ENGENHARIA ECONÔMICA (3)

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Matemática Financeira e 
 Engenharia Econômica 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
 
2013 
v.5.6 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A958m AVILA, Antonio Victorino. 
 Matemática financeira e engenharia econômica / Antonio 
Victorino Avila; Florianópolis. ”Programa de Educação Tutorial 
da Engenharia Civil – UFSC”, 2013. 
228 p.: il. color. ; 24 cm. 
 
 
 Inclui Bibliografia. 
 
 
 1. Matemática financeira. 2. Engenharia econômica. 3. 
Juros. 4. Capital. 5. Comissionamento de Ativos. 5. 
Substituição de Ativos. I. Título. 
 
 CDU 624 
 
 Catalogação na publicação por Graziela Bonin – CRB14/1191 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA 
Copyright do autor 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
3 
 
 
 
ÍNDICE 
 
PRÓLOGO ..................................................................................................... 7 
1. Premissas e Conceitos ......................................................................... 8 
1.0 – Introdução. ....................................................................................... 8 
1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. ...................................... 8 
1.2 – Premissas. ........................................................................................ 9 
1.3 - Nomenclatura das taxas de juros. ................................................ 12 
1.4 – Composição da Taxa Real ........................................................... 13 
1.5 – Definições ....................................................................................... 14 
2. Matemática Financeira .................................................................. 16 
2.0 - Introdução ....................................................................................... 16 
2.1 – Conceituações de Juros ............................................................... 16 
2.2 – Juros Simples ................................................................................ 17 
2.2.1 – Definição de Juros Simples. ...................................................... 17 
2.2.2 - Equações. .................................................................................. 17 
2.2.3 - Operações de desconto. ............................................................ 18 
2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas ........................................... 21 
2.2.5 – Tempo Exato e Comercial ......................................................... 22 
2.2.6 – Exercícios Resolvidos ............................................................... 22 
2.2.7 – Exercícios Propostos. ............................................................... 24 
2.3 – Juros Compostos. ......................................................................... 26 
2.3.1 - Definição. ................................................................................... 26 
2.3.2 - Fórmulas Básicas:...................................................................... 26 
2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro ................................................... 27 
2.3.4 - Exemplos ................................................................................... 30 
2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. ......................... 31 
2.3.6 - Cuidados a observar. ................................................................. 32 
2.3.7 - Exercício Resolvido. ................................................................. 34 
2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. ........................................ 35 
2.4.1 – Efeito da Inflação ...................................................................... 35 
2.4.2 – Relação entre taxas. .................................................................. 37 
2.4.3 – Inflação e Índices. ...................................................................... 38 
2.5 – Inflação Acumulada. ...................................................................... 40 
2.5.1 – Fórmulas Básicas. ..................................................................... 40 
2.5.2 – Atualização de valores monetários. ........................................... 41 
2.5.3 - Aplicação .................................................................................... 43 
2.6 – Exercícios Considerando Inflação. .............................................. 43 
3. Séries de Capitais .............................................................................. 50 
3.0 – Definição e Tipos. .............................................................................. 50 
3.1 – Série Uniforme Postecipada. ........................................................ 50 
3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. ................ 51 
3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. ........................................... 52 
3.1.3 - Exemplo. ..................................................................................... 54 
3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos. ................................ 54 
3.2 – Série Infinita. ................................................................................... 55 
3.2.1 – Conceituação. ............................................................................ 55 
3.2.2 – Exercício Resolvido. .................................................................. 56 
3.3 – Série Uniforme Antecipada. .......................................................... 58 
3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada ......................................... 58 
3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. ............................................ 59 
3.3.3 – Aplicação. .................................................................................. 60 
3.4 – Série Diferida. ................................................................................. 62 
3.4.1 – Metodologia ............................................................................... 62 
3.4.2 - Aplicação .................................................................................... 63 
3.5 – Exercícios Propostos. ................................................................... 64 
4. Amortizações de Dívidas ................................................................ 68 
4.1 – Tipos de Sistemas. ......................................................................... 68 
4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC ................................. 69 
4.2.1 – A metodologia ............................................................................ 69 
4.2.2 - Exemplo ...................................................................................... 70 
4.3 - Sistemas de prestação constante ................................................. 71 
4.3.1 - Conceituação .............................................................................. 71 
4.3.2 – Metodologia de Calculo. ............................................................ 71 
4.3.3 - Exemplo ...................................................................................... 72 
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4 
 
4.4 – O sistema de amortização variável. ............................................. 72 
4.4.1 – Conceituação. ........................................................................... 72 
4.4.2 - Metodologia ................................................................................ 73 
4.4.3 – Comentários ..............................................................................73 
4.4.3 - Exemplo ..................................................................................... 74 
4.5 - O sistema americano. .................................................................... 74 
4.5.1 - Metodologia. ............................................................................... 74 
4.5.2 - Exemplo. .................................................................................... 75 
4.6.1 – Característica ............................................................................ 75 
4.6.2 – Relação entre Amortizações. .................................................... 76 
4.6.3 – Determinação da Prestação. ..................................................... 76 
4.6.4 – Equivalência Financeira. ........................................................... 77 
4.6.5 – Exemplo. ................................................................................... 78 
4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE ........................... 79 
4.7.1 – O Sistema .................................................................................. 79 
4.7.2 – A metodologia. .......................................................................... 79 
4.7.3 – Exemplo .................................................................................... 80 
4.7.4 - Comentários ............................................................................... 81 
4.8 – Correção do saldo devedor. ......................................................... 81 
4.8.1 – Procedimentos .......................................................................... 81 
4.8.2 – Metodologia ............................................................................... 82 
4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC ....................................................... 83 
4.9 – Exercícios. ................................................................................. 84 
5. –Engenharia Econômica. ................................................................ 91 
5.1 – Conceituação. ................................................................................ 91 
5.2 – Análise de Viabilidade. .................................................................. 92 
5.2.1 - Conceito de Viabilidade ............................................................. 92 
5.2.2 – Premissas. ................................................................................. 92 
5.3 – O Fluxo de Caixa ........................................................................... 95 
5.3.1 – Conceituação ............................................................................ 95 
5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. ........................................ 95 
5.3.3 – Calculo do Fluxo de Caixa ........................................................ 96 
5.4 – Valor Presente. ............................................................................... 97 
5.4.1 – Valor de um Ativo. ..................................................................... 97 
5.4.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. .......................................... 98 
5.4.3 – Diagrama de Valor Presente ..................................................... 99 
5.4.4 – Exemplo de Aplicação ............................................................. 100 
5.5 – A TMA: Taxa de Mínima Atratividade ........................................ 101 
5.5.1 – Conceito de TMA ..................................................................... 101 
5.5.2 – Definição da TMA .................................................................... 102 
5.6 – A TIR – Taxa Interna de Retorno ................................................. 103 
5.7 - Previsão de Fluxo de Caixa. ....................................................... 105 
5.7.1 – Modelo de Procedimento ......................................................... 105 
5.7.2 – Informações Gerenciais. .......................................................... 106 
5.8 – Tributos e Depreciação ............................................................... 106 
5.8.1 – Influência dos Tributos. ........................................................... 106 
5.8.2 – Influencia da Depreciação. ...................................................... 107 
5.9 – Classificação dos Investimentos. ............................................... 108 
5.9.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. ........................................ 108 
5.9.2 – Disponibilidade de Recursos. .................................................. 109 
5.10 - O processo de decisão ............................................................... 110 
5.11 – Exercícios Resolvidos. .............................................................. 111 
5.12 - Exercícios Propostos. .............................................................. 111 
6. Método do Valor Presente. ............................................................ 114 
6.1 – Coerência de resultados. ............................................................ 114 
6.1.1 - Projetos na mesma classe de risco .......................................... 114 
6.1.2 - A mesma taxa de desconto. .................................................... 114 
6.1.3 - Projetos com idêntica vida útil. ................................................ 114 
6.1.4 - Distinguir projetos de longa duração ........................................ 115 
6.2 – O Método do valor presente. ....................................................... 115 
6.2.1 – Incremento de Riqueza. .......................................................... 115 
6.2.2 - Decisão ..................................................................................... 116 
6.2.3 – Diagrama de valor presente .................................................... 121 
6.3 - Análise de Sensibilidade - Risco. ................................................ 123 
6.3.1 – Conceituação. .......................................................................... 123 
6.3.2 – Domínio viável de produção. ................................................... 124 
6.4 – Aplicação. ..................................................................................... 125 
6.5 - Equalização de tempos de projetos. .......................................... 128 
6.5.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes .................................. 128 
6.5.2 – Caso de Rigidez das Alternativas ............................................ 129 
6.5.3 – Caso de Outras Oportunidades. .............................................. 130 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
5 
 
