Introdução à Álgebra Linear

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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Introdução à Álgebra Linear
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1,2) ∈ R2
(−1,2,√3) ∈ R3
(1,2,3,4) 6= (2,1,3,4) ∈ R4
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1,2) ∈ R2
(−1,2,√3) ∈ R3
(1,2,3,4) 6= (2,1,3,4) ∈ R4
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1,2) ∈ R2
(−1,2,√3) ∈ R3
(1,2,3,4) 6= (2,1,3,4) ∈ R4
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1,2) ∈ R2
(−1,2,√3) ∈ R3
(1,2,3,4) 6= (2,1,3,4) ∈ R4
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w) ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w) ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
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Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w) ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
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Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w) ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
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Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w) ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
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Gerados
Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w) ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Operações
Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Definição
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Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplo
(2,−1,0,3)− 3(0,−2,2,1)
= (2,−1,0,3) + ((−3)(0,−2,2,1))
= (2,−1,0,3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1,0,3) + (0,6,−6,−3)
= (2+ 0,−1+ 6,0− 6,3− 3)
= (2,5,−6,0)
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Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplo
(2,−1,0,3)− 3(0,−2,2,1)
= (2,−1,0,3) + ((−3)(0,−2,2,1))
= (2,−1,0,3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1,0,3) + (0,6,−6,−3)
= (2+ 0,−1+ 6,0− 6,3− 3)
= (2,5,−6,0)
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplo
(2,−1,0,3)− 3(0,−2,2,1)
= (2,−1,0,3) + ((−3)(0,−2,2,1))
= (2,−1,0,3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1,0,3) + (0,6,−6,−3)
= (2+ 0,−1+ 6,0− 6,3− 3)
= (2,5,−6,0)
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Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplo
(2,−1,0,3)− 3(0,−2,2,1)
= (2,−1,0,3) + ((−3)(0,−2,2,1))
= (2,−1,0,3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1,0,3) + (0,6,−6,−3)
= (2+ 0,−1+ 6,0− 6,3− 3)
= (2,5,−6,0)
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Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplo
(2,−1,0,3)− 3(0,−2,2,1)
= (2,−1,0,3) + ((−3)(0,−2,2,1))
= (2,−1,0,3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1,0,3) + (0,6,−6,−3)
= (2+ 0,−1+ 6,0− 6,3− 3)
= (2,5,−6,0)
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplo
(2,−1,0,3)− 3(0,−2,2,1)
= (2,−1,0,3) + ((−3)(0,−2,2,1))
= (2,−1,0,3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1,0,3) + (0,6,−6,−3)
= (2+ 0,−1+ 6,0− 6,3− 3)
= (2,5,−6,0)
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Representações Gráficas
(3, 2)
3
2
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Representações Gráficas
(3, 2)
3
2
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Representações Gráficas
3
2 (3, 2)
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Representações Gráficas
3
2 (1, 3, 2)
1
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
Regra do Triângulo
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (v1 + u1, v2 + u2)
Regra do Triângulo
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
Regra do Paralelogramo
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Introdução à
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Somando Vários Vetores
u
v
w
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Somando Vários Vetores
u
v
vw
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Somando Vários Vetores
u
vw
w
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Somando Vários Vetores
u
vu+ v
w
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Somando Vários Vetores
u+ v
wu+ v+w
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Somando Vários Vetores
u+ v+w w
v
u
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
α > 1
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
0 < α < 1
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
α < 0
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−1,−1) = 1(1,1)− 2(−1,−1) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−1,−1) = 1(1,1)− 2(−1,−1) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−1,−1) = 1(1,1)− 2(−1,−1) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−1,−1) = 1(1,1)− 2(−1,−1) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−1,−1) = 1(1,1)− 2(−1,−1) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1,v2, . . . ,vp é o conjunto de
todas as combinações lineares de v1,v2, . . . ,vp.
〈v1,v2, . . . ,vp〉 =
{ p∑
i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1,2, . . . ,p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . .. ,vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . ,vp〉 = S.
