Anexos_2015121

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Aula 12 - CISALHAMENTO TRANSVERSAL.pdf
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
Aula 12
Antonio Otto;
Eng. Mecânico
Esp. em Engenharia de Petróleo e Gás
Novembro de 2015
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
Cisalhamento em elementos retos
Anteriormente, foi visto que em geral, as vigas
suportam cargas de cisalhamento e também de
momento fletor.
O cisalhamento V é o resultado de uma
distribuição de tensão de cisalhamento transversal que
age na seção transversal da viga.
Se as superfícies superior e inferior de
cada tábua forem lisas e as tábuas
estiverem soltas, a aplicação da carga P
fará com que as tábuas deslizem uma sobre
a outra e, assim, a viga sofrerá a deflexão
mostrada na fig. A; em contra partida, se
estiverem unidas entre elas, impedirão que
haja o deslizamento, e assim, a viga agirá
como se formada de uma única peça, fig. B.
É possível exemplificar fisicamente por que a tensão de cisalhamento se desenvolve
nos planos longitudinais de uma viga considerando que ela é composta por três tábuas.
Como resultado da tensão de cisalhamento, serão desenvolvidas tensões de
deformação que tenderão a distorcer a seção transversal de modo complexo.
Para exemplificar, tome um material com
alto grau de deformação e, marcado com uma
grade de linhas em toda sua extensão.
Quando é aplicado um cisalhamento V, as
linhas da grade tendem a deformar conforme o
padrão mostrado.
Ao contrário da flexão, no caso do cisalhamento transversal, a distribuição da
deformação por cisalhamento ao longo da largura de uma viga não pode ser expressa
facilmente em termos matemáticos.
Por exemplo, ela não é uniforme nem linear para seções transversais retangulares, como
se vê na imagem anterior.
A fórmula do cisalhamento
A equação é conhecida como fórmula do cisalhamento.
𝜏 =
𝑉.𝑄
𝐼. 𝑡
Onde:
τ = Tensão de cisalhamento no elemento no ponto
localizado à distância y’ do eixo neutro.
Consideramos portanto que essa tensão é constante e,
portanto, média, por toda a largura t do elemento.
A fórmula do cisalhamento
V = Força de cisalhamento interna resultante, determinada pelo método das seções e pelas
equações de equilíbrio.
I = Momento de inércia da área da seção transversal inteira, calculada em torno do eixo
neutro.
t = Largura da área da seção transversal do elemento, medida no ponto onde τ deve ser
determinado.
Q = 𝒚′. 𝑨′, onde A’ é a porção superior/inferior da área da seção transversal do elemento,
definido pela seção onde t é medida e 𝑦′ é a distância até o centroide de A’, medida em
relação ao eixo neutro.
Exercícios
1 - A viga de madeira está sujeita a uma força de cisalhamento vertical interna resultante V =
3kN. (A) Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P e (B) calcule a tensão de
cisalhamento máxima na viga.
𝐼 =
𝑏. ℎ3
12
→
𝑄 = 𝑦′. 𝐴′ →
𝜏𝑝 =
𝑉. 𝑄
𝐼. 𝑡
→
A)
Momento de inércia
Cálculo de Q
Tensão de Cisalhamento
3𝑥103 𝑁 ∗ 18,75𝑥104𝑚𝑚³
16,28𝑥106𝑚𝑚4 ∗ 100𝑚𝑚
= 0,346 𝑀𝑃𝑎
12,5𝑚𝑚 +
50𝑚𝑚
2
50𝑚𝑚 ∗ 100𝑚𝑚 = 18,75𝑥104𝑚𝑚³
100𝑚𝑚 ∗ 1253𝑚𝑚
12
= 16,28𝑥106𝑚𝑚4
𝑄 = 𝑦′. 𝐴′ →
B)
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉.𝑄
𝐼. 𝑡
→
62,5𝑚𝑚
2
62,5𝑚𝑚 ∗ 100𝑚𝑚 = 19,53𝑥104𝑚𝑚³
3𝑥103 𝑁 ∗ 19,53𝑥104𝑚𝑚³
16,28𝑥106𝑚𝑚4 ∗ 100 𝑚𝑚
= 0,36 𝑀𝑃𝑎
Cálculo de Q
Tensão de Cisalhamento
Exercícios
2 – O raio da haste de aço é 30 mm. Se ela for submetida a um cisalhamento V= 25kN,
determine a tensão de cisalhamento máxima.
