Fundamentos da Matemática II - Introdução ao Cálculo Vetorial

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Universidade de São Paulo 
Universidade Virtual do Estado de São Paulo 
 
Curso de Licenciatura em Ciências 
Atividade Presencial Aula 03 – FMII 
Introdução ao Cálculo Vetorial 
15/08/2015 
 
1. Em Fundamentos de Matemática I, estudamos durante todo o curso funções de uma variável real a 
valores reais – funções de ℝ em ℝ. Nesta aula, iniciamos os estudos de funções de uma variável real a 
valores vetoriais – funções de ℝ em ℝ𝑛. Em particular, dada sua grande variedade de aplicações em 
problemas físicos, estaremos interessados nas funções cujo domínio é um conjunto de números reais e 
cuja imagem é um conjunto de vetores tridimensionais – funções de ℝ em ℝ3. Considere a função 
vetorial �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ3, função de uma variável real a valores em ℝ3, dada por 
�⃗�(𝑡) = −𝑡𝑖 + ln(𝑡 − 4) 𝑗 + 𝑡2�⃗⃗� = (−𝑡, ln(𝑡 − 4) , 𝑡2), com 𝑡 ∈ 𝐷(�⃗�) 
e responda os itens abaixo. 
 
a) Determine, se possível, o valor do vetor �⃗�(𝑡) quando 𝑡 = 6. Caso não seja possível calcular o vetor 
pedido, explique o motivo. 
Sugestão de resposta. 
Ao considerarmos um valor qualquer 𝑡 do domínio da função vetorial �⃗�, cada função componente da 
função �⃗�, cujo contradomínio é o ℝ3, deve ser um número real. Considerando 𝑡 = 6, temos que �⃗�(6) =
(−6, ln(6 − 4) , 62) = (−6, ln(2) , 36), onde cada entrada – função componente – do vetor é um 
número real. Portanto: �⃗�(6) = (−6, ln(2) , 36). 
 
b) Determine, se possível, o valor do vetor �⃗�(𝑡) quando 𝑡 = 4. Caso não seja possível calcular o vetor 
pedido, explique o motivo. 
Sugestão de resposta. 
Ao considerarmos um valor qualquer 𝑡 do domínio da função vetorial �⃗�, cada função componente da 
função �⃗�, cujo contradomínio é o ℝ3, deve ser um número real. Considerando 𝑡 = 4, teríamos que 
�⃗�(4) = (−4, ln(4 − 4) , 42 ) = (−4, ln(0) , 16), onde encontramos uma restrição na segunda 
componente da função vetorial. Para verificar o motivo desta restrição, iremos primeiramente 
relembrar que: pela definição de logaritmo de c na base b, sabemos que 
“se 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ, 𝟎 < 𝒃 ≠ 𝟏 e 𝒄 > 𝟎, então 𝒍𝒐𝒈𝒃𝒄 = 𝒌 ⟺ 𝒃
𝒌 = 𝒄”. 
Lembre-se ainda que 𝒍𝒐𝒈𝒆𝒄 = 𝒍𝒏 𝒄. É imediato, pela definição de logaritmos, que o valor ln(0) não é 
definido. Podemos verificar ainda que, em ln(𝑡 − 4), devemos garantir que 𝑡 − 4 > 0, ou seja, que 
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𝑡 > 4. Em outras palavras, isto significa que 𝑡 = 4 não faz parte do domínio da função vetorial �⃗�(𝑡). 
Dada esta restrição encontrada na operação envolvendo a segunda componente da função vetorial, 
afirmamos que não é possível obter o valor do vetor �⃗�(𝑡) quando 𝑡 = 4: �⃗�(4) ∉ 𝐼𝑚(�⃗�), dado que 4 ∉
𝐷(�⃗�). 
 
