzia de ovos. ∈∈∈∈
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
- Conceitos
Se o elemento x não pertence ao conjunto, denota-
se por ∉∉∉∉, que também pode ser equivalente a dizer que x
não está no conjunto, ou ainda que x não possui o
predicado P.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Exemplos:
Uma rosa não pertence ao ∉∉∉∉
conjunto grupo de pessoas.
∉∉∉∉ Uma pessoa não pertence 
ao conjunto dúzia de ovos.
Um ovo não pertence ao ∉∉∉∉
conjunto buquê de rosas.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
- Notação
Usamos letras maiúsculas para denotarem conjuntos e
chaves para indicá-los.
- Para o conjunto das vogais, temos:
A = {a,e,i,o,u}
Em relação aos elementos i e h, podemos afirmar que:
i ∈ A e h ∉ A.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Ainda para o conjunto das vogais:
{a,e,i,o,u} ou {e,i,a,o,u} ou {i,a,e,o,u} etc.
Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de
objetos, a ordem na qual os elementos são escritos não
importa!
Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos 
elementos!
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
1. Listando (ou listando parcialmente) os elementos:
Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u}
2. Indicando um padrão (normalmente para conjuntos
infinitos):
P = {2, 4, 6, 8, ...}
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Como definir um conjunto?
3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize o
conjunto de elementos:
A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7}
S={x|x é solução para x2 – 4 = 0}
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
• Conjunto Universo – Notação: U
Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente
Universo de uma Teoria a todos os entes que são
considerados como elementos nesta Teoria.
Exemplo: em geometria, o Universo é o conjunto de todos
os pontos.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
• Conjunto Universo – Notação: U
U
A B
C
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Importantes
• ∅: ∅ = { }, o conjunto vazio (observe que Φ ≠ {Φ}).
• N : números naturais: {0, 1, 2, 3, . . .}.
• Z : números inteiros: {. . . , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
• Q : números racionais: {x/y : x ∈ Z e y ∈ Z e y ≠ 0} .
• R: números reais.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Importantes
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjunto Potencia: P(A)
Dado um conjunto arbitrário, é possível construir
novos conjuntos cujos elementos são partes do
conjunto inicial.
Sendo A um conjunto qualquer, de nota-se por P(A) o
conjunto constituído por todos os subconjuntos de A,
isto é: P(A) = { X : X ⊆⊆⊆⊆ A}
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Complemento:
Dado um conjunto A qualquer, o conjunto
complementar de A em relação ao Universo é formado por
todos os elementos do Universo que não pertencem ao
conjunto A.
O conjunto complementar de A será:
A’ ou Ā.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Complemento:
A
U
A’
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
Podemos dizer que um conjunto é finito se for
possível contar os seus elementos, ou seja, se for o
conjunto vazio ou se for possível estabelecer uma
correspondência entre os seus elementos.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos
inferiores a 10:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} CONJUNTO FINITO
Exemplo: O conjunto dos números pares:
B = {2,4,6,8,10,12,...} CONJUNTO INFINITO
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
• União:
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Diagrama de Venn :
AUB
A B
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
• Intersecção:
A∩B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Diagrama de Venn :
A∩B
A B
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
• Intersecção:
Quando a intersecçãode dois conjuntos A e B é o conjunto 
vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
A ∩ B = øA B
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Operações sobre Conjuntos
• Diferença:
A-B = {x | x ∈ A ou x ∉ B }
Diagrama de Venn :
A-B
A BA
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
• Igualdade: Dois conjuntos são iguais se e somente se
tiverem os mesmos elementos.
Se um conjunto A for igual a um conjunto B escreve-se:
A = B 
Para verificar se dois conjuntos são iguais basta
verificar se todo o elemento de A é elemento de B e se todo
o elemento de B é elemento de A.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
Exemplo: Verificar se os conjuntos A, B e C são iguais.
A = {u, e, a, o}
B = {a, e, i, o, u}
C = {i, u, a, o, e}
A ≠ B; A ≠ C; B = C
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
• Continência - Notação: ⊆⊆⊆⊆
Se todo o elemento de A também for elemento de B
(independentemente do fato de todo o elemento de B poder
ser ou não elemento de A) podemos dizer que o conjunto A
está contido no conjunto B.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
Exemplo: Sejam os conjuntos:
A = {u, e, a, o}
B = {a, e, i, o, u}
C = {i, u, a, o, e}
Podemos dizer: A ⊆⊆⊆⊆ B e A ⊆⊆⊆⊆ C
Neste caso, também podemos dizer que
A é subconjunto de B.
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
Relações entre conjuntos
Representação
A = {1,3,5,7,9}
B = {3,5}
B ⊆ A
B é subconjunto de A
1
9
7
3
5
A
B
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
• C é subconjunto de B;
• B é subconjunto de A; então,
• C é subconjunto de A; e
A, B e C são subconjuntos de U!
