Custos

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Minimização de custos
Roberto Guena de Oliveira
USP
30 de agosto de 2013
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 1 / 43
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custo
O caso de um único fator variável
Custos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 2 / 43
Conceitos básicos
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custo
O caso de um único fator variável
Custos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 3 / 43
Conceitos básicos
Custos econômicos e custos contábeis
Custos contábeis são os custos medidos em termos de
valores pagos por uma firma na aquisição de seus
insumos de produção.
Custos econômicos ou custos de oportunidade são os
custos medidos em termos do ganho advindo do melhor
uso alternativo dos insumos de produção.
As diferenças entre custos contábeis e econômicos
envolvem:
Os custos contábeis são baseados em valores no
momento da aquisição dos bens, os custos econômicos
são baseados nos valores atuais.
Custos contábeis não incluem custos implícitos, custos
econômicos, sim. Talvez o mais importante dos custos
implícitos seja o custo de oportunidade do capital.
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F. Custo
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custo
O caso de um único fator variável
Custos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 5 / 43
F. Custo
A função de custo
A função de custo é uma função que associa a cada cada
quantidade de produto y, o custo total (CT) mímimo no qual a
firma deve incorrer para produzir essa quantidade.
Evidentemente, esse custo depende, além da quantidade
produzida, dos preços dos insumos de produção. Assim, no
caso em que há apenas dois insumos de produção, x1 e x2,
com preços ω1 e ω2, a função de custo terá a forma
CT = c(ω1, ω2, y).
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F. Custo
A função de custo de curto prazo
Caso um ou mais fatores de produção sejam fixos (curto
prazo), a função de custo também terá por argumento a
quantidade do fator de produção que é mantido fixo. Por
exemplo, caso x2 seja mantido fixo em x2, então a função de
custo (de curto prazo) terá a forma
CT = c(ω1, ω2, y, x2).
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F. Custo
Custos fixo e variável
O csuto total (CT) de uma empresa pode ser dividido em
Custo Variável (CV(ω1, ω2, y)) trata-se da parcela do custo
correspondente à contratação de fatores variáveis.
Custo Fixo (CF) trata-se da parcela do custo correspondente à
contratação de fatores fixos. Caso todos os fatores
de produção sejam variáveis, então o custo fixo
será nulo e o custo total coincidirá com o custo
variável.
Portanto temos,
CT = CV +CF
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F. Custo O caso de um único fator variável
A função de custo com apenas um fator variável
Suponha uma firma que produza empregando apenas dois
insumos de produção, x1 e x2, sendo que o segundo insumo é
empregado em quantidade fixa x2 = x2. Seja y = f (x1, x2) a
sua função de produção. Então a função de custo de curto
prazo dessa empresa será dada por
c(ω1, ω2, y, x2) = ω1x1(y, x2) +ω2x2
na qual x1(y, x2) é uma função definida por
f (x1(y, x2), x2) = y.
ω1x1(y, x2) é o custo variável. ω2x2 é o custo fixo.
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F. Custo O caso de um único fator variável
Derivação da função de custo de curto prazo
1 Inverta a função de
produção f (x1, x2) para
encontrar a função
x1(y, x2).
2 CV = ω1x1(y, x2).
3 CF = ω2x2.
4 CT = c(ω1, ω2, y, x2)
= ω2x2 +ω1x1(y, x2)
y
x1
f (x1, x2)
45◦
x1
y
f (x1, x2)
x1(y, x2)x1(y, x2)
CV = ω1x1(y, x2)
C
u
st
o
s
y
CF = ω2x2
CT = CF+CV
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F. Custo O caso de um único fator variável
Exemplo
Determine a função de custo de curto prazo de uma empresa
cuja função de produção é f (x1, x2) =
p
x1x2, sabendo que o
fator de produção 2 é empregado em quantidade fixa x2 = x¯2.
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F. Custo O caso de um único fator variável
Exercício
Determine a função de custo de curto prazo para as seguintes
funções de produção considerando o emprego fixo do fator de
produção 2 em x2 = x¯2.