c) Em funções vetoriais da forma �⃗�(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 + ℎ(𝑡)�⃗⃗� = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), as funções 
𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) e ℎ(𝑡) são os componentes do vetor �⃗�(𝑡) e, por isso, chamadas funções componentes. O 
domínio 𝐷(�⃗�) da função vetorial �⃗�(𝑡) é o domínio comum das funções componentes, sendo obtido 
pela interseção dos domínios de cada uma das funções componentes. A imagem 𝐼𝑚(�⃗�) da função �⃗�(𝑡) 
é um conjunto de vetores tridimensionais onde suas componentes são definidas pelas imagens das 
funções componentes de �⃗�(𝑡). Ou seja, as informações que buscamos em relação ao domínio e imagem 
da função vetorial �⃗�(𝑡) estão contidas em suas funções componentes, que neste caso são funções de 
uma variável real a valores reais, como aquelas estudas em Fundamentos de Matemática I. Com base 
nestas informações, determine o domínio 𝐷(�⃗�) e a imagem 𝐼𝑚(�⃗�) da função vetorial �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ →
 ℝ3 definida no enunciado. 
Sugestão de resposta. 
Como �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ3, as funções componentes de �⃗�(𝑡) são funções de uma variável real a 
valores reais – ou seja, as funções componentes são funções cujo domínio é um conjunto de números 
reais e cuja imagem é um conjunto de números reais, como as estudadas em FMI. Considerando 
�⃗�(𝑡) = −𝑡𝑖 + ln(𝑡 − 4) 𝑗 + 𝑡2�⃗⃗� = (−𝑡, ln(𝑡 − 4) , 𝑡2), com 𝑡 ∈ 𝐷(�⃗�), podemos nomear as funções 
componentes como: 𝑓(𝑡) = −𝑡; 𝑔(𝑡) = ln(𝑡 − 4) e ℎ(𝑡) = 𝑡2. 
O domínio 𝐷(�⃗�) da função vetorial �⃗�(𝑡) é o domínio comum das funções componentes. Desta forma, 
determinamos o domínio da função vetorial simplesmente determinando o domínio de cada uma de 
suas funções componentes. Como os valores envolvidos tanto no domínio quanto na imagem da função 
vetorial devem ser números reais, definimos o domínio 𝐷(�⃗�) excluindo a possibilidade de que as 
funções componentes assumam valores que são números complexos ou a possibilidade de divisão por 
zero. Ou seja, devemos garantir que as funções de uma variável real a valores reais 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) e ℎ(𝑡) 
não assumam valores que são números complexos, que efetuem divisão por zero ou que restrinjam a 
operação envolvida na função – devemos excluir qualquer valor de 𝑡 que torne inviável a operação 
definida pela função. Dado que: 
. o domínio 𝐷(𝑓) é formado por todos os valores de 𝑡 onde é possível obter o valor de 𝑓(𝑡), de forma 
que 𝑓(𝑡) seja um número real. Como, independentemente do valor real que atribuirmos a 𝑡, de 
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nenhuma forma obteremos um número complexo, uma divisão por zero ou qualquer outra restrição, 
podemos garantir que 𝐷(𝑓) = ℝ . 
. o domínio 𝐷(𝑔) é formado por todos os valores de 𝑡 onde é possível obter o valor de 𝑔(𝑡). Pela 
definição de logaritmos, podemos verificar que, em 𝑙𝑛(𝑡 − 4), devemos garantir que 𝑡 − 4 > 0, ou 
seja, que 𝑡 > 4. Desta forma, o domínio 𝐷(𝑔) é formado pelos valores de 𝑡 que sejam estritamente 
maiores que 4, de onde obtemos que 𝐷(𝑔) = {𝑡 ∈ ℝ ∶ 𝑡 > 4}. 
. o domínio 𝐷(ℎ) é formado por todos os valores de 𝑡 onde é possível obter o valor de ℎ(𝑡), de forma 
que ℎ(𝑡) seja um número real. Como, independentemente do valor real que atribuirmos a 𝑡, não 
encontramos qualquer restrição nas operações envolvendo a função, podemos garantir que 𝐷(ℎ) =
ℝ . 
O domínio 𝐷(�⃗�) da função vetorial �⃗� deve abranger todas as restrições envolvidas nos domínios das 
funções componentes e, por isso, é dado pela interseção 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) ∩ 𝐷(ℎ) = {𝑡 ∈ ℝ ∶ 𝑡 > 4}. 
Portanto, 𝐷(�⃗�) = {𝑡 ∈ ℝ ∶ 𝑡 > 4}. 
A imagem 𝐼𝑚(�⃗�) da função vetorial �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ3 é formada por vetores tridimensionais e 
dada por 𝐼𝑚(�⃗�) = {(−𝑡, ln(𝑡 − 4) , 𝑡2) ∈ ℝ3 ∶ 𝑡 ∈ 𝐷(�⃗�)} = {(−𝑡, ln(𝑡 − 4) , 𝑡2) ∈ ℝ3 ∶ 𝑡 > 4}. 
 