C
A
B
U
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Introdução à Teoria dos Conjuntos
• C ⊆ B; C ⊆ A; C ⊆ U
• B ⊆ A; B ⊆ U
• A ⊆ U
C
A
B
U
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Exercícios
Faça a representação dos conjuntos abaixo em forma de 
lista:
a) A = {x ∈ N | x é impar},
b) B = {x ∈ Z | – 3 ≤ x < 4} 
c) C = {x ∈ Z | x < 6}
a) A= {1,3,5,7,9,11,...}
b) B = {-3,-2,-1,0,1,2,3}
c) C = {..., -2,-1,0,1,2,3,4,5}
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Exercícios
Determine os conjuntos A, B e C:
A = {0,1,2,3}
B = {2,3,5,6,7}
C = {2,4,5,8,9}
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Determine :
a)AUB
b)BUC
c)AUC
d)AUBUC
e)A∩B
f)A∩C
g)B∩C
h)A∩B∩C
i)(A ∩ B) U (B ∩ C)
j)A ∩ C U B
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Exercícios
a)AUB = {0,1,2,3,4,5,6,7}
b) BUC = {2,3,4,5,6,7,8,9}
c) AUC = {0,1,2,3,4,8,9}
d)AUBUC = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
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Exercícios
e) A∩B = {2,3}
f) A ∩C = {2,4}
g) B ∩C = {2,5}
h) A ∩B ∩C = {2}
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Exercícios
i)(A ∩ B) U (B ∩ C) 
A∩B = {2,3}
B ∩C = {2,5}
(A ∩ B) U (B ∩ C) = {2,3,5} 
j) A ∩ C U B
A ∩C = {2,4}
A ∩ C U B = {2,3,4,5,6,7}
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Exercício: Em um vôo proveniente de Miami, a ANVISA
constatou que dentre todas as pessoas a bordo
(passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela
cidade do México.
Sejam os conjuntos:
U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.
M = {pessoas que passaram pelo México}.
A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.
P = {passageiros do vôo}.
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Escreva a expressão em conjuntos e elabore o diagrama
de Venn para as proposições:
(A) Passageiros com sintomas da gripe que não passaram
pela cidade do México.
(B) Passageiros com sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
(C) Tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
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(D) Tripulantes com sintomas da gripe que não passaram
pela cidade do México.
(E) Tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
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Pessoas 
à bordo - U
Sintomas
Inf. A - A
Passageiros
P
Passaram
pelo México 
M
U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.
M = {pessoas que passaram pelo México}.
A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.
P = {passageiros do vôo}.
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Pessoas 
à bordo - U
Sintomas
Inf. A - A
Passageiros
P
Passaram
pelo México 
M
U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.
M = {pessoas que passaram pelo México}.
A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.
P = {passageiros do vôo}.
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Pessoas 
à bordo - U
Sintomas
Inf. A - A
Passageiros
P
Passaram
pelo México M
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(A) Passageiros com sintomas da gripe que não passaram
pela cidade do México.
Pessoas 
à bordo - U
Sintomas
Inf. A - A
Passageiros
P
Passaram
pelo México M
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(B) Passageiros com sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
Pessoas 
à bordo - U
Sintomas
Inf. A - A
Passageiros
P
Passaram
pelo México M
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(C) Tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
Pessoas 
à bordo - U
Sintomas
Inf. A - A
Passageiros
P
Passaram
pelo México M
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(D) Tripulantes com sintomas da gripe que não passaram
pela cidade do México.
Pessoas 
à bordo - U
Sintomas
Inf. A - A
Passageiros
P
Passaram
pelo México M
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
(E) Tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela
cidade do México.
Pessoas 
à bordo - U
Sintomas
Inf. A - A
Passageiros
P
Passaram
pelo México M
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Exercícios
Um programa de busca da internet tem o seguinte conjunto
em seu banco de dados:
A = {automóveis à venda}. A possui os subconjuntos:
B= {carros usados}
C = {carros Ford}
D = {carros Volkswagen}
E= {modelos anteriores1995}
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Exercícios
Você quer procurar todas as referências sobre carros
usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995 ou mais novos.
Qual é a expressão que representa a sua pesquisa em
notação de teoria de conjuntos?
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A = {automóveis à venda} com subconjuntos
B= {carros usados}, C = {carros Ford}, 
D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}
Automóveis 
à venda
Carros
usados
Carros
Ford
Carros
Volkswagen
anteriores
a 1995
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A = {automóveis à venda} com subconjuntos
B= {carros usados}, C = {carros Ford}, 
D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}
Automóveis 
à venda - A
Carros
Usados - B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
anteriores
a 1995 - E
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A = {automóveis à venda} com subconjuntos
B= {carros usados}, C = {carros Ford}, 
D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}
Automóveis 
à venda - A
Carros
Usados - B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
anteriores
a 1995 - E
CONJUNTO
UNIVERSO
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Automóveis 
à venda - A
Carros
Usados -B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
anteriores
a 1995 - E
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Automóveis 
à venda - A
Carros
Usados -B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
Anteriores
a 1995 -E
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Automóveis à 
venda - A
Carros
Usados -B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
Anteriores
a 1995 -E
Aula 1 - Teoriados Conjuntos
Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995
ou mais novos.
Automóveis à 
venda - A
Carros
Usados -B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
Anteriores
a 1995 -E
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo
1995 ou mais novos.
Automóveis à 
venda - A
Carros
Usados -B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
Anteriores
a 1995 -E
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo
1995 ou mais novos.
Automóveis à 
venda - A
Carros
Usados -B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
Anteriores
a 1995 -E
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo
1995 ou mais novos.
Automóveis à 
venda - A
Carros
Usados -B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
Anteriores
a 1995 -E
Aula 1 - Teoria dos Conjuntos
((C∩B) – (C∩E) U (D∩B) – (D∩E))
Automóveis à 
venda - A
Carros
Usados -B
Carros
Ford - C
Carros
Volkswagen
D
Anteriores
a 1995 -E