1 f (x1, x2) =
p
x1 +
p
x2;
2 f (x1, x2) = x1 + x2;
3 f (x1, x2) = x1x2;
4 f (x1, x2) = ln(1+ x1) + ln(1+ x2).
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F. Custo Custos com um mais de um fator variável
O problema de minimização de custos mais de
um fator variável
No caso geral com mais de um fator variável, a função de
custo é obtida através da solução do seguinte problema:
min
x1,...,xn
ω1x1 +ω2x2 + . . .+ωnxn
tal que f (x1, . . . , xn) ≥ y
notas
As quantidades dos isumos que resolvem esse problema
são chamadas demandas condicionadas ou contingentes
desses insumos, sendo notadas por xc
i
(ω1, . . . , ωn, y).
A função de custo será dada por
c(ω1, . . . , ωn, y) =
ω1x
c
1
(ω1, . . . , ωn, y) + . . .+ωnx
c
n
(ω1, . . . , ωn, y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 13 / 43
F. Custo Custos com um mais de um fator variável
Solução gráfica: dois insumos variáveis
Curvas de isocusto
x2
x1
ω
1 x
1 +
ω
2 x
2 =
c 0
tan= − ω1ω2
ω
1 x
1 +
ω
2 x
2 =
c 1
ω
1 x
1 +
ω
2 x
2 =
c 2
Solução
x2
x1
f (x1, x2) = y
b
xc
1
xc
2
|TTS| = ω1
ω2
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 14 / 43
F. Custo Custos com um mais de um fator variável
Minimização de custos: solução matemática
O problema
min
x1,...,xn
ω1x1 +ω2x2 + . . .+ωnxn
tal que f (x1, . . . , xn) ≥ y e x1, . . . xn ≥ 0
O lagrangeano
L = ω1x1 +ω2x2 + . . .+ωnxn − λ(f (x1, . . . , xn)− y)
Condições de 1ª ordem além de f (x1, . . . , xn) = y
ωi ≥ λ
∂f (x1, . . . , xn)
∂xi
e x
‚
ωi − λ
∂f (x1, . . . , xn)
∂xi
Œ
= 0
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 15 / 43
F. Custo Custos com um mais de um fator variável
Exemplo: função de produção Cobb-Douglas
Função de produção:
f (x1, x2) = x
α
1
x
β
2
Condições de primeira ordem:


f (x1, x2) = y ⇒ xα1x
β
2 = y
|TTS| =
ω1
ω2
⇒
α
β
x2
x1
=
ω1
ω2
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 16 / 43
F. Custo Custos com um mais de um fator variável
Exemplo: função de produção Cobb-Douglas
As demandas condicionais:
x1(ω1, ω2, y) = y
1
α+β
–
α
β
ω2
ω1
™ β
α+β
x2(ω1, ω2, y) = y
1
α+β
–
β
α
ω1
ω2
™ α
α+β
A função de custo:
c(ω1, ω2, y) = ω1x1(ω1, ω2, y) +ω2x2(ω1, ω2, y)
= y
1
α+βω
α
α+β
1 ω
β
α+β
2
α+ β
α
α
α+ββ
β
α+β
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 17 / 43
F. Custo Custos com um mais de um fator variável
Propriedades:
O multiplicador de Lagrange associado ao problema de
minimização de custo pode ser interpretado como o custo
marginal, isto é
λ =
∂c(ω1, . . . , ω2, y)
∂y
A função de custo é não decrescente em relação aos
preços dos insumos e em relação ao produto.
A função de custo é côncava em relação aos preços dos
insumos
(Lema de Shephard) Caso a função de custo seja
diferenciável em relação ao preço do insumo i, teremos
∂c(ω1, . . . , ω2, y)
∂ωi
= xc
i
(ω1, . . . , ω2, y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 18 / 43
F. Custo Custos com um mais de um fator variável
Exercício
Encontre as funções de custo associadas às seguintes funções
de produção:
1 f (x1, x2) =
p
x1x2;
2 f (x1, x2) = ln(x1 + 1) + ln(x2 + 1);
3 f (x1, x2) =min{x1, x2};
4 f (x1, x2) = x1 + x2.