6.6 – Exercício Resolvido. .................................................................... 131 
6.7 – Exercícios Propostos .................................................................. 132 
7. Método da Recuperação de Capital ........................................... 140 
7.1 - Introdução ..................................................................................... 140 
7.2 - Metodologia. .................................................................................. 140 
7.3 – Exercício. ...................................................................................... 142 
8. Valor Uniforme Equivalente ........................................................ 143 
8.1 – Introdução .................................................................................... 143 
8.2 - Decisão .......................................................................................... 144 
8.3 – Metodologia. ................................................................................. 145 
8.4 – Aplicação da Metodologia. ......................................................... 146 
8.4.1 – Procedimentos. ....................................................................... 146 
8.4.2 - Resolução do Caso .................................................................146 
8.5 - Caso de Reinvestimento. ............................................................ 149 
8.5.1 – Conceituação e Artifício. ......................................................... 149 
8.5.2 – Manutenção em Comissionamento......................................... 150 
8.5.3 – Análise Crítica. ........................................................................ 152 
8.6 – Exercício Resolvido ..................................................................... 153 
8.7 – Exercício Proposto. ................................................................ 155 
9. Taxa Interna de Retorno ............................................................... 157 
9.1 - Definições ...................................................................................... 157 
9.2 - Decisão .......................................................................................... 157 
9.3 – Discutindo a TIR e a TMA ............................................................ 158 
9.4 – Utilização recomendada. ............................................................. 159 
9.4.1 - Caso de títulos mobiliários. ...................................................... 159 
9.4.2 - Caso de financiamentos. ......................................................... 160 
9.4.3 – Caso de investimentos produtivos .......................................... 161 
9.5 – Calculo da TIR. ............................................................................. 162 
9.5.1 – Função Polinomial ................................................................... 162 
9.5.2 - Processo da Bisseção. ............................................................ 163 
9.5.3 – Aplicação da metodologia ....................................................... 165 
9.6 - Existência de múltiplas TIR ......................................................... 166 
9.6.1 – Conceituação. .......................................................................... 166 
9.6.2 – Exemplo ................................................................................... 168 
9.7 – Exercícios. .................................................................................... 168 
10. Métodos Algébricos. ....................................................................... 171 
10.1 – Fórmulas de Karpin .................................................................... 171 
10.2 - Caso de Prestações Constantes. .............................................. 172 
10.2.1 – O método .............................................................................. 172 
10.2.2 – Aplicação ............................................................................... 173 
10.3 - Caso de Prestações Crescentes. .............................................. 173 
10.3.1 – O Método ............................................................................... 173 
10.3.2 – Aplicação ............................................................................... 174 
10.4 – Caso de Prestações Decrescentes........................................... 174 
10.4.1 – O Método. .............................................................................. 174 
10.4.2 – Aplicação. .............................................................................. 175 
10.5 - Exercícios. ................................................................................... 176 
11. – Comissionamento de Ativos. ................................................... 178 
11.1 – Definição ..................................................................................... 178 
11.2 – Tipos de Comissionamentos .................................................... 178 
11.3 – Metodologia. ............................................................................... 178 
11.3.1 – Decisão. ................................................................................. 178 
11.3.2 - Compra a vista ....................................................................... 179 
11.3.3 - Compra a prazo ...................................................................... 180 
11.3.4 - Aluguel com devolução do bem ............................................. 180 
11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem ............................................. 181 
11.4 - Leasing-back. .............................................................................. 181 
11.5 – Exercício ..................................................................................... 182 
12 – Alienação de Ativos. .................................................................... 187 
12.1 – Introdução. .................................................................................. 187 
12.2 - Baixa Sem Reposição. ................................................................ 188 
12.2.1 – Processo de decisão. ............................................................ 189 
12.2.2 – Exemplo. ................................................................................ 189 
12.3 - Baixa com Reposição. ................................................................ 190 
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12.3.1 - Reforma ou Substituição por não Similar. ............................. 190 
12.3.2 - Continuidade da Produção com Equipamento Similar. ......... 191 
12.4 - Mudança de Tecnologia. ............................................................ 192 
12.5 - Ativos Com Longa Vida Útil ...................................................... 193 
12.6 – Exercícios. .................................................................................. 193 
12.6.1 - Análise de alienação de ativo ............................................... 193 
12.6.2 - Data de Alienação. ................................................................. 194 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 200 
ANEXOS - Casos e Trabalhos ................................................................ 201 
Anexo I ....................................................................................................... 202 
– Trabalhos. .............................................................................................. 202 
I.1 – Trabalho: Análise de Fluxo de Caixa. ........................................ 203 
I.2 - Trabalho: Métodos de amortização. ............................................ 206 
I.3 – Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas ............................ 208 
Anexo II ...................................................................................................... 211 
- Casos em Engenharia Econômica. ..................................................... 211 
II.1 – Caso: Ampliação da Sede. ........................................................ 212 
II.2 – Caso: Fabrica de protendidos. ................................................... 213 
II.3 – Caso: Implantação de Termelétrica. .......................................... 214 
II.4 – Caso: Viabilidade de construção de ponte. .............................. 215 
II.5 – Caso: Refinaria de petróleo ........................................................ 215 
II.6 – Caso: Aquisição de prensas. ...................................................... 216 
II.7 – Caso: Financiamento de residência. ........................................ 216 
II.8 – Caso: Venda de Apartamento. ................................................... 217 
II.9 – Caso: Plano de Construção ....................................................... 217 
Anexo III ..................................................................................................... 219 
– Tabelas Financeiras. ............................................................................. 219 
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
7PRÓLOGO 
 
O objetivo desta publicação é dispor ao aluno de uma 
expressão documental coerente com o conteúdo apresentado 
em sala de aula. E, assim, permitir o acompanhamento e a 
participação nas discussões realizadas em sala de aula. 
 
 O conteúdo abordado abrange a Matemática Financeira 
e a Engenharia Econômica. 
 
 A Engenharia Econômica corresponde ao campo do 
conhecimento que abrange métodos ou modelos que, 
baseados em fatores técnicos, financeiros e sociais, permitem 
o julgamento de conjunto de alternativas propostas para a 
aplicação ou utilização de recursos, sejam naturais, 
tecnológicos ou, financeiros, favorecendo a sua otimização. 
 
 A Engenharia Econômica inicia pelo conhecimento da 
Matemática Financeira, campo da matemática destinada à 
análise de juros, equivalência de capitais de capitais 
considerando, especialmente, sob a ótica do binômio juros 
versus tempo. 
 
 A importância desta área do conhecimento para o 
engenheiro é que, inexoravelmente, no exercício da sua 
profissão e como gestor, se deparará com decisões de 
inversão de capital em: alternativas de investimentos em ativos 
e equipamentos; aplicação de capital financeiro; manutenção, 
baixa e substituição de ativos; previsão de exigibilidades de 
caixa; etc.. 
 
 Além disso, a análise de viabilidade financeira de 
projetos é uma das atividades profissionais dos engenheiros 
definidas pela Lei 5.194 e pela Resolução 1.010 do CONFEA 
quando elencam o campo das atividades do profissional. 
 
No Brasil, cinco erros são comumente efetuados: 
 
 Desconsiderar a perda do valor aquisitivo da moeda no 
tempo; 
 Não distinguir entre juros descontados de juros 
postecipados; 
 Utilizar a matemática dos juros simples em lugar de juros 
compostos; 
 Confundir juros nominais com juros reais; 
 Respeitar a aritmética dos juros compostos, mas, supondo 
que as taxas de juros se mantenham inalteradas no tempo. 
 
Erros que podem levar a decisões equivocadas sobre 
decisões de investimentos. E, incorrer em algum erro de 
decisão pode ser fatal para a rentabilidade de um projeto ou da 
liquidez da empresa. 
 
Assim sendo, o conhecimento de Engenharia Econômica 
é uma ferramenta de decisão imprescindível ao profissional 
enquanto tomador de decisão, pois instrumento de decisão no 
campo financeiro. 
 
 Finalizando, recomenda-se ao interessado consultar a 
bibliografia apresentada, pois o conteúdo exposto não esgota o 
assunto. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
MSc Eng.ª Produção 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
8 
 
 
 
 
1. Premissas e Conceitos 
 
 
1.0 – Introdução. 
 
 O objetivo deste capítulo é apresentar ao interessado 
uma série de premissas, conceitos e definições que amparam o 
processo de decisão financeira e os métodos de decisão 
utilizados na Matemática Financeira e na Engenharia 
Econômica. 
 