2. Uma função �⃗� ∶ 𝐵 ⊆ ℝ → ℝ2 é uma função de uma variável real em 𝐵 a valores em ℝ2. Trata-se 
de uma função que associa a cada 𝑡 ∈ 𝐵 um único valor �⃗�(𝑡) ∈ ℝ2. Conforme 𝑡 varia no domínio 
𝐷(�⃗�) = 𝐵, �⃗�(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)) descreve uma trajetória no plano definindo um lugar geométrico em 
ℝ2. Ou seja, a imagem da função �⃗� define uma curva no plano. Em relação ao desenho da imagem de 
funções de uma variável real a valores em ℝ2, pede-se: 
 
a) faça um esboço – elabore manualmente – da curva no plano descrita pela imagem da função 
�⃗⃗�(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗, com 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ ℝ ∶ −2 ≤ 𝑡 ≤ 2}. 
 
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Sugestão de resposta. 
Conforme definido, temos que o domínio da função �⃗⃗� é dado por 𝐷(�⃗⃗�) = {𝑡 ∈ ℝ ∶ −2 ≤ 𝑡 ≤ 2}. A 
imagem da função �⃗⃗�(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 = (𝑡, 𝑡2) é dada por 𝐼𝑚(�⃗⃗�) = {(𝑡, 𝑡2) ∈ ℝ2 ∶ −2 ≤ 𝑡 ≤ 2}, e é 
esse o conjunto de pontos que devemos representar no plano cartesiano. Um caminho para essa 
representação é construir uma tabelinha – caminho árduo e pouco preciso dependendo do número de 
pontos que considerarmos – 
𝑡 �⃗⃗�(𝑡) 
−2 (−2, 4) 
0 (0, 0) 
1 (1, 1) 
⋮ ⋮ 
 
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e inserir os referidos pontos no plano cartesiano,estimando qual seria o comportamento da curva entre 
cada dois pontos. Naturalmente, quanto maior – e mais próximos – o número de pontos, melhor a 
estimativa do formato da curva. Outra forma de abordarmos o problema é recorrermos à função 
explícita pela qual a função paramétrica �⃗⃗�(𝑡) foi obtida. Nesse sentido, observe que ao considerarmos 
{
𝑥(𝑡) = 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑡2
, 
verificamos que os pontos da curva formada pela imagem da função �⃗⃗�(𝑡) = (𝑡, 𝑡2) obedece a relação 
𝑦 = 𝑥2 (para simplificar o entendimento, pense em 𝑥 = 𝑡 e 𝑦 = 𝑡2 para chegar a relação 𝑦 = 𝑥2 a 
partir de �⃗⃗�). E assim, nos certificamos seguramente que os pontos da curva formada pela imagem da 
função �⃗⃗� estão contidos no gráfico da função explícita 𝑓(𝑥) = 𝑥2, com 𝐷(𝑓) = [−2, 2]. Sendo assim, 
podemos afirmar que a curva obtida pela imagem da função paramétrica �⃗⃗� (ver figura abaixo) é 
visualmente idêntica ao gráfico da função 𝑓 no domínio definido. Entretanto, deve-se ficar atento ao 
fato de que as informações que a representação geométrica da curva no plano formada pela imagem de 
�⃗⃗� nos fornece são, em geral, diferentes das informações fornecidas pelo gráfico da função explícita 𝑓. 
 
 
 
b) faça um esboço – elabore manualmente – da curva no plano descrita pela imagem da função 
𝑟(𝜃) = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗, com 𝜃 ∈ {𝜃 ∈ ℝ ∶ 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋}. 
 