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F. Custo Custos com um mais de um fator variável
Nota:
Quando se supõeos preços dos fatores de produção são
mantidos inalterados, é comum notar a função de custo
simplesmente por
c(y).
De modo análogo, as funções de demanda condicionais pelos
insumos de produção são notadas por
xc
1
(y) e xc
2
(y)
ou ainda, simplesmente,
x1(y) e x2(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 20 / 43
F. Custo Custos com um mais de um fator variável
Caminho de expansão e curva de custo
x2
x1
y = y
bx2(y)
x1(y)
y = 2y
bx2(2y)
x1(2y)
b
Caminho de expansão
y
C
u
st
o
ω1x1(y) +ω2x2(y)
y
b
ω1x1(2y) +ω2x2(2y)
2y
b
b Curva de custo
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 21 / 43
Medidas de custo unitário
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custo
O caso de um único fator variável
Custos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 22 / 43
Medidas de custo unitário
Custos unitários
Custo Médio (CM)
CM =
CT
y
Custo Variável Médio (CVM)
CVM =
CV
y
Custo Fixo Médio (CFM)
CFM =
CF
y
Custo Marginal (CMg)
CMg =
∂CT
∂y
=
∂CV
∂y
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 23 / 43
Medidas de custo unitário
A geometria dos custos: inclinações
y
C
T
c(y)
y
CF(y)
CV(y)
CMg(y)
CM(y)
CVM(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 24 / 43
Medidas de custo unitário
As curvas de custo marginal e médio
y
C
T
c(y)
b
y0 y1
y
C
V
M
,C
M
g
y0 y1
CM(y) CMg(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 25 / 43
Medidas de custo unitário
As curvas de custo marginal e variável médio
y
C
T
c(y)
b
y0 y2
y
C
V
M
,C
M
g
y0 y2
CVM(y)
CMg(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 26 / 43
Medidas de custo unitário
As curvas de custo unitário
y
C
u
st
o
s
u
n
it
á
ri
o
s
CMg(y)
CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 27 / 43
Medidas de custo unitário
Relações entre custos médios e custo marginal
Custo médio e custo marginal
Inclinação da curva de custo médio:
dCM(y)
dy
=
d
CT(y)
y
dy
=
yCMg− CT
y2
=
CMg(y)− CM(y)
y
Custo variável médio e custo marginal
Inclinação da curva de custo variável médio:
dCVM(y)
dy
=
d
CV(y)
y
dy
=
yCMg− CV
y2
=
CMg(y)− CVM(y)
y
.
Valor do custo variável médio quando produção é nula:
lim
y→0
CVM = lim
y→0
CV(y)
y
= lim
y→0
CV(y)− CV(0)
y− 0 = CMg
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 28 / 43
Medidas de custo unitário
Geometria dos custos:áreas
y
C
u
st
o
s
u
n
it
á
ri
o
s
CMg(y)
CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
y
CT(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 29 / 43
Medidas de custo unitário
Geometria dos custos:áreas
y
C
u
st
o
s
u
n
it
á
ri
o
s
CMg(y)
CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
y
CV(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 30 / 43
Medidas de custo unitário
Geometria dos custos:áreas
y
C
u
st
o
s
u
n
it
á
ri
o
s
CMg(y)
CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
y
CV(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 31 / 43
Medidas de custo unitário
Geometria dos custos:áreas
y
C
u
st
o
s
u
n
it
á
ri
o
s
CMg(y)
CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
y
CV(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 32 / 43
Medidas de custo unitário
Propriedades da função de custo
1 A função de custo é não decrescente em relação ao
produto:
y∗ > y′ ⇒ c(w1,w2,y∗) ≥ c(w1,w2,y′)
2 A função de custo é não crescente em relação aos preços
dos insumos:
w∗
1
≥ w′
1
e w∗
2
≥ w′
2
⇒ c(w∗
1
,w∗
2
,y) ≥ c(w′
1
,w′
2
,y)
3 A função de custo é côncava em relação aos preços dos
insumos.