 Matemática Financeira é definida como sendo a área da 
matemática que descreve as relações entre o binômio tempo e 
dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões 
financeiras. 
 
 Assim sendo, a matemática financeira estuda, 
basicamente, a formação dos juros, os montantes de capital 
gerados, o valor de prestações em séries e a amortização de 
dívidas. 
 
A Engenharia Econômica contempla um conjunto de 
conhecimentos e metodologias que, amparadas na 
matemática financeira, permite realizar o processo de 
tomada de decisão quanto à eleição ou a classificação de 
alternativas de investimentos financeiros. 
 
Esses investimentos podem ser referentes a: 
aplicação de capital em ações; renda fixa ou variável; 
aquisição de bens e equipamentos; implantação de 
sistemas de produção ou de serviços; a baixa e a 
substituição de equipamentos; etc.. 
 
 
 
1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. 
 
 No sistema econômico em que vivemos a, demanda por 
fatores de capital necessários à produção de bens e serviços 
são: mão de obra; capital; terra; empresas; e a capacidade 
técnica, requer remuneração. 
 
Conforme o caso, esta remuneração recebe 
denominação distinta. Assim sendo, o capital é remunerado 
pelos juros; a terra pelo aluguel; a técnica ou patentes pelos 
royalties; a empresa pelo lucro ou taxa de mínima atratividade, 
TMA; a mão de obra pelo salário. Ver esquema da Figura 1.1 – 
Remuneração dos Fatores de Produção. 
 
Mão de 
Obra
H
Salário
Capital
H
Juros
Terra
H
Aluguel
Empresa
H
Lucro
-TMA-
Técnica
H
Royalties
Figura 1.1 - Remuneração dos Fatores de Produção
Fatores de Capital
 
 
Os juros, tanto podem ser relacionados a um 
empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica, como ao 
financiamento tomado na aquisição de bens ou a remuneração 
do capital de sócios. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
9 
 
 
O objetivo desta obra será discutir a remuneração do 
capital, ou seja, os juros. E, o aumento de riqueza propiciado 
pela aplicação de capital em projetos de investimentos 
produtivos ou financeiros. 
 
 Para tanto, será discutido um conjunto de metodologias 
que permitam a realização de um coerente processo de 
decisão quanto à escolha de investimentos produtivos ou da 
aplicação de capital que atenda, corretamente, aos preceitos 
da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. 
 
 
1.2 – Premissas. 
 
 A matemática financeira e a engenharia econômica, 
como instrumentos de apoio à tomada de decisão, se apoiam 
nas seguintes premissas: 
 
1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. 
 
O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a 
matemática financeira é amparar um processo de decisão 
capaz de eleger a alternativa de investimentos que maximize o 
lucro e a riqueza dos proprietários, sempre. 
 
2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO. 
 
As decisões financeiras devem enfocar o quanto uma 
ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de 
riqueza no futuro. 
 
 Assim, ao ser analisado um empreendimento já em 
curso, a decisão em data presente em continuá-lo, em alterar a 
sua aplicação ou objetivo, ou simplesmente descontinua-lo 
deverá basear-se em perspectivas futuras e não em resultados 
passados. 
 
Só se decide sobre ações relativas ao futuro. O passado 
já ocorreu e sobre ele nada há que decidir. Em relação ao 
futuro só temos expectativas. De modo que as decisões são 
sempre formadas sobre expectativas. 
 
A 2ª Premissa estabelece que o momento da decisão 
seja sempre a data em que a mesma foi tomada: HOJE. 
 
Como se decide sobre expectativas futuras, há que se 
considerar a variação do valor aquisitivo da moeda no tempo 
para que haja consistência quando se compara valores 
monetários. 
 
Isto porque, é de entendimento comum e mesmo de 
modo intuitivo que, disponível uma quantidade de moedas na 
data de hoje, em data futura a quantidade de bens a adquirir 
com a mesma quantidade de moeda é diferente daquela 
anterior. 
 
Somente se somam ou se subtraem
 valores monetários
 correlacionados à mesma data.
Atenção! Coerência !
 
 
Sob essa consideração, toda operação efetuada com 
valores monetários, seja de adição de valores, ou seja, as 
entradas de caixa. Ou, a diminuição de valores, a exemplo de 
custos incorridos, investimentos realizados ou impostos 
devidos, deve ser correlacionada à data da tomada de decisão. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
10 
 
 
Dado o exposto, somente se somam ou se subtraem 
valores monetários financeiros quando correlacionados à 
mesma data, dada a variação do valor da morda no tempo. 
 
 
3ª Premissa - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. 
 
Financeiramente falando, uma soma de dinheiro na data 
de HOJE, e sob determinadascondições, pode ser 
monetariamente equivalente à outra soma diferente de dinheiro 
considerando a variação do tempo. 
 
Sob tal premissa, os critérios de decisão de 
investimentos devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo 
e, como corolário dessa premissa, a perda do poder aquisitivo 
do dinheiro com o passar do tempo. 
 
tempo
1.500 ≡
R$
5 x 385,00 R$
1 2 3 4 5 
Figura 1.2 – Equivalência de Valores Monetários
 
 
Para que um ativo mantenha o seu valor aquisitivo e, 
consequentemente, não perca valor no tempo, há que ser 
aplicado com um retorno equivalente à taxa de oportunidade 
definida pela empresa ou adotada pelo investidor. 
 
Como exemplo, seja um investidor dispondo de uma 
soma de capital equivalente a R$ 200.000,00 e havendo a 
oportunidade de aplicá-la a taxa de juros i=14,50 % ao ano, ao 
final de um ano a importância inicial montará em R$ 
229.000,00. 
 
O valor de R$ 229.000,00, nas condições relatadas é 
financeiramente equivalente ao valor inicialmente aplicado. 
 
Outro exemplo seja o caso do financiamento de um 
televisor, cujo preço de aquisição é de R$ 1.500,00 a ser 
quitado em cinco prestações iguais, mensais e consecutivas no 
valor de R$ 385,00. Ver Figura 1.2 – Equivalência de valores 
Monetários. 
 
Sob o conceito de equivalência financeira do valor da 
moeda no tempo, o montante das cinco prestações, a um custo 
de oportunidade de 8,94% ao período, é equivalente ao valor 
do financiamento. Ou seja: R$ 1.500,00 ≡ 5 × 385,00 R$. 
 
 
4ª Premissa – CUSTO DE OPORTUNIDADE. 
 
O custo de oportunidade corresponde à melhor 
remuneração a ser obtida por um fator de produção que seria 
obtida por ele, caso fosse aplicado em outra alternativa de 
investimento, mantida a mesma classe de risco. (Sotto Costa & 
Attie, 1984). 
 
Como corolário da definição acima, o custo de 
oportunidade corresponde à maior taxa de desconto a ser 
adotada quando se compara a rentabilidade de um dado 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
11 
 
projeto com a rentabilidade da melhor alternativa já disponível, 
considerando projetos situados na mesma classe de risco. 
 
A literatura existente trata o custo de oportunidade sob 
diversas denominações, tais como: taxa de rentabilidade, taxa 
de oportunidade; taxa de retorno; taxa de atratividade; taxa de 
desconto ou taxa de mínima atratividade - TMA. Como 
nomenclatura nesta obra será a adotada denominação de TMA 
para a taxa de oportunidade. 
 
Dentro dessa premissa, um investidor que dispõe da 
oportunidade de aplicar seus recursos a X%, e os vinha 
fazendo a taxa y% < X%, sua taxa de oportunidade passará a 
ser X%, pois esta será a melhor aplicação disponível para seus 
ativos. 
 
Figura 1.3 – Evolução da Taxa de Oportunidade
Tradicionalmente: 
Remuneração a k%
Oportunidade: Remuneração 
a X% sendo X% > k%
TMA E X%
 
 
Qualquer aplicação efetuada a taxa inferior que a de 
oportunidade reduz a realização ou a perspectiva de manter 
seus ganhos num determinado patamar de lucratividade, o que 
contraria a 1ª Premissa. 
 
Como exemplo da evolução da taxa de oportunidade, 
seja uma empresa que, tradicionalmente, remunera seus ativos 
à taxa de 15% ao ano. Esta é a sua taxa de oportunidade e 
ela não aceita em aplicar recursos á uma taxa inferior a ela. 
Porém, se conseguir remunerar a uma taxa mais elevada, tal 
como 18% ao ano, esta passará a ser a sua nova taxa de 
oportunidade. 
 
O conceito de considerar ou definir a remuneração do 
capital a ser investido como um custo de oportunidade parte do 
entendimento de que ao ser aplicado um capital numa 
alternativa qualquer, a empresa estaria perdendo a 
oportunidade de aplicá-lo em alternativas mais rentáveis a 
ocorrerem no futuro. 
 