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Sugestão de resposta. 
Conforme definido, temos que o domínio da função 𝑟 é dado por 𝐷(𝑟) = {𝜃 ∈ ℝ ∶ 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋}. O 
conjunto imagem da função 𝑟(𝜃) = (cos 𝜃)𝑖 + (sin 𝜃) 𝑗 = (cos 𝜃 , sin 𝜃) é dado pelo conjunto 
𝐼𝑚(𝑟) = {(cos 𝜃 , sin 𝜃) ∈ ℝ2 ∶ 𝜃 ∈ 𝐷(𝑟)}, e é esse o conjunto de pontos que devemos representar no 
plano cartesiano. Um caminho para essa representação é construir uma tabelinha – caminho árduo e 
pouco preciso dependendo do número de pontos que considerarmos – 
𝜃 𝑟(𝜃) 
0 (1, 0) 
⋮ ⋮ 
𝜋 (−1, 0) 
⋮ ⋮ 
e inserir os referidos pontos no plano cartesiano, estimando qual seria o comportamento da curva entre 
cada dois pontos. Naturalmente, quanto maior – e mais próximos – o número de pontos, melhor a 
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estimativa do formato da curva. Outra forma de abordarmos o problema é recorrermos à função 
explícita pela qual a função paramétrica 𝑟(𝜃) foi obtida. Lembrando que um ponto (𝑥, 𝑦) sobre uma 
circunferência de raio 𝑟 pode ser representado em termos de ângulos por pontos da forma 
(𝑟. cos 𝜃 , r. sin 𝜃), podemos escrever que todos os pontos (𝑥, 𝑦) sobre uma circunferência de raio 𝑟 =
1 podem ser escritos como 
{
𝑥(𝜃) = cos 𝜃
𝑦(𝜃) = sin 𝜃
, 
e verificamos que os pontos da curva formada pela imagem da função 𝑟(𝜃) = (cos 𝜃 , sin 𝜃) obedece 
a relação 𝑥2 + 𝑦2 = 1 (para simplificar o entendimento, pense em 𝑥 = cos 𝜃, 𝑦 = sin 𝜃 e na relação 
trigonométrica cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1, o que garante chegarmos na relação 𝑥2 + 𝑦2 = 1 a partir de 𝑟). 
 
E assim, nos certificamos seguramente que os pontos da curva formada pela imagem da função 𝑟 estão 
contidos nos gráficos das funções explícitas 𝑓1(𝑥) = √1 − 𝑥2 e 𝑓2(𝑥) = −√1 − 𝑥2, com 𝐷(𝑓1) =
𝐷(𝑓2) = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
]. Sendo assim, podemos afirmar que a metade superior da circunferência obtida pela 
imagem da função paramétrica 𝑟 (ver figura abaixo) é visualmente idêntica ao gráfico da função 𝑓1 (na 
figura abaixo, curva em azul) no domínio definido; e que a metade inferior da circunferência obtida 
pela imagem da função paramétrica 𝑟 (ver figura abaixo) é visualmente idêntica ao gráfico da função 
𝑓2 (na figura abaixo, curva em vermelho) no domínio definido. Entretanto, deve-se ficar atento ao fato 
de que as informações que a representação geométrica da curva no plano formada pela imagem de 𝑟 
nos fornece são, em geral, diferentes das informações fornecidas pelo gráfico da função explícita 𝑓. 
Em relação a representação de funções na forma paramétrica, é importante salientar que existe mais de 
uma forma diferente de parametrizarmos uma mesma função. Observe, por exemplo, que (sin 𝜃 , cos 𝜃) 
também é uma parametrização para a relação 𝑥2 + 𝑦2 = 1. Pense nas diferenças entre as informações 
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fornecidas pelas curvas quando parametrizarmos a relação 𝑥2 + 𝑦2 = 1 como 𝑟(𝜃) = (cos 𝜃 , sin 𝜃) e 
como 𝑟1⃗⃗⃗ ⃗(𝜃) = (sin 𝜃 , cos 𝜃). 
 