𝐼 =
𝜋
4
𝑟4 →
𝑄 = 𝑦. 𝐴′ →
25𝑥103 𝑁 ∗ 18000 𝑚𝑚³
202500𝜋 𝑚𝑚4 ∗ 2 ∗ 30 𝑚𝑚
𝜋 ∗ 304
4
= 202500𝜋 𝑚𝑚4
4
3𝜋
𝑐 ∗
𝜋
2
𝑐2 ∴
2
3
𝑐3 →
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉.𝑄
𝐼. 𝑡
→ = 11,79 𝑀𝑃𝑎
𝑄 =
2
3
30 𝑚𝑚 3 = 18000 𝑚𝑚3
Momento de inércia
Cálculo de Q
Tensão de Cisalhamento
Exercícios
3 - Se a viga for submetida a um cisalhamento de
V = 15 kN, determine a tensão de cisalhamento
na alma em A e B. Indique as componentes da
tensão de cisalhamento sobre um elemento de
volume localizado nesses pontos. Considere w =
125 mm. Mostre que o eixo neutro está
localizado em y’ = 0,1747 m em relação à parte
inferior e INA = 0,2182(10
-3) m4.
 𝑦 =
 𝑦. 𝐴
 𝐴
→ 𝑦 =
15 ∗ 125 ∗ 30 + 295 ∗ 200 ∗ 30 + 155 ∗ 250 ∗ 25
125 ∗ 30 + 200 ∗ 30 + 250 ∗ 25
→
 𝑦 = 174,7 𝑚𝑚
Obs.: Área entre parêntese, todas as unidades são mm
𝐼𝑁𝐴 =
0,125 ∗ 0,033
12
+ 0,125 ∗ 0,03 ∗ 0,1747 −
0,03
2
2
+
0,2 ∗ 0,033
12
+ 6𝑥10−3 ∗ 0,1747 − 0,25 − 0,03 −
0,03
2
2
+
0,025 ∗ 0,253
12
+ 6,25𝑥10−3 ∗ 0,1747 −
0,25
2
− 0,03
2
𝐼𝑁𝐴 = 9,5923𝑥10
−5 + 3,4978𝑥10−5 + 8,7283𝑥10−5
𝐼𝑁𝐴 = 2,18184𝑥10
−4 𝑚4
Inércia do conjunto
Centroide do conjunto
Obs.: Todas as unidades são m
𝑄𝐴 = 𝐴
′ ∗ 𝑦𝐶𝐺 𝑄𝐴 = 0,2 ∗ 0,03 ∗ 0,03 + 0,25 + 0,03 − 0,015 − 0,1747 →
𝑄𝐴 = 7,218𝑥10
−4 𝑚3
𝑄𝐵 = 𝐴
′ ∗ 𝑦𝐶𝐺 𝑄𝐵 = 5,9888𝑥10
−4 𝑚3𝑄𝐵 = 0,03 ∗ 0,125 ∗ 0,1747 − 0,015 →
𝜏𝐴 = 1,99 𝑀𝑃𝑎
𝜏𝐵 = 1,65 𝑀𝑃𝑎
𝜏𝐴 =
𝑉.𝑄𝐴
𝐼. 𝑡𝐴
→
15𝑥103𝑁 ∗ 7,218𝑥10−4 𝑚3
2,18184𝑥10−4 𝑚4 ∗ 0,025 𝑚
→
𝜏𝐵 =
𝑉.𝑄𝐵
𝐼. 𝑡𝐵
→
15𝑥103𝑁 ∗ 5,9888𝑥10−4 𝑚3
2,18184𝑥10−4 𝑚4 ∗ 0,025 𝑚
→
Cálculo de Q
Tensão de Cisalhamento
Fluxo de cisalhamento em estruturas compostas 
por vários elementos
É comum que se use múltiplos materiais em uma estrutura composta por várias partes,
afim de se obter maior resistência à cargas.
Se as cargas provocarem flexão nas partes dos componentes, pode ser necessário utilizar
elementos de fixação como pregos, parafusos, material de soldagem para evitar o
deslizamento. Assim, para projetar esses elementos de fixação, é preciso conhecer a força de
cisalhamento à qual serão submetidos ao longo do comprimento da estrutura.
Esse carregamento, quando medido como força por unidade de comprimento, é
denominado fluxo de cisalhamento q.
𝑞 =
𝑉. 𝑄
𝐼
Onde:
q = força de cisalhamento, medida como uma força por unidade de comprimento ao longo da
viga.
V = Força de cisalhamento (cortante) interna resultante.
I = Momento de inércia de toda a área da seção transversal calculado em torno do eixo
neutro.