 
5ª Premissa – DECISÃO & RESULTADO. 
 
É importante observar a diferença entre boas decisões e 
bons resultados, pois, nem sempre, são diretamente 
proporcionais. 
 
Uma boa decisão é a melhor possível, considerando o 
conhecimento disponível sobre qualquer ação em julgamento, 
no momento de sua realização. Havendo alteração do cenário 
previsto ou ocorrendo azar, uma boa decisão pode redundar 
num mau resultado. É um fato a ser considerado. 
 
A recíproca, porém, dificilmente se mostrará verdadeira, 
ou seja, uma má decisão propiciando em bom resultado. Esta 
assertiva contraria a lei de Murphi que diz: “existindo a 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
12 
 
probabilidade de algum fenômeno dar errado, com certeza ele 
dará errado...“. 
 
A ocorrência de uma boa decisão esta vinculada a 
disponibilidade de dados e informações confiáveis e que as 
alternativas reflitam as condições de mercado da época em que 
foram desenvolvidas. São dados perfeitamente controláveis e 
dependentes da acuidade do decisor. Cabe ao analista, 
elaborar um processo com a melhor qualidade possível, 
visando à fidedignidade dos resultados. 
 
Recomenda-se a realização de auditorias pós - decisão 
visando analisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a 
qualidade das decisões futuras. É um processo que educa os 
responsáveis por decisões possibilitando avaliar o desempenho 
da organização. 
 
 
1.3 - Nomenclatura das taxas de juros. 
 
O mercado de capitais e o comércio utilizam uma 
nomenclatura variada para definir as taxas de juros praticadas, 
muitas vezes utilizando denominação diferente para a mesma 
taxa. 
 
 Visando o entendimento das nomenclaturas utilizadas, 
são apresentadas as seguintes definições: 
 
a) Taxa Básica - é a taxa que estabelece a remuneração do 
capital estabelecida por seu proprietário e medida em 
termos de moeda de poder aquisitivo constante. Moeda de 
poder aquisitivo constante é aquela cujo poder de compra 
se mantém inalterada no tempo. Logo, nesta taxa, não está 
embutido o efeito da inflação. 
 
b) Taxa Real – corresponde à taxa básica acrescida de 
outros custos, tributos e do risco vinculado ao tomador do 
recurso. 
 
c) Taxa Nominal – corresponde à remuneração do capital 
expressa em termos de valores de moeda corrente. Esta 
taxa engloba a taxa real e a inflação prevista. Também 
pode ser denominada de taxa efetiva. Neste caso 
corresponde à taxa empregada para a atualização e 
pagamento de valores monetários. 
 
d) Taxa Efetiva – É a que corresponde, exatamente, ao custo 
do dinheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser 
definida, também como aquela que incide sobre o capital 
efetivamente exposto ao risco. 
 
A Taxa Efetiva, então, corresponde à razão entre o custo 
do capital tomado e o valor efetivamente recebido. E, deve ser 
entendida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo tomador 
do recurso. 
 
iEfetiva =
Custo do Capital
Valor Recebido
 
ou 
 iEfetiva =
∑(Juros + Encargos)
Valor Financiado
 
 
 
e) Taxa Declarada – é aquela declarada ou registrada 
nominalmente nos contratos. Normalmente ela é a base 
para o cálculo do juro a ser pago em uma operação. 
 
A taxa declarada pode ser considerada como sendo a taxa 
nominal quando expressamente estabelecida em contrato. Ou, 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
13 
 
à taxa real quando o contrato estabelecer, numa clausula a 
taxa de juros e, noutra cláusula, o índice de correção da 
inflação. 
 
f) Taxa Bruta e Taxa Líquida – são aquelas referentes à 
remuneração bruta ou líquida da inversão, 
respectivamente, antes ou depois da consideração dos 
impostos, comissões, incentivos fiscais, etc. incidentes 
sobre a operação de empréstimo. 
 
Da definição acima, pode-se concluir que a taxa bruta 
pode corresponder à taxa efetivade juros. 
 
g) Juros Descontados - os juros são ditos descontados quanto 
pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. 
Considerando que os juros efetivamente pagos são 
calculados sobre o capital efetivamente recebido, a taxa 
efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso 
a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso. 
 
h) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados 
quando pagos na data de vencimento da operação 
financeira que lhe deu origem. Neste caso, os juros 
efetivamente pagos e pactuados são equivalentes, situação 
em que os juros são mais favoráveis ao tomador do 
recurso. 
 
Pelo exposto neste item, pode se constatar certo conflito de 
entendimento entre algumas das definições. 
 
 Cabe ao tomador do recurso verificar o conceito ou a 
composição das taxa a ser estipulada em cada contrato, pois 
pode haver entendimento diferente entre instituições 
financeiras distintas quanto a definições de taxas de juros 
expressas em contrato. 
 
No transcorrer deste livro e para efeitos didáticos, serão 
utilizadas como nomenclatura, apenas, a taxa nominal e a taxa 
real. Esta ultima, na maioria dos exercícios considerados neste 
livro, com a conotação de taxa básica. 
 
 
1.4 – Composição da Taxa Real 
 
A taxa real de juros praticada no mercado financeiro não 
é uma simples taxa que expressa a remuneração desejada 
pelo capitalista. Ela resulta da composição de custos, tributos e 
do risco incidentes sobre uma operação financeira. 
 
Resumidamente, corresponde à soma da remuneração 
básica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma 
taxa suplementar denominada, no mercado financeiro, de 
spread. 
 
iR = iB + iSPREAD 
 
 A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguintes 
custos: comissões de corretagem, iF, (também denominada 
flat); custos vinculados ao processo da intermediação 
financeira, iC; tributos sobre operações financeiras, α; e, uma 
taxa de remuneração de risco, iρ. 
 
 Dado o acima exposto, o modelo passa a ter a seguinte 
expressão, sendo cada uma das variáveis relacionadas 
expressa em percentagem: 
 
iR = iB + ( iF + iC + αIOF + iρ) 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
14 
 
 No Brasil, o tributo incidente sobre operações financeiras 
é o IOF, cujas alíquotas são definidas por lei e disponíveis do 
site da Receita Federal. 
 
 O valor da taxa de risco, iρ, é definido segundo a 
classificação do nível de risco atribuída ao tomador do recurso. 
 
Para tanto são consideradas as seguintes variáveis: o 
histórico comercial de crédito do tomador dos recursos, as 
garantias reais que oferece e da vulnerabilidade do mercado 
onde atua. 
 
 A taxa básica de juros, iB, varia de país para país sendo 
determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais. 
 
Como exemplos, no Brasil, ela é denominada de SELIC 
e periodicamente estabelecida pelo Banco Central. Nos 
Estados Unidos é denominada de Prime Rate e na Inglaterra 
de Libor. 
 
 
1.5 – Definições. 
 
 Neste item são definidos alguns conceitos a serem 
utilizados nesta obra. 
 
 Entender esses conceitos é importante para a gestão da 
organização, pois são comuns a áreas do conhecimento como 
a contabilidade e ao controle de custos. Assim sendo, as 
Figuras 5.9, 5.10 mostram, respectivamente, um modelo do 
ativo e do passivo do balanço patrimonial e a 5.11 o 
demonstrativo de resultados do exercício, DRE. 
 
a) Gastos e dispêndios correspondem à assunção de qualquer 
compromisso financeiro a ser quitado à vista ou futuramente 
e que propicie saída de dinheiro do caixa. 
 
b) Custo corresponde a todo dispêndio efetuado com a 
produção de um bem ou serviço. São classificados como 
diretos e indiretos. Os diretos são os custos realizados no 
esforço de produção de um bem ou serviço. Os indiretos 
são alocados ao esforço de produção, comumente, por 
meio de algum processo de rateio. 
 
Contabilmente, os custos são apropriados no DRE, o que 
permite a apuração do resultado do exercício. 
 
c) Despesa corresponde a todo dispêndio que não se 
identifica com o processo de produção de um bem ou 
serviço. Elas são relacionadas aos gastos incorridos com a 
estrutura comercial e administrativa da organização. 
 
Contabilmente, as despesas são apropriadas no DRE, ver 
Figura 5.9, visando à apuração do resultado do exercício. 
 
d) Investimento corresponde a qualquer dispêndio realizado 
com a aquisição de bens móveis, imóveis ou intangíveis que 
integram os ativos da organização, bem como os insumos 
estocados visando consumo futuro. 
 