 
 
3. Uma função vetorial �⃗� ∶ 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ3 é uma função de uma variável real em 𝐼 a valores em ℝ3. 
Trata-se de uma função que associa a cada 𝑡 ∈ 𝐼 um único valor �⃗�(𝑡) ∈ ℝ3. Conforme 𝑡 varia no 
domínio 𝐷(�⃗�) = 𝐼, �⃗�(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)) descreve uma trajetória no espaço definindo um lugar 
geométrico em ℝ3. Ou seja, a imagem da função �⃗� define uma curva no espaço. Em relação ao desenho 
da imagem de funções de uma variável real a valores em ℝ3, pede-se: 
 
a) faça um esboço – elabore manualmente – da curva no espaço descrita pela imagem da função vetorial 
𝑠(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + 2�⃗⃗�, com 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ ℝ ∶ −2 ≤ 𝑡 < 2}. 
Sugestão de resposta. 
Na representação da imagem da função 𝑠(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + 2�⃗⃗� com domínio 𝐷(𝑠) = {𝑡 ∈ ℝ ∶ −2 ≤
𝑡 < 2}, observe que a curva formada é uma elevação da curva no plano definida no item 2.a. 
 
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b) faça um esboço – elabore manualmente – da curva no espaço descrita pela imagem da função vetorial 
�⃗⃗⃗�(𝜃) = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗 + 4�⃗⃗�, com 𝜃 ∈ {𝜃 ∈ ℝ ∶ 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋}. 
Sugestão de resposta. 
Na representação da imagem da função �⃗⃗⃗�(𝜃) = (cos 𝜃)𝑖 + (sin 𝜃) 𝑗 + 4�⃗⃗� com domínio 𝐷(�⃗⃗⃗�) = {𝜃 ∈
ℝ ∶ 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋}, observe que a curva formada é uma elevação da curva no plano definida no item 
2.b. 
 
 
 
 
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
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c) construa – utilize um software matemático – a curva no espaço descrita pela imagem da função 
vetorial �⃗⃗�(𝜃) = cos 5𝜃 𝑖 + sin 5𝜃 𝑗 + 𝜃�⃗⃗�, com 𝜃 ∈ {𝜃 ∈ ℝ ∶ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}. 
Sugestão de resposta. 
Existem diferentes softwares matemáticos, alguns de distribuição gratuita, que podem ser utilizados na 
elaboração de representações geométricas de curvas no espaço. O WinPlot, embora limitado em 
recursos se comparado aos demais programas, é bastante intuitivo e de uso livre. O seu site oficial 
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html 
contém informações e possibilita o download gratuito do software, embora o mesmo possa ser baixado 
por diferentes sites encontrados na internet. Com o WinPlot baixado em seu computador – não há 
necessidade de instalá-lo, dado que trata-se de um programa executável – dê duplo clique sobre o ícone 
 
e siga os seguintes procedimentos: 
 
. na aba “Janela”, clique em “3-dim”, o que abrirá uma janela 
 
 
 
 
Página 11 de 18 
 
. nesta janela, na aba “Equação”, clique em “Curva..”, o que abrirá uma nova janela chamada curva 
 
. na janela curva, preencha os campos de entrada da curva e do domínio com os dados do exercício 
 
Observe que utilizamos no programa a variável 𝑡 (default do software) no lugar de 𝜃, e que 𝑡 𝑚í𝑛 e 
𝑡 𝑚á𝑥 são valores retirados do domínio da função �⃗⃗�. 
. depois de preencher os campos na janela curva, clique em “ok”. 
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A representação gráfica da curva será gerada em uma janela sem os eixos, e uma outra janela chamada 
inventário será aberta simultaneamente nesse processo. 
. para inserir os eixos na curva, na janela que contém a curva clique em “Ver”, “Eixos” e “Eixos” 
 
 
Diversas outras possibilidades de formatação podem ser exploradas no programa, como “Zoom”, 
“Girar”, “Enquadrar janela” e muitos outros recursos que conferemà representação gráfica diferentes 
perspectivas de visualização. Basta explorar as potencialidades desta ferramenta. Abaixo, segue figura 
com representação da curva �⃗⃗� sob duas perspectivas diferentes. 
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4. Sendo �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ3 uma função de uma variável real em 𝐷(�⃗�) a valores em ℝ3 dada por 
�⃗�(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), temos que existe o limite 
lim
𝑡→𝑡0
�⃗�(𝑡) = ( lim
𝑡→𝑡0
𝑓(𝑡) , lim
𝑡→𝑡0
𝑔(𝑡) , lim
𝑡→𝑡0
ℎ(𝑡)) 
desde que os limites de cada uma das funções componentes existam. Com base nesta informação e em 
seus conhecimentos prévios em limites de funções de uma variável real a valores em ℝ, pede-se: 
 