4 Lema de Shephard:
∂c(w1,w2,y)
∂wi
= xi(w1,w2,y), i = 1,2
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 33 / 43
Curto e longo prazos
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custo
O caso de um único fator variável
Custos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 34 / 43
Curto e longo prazos
Curto e longo prazos
Curto prazo
Um ou mais fatores são fixos e, portanto, parte do custo é
fixa.
Custo total e custo variável são diferentes, mesmo
ocorrendo com os custos médio e variável médio.
Longo prazo
Não há fatores fixos: todos os custos são variáveis.
Custo total e custo variável são iguais, mesmo ocorrendo
com os custos médio e variável médio.
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 35 / 43
Curto e longo prazos
Economias de escala
Diz-se que uma função de
custo de longo prazo
apresenta economias de
escala caso o custo médio
seja decrescente em relação
à produção.
y
C
u
st
o
s
u
n
it
á
ri
o
s
CMg(y)
Economias
de escala
Desecono-
mias de
escala
CM(y)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 36 / 43
Curto e longo prazos
Elasticidade produto do custo εc,y
Trata-se de uma medida pontual para economias de escala
definida por
εc,y =
dc(y)
dy
y
c(y)
=
CMg(y)
CM(y)
.
É possível mostrar que
εc,y =
1
PMg1
PM1
+
PMg2
PM2
Portanto, economias de escala e deseconomias de escala
ocorrem quando há, respectivamente, rendimentos
crescentes de escala e rendimentos decrescentes de escala.
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 37 / 43
Curto e longo prazos
As curvas de custo de longo e de curto prazos
y
C
u
st
o
s
cℓ(y)
y0
cc(y,x2(y
0))
y1
cc(y,x2(y
1))
y2
cc(y,x2(y
2))
y
C
u
st
o
s
M
é
d
io
s
y2y1
CMℓ
CMgℓ
CMc CMgc
y0
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 38 / 43
Curto e longo prazos
Economias de escopo
Seja c(q1,q2) a função que descreve o custo de uma empresa
em relação às quantidades obtidas de seus dois produtos, q1
e q2. Dizemos que essa empresa apresenta economias de
escopo caso, para q∗
1
> 0 e q∗
2
> 0 tivermos
c(q∗
1
,0) + c(0,q∗
2
) > c(q∗
1
,q∗
2
)
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 39 / 43
Curto e longo prazos
Elasticidade de substituição σ
Definição
σ =
d
x2
x1
d|TTS|
|TTS|
x2
x1
Interpretação
Em que percentual deve variar a relação x2(y)/x1(y) caso o
preço relativo ω1/ω2 varie 1%.
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 40 / 43
Curto e longo prazos
Dica para cálculo de elasticidade
Seja a função Y = f (X) e sejam y = lnY e x = lnX. Então
ey = f (ex) = f (X) ou y = ln f (ex) = ln f (X).
Assim, =
dy
dx
=
d ln f (X)
dx
=
df (X)
dX
dX
dx
=
df (X)
dX
X
f (X)
= εY,X.
Portanto, toda elasticidade pode ser medida como a derivada
do logaritmo de uma variável em relação ao logaritmo de
outra variável.
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 41 / 43
Curto e longo prazos
Exemplo: função de produção Cobb-Douglas
f (x1,x2) = x
α
1
x
β
2
|TTS| =
α
β
x2
x1
ln |TTS| = ln
α
β
+ ln
x2
x1
⇒ ln
x2
x1
= ln |TTS| − ln
α
β
σ =
d ln x2
x1
d ln |TTS|
= 1
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 42 / 43
Curto e longo prazos
Exemplo: função de produção CES
f (x1,x2) = A
€
ax
ρ
1 + (1− a)x
ρ
2
Š 1
ρ
|TTS| =
a
1− a
�
x2
x1
�1−ρ
ln |TTS| = ln
a
1− a
+ (1− ρ) ln
x2
x1
⇒ ln
x2
x1
=
ln |TTS| − ln a1−a
1− ρ
σ =
d ln x2
x1
d ln |TTS| =
1
1− ρ
Roberto Guena de Oliveira (USP) custos 30 de agosto de 2013 43 / 43
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