Contabilmente, os investimentos são apropriados em contas 
do Ativo, ver Figura 5.10, visando registrar o patrimônio, bens e 
direitos, disponíveis pela organização no final de cada 
exercício. 
 
Assim sendo, os valores de capital de giro e estoques são 
apropriados no Ativo Circulante. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
15 
 
Investimentos em bens móveis ou imóveis e a participação 
societária em outras empresas são apropriados no Ativo Não 
Circulante. 
 
São apropriados no Ativo Não Circulante, também, direitos 
realizáveis em longo prazo e o intangível. 
 
e) Valor Econômico – corresponde ao valor ou soma de 
valores que não consideram a perda do valor aquisitivo da 
moeda no tempo. 
 
f) Valor Financeiro – corresponde ao valor ou soma de 
valores que consideram a perda do valor aquisitivo da 
moeda no tempo. 
 
É interessante notar que no balanço são apropriados 
valores econômicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
16 
 
 
 
2. Matemática Financeira 
 
 
2.0 - Introdução 
 
Por definição, a Matemática Financeira corresponde à 
área da matemática que descreve as relações entre o binômio 
tempo e dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões 
financeiras. 
 
Neste capítulo, então, serão discutidas essas relações e 
que permitem realizar operações de equivalência de capitais. 
 
 
2.1 – Conceituações de Juros 
 
Juro, também denominado de interesse, é definido como a 
remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado 
como ao capital empregado em atividade produtiva ou 
aplicação financeira. 
 
Ao ser pactuada uma operação financeira, alguns 
parâmetros devem ser estabelecidos: 
 
E A taxa de juros referente ao período da operação; 
E O prazo de carência; 
E O período de capitalização ou contabilização dos juros; 
E O índice de correção monetária do saldo devedor; 
E O sistema de remuneração do capital. 
 
A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois 
sistemas que diferem conforme a incidência dos juros sobre o 
capital: o dos juros simples e o dos juros compostos. 
 
 
 
É importante ter em mente que a taxa de juros 
efetivamente paga é aquela que incide sobre o capital 
efetivamente recebido ou disponível para o próprio manuseio. 
 
É comum ao se efetuar uma operação financeira existirem: 
taxas de abertura de crédito; os juros serem pagos 
antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título 
de crédito; haver o pagamento de uma entrada no caso de 
financiamento de bens de consumo. 
 
 Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas 
de juros acima mencionados, o princípio a ser estabelecido é 
que a remuneração do capital tomado emprestado, isto é, os 
juros, sejam sempre calculados sobre a importância 
efetivamente recebida. 
 
Observando esse princípio, é possível verificar quando a 
taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas 
ou distintas. 
 
 
E Juros Simples
E Juros CompostosENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
17 
 
2.2 – Juros Simples 
 
2.2.1 – Definição de Juros Simples. 
 
Por definição, no sistema de remuneração de capital sob 
a matemática de juros simples somente o principal rende juros 
durante todo o tempo em que foi pactuado o financiamento. 
Esquematicamente representado na Figura 2.1. 
S=P+J
P
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.1 – Diagrama tempo - dinheiro
 
 
Partindo da definição de juros simples, o montante de 
juros a ser pago na data de quitação da operação financeira é 
igual ao produto do principal tomado, pela taxa de juros 
pactuada e pelo número de períodos contratados. 
 
 Considerando que os juros gerados após um único 
período de aplicação de um capital equivalem à taxa de juros 
pactuada multiplicada pelo capital. Matematicamente: J = P  i. 
 
 No caso do capital ser aplicado por “n” períodos, o 
montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional 
a esse numero de períodos. Então: 
 
J = P i n 
 
 
2.2.2 – Operações com Juros Simples. 
 
2.2.2.1 – Montante dos Juros Pagos. 
 
 Definindo como: P, o principal tomado ou o capital 
inicialmente aplicado; i (%), a taxa de juros expressa em 
porcentagem; n, o número de períodos básicos 
correspondentes ao tempo total da aplicação; e, S, o Montante 
final de aplicação, representando a soma (P+J), em que J é o 
montante dos juros a serem pagos. 
 
 O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do 
período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos 
no período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamente: 
 
Sn = P + J  Sn = P + P i n 
 
Demonstrando: 
 
S1 = P + P× i = P (1+ i) 
S2 = P + P× i + P × i = P (1+ i × 2) 
S3 = P + P× i + P × i + P × i = P (1+ i × 3) 
………………………………………………………… 
Sn = P + P×i + P×i + P×i +····+ P×i = P (1+ n × i) 
 
 Generalizando para n períodos, obtém-se a expressão 
canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples 
durante n períodos: 
 
Sn = P (1 + in) 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
18 
 
2.2.2.2 – Equivalência entre Taxas de Juros. 
 
 Um dos questionamentos decorrentes da utilização de 
juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros 
correspondente a um período maior e àquela correspondente a 
frações inteiras desse mesmo período. 
 
 No caso dos juros simples, ocorre relação direta entre 
essas duas taxas de juros. 
 
 Assim, adotando como nT um dado período e nf uma 
fração deste período. E, respectivamente, iT e if , as taxas de 
juros conexas aos períodos considerados, a proporcionalidade 
entre estas duas taxas é expressa por: 
 
nT
nf
=
iT
if
 
 
 Atenção quanto à utilização do modelo acima. Ele 
somente poderá ser utilizado quando adotada a matemática 
dos juros simples. É conceitualmente errado utilizar este 
modelo quando se opera sob a égide dos juros compostos. 
 
 Nestes termos, se numa operação de empréstimo for 
estabelecida uma taxa mensal de juros de 1,5% a.m., a taxa 
anual de juros é dada por: 
 
nT
nf
=
iT
if
 ∴
 12
1
=
iT
1,5 
 ∴ iT = 18 % a. a. 
 
 
 
 
 
2.2.3 - Operações de desconto. 
 
2.2.3.1 – Tipos de desconto. 
 
 Uma operação financeira corriqueira no mercado é a 
denominada de desconto ou deságio efetuada em transações 
com títulos de crédito. 
 
Os descontos ocorrem quando títulos são negociados 
em data anterior à do efetivo vencimento e correspondem aos 
juros pagos pelo serviço havido entre a data do desconto e a 
do efetivo pagamento. 
P
F
Valor a ser
 recebido
Data da Operação de 
Desconto
Data do Vencimento
 do Título
1 2 3 4 n 
Desconto
Figura 2.2 - Operações de Desconto
 Essas operações servem como fonte de financiamento de curto 
prazo e são lastreadas em cheques “pré-datados” descontados 
por empresas de factoring; duplicatas e letras de câmbio 
negociadas antes da data do efetivo pagamento; e empréstimos 
ou vendas garantidos por notas promissórias. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
19 
 
 
O desconto ou deságio pode ser expresso em termos de 
porcentagem ou em valor monetário a ser descontado do valor 
de face do título negociado: P = F – D. 
 
 O valor de face corresponde ao montante expresso no 
anverso do título, a ser quitado pelo emissor ou o avalista na 
data aprazada e também expressa no título. 
 
Neste caso, a quantia a ser paga ao portador (P), isto é, 
àquele que está negociando o título, deverá ser inferior ao valor 
nominal ou valor de face. Isto porque, na data de vencimento 
do título, este deverá ser quitado pelo valor de face. 
 
O comprador do título, então, o adquire por um valor 
inferior àquele discriminado na face do documento, de forma a 
remunerá-lo durante o período compreendido da data de sua 
negociação até a data do vencimento. 
 
Interessa então, àquele que vende o título, saber qual o 
montante do desconto, ou deságio, a ser efetuado sobre o 
valor de face e qual o montante do capital que ira receber pela 
venda do título. 
 
Dois são os procedimentos realizados pelo mercado para 
calcular o valor do deságio e denominados de: 
 
 Desconto Racional ou por Dentro; 
 Desconto Bancário, Comercial ou por Fora. 
 
Adotando como nomenclatura: 
 
 F = Valor de Face, importância escrita na face do título e a 
ser honrada pelo emitente na data do respectivo 
vencimento; 
 P = Importância a ser paga ao vendedor do título, quando 
negociado antes da data do vencimento; 
 i = taxa de juros praticados ou pactuados; 
 n = número de períodos que antecedem a data de 
vencimento; 
 DR = valor do desconto racional. 
 Dc = valor do desconto comercial. 
 
 Como será visto no item 2.3.3, o valor de face, F, pode 
ser considerado como sendo o valor futuro do título, quando 
este é negociado antes da data do vencimento ou na data de 
sua emissão. 
 
Isto porque, um título só terá o valor expresso em sua 
face, e força legal para cobrança, quando na data de seu 
vencimento, isto é, em um momento futuro determinado por 
esta data. 
 