a) considerando a função vetorial �⃗⃗⃗�(𝑥) = (cos 𝑥 , 𝑥2 − 2𝑥,
1
𝑥−𝜋
) determine, caso exista, o valor do 
limite lim
𝑥→𝜋
�⃗⃗⃗�(𝑥). 
Sugestão de resposta. 
Com base no enunciado, sabemos que o limite lim
𝑥→𝜋
�⃗⃗⃗�(𝑥) será dado por 
lim
𝑥→𝜋
�⃗⃗⃗�(𝑥) = (lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 , lim
𝑥→𝜋
(𝑥2 − 2𝑥) , lim
𝑥→𝜋
1
𝑥−𝜋
), 
desde que cada um dos limites envolvendo as funções componentes exista. Os limites das funções 
componentes são dados por: 
 
. lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 = cos 𝜋 = −1 
. lim
𝑥→𝜋
(𝑥2 − 2𝑥) = 𝜋2 − 2𝜋 
. lim
𝑥→𝜋
1
𝑥−𝜋
= ∄, bastando verificar que qualquer dos seus limites laterais tende ao infinito (positivamente 
ou negativamente). 
x
y
z
x
y
z
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Como o limite lim
𝑥→𝜋
1
𝑥−𝜋
 da terceira componente da função �⃗⃗⃗�(𝑥) não existe, afirmamos que o lim
𝑥→𝜋
�⃗⃗⃗�(𝑥) 
não existe. 
 
b) considerando a função vetorial 𝑧(𝑥) = (cos 𝑥 , 𝑥2 − 2𝑥, sin 𝑥) determine, caso exista, o valor do 
limite lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥). 
Sugestão de resposta. 
Com base no enunciado, sabemos que o limite lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) será dado por 
lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) = (lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 , lim
𝑥→𝜋
(𝑥2 − 2𝑥) , lim
𝑥→𝜋
sin 𝑥), 
desde que cada um dos limites envolvendo as funções componentes exista. Os limites das funções 
componentes são dados por: 
 
. lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 = cos 𝜋 = −1 
. lim
𝑥→𝜋
(𝑥2 − 2𝑥) = 𝜋2 − 2𝜋 
. lim
𝑥→𝜋
sin 𝑥 = sin 𝜋 = 0 
 
Como os limites das funções componentes existem, podemos afirmar que o limite lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) será dado 
por: 
lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) = (lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 , lim
𝑥→𝜋
(𝑥2 − 2𝑥) , lim
𝑥→𝜋
sin 𝑥) = (−1, 𝜋2 − 2𝜋, 0). 
 
5. Seja �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ𝑛, com 𝑛 ∈ ℕ∗ e considere 𝑡0 ∈ 𝐷(�⃗�). Dizemos que a função �⃗� é contínua 
em 𝑡 = 𝑡0 se 
lim
𝑡→𝑡0
�⃗�(𝑡) = �⃗�(𝑡0). 
A função �⃗�, uma função de uma variável real em 𝐷(�⃗�) a valores em ℝ𝑛, é contínua em seu domínio 
𝐷(�⃗�) se for contínua em todo 𝑡 ∈ 𝐷(�⃗�). Sendo �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ3 uma função de uma variável real 
em 𝐷(�⃗�) a valores em ℝ3 dada por �⃗�(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), temos que �⃗� é contínua em 𝑡0 ∈ 𝐷(�⃗�) 
se 
lim
𝑡→𝑡0
�⃗�(𝑡) = �⃗�(𝑡0) = (𝑓(𝑡0), 𝑔(𝑡0), ℎ(𝑡0)). 
Com base nesta informação e em seus conhecimentos prévios em limites de funções de uma variável 
real a valores em ℝ, pede-se: 
 