Q = 𝒚′. 𝑨′, onde A’ é a área da seção transversal do segmento acoplado à viga na junção onde
o fluxo de cisalhamento deve ser calculado e 𝑦′ é a distância do eixo neutro até o
centroide de A’.
Exercícios
4 - A viga é composta por quatro tábuas coladas. Se for submetida a um cisalhamento V =
850kN, determine o fluxo de cisalhamento em B e C ao qual a cola deve resistir.
 𝑦 =
 𝑦. 𝐴
 𝐴
→
2 0,15 ∗ 3𝑥10−3 + 0,205 ∗ 1,25𝑥10−3 + 0,305 ∗ 2,5𝑥10−3
2 ∗ 3𝑥10−3 + 1,25𝑥10−3 + 2,5𝑥10−3
𝐼 = 87,52𝑥10−6𝑚4
𝐼 = 2
0,01 ∗ 0,33
12
+ 3𝑥10−3 ∗ 0,1968 − 0,15 2 +
+
0,125 ∗ 0,013
12
+ 0,00125 ∗ 0,00822 +
0,25 ∗ 0,013
12
+ 0,0025 ∗ 0,10822 ∴
 𝑦 = 0,1968 𝑚
Obs.: As unidades são m e m²
Inércia do conjunto
Centroide do conjunto
𝑄𝐵 = 𝑦𝐵 . 𝐴
′
𝐵 →
Ponto B:
Como são dois apoios, qB = 1,31 MN/m
𝑞 =
𝑉. 𝑄
𝐼
→
0,305𝑚 − 0,1968𝑚 ∗ 2,5𝑥10−3𝑚2 = 0,271𝑥10−3𝑚3
850𝑘𝑁 ∗ 0,271𝑥10−3𝑚3
87,52𝑥10−6𝑚4
= 2.632,271
𝑘𝑁
𝑚
= 2,632
𝑀𝑁
𝑚
Cálculo de Q
Fluxo de cisalhamento
Ponto C:
𝑄𝑐 = 𝑦𝐶 . 𝐴
′
𝐶 →
𝑞 =
𝑉. 𝑄
𝐼
→
Como são dois apoios, qC = 0,0498 MN/m
0,205𝑚 − 0,1968𝑚 ∗ 1,25𝑥10−3𝑚2 = 0,01026𝑥10−3𝑚3
850𝑘𝑁 ∗ 0,01026𝑥10−3𝑚3
87,52𝑥10−6𝑚4
= 99,645
𝑘𝑁
𝑚
= 0,996
𝑀𝑁
𝑚
Cálculo de Q
Fluxo de cisalhamento
Exercícios
5 - A viga é construída com cinco tábuas
parafusadas como mostra a figura.
Determine o espaçamento máximo s para
os parafusos se cada um deles puder
resistir a um cisalhamento de 20 kN e o
cisalhamento aplicado for V = 45 kN.
 𝑦 =
 𝑦. 𝐴
 𝐴
→
3 ∗ 175 ∗ 350 ∗ 25 + 2 ∗ 325 ∗ 250 ∗ 25
3 ∗ 350 ∗ 25 + 2 ∗ 250 ∗ 25
𝐼 = 5,236𝑥10−4𝑚4
𝐼 = 3
0,025 ∗ 0,353
12
+ 8,75𝑥10−3 ∗ 0,048392 + 2 ∗
0,025 ∗ 0,253
12
+ 6,25𝑥10−4 ∗ 0,1016132
 𝑦 = 223,387 𝑚𝑚
Obs.: As unidades são mm e mm²
Inércia do conjunto
Centroide da seção transversal
𝑞 =
𝑉. 𝑄
𝐼
→
2 ∗ 0,325 − 0,2234 ∗ 0,25 ∗ 0,025
45 𝑘𝑁 ∗ 1,27𝑥10−3𝑚3
5,236𝑥10−4𝑚4
= 109,148
𝑘𝑁
𝑚
𝑄 = 𝑦. 𝐴′ → 𝑄 = 1,27𝑥10−3 𝑚3
𝑞
𝑛
=
𝐹
𝑠
→
𝑛º planos de corte
109,148
𝑘𝑁
𝑚
4 [ ]
=
20 𝑘𝑁
𝑠
→ 𝑠 = 0,7329 𝑚 = 733 𝑚𝑚
Espaçamento
Cálculo de Q
Fluxo de cisalhamento
espaçamento máximo s 
Fim
Antonio Otto;
Eng. Mecânico
Esp. em Engenharia de Petróleo e Gás
Novembro de 2015
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
Aula 12
Complemento
Antonio Otto;
Eng. Mecânico
Esp. em Engenharia de Petróleo e Gás
Novembro de 2015
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
Aula 12
Tensões de cisalhamento em vigas
Seção transversal retangular
Considere uma viga se seção transversal
retangular dada nas dimensões b x h.