 
 
 
 
I - Desconto Racional ou por Dentro. 
 
O desconto racional considera o valor da moeda no 
tempo. A taxa de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa 
nominal em havendo a previsão de inflação. 
 
E Desconto Racional ou Por Dentro.
E Desconto Bancário ou Por fora.
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
20 
 
 Assim, o valor nominal do título na data do efetivo 
pagamento expresso na face do mesmo é financeiramente 
equivalente ao valor do mesmo na data em que foi negociado. 
 
 O valor do desconto e do montante a receber é 
calculado a partir do valor de face na data do vencimento, 
atendendo os procedimentos estabelecidos pela matemática 
financeira. 
 
Os procedimentos utilizados no desconto racional são 
idênticos àqueles utilizados na matemática dos juros simples. 
Porém, deve ser registrado que, muitas empresas, vêm 
combinando procedimentos estabelecidos pela matemática dos 
juros compostos com os de juros simples. 
 
No caso de ocorrer essa superposição de 
procedimentos, ou seja, quando os juros são referidos a um 
período maior, a taxa básica de juros, efetivamente utilizada 
em períodos menores, é calculada segundo a matemática dos 
juros compostos. 
 
 Obtida a taxa básica, os procedimentos seguem 
àqueles estabelecidos para os juros simples, segundo o 
expresso a seguir. 
 
Definindo o desconto racional, este corresponde ao 
montante dos juros expresso em valor monetário, descontado 
do valor de face de um título dada a negociação do mesmoanteriormente à data de vencimento. 
 
 Matematicamente, o desconto racional é definido por: 
 
Dr = F – P 
 
 Da matemática dos juros simples pode-se correlacionar 
o valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, considerando ser 
o primeiro o montante disponível no final do período de 
aplicação e o segundo o principal aplicado. Logo: 
 
F= P ∙ (1+iR∙n) ∴ P = 
F
(1+iR∙n)
 
 
 Substituindo “P” na equação acima, obtém-se o 
montante do desconto racional. 
 
DR=F-
F
( 1+iR∙n)
 ∴ DR= 
F∙iR∙n
1+iR∙n
 
 
 
II - Desconto Bancário, Comercial ou Por Fora. 
 
A priori, é importante ressaltar que o desconto “por fora” 
é baseado numa convenção mais simples, não se 
caracterizando por uma cobrança equivalente de juros. Mas, 
como a simples aplicação direta de uma taxa de desconto. Por 
convenção: 
 
DC = F ∙ iC ∙ n 
 
Neste caso, o montante do desconto é obtido ao se 
minorar do valor de face, F, o valor a ser recebido, P. Logo: 
 
DC = F − P 
 
 Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o 
valor de face: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
21 
 
F ∙ iC ∙ n = F − P ∴ P = F ∙ (1 − iC ∙ n)  
 
F =
P
(1 − iC ∙ n)
 
 
 
 2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas 
 
2.2.4.1 - Relações entre Descontos. 
 
Neste item é analisada a correlação existente entre o 
montante do desconto por dentro e o montante do desconto por 
fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos 
sejam idênticas, isto é ir = iC . 
 
 Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real 
praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, é 
inferior àquela praticada no desconto por fora, ou bancário. 
 
Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as 
expressões dos descontos: 
 
 DR = F −
F
( 1+i∙n)
 
 
E, sendo por convenção, DC = F i n, ao se substituir o 
valor de F na expressão acima se obtém a relação entre os 
dois descontos: 
 
DR =
DC
(1 + i ∙ n)
 
 
 
 
 
2.2.4.2 - Taxas Equivalentes. 
 
 Um dos questionamentos efetuados no mercado 
financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no 
desconto comercial e no racional. 
 
Por definição, diz-se que duas taxas de desconto são 
equivalentes entre si quando, dado um mesmo valor de face, 
após realizado o desconto, resultar num mesmo valor a ser 
recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de 
desconto distintos. 
 
P
F = Face
tempo
Figura 2.3 - Equivalência entre Descontos.
Data da Negociação Data do Vencimento
DC≡DR
 
 
 A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se 
igualar os dois valores dos descontos depois de realizadas as 
respectivas operações. 
 
a) Considerando o desconto racional tem-se: 
 
P = F – DR  P = F  (1 + iR ∙ n) 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
22 
 
 
b) Considerando o desconto comercial tem-se: 
 
P = F − D𝐶 ∴ P = F(1 − iC ∙ n) 
 
 Como o valor a ser recebido, P, por definição é igual 
para ambos os casos, podem ser igualadas as expressões 
acima. 
 
F
(1 + iR ∙ n)
= F ( 1 − iC ∙ n) ∴ ( 1 − iC ∙ n) ∙ (1 + iR ∙ n) = 1 
 
(1 + 𝑖𝑅 ∙ 𝑛) =
1
 ( 1 − 𝑖𝐶 ∙ 𝑛)
 
 
 
2.2.5 – Tempo Exato e Comercial 
 
 Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o 
rendimento ou montante dos juros apurado em tempo 
comercial será ligeiramente superior àquele apurado em tempo 
real ou exato. 
 
 Essa variação é devido à diferença do número de dias 
estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ano 
comercial, segundo convenção aceita pelo comercio, 
estabelece que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue 
o ano calendário com 365 dias. 
 
 Deste modo, o rendimento i devido a uma aplicação P, 
durante um intervalo de tempo t tem-se, respectivamente, para 
o tempo comercial e o tempo exato: 
 
360
i
tPIComercial 
 e 
365
i
tPIExato 
 
 
 Efetuando a relação entre as duas expressões, fica 
demonstrado que a proporcionalidade existente entre o 
rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido 
durante ano exato, é função direta do número de dias em que 
os mesmos foram definidos. Então: 
 
0139,1
360
365
I
I
Exato
Comercial

  IComercial = 1,0139 IExato 
 
 
2.2.6 – Exercícios Resolvidos 
 
2.2.6.1 - Você aplicou a importância de R$ 11.200,00 na 
aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% 
a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta 
operação, resolveu vender o título. Qual o montante a ser 
recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo 
mercado for de 2,9% a.m.? 
 
S = P (1 + i n) 
S = 11.200,00 (1 + 0,022 × 14) 
S = R$ 14.649,60 
 
DC = S × i × n 
DC = 14.649,60 × 0,029 × (14-8) 
DC = R$ 2.549,03 
 
VR = S – DC 
VR = 14.649,60 – R$ 2.549,03 
VR = R$12.100,57 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
23 
 
 
2.2.6.2 - Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a 
vista por R$ 23.200,00. Ou, a prazo, sendo 15% de entrada e o 
saldo dividido em quatro parcelas mensais, consecutivas, 
corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. 
 
 Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada 
prestação; e o montante a ser desembolsado. 
 
 Entrada = R$ 3.480,00 
 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.930,00 
 Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3,5% a.m. 
 
1º - Calculo do valor da 1ª prestação: 
VF1 =R1 + (R1 × i × n) 
VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 1) 
VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55)  VF1 = R$ 
 
2º - Calculo do valor da 2ª prestação: 
VF2 = R2 + (R2 × i × n) 
VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 2) 
VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10)  VF2 = R$ 
 
3º - Calculo do valor da 3ª prestação: 
VF3 = R3 + (R3 × i × n) 
VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 3) 
VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65)  VF3 = R$ 
 
4º - Calculo do valor o da 4ª prestação: 
VF4 = R4 + (R4 × i × n) 
VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 4) 
VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20)  VF4=R$ 
 
5º - Calculo do valor do montante: 
VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4  VFM = R$ 
 
2.2.6.4 - Uma duplicata cujo valor de face, VF, monta a R$ 
8.500,00 foi emitida há cinco meses passados e tem data de 
vencimento estipulada para daqui a sete meses. Caso seja 
descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for 
de 26,4% a.a. solicita-se determinar: 
 
 O desconto comercial, DC 
 O valor a ser recebido, VR. 
 Por quanto a duplicata foi negociada, se na data desta 
operação o juro comercial vigente era de 33,6% a.a. 
 A taxa efetiva de juros no período referente à operação 
do desconto. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Data
 da 
Ope
raçã
o
VF = 8.500 R$
VR = ?
 
 
1º item - Desconto Comercial. 
DC = VF × i × n 
DC = 8.500,00 × ( 0,264 ÷ 12 ) × 7 
DC = R$ 1.309,00 
 
2º item – Valor Recebido. 
 
VR = VF – DC 
VR = 8.500,00 – 1.309,00 
VR = R$ 7.191,00 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
24 
 
3º item - Preço de compra = PC. 
 