Diz-se também que {v1, . . . ,vp} é gerador de S.
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1,v2, . . . ,vp é o conjunto de
todas as combinações lineares de v1,v2, . . . ,vp.
〈v1,v2, . . . ,vp〉 =
{ p∑
i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1,2, . . . ,p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . . . ,vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . ,vp〉 = S.
Diz-se também que {v1, . . . ,vp} é gerador de S.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1,v2, . . . ,vp é o conjunto de
todas as combinações lineares de v1,v2, . . . ,vp.
〈v1,v2, . . . ,vp〉 =
{ p∑
i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1,2, . . . ,p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . . . ,vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . ,vp〉 = S.
Diz-se também que {v1, . . . ,vp} é gerador de S.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1,v2, . . . ,vp é o conjunto de
todas as combinações lineares de v1,v2, . . . ,vp.
〈v1,v2, . . . ,vp〉 =
{ p∑
i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1,2, . . . ,p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . . . ,vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . ,vp〉 = S.
Diz-se também que {v1, . . . ,vp} é gerador de S.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u
2u
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u
2u
−u
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u
2u
−u
0
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u
2u
−u
0
{αu, α ∈ R} = 〈u〉
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
u
v
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaço
vetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)
0 ∈ V
pode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .
sempre “reto”, nunca “curvo”
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaço
vetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)
0 ∈ V
pode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .
sempre “reto”, nunca “curvo”
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaço
vetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)
0 ∈ V
pode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .
sempre “reto”, nunca “curvo”
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaço
vetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)
0 ∈ V
pode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .
sempre “reto”, nunca “curvo”
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaço
vetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)
0 ∈ V
pode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .
sempre “reto”, nunca “curvo”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso“típico”
“redundância” “redundância”
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Dependência Linear
{v1,v2, . . . ,vp}
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑
i=1
i 6=k
αivi
Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dos
demais.
Definição (dependência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se
existe um vetor que é c.l. dos demais.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Dependência Linear
{v1,v2, . . . ,vp}
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑
i=1
i 6=k
αivi
Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dos
demais.
Definição (dependência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se
existe um vetor que é c.l. dos demais.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Dependência Linear
{v1,v2, . . . ,vp}
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑
i=1
i 6=k
αivi
Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dos
demais.
Definição (dependência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se
existe um vetor que é c.l. dos demais.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplos
Exemplo
{(1,0,0,0), (0,0,3,0), (0,0,0,2)} é LI.
Exemplo
{(1,0,0,0), (2,1,3,0), (5,2,6,0)} é LD.
De fato, (5,2,6,0) = (1,0,0,0) + 2(2,1,3,0).
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplos
Exemplo
{(1,0,0,0), (0,0,3,0), (0,0,0,2)} é LI.
Exemplo
{(1,0,0,0), (2,1,3,0), (5,2,6,0)} é LD.
De fato, (5,2,6,0) = (1,0,0,0) + 2(2,1,3,0).
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Exemplos
Exemplo
{(1,0,0,0), (0,0,3,0), (0,0,0,2)} é LI.
Exemplo
{(1,0,0,0), (2,1,3,0), (5,2,6,0)} é LD.
De fato, (5,2,6,0) = (1,0,0,0) + 2(2,1,3,0).
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3
Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma reta
passando pela origem.
Em geral, w+ 〈v〉 = {u = w+ tv, t ∈ R} representa uma
reta que não passa pela origem.
Equação Paramétrica da Reta
Toda reta pode ser expressa na forma
w+ tv
(Esta representação não é única.)
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3
Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma reta
passando pela origem.
Em geral, w+ 〈v〉 = {u = w+ tv, t ∈ R} representa uma
reta que não passa pela origem.
Equação Paramétrica da Reta
Toda reta pode ser expressa na forma
w+ tv
(Esta representação não é única.)
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3
Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma reta
passando pela origem.
Em geral, w+ 〈v〉 = {u = w+ tv, t ∈ R} representa uma
reta que não passa pela origem.
Equação Paramétrica da Reta
Toda reta pode ser expressa na forma
w+ tv
(Esta representação não é única.)