A distribuição da tensão de cisalhamento pela
seção transversal pode ser determinada pelo cálculo da
tensão de cisalhamento a uma altura arbitrária y em
relação ao eixo neutro.
Tensões de cisalhamento em vigas
Seção transversal retangular
A área sombreada colorida escura A’ será usada
para calcular τ. Assim temos:
𝑄 = 𝑦′. 𝐴′ = 𝑦 +
1
2
ℎ
2
− 𝑦 .
ℎ
2
− 𝑦 . 𝑏 ∴
𝑄 =
1
2
ℎ2
4
− 𝑦2 . 𝑏
Aplicando a fórmula do cisalhamento, temos:
𝜏 =
6𝑉
𝑏. ℎ3
ℎ2
4
− 𝑦2
Esse resultado indica que a distribuição da
tensão de cisalhamento na seção transversal é
parabólica.
Tensões de cisalhamento em vigas
Vigas de abas largas
Uma viga de abas largas consiste em duas “abas”
(largas) e uma “alma”, como mostra a figura.
Como ocorreu na seção transversal retangular, a
tensão de cisalhamento varia parabolicamente na
altura da viga, já que a seção transversal pode ser
tratada como a seção de três retângulos.
Tensões de cisalhamento em vigas
Limitações do uso da fórmula do cisalhamento
Uma das premissas mais importantes utilizadas no desenvolvimento da fórmula do
cisalhamento é que a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída pela largura t na
seção onde a tensão de cisalhamento é determinada.
Ou seja, a tensão de cisalhamento média é calculada na largura.
O valor τ’máx ocorre nas bordas da seção transversal da viga, e esse depende da razão
b/h.
A fórmula do cisalhamento não dá resultados precisos quando aplicados a elementos
cujas seções transversais são curtas/achatadas, ou sofre mudança abrupta. Tampouco deve
ser aplicada em uma seção que intercepta o contorno do elemento a um ângulo diferente
de 90º. Para tais casos, o cálculo deve ser feito por métodos mais avançados baseados na
teoria da elasticidade.
Fluxo de cisalhamento em elementos de paredes 
finas
Se um elemento for composto por segmentos com paredes finas, só o fluxo de
cisalhamento paralelo às paredes do elemento é importante.
O fluxo de cisalhamento varia linearmente ao longo de segmentos perpendiculares à
direção do cisalhamento V.
O fluxo de cisalhamento varia parabolicamente ao longo de segmentos
inclinados/paralelos em relação à direção do cisalhamento V.
Na seção transversal, o cisalhamento “flui” ao longo dos segmentos de modo que
contribui para o cisalhamento V e, ainda, satisfaz o equilíbrio de forças vertical e horizontal.
Usa-se das mesmas equações.
Centro de cisalhamento para seções transversais 
abertas
O centro de cisalhamento (O) é o ponto no qual se pode aplicar uma força que causará
a deflexão de uma viga sem provocar torção. Ele sempre está localizado em um eixo de
simetria da seção transversal.
A localização do centro de cisalhamento, é função da geometria da seção transversal e
não depende do carregamento aplicado.
Aula 12 - CISALHAMENTO TRANSVERSAL - L10.pdf
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DO SUL DE MINAS UNIS-MG 
UNIDADE DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO SUPERIOR PRESENCIAL – GEP 
 
Curso: ENGENHARIA MECÂNICA/CÍVIL/PRODUÇÃO Período: Data: 05/12/2015 
Disciplina: RESITÊNCIA DOS MATERIAIS I Turma: ( ) I ( ) II LISTA 10 Valor: 1,5 pts 
Professor: Eng. Antonio Otto Neves Filho 
Nota: 
Aluno(a): 
 
1. A viga mostrada é feita com duas tábuas. Determine a τmáx necessária na cola para que ela mantenha 
as tábuas unidas ao longo da linha de junção. Os apoios em B e C exercem apenas reações verticais na 
viga. Adotar: ↑ + ↺ + 
 
Respostas: τmáx = 4,88 MPa 
 
2. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos B e C localizados na alma da viga de fibra de vidro. 
Adotar: ↑ + ↺ + 
 
Respostas: τB-C = 112 psi ou 112 lb/in² (1 psi = 1 lb/in²)