Algebra linear lista 7 Luciano Felix

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Se´tima lista de exerc´ıcios de IC-239 A´lgebra Linear II
1. Deˆ exemplos de:
a) Um subespac¸o vetorial de F = {f : R → R} e um vetor desse
subespac¸o;
b) Um subespac¸o vetorial do R3 e um vetor desse espac¸o;
c) Um subespac¸o vetorial de Mn×m e um vetor desse espac¸o;
d) Um subconjunto de R3 que na˜o seja um subespac¸o vetorial;
e) Dois subconjuntos de R3 tal que a unia˜o na˜o seja um subespac¸o
vetorial;
f) Dois subconjuntos de R3 tal que a unia˜o seja um subespac¸o vetorial;
2. Verifique se os conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) S = {(x, y, z) ∈ R3;x− 2y + 3z = 0} ⊆ R3;
b) T = {(x, y, z) ∈ R3;x− 2y + 3z = 1} ⊆ R3;
c) U = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 = 1} ⊆ R3;
d) W = {A ∈Mn×n;A e´ triangular superior} ⊆Mn×n;
e) Z = {f : R→ R; f(0) = 0} ⊆ {f : R→ R};
f) X = {f : R→ R; f(0) = 1} ⊆ {f : R→ R};
g) P = {P (t);P (t) e´ um polinoˆmio de grau n} ⊆ Pn
3. Sejam C = {(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1)} ⊂ R4, u = (3, 1,−1,−3) e v =
(1, 1, 0,−1). Escreva u e v como combinac¸a˜o linear dos elementos de
C, se poss´ıvel.
4. Determine uma base para os espac¸os vetoriais abaixo e diga qual e´ a
sua dimensa˜o:
a)S = [(0, 1, 2,−1), (1, 1, 4, 0), (1, 2.2.−5), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 0)] ⊂ R4;
b) U = {(x, y, z, t, q) ∈ R5;x+y+z = 0;x−t−2q = 0; z+t−2q = 0};
c) X = {
(
a b
c d
)
∈ M2×2; a − 2b + 3c − d = 0, a − 2b + 3c + d =
0, 2a− 5b+ 6c = 0}
1
5. Dado o conjunto {(1, 1, 1, 0), (1, 2, 3, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 1, 1, 1)} ⊂ R4;
a) Verifique se o conjunto e´ LI;
b) Encontre, entre esses vetores, uma base para o subespac¸o gerado
pelos vetores do conjunto dado;
c) Qual e´ a dimensa˜o desse subespac¸o gerado.
6. Se S e´ um subespac¸o vetorial de P2, o espac¸o dos polinoˆmios de grau
menor ou igual a 2, tal que S = [t2 − t + 1, t2 − 2t + 2, 2t2 − t + 1].
Escolha, dentre os geradores dados de S, uma base para S. P2 = S?
Justifique a sua resposta.
7. Dados φ = {
(
1 1
1 1
)
,
(
1 2
3 4
)
,
(
0 1
2 4
)
} ⊂M2×2 e v =
(
1 1
5 0
)
.
a) Mostre que φ na˜o e´ uma base de M2×2;
b) Complete φ para obter uma base β de M2×2;
c) Escreva v|β.
8. Mostre que se k1 e k2 ∈ R e {v1, v2, v3} e´ LI, enta˜o {k2v2, v1, v3 +k1v1}.
9. Mostre que [v1, v2, v3] = [v1, v2, v3 + kv1]∀k ∈ R.
10. Mostre que se v1, v2 e´ LI, enta˜o v1 + v2, v1 − v2 tambe´m e´.
Gabarito
2. a) Sim, b) Na˜o; c) Na˜o; d)Sim; e)Sim; f) Na˜o; g) Na˜o
3. u = −(1, 2, 3, 4) + (4, 3, 2, 1) e v na˜o e´ possivel.
4. a) β = {(1, 0, 0,−1), (0, 1, 0,−3), (0, 0, 1, 1)}, dim(S) = 3;
b) β = {(1, 0,−1, 1, 0), (2,−4, 2, 0, 1)}, dim(U) = 2
c) β = {
( −3 0
1 0
)
}, dim(X) = 1.
5.a) Na˜o; b){(1, 1, 1, 0), (1, 2, 3, 0), (0, 1, 1, 1)}; c) dim(V ) = 3.
6. Quaisquer dois vetores podem ser escolhidos. Na˜o, pois dim(S) = 2 e
dim(P2) = 3.
2
7. a) dim(M2×2) = 4 e |φ| = 3. b) Adicione
(
0 0
−2 1
)
a` base. c)v|β =
(2,−1, 1,−2)
3