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3
Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma reta
passando pela origem.
Em geral, w+ 〈v〉 = {u = w+ tv, t ∈ R} representa uma
reta que não passa pela origem.
Equação Paramétrica da Reta
Toda reta pode ser expressa na forma
w+ tv
(Esta representação não é única.)
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica do Plano em R3
Em geral, 〈v1,v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representa
um plano passando pela origem.
Em geral, w+ 〈v1,v2〉 = {u = w+ tv1 + sv2, s, t ∈ R}
representa um plano que não passa pela origem.
Equação Paramétrica do Plano
Todo plano pode ser expresso na forma
w+ tv1 + sv2
(Esta representação não é única.)
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica do Plano em R3
Em geral, 〈v1,v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representa
um plano passando pela origem.
Em geral, w+ 〈v1,v2〉 = {u = w+ tv1 + sv2, s, t ∈ R}
representa um plano que não passa pela origem.
Equação Paramétrica do Plano
Todo plano pode ser expresso na forma
w+ tv1 + sv2
(Esta representação não é única.)
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica do Plano em R3
Em geral, 〈v1,v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representa
um plano passando pela origem.
Em geral, w+ 〈v1,v2〉 = {u = w+ tv1 + sv2, s, t ∈ R}
representa um plano que não passa pela origem.
Equação Paramétrica do Plano
Todo plano pode ser expresso na forma
w+ tv1 + sv2
(Esta representação não é única.)
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica do Plano em R3
Em geral, 〈v1,v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representa
um plano passando pela origem.
Em geral, w+ 〈v1,v2〉 = {u = w+ tv1 + sv2, s, t ∈ R}
representa um plano que não passa pela origem.
Equação Paramétrica do Plano
Todo plano pode ser expresso na forma
w+ tv1 + sv2
(Esta representação não é única.)
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em Rn
Definição (reta)
Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma
w+ 〈v〉 , com v 6= 0.
Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorial
de dimensão 1.
Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em Rn
Definição (reta)
Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma
w+ 〈v〉 , com v 6= 0.
Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorial
de dimensão 1.
Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em Rn
Definição (reta)
Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma
w+ 〈v〉 , com v 6= 0.
Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorial
de dimensão 1.
Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Vetorial × Espaço Afim
Se {v1, . . . ,vp} é LI, então 〈v1, . . . ,vp〉 é
um espaço vetorial de dimensão p.
Se {v1, . . . ,vp} é LI, então w+ 〈v1, . . . ,vp〉 é
um espaço afim de dimensão p.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Espaço Vetorial × Espaço Afim
Se {v1, . . . ,vp} é LI, então 〈v1, . . . ,vp〉 é
um espaço vetorial de dimensão p.
Se {v1, . . . ,vp} é LI, então w+ 〈v1, . . .,vp〉 é
um espaço afim de dimensão p.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V se
todo vetor de V é expressível de forma única
como combinação linear dos vetores deste conjunto.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V se
todo vetor de V é expressível de forma única
como combinação linear dos vetores deste conjunto.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn)
?
= (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V se
todo vetor de V é expressível de forma única
como combinação linear dos vetores deste conjunto.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V se
todo vetor de V é expressível de forma única
como combinação linear dos vetores deste conjunto.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30
Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V se
todo vetor de V é expressível de forma única
como combinação linear dos vetores deste conjunto.
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1,e2} é base de R2.
Dado (a,b) ∈ R2, (a,b) = a(1,0) + b(0,1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1,0), (2,2), (0,1)} não é base de R2.
(4,4) = 2(2,2) = 4(1,0) + 4(0,1).
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1,e2} é base de R2.
Dado (a,b) ∈ R2, (a,b) = a(1,0) + b(0,1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1,0), (2,2), (0,1)} não é base de R2.
(4,4) = 2(2,2) = 4(1,0) + 4(0,1).
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1,e2} é base de R2.
Dado (a,b) ∈ R2, (a,b) = a(1,0) + b(0,1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1,0), (2,2), (0,1)} não é base de R2.