VF = PC (1 + i × n) 
8.500,00 = PC (1 + 0,336 × 1) 
PC = R$ 6.362,27 
 
4º item – Taxa real ou efetiva. 
 
 Adotando a matemática dos juros simples e 
considerando que os juros são calculados sobre o valor 
efetivamente recebido: 
 
VF = VR (1 + i × n) 
8.500,00 = 7.191,00 (1 + i × 7) 
1,182 = 1 + 7i 
0,182 = 7i 
i = 0,026 → i = 2,6% a.m e/ou 31,2% a.a. 
 
 
Em estudos financeiros recomenda-se:
1º. Desenhar SEMPRE o diagrama dos fluxosde caixa;
2º. Escrever as formulas disponíveis;
3º. Visualizar a solução dos problemas, compatibilizando as 
fórmulas com os fluxos de caixa!
 
Atendendo à recomendação, este procedimento facilita a 
adequada solução dos problemas de engenharia econômica! 
Atenção!
 
 
 
2.2.7 – Exercícios Propostos. 
 
2.2.7.1 - A importância de R$ 29.345,00 foi recebida após a 
operação de desconto de uma nota promissória, vincenda em 
120 dias. 
 
 Tendo sido pactuada um taxa de desconto de 42% ao 
ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes 
informações: o valor de face do título; e o montante do 
desconto. (R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30). 
 
 
2.2.7.2 - Calcular, adotando a matemática dos juros simples, o 
montante a ser recebido após 4 meses quando um empréstimo 
de D$1.000,00 é tomado a 15% ao mês. (R: 1600,00 R$). 
 
 
2.2.7.3 - Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão 
a juros de 33% ao ano, pactuado a juros simples. Quanto 
pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou 
em dezessete meses? (1.126.923/1.431.538 103 R$). 
 
 
2.2.7.4 - Um Banco pratica operações de desconto de títulos 
cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguintes 
informações visando comparar o resultado do desconto 
racional com o bancário: 
 
 O deságio relativo à operação de desconto de uma 
duplicata cujo valor de face é de R$ 12.500,00, vincenda 
em 90 dias; (R: 1486,78/1687,50 R$). 
 O montante a ser recebido pelo interessado na operação 
de desconto. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.7.5 - Qual o capital que a juros simples de 14,5% ao ano 
gerará em sete meses um montante de trezentos mil reais? (R: 
276.603,92 R$) 
 
2.2.7.6 - A que taxa de remuneração um capital aplicado sob 
juros simples triplicará no prazo de três anos? (R: 66,67% a.a.). 
 
2.2.7.7 - Uma empresa descontou uma duplicata, no Banco da 
Esquina, à taxa de 84% ao ano. O desconto praticado foi o 
comercial, que montou a R$ 10.164,00. Se a operação fosse 
de desconto racional, o valor do desconto seria reduzido em R$ 
1.764,00. Qual é o valor de face da duplicata descontada? (R: 
48.400,00 R$). 
 
2.2.7.8 - Você deve a um banco a importância de R$ 1.900,00, 
a vencer em 30 dias, garantida por uma nota promissória. 
Como sabe que não poderá quitar a importância na data 
aprazada, propõe que o pagará no prazo de 90 dias após o 
vencimento previsto. Admitindo que a taxa de desconto 
comercial praticada seja de 72% ao ano, qual será o valor de 
um novo título a ser assinado? (R$ 2.317,00). 
 
2.2.7.9 - O Bank of Squire pratica o desconto por fora à taxa de 
3,00% ao mês. Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ 
41.000,00, com prazo de vencimento estabelecido para seis 
meses, quanto o banco pagará pelo título? Qual será a taxa 
total de juros correspondente, sabendo que o banco ainda 
cobra uma taxa de abertura de crédito de 1,0% sobre o valor 
do título? (R: 23,46% ao semestre). 
 
2.2.7.10 - A financeira WACS pratica o desconto racional à taxa 
de 4,35% ao mês. Ao efetuar o desconto de uma duplicata cujo 
valor de face monta a R$ 32 mil vincenda em noventa dias, 
cobra uma taxa de administração no valor de R$ 155,00, ao 
efetuar a operação. Informe qual será a taxa de juros mensal, 
efetiva, incidente sobre esta operação. (R: 4,56% a.m.) 
 
2.2.7.11 - Determinar o valor de um título a ser resgatado no 
prazo de 120 dias antes de seu vencimento, pactuado a uma 
taxa de 12,0% ao ano. Sabe-se que a diferença entre o valor 
do desconto comercial e o desconto racional é de R$ 
76.923,08. (R: R$ 50 milhões). 
 
2.2.7.12 - O Bank of Squire desconta, antecipadamente e por 
fora, os juros na operação de um “papagaio”. Sendo uma 
operação de desconto lastreada numa nota promissória cujo 
valor de face monta a R$ 30 mil, vincenda em noventa dias e 
pactuada à taxa de 7% ao mês, pergunta-se qual será a taxa 
efetivamente paga por esta operação. (R: 8,86% a.m.) 
Nota promissória 
Nº 07/09* R$ 12.500,00 
 Vencimento: 25 de abril de 2.012. 
Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e doze, 
PAGAREI por esta única via de nota promissória a Franz von 
Souza und Silva, CPF nº 111.222.333-44, ou a sua ordem, a 
importância supra de doze mil e quinhentos reais, em 
moeda corrente do País. 
Pagarei em: Florianópolis-SC. 
Emitente: Jose João Jacinto .................................. 
CPF nº. 555.666.777-88. assinatura 
Rua Elfo dos Santos nº. 100. 
Florianópolis – SC. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
26 
 
 
2.2.7.13 - Você dispõe de uma duplicata cujo valor de face monta 
a R$ 200 mil, vencível em 60 dias. Decida em qual banco deverá 
ser efetuada uma operação de desconto sabendo que: 
 
- o Banco A – pratica o desconto racional à taxa de 
8,45% ao mês; 
- o Banco B – procede ao desconto comercial à taxa de 
7,90% ao mês. 
 
2.2.7.14 - Você efetuou uma operação de desconto para um título 
vencível em 60 dias à taxa de 42% ao ano. Montando o valor do 
desconto em R$ 840,00. Pergunta-se qual o valor de face do título 
nos casos de ser adotado o desconto racional ou o comercial? (R: 
12.840,00 / 12.000,00R$ ) 
 
2.2.7.15 - Você necessita hoje da importância de R$ 50 mil e foi 
ao seu banco efetuar um empréstimo. O empréstimo é lastreado 
numa nota promissória vencível em 120 dias. O banco calcula o 
valor de face deste título adotando o desconto comercial à taxa de 
4,5% ao mês. Além disto, cobra uma taxa de abertura de crédito 
de 0,55% sobre o valor de face do título e uma taxa de 
administração de R$77,00, ambos embutidos no valor financiado. 
Pergunta-se, qual a taxa de juros efetiva incidente sobre esta 
operação? (R: 5,74% a.m.) 
 
2.2.7.16 - Você resolveu quitar uma dívida, lastreada em nota 
promissória, sessenta dias antes do vencimento. Qual será o 
valor a ser pago se os juros simples pactuados foram de 2,50% 
ao mês e o valor de face da nota monta a R$ 17.700,00? 
 
2.2.7.17 - Sua empresa previu a necessidade de aquisição de um 
equipamento no valor de R$ 50 mil e o deseja adquirir com 
recursos próprios. Considerando que, neste momento, dispõe da 
importância de R$ 20 mil e o Tesouro Nacional esta remunerando 
as aplicações em 14% ao ano, pergunta-se: em quanto tempo 
poderá dispor do montante previsto? 
 
 
2.3 – Juros Compostos. 
 
 
2.3.1 - Definição. 
 
O regime de juros composto, também denominado de 
regime de capitalização ou anatocismo, é caracterizado pela 
incorporação ao capital dos juros gerados num período, ou 
seja, capitalizados, passando a gerar juros no período 
seguinte. 
 
 Estudos de análise de viabilidade de investimentos são 
lastreados na matemática dos juros compostos, pois parte-se 
do princípio que investidores e empresas reaplicam os lucros e 
os saldos de fluxos de caixa gerados a cada período, fato que 
contribui para aumentar os lucros esperados futuros. 
 
 Pelo acima exposto, torna-se inconsistente a adoção da 
matemática dos juros simples em estudos de viabilidade e, 
além disto, vem de encontro ao estabelecido na primeira 
premissa que estabelece a maximização do lucro dos 
proprietários. 
 