(4,4) = 2(2,2) = 4(1,0) + 4(0,1).
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1,e2} é base de R2.
Dado (a,b) ∈ R2, (a,b) = a(1,0) + b(0,1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1,0), (2,2), (0,1)} não é base de R2.
(4,4) = 2(2,2) = 4(1,0) + 4(0,1).
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1,e2} é base de R2.
Dado (a,b) ∈ R2, (a,b) = a(1,0) + b(0,1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1,0), (2,2), (0,1)} não é base de R2.
(4,4) = 2(2,2) = 4(1,0) + 4(0,1).
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Introdução à
Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3
3∑
i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3
3∑
i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3
3∑
i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3
3∑
i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
?
= (v1, v2, v3) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3
3∑
i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3
3∑
i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3 é base.
3∑
i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Definição (coordenadas)
As coordenadas do vetor v na base β = {b1,b2, . . . ,bn},
são os coeficientes αi ’s usados para combinar linearmente
os vetores bi ’s de forma a gerar v.
[v]β =

α1
α2
...
αn
 ⇐⇒ v =
n∑
i=1
αibi
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Exemplo 1
ε = {e1,e2, . . . ,en}
v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen
[v]ε =
[
(v1, v2, . . . , vn)
]
ε
=

v1
v2
...
vn
 coordenadas de vcom relação
à base ε
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
GeradosBases
Coordenadas
Exemplo 1
ε = {e1,e2, . . . ,en}
v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen
[v]ε =
[
(v1, v2, . . . , vn)
]
ε
=

v1
v2
...
vn
 coordenadas de vcom relação
à base ε
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Exemplo 2
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3
v = (v1, v2, v3) = v1b1 + (v2 − v1)b2 + (v3 − v2)b3
[v]β =
[
(v1, v2, v3)
]
β
=
 v1v2 − v1
v3 − v2
 coordenadas de vcom relação
à base β
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Álgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Exemplo 2
β = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}
= {b1,b2,b3} ⊂ R3
v = (v1, v2, v3) = v1b1 + (v2 − v1)b2 + (v3 − v2)b3
[v]β =
[
(v1, v2, v3)
]
β
=
 v1v2 − v1
v3 − v2
 coordenadas de vcom relação
à base β
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Observação
v = (v1, v2, v3)
[v]ε =
 v1v2
v3
 [v]β =
 v1v2 − v1
v3 − v2

Não confundir coordenadas e entradas.
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Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Observação
v = (v1, v2, v3)
[v]ε =
 v1v2
v3
 [v]β =
 v1v2 − v1
v3 − v2

Não confundir coordenadas e entradas.
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
v = (2,4)
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
v = (2,4)
ε = { (1,0), (0,1) }
[v]ε =
[
2
4
]
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
v = (2,4)
β = { (1,1), (0,1) }
[v]β =
[
2
2
]
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Espaço Rn
Definição
Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Observação
Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:
v = (α1, . . . , αn) (uso correto);
[v]ε =
 α1...
αn
 (uso correto);
v =
 α1...
αn
 (abuso de notação);
vt =
[
α1 · · · αn
]
(abuso de notação).
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Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Observação
Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:
v = (α1, . . . , αn) (uso correto);
[v]ε =
 α1...
αn
 (uso correto);
v =
 α1...
αn
 (abuso de notação);
vt =
[
α1 · · · αn
]
(abuso de notação).
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Espaço Rn
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Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Observação
Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:
v = (α1, . . . , αn) (uso correto);
[v]ε =
 α1...
αn
 (uso correto);
v =
 α1...
αn
 (abuso de notação);
vt =
[
α1 · · · αn
]
(abuso de notação).
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Operações
Espaços
Gerados
Bases
Coordenadas
Observação
Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:
v = (α1, . . . , αn) (uso correto);
[v]ε =
 α1...
αn
 (uso correto);
v =
 α1...
αn
 (abuso de notação);
vt =
[
α1 · · · αn
]
(abuso de notação).
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