 
2.3.2 - Fórmulas Básicas: 
 
 O principal questionamento nesse sistema de 
capitalização é quanto ao montante a ser recebido pela 
aplicação de um capital, após certo número de períodos de 
tempo e conhecidos os juros pactuados. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
27 
 
 0 1 2 3 ....... n período
P0
S1
S2
S3
Sn
Figura 2.4 – Diagramade Juros Compostos
 
Visando calcular o montante a ser percebido, será 
adotada a seguinte nomenclatura: n, representando o número 
de períodos de capitalização pactuados; Sn = Montante a ser 
recebido após “n” períodos de capitalização; P = Capital 
inicialmente aplicado ou principal; J = Montante dos juros a 
serem pagos; i = Taxa de juros pactuados. Ver Figura 2.4. 
 
O montante após o primeiro período é calculado de 
forma idêntica ao dos juros simples. A partir desse primeiro 
período, os juros passam a incidir dobre o novo montante, 
comumente denominado de capitalizados. Então, 
matematicamente se tem: 
 
S1 = P + (P  i) = P (1 + i) 
S2 = S1 + (S1  i) = S1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² 
S3 = S2 + (S2  i) = S2 (1 + i) = P (1 + i)² (1 + i) = P (1 + i)³ 
S4 = S3 + (S3  i) = S3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 
......................................................................................... 
Sn = Sn-1 + ( Sn-1  i ) = Sn-1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )n-1 ( 1 + i ) 
Sn = P ( 1 + i )n 
 
Assim, a expressão do montante a ser pago após n 
períodos é dada por: 
 
Sn = P (1 + i)n 
 
 O total dos juros gerados, por sua vez, é obtido 
aritmeticamente, depois de efetuada a diferença entre o 
montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado, 
também denominado de Principal. Então: 
 
J = Sn – P 
 
 Fórmula do Montante: Sn = P ( 1 + i )
n
Fórmula dos Juros: J = Sn – P ou,
 J = P ( 1 + i )
n
 - P 
Resumo:
 
 
 
2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro. 
 
 Como já comentado, a matemática dos juros compostos 
é a adotada nos estudos financeiros, a exemplo da 
determinação do valor de ativos produtivos, investimentos em 
ações, títulos de capitalização, etc. 
 
A assertiva acima ocorre devido ao entendimento que 
investidores e empresas reaplicam os capitais disponíveis, 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
28 
 
sendo, então, a matemática dos juros compostos a mais 
adequada para avaliar e analisar investimentos. 
 
 Para tanto, ela se ampara no princípio da equivalência 
de capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos 
estudos financeiros, quais sejam, o valor presente – VP e o 
valor futuro – VF equivalente a um dado montante e vice versa. 
 
S = VF
P=VP
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.5 – Equivalência: Valor Futuro
i%
0
 
 
Assim sendo, dado nesta data um principal expresso 
pelo seu valor presente, P=VPn¬i%, após certo número de 
períodos e aplicado a taxa de juros i%, gerará uma soma 
financeiramente equivalente ou seu valor futuro: S=VF n¬i%. Ver 
Figura 2.5 – Equivalência: Valor Futuro. 
 
 Deste modo, considerando o conceito de equivalência 
de capital pode-se escrever: VPn¬i% ≡ VF n¬i%. 
 
 Financeiramente, então, denomina-se VPn¬i% de VALOR 
PRESENTE do montante de VFn¬i%. De modo análogo, VFn¬i% é 
denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP n¬i%. 
 
2.3.3.1 - Pagamento Único. 
 
a) Valor Futuro - VF. 
 
Por definição, o valor futuro – VF correspondente a uma 
determinada importância P, aplicada durante um período n, é 
equivalente a esta importância quando capitalizada a taxa de 
juros pactuada, i%. 
 
A expressão do montante dos juros compostos 
capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela 
aplicação de um capital, P, denominado de VALOR PRESENTE, 
quando pactuado à taxa de desconto, i%, após “n” períodos de 
rendimento. 
 
Sendo: Sn = P (1 + i)
n, então: 
 
VF ≡ VP (1 + i)n 
 
Essa operação, comercialmente denominada de 
capitalização, é utilizada em operações financeiras de título de 
capitalização, ou seja, de atualização monetária de capital. 
 
 A expressão (1+i)n é denominada de Fator de 
Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Principal, cuja 
representação pode ser efetuada sob as seguintes 
nomenclaturas: 
 
VF = VP (1 + i)n = VP s n¬i% = VP s
i
n
 
 
 
b) Valor Presente – VP. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
29 
 
Em operação inversa, o VALOR PRESENTE – VP, nesta data, 
correspondente a uma determinada importância futura, VF, é 
equivalente a esta importância quando descontada durante 
certo período de tempo n a taxa de juros pactuada, i%. 
 
Partindo da fórmula do montante dos juros compostos, 
obtém-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalente a um dado 
montante futuro, VF, quando descontado à taxa de juros i%, 
durante certo período, n. 
 
S ≡ VF
P≡VP
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.6 – Equivalência: Valor Presente
i%
0
 
 
 Sabendo-se que VF ≡ VP (1 + i)n, a expressão da 
equivalência de uma importância no presente, conhecido seu 
montante numa data futura é dada por: 
 
VP≡VF 
1
(1+i)n
 
 
Essa operação também é denominada de desconto de um 
capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer 
o valor atual relativo a um capital no futuro. 
 
 A expressão 1/(1+i)n é denominada de Fator de 
Desconto ou Fator de Valor Presente de um capital, cuja 
representação pode ser efetuada sob as seguintes 
nomenclaturas: 
 
VP ≡ VF 
1
(1 + i)n
= VF × vi
n = VF × vn¬i 
 
 
2.3.3.2 - Pagamentos Diversos. 
 
 
a) Valor Futuro 
 
 Dado uma série de pagamentos como na Figura 27, seja 
estabelecer o valor futuro da soma desses pagamentos. 
 
Figura 2.7 – Valor Futuro Diversos Pagamentos
 
 
Nesta situação, a soma desses pagamentos 
corresponde à soma dos valores futuros de cada pagamento 
singular. Noutras palavras, a soma da capitalização de cada 
pagamento. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
30 
 
Matematicamente: 
 
VF = ∑ Rn × (1 + i)
k−n
K
n=1
 
 
VR = R1(1 + i)k−1 + R2(1 + i)k−2 + R3(1 + i)k−3 + R4(1 + i)k−4
+ R5(1 + i)k−5 
 
Levando na expressão acima os valores de cada fluxo de caixa 
e adotando uma taxa de juros de 7% tem-se: 
 
VF = 78 (1,07)4 + 85 (1,07)3 + 100 (1,07)2 + 100 (1,07)1 + 50 
 
VF = 477,86 R$. 
 
 Neste caso, o valor futuro ocorre no momento do ultimo 
pagamento. 
 
 
b) Valor Presente 
 
Considerando a sequencia de recebimentos expressos 
na Figura 2.8, a soma do valor presente desses valores 
corresponde à soma dos descontos de cada valor singular. 
VP(0)=∑
Rn
(1+i)n
k
n=1
 
 
VP(0) =
R1
(1 + i)1
+
R2
(1 + i)2
+
R3
(1 + i)3
+
R4
(1 + i)4
+
R5
(1 + i)5
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Valor Presente Diversos Pagamentos
 
 
 
Levando na expressão acima os valores de cada fluxo 
de caixa e adotando uma taxa de juros de 7% tem-se: 
 
VP(0) =
78
(1,07)1
+
85
(1,07)2
+
100
(1,07)3
+
100
(1,07)4
+
50
(1,07)5
 
 
VP(0) = 340,71 R$ 
 
2.3.4 - Exemplos. 
 
a) Seja definir o valor atual de um capital aplicado por seis 
meses a juros de 7% ao mês, gerou o montante de R$ 
4.502,19? 
 
P=S×
1
(1+i)n 
=S vi
n 
 
Utilizando tabela financeira: 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
31 
 
 
s
7
6
 = 0.6663  da Tabela Financeira 
 P = s
7
6
 = 4.502,19 x 0.6663 = 3.000,00 R$ 
 
Ou utilizando diretamente o fator de valor presente: 
 
 P=S×
1
(1+i)n 
=4.502,19 ×
1
(1,07)6 
=3.000,00 R$ 
 
b) No caso inverso, seja um capital no valor de R$ 3.000,00, 
qual será o montante a ser recebido após seis meses quando 
aplicado a taxa de juros de 7% ao mês? 
 
S=Psi
n ∴ S=Ps7
6 
 
 E, sendo s
7
6
 = 1,5007  da Tabela Financeira. 
 
S = 3,000 x 1,5007 = 4.502,19 R$ 
 
Ou então: S = P (1+i)n =