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a) considerando a função vetorial �⃗⃗⃗�(𝑥) = (cos 𝑥 , 𝑥2 − 2𝑥,
1
𝑥−𝜋
), verifique se �⃗⃗⃗�(𝑥) é contínua em 
𝑥 = 𝜋. 
Sugestão de resposta. 
Para garantirmos a continuidade da função �⃗⃗⃗� em 𝑥 = 𝜋, devemos verificar as seguintes condições: 
1. �⃗⃗⃗�(𝜋) existe; 
2. lim
𝑥→𝜋
�⃗⃗⃗�(𝑥) existe; 
3. lim
𝑥→𝜋
�⃗⃗⃗�(𝑥) = �⃗⃗⃗�(𝜋). 
Desta forma, primeiramente devemos verificar se 𝑥 = 𝜋 pertence ao domínio da função �⃗⃗⃗� para que 
possamos analisar a continuidade da função em 𝑥 = 𝜋. Numa rápida observação da terceira 
componente da função vetorial �⃗⃗⃗�(𝑥), podemos garantir que 𝜋 ∉ 𝐷(�⃗⃗⃗�). Ou seja, garantimos que 𝑥 =
𝜋 não faz parte do domínio da função �⃗⃗⃗�. Desta forma, não é possível obtermos o valor de �⃗⃗⃗�(𝜋) e, 
consequentemente, não podemos verificar a igualdade lim
𝑥→𝜋
�⃗⃗⃗�(𝑥) = �⃗⃗⃗�(𝜋). Logo, a função �⃗⃗⃗�(𝑥) não é 
contínua em 𝑥 = 𝜋. 
 
b) considerando a função vetorial 𝑧(𝑥) = (cos 𝑥 , 𝑥2 − 2𝑥, sin 𝑥), verifique se 𝑧(𝑥) é contínua em 
𝑥 = 𝜋. 
Sugestão de resposta. 
Para garantirmos a continuidade da função �⃗⃗⃗� em 𝑥 = 𝜋, devemos verificar as seguintes condições: 
1. 𝑧(𝜋) existe; 
2. lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) existe; 
3. lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) = 𝑧(𝜋). 
Desta forma, primeiramente devemos verificar se 𝑥 = 𝜋 pertence ao domínio da função 𝑧 para que 
possamos analisar a continuidade da função em 𝑥 = 𝜋. Ao considerarmos um valor 𝑥 do domínio da 
função vetorial 𝑧, cada função componente da função 𝑧, cujo contradomínio é o ℝ3, deve ser um 
número real. Considerando 𝑥 = 𝜋, temos que 𝑧(𝜋) = (cos 𝜋 , 𝜋2 − 2𝜋, sin 𝜋) = (−1, 𝜋2 − 2𝜋, 0), 
onde cada entrada – função componente – do vetor é um número real. Portanto: 𝑧(𝜋) = (−1, 𝜋2 −
2𝜋, 0). 
O limite lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) será dado por 
lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) = (lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 , lim
𝑥→𝜋
(𝑥2 − 2𝑥) , lim
𝑥→𝜋
sin 𝑥), 
desde que cada um dos limites envolvendo as funções componentes exista. Os limites das funções 
componentes são dados por: 
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. lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 = cos 𝜋 = −1 
. lim
𝑥→𝜋
(𝑥2 − 2𝑥) = 𝜋2 − 2𝜋 
. lim
𝑥→𝜋
sin 𝑥 = sin 𝜋 = 0 
 
Como os limites das funções componentes existem, podemos afirmar que o limite lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) será dado 
por: 
lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) = (lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 , lim
𝑥→𝜋
(𝑥2 − 2𝑥) , lim
𝑥→𝜋
sin 𝑥) = (−1, 𝜋2 − 2𝜋, 0), 
o que garante que o limite lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) existe. 
Finalmente, como 
𝑧(𝜋) = (−1, 𝜋2 − 2𝜋, 0) e lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) = (−1, 𝜋2 − 2𝜋, 0), 
podemos afirmar que lim
𝑥→𝜋
𝑧(𝑥) = 𝑧(𝜋) e, consequentemente, que a função 𝑧(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝜋. 
 
6. Seja �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ𝑛, com 𝑛 ∈ ℕ∗ e considere 𝑡0 ∈ 𝐷(�⃗�). Dizemos que a função �⃗� é derivável 
em 𝑡0 ∈ 𝐷(�⃗�) se, e somente se, cada uma das funções componentes de �⃗� for derivável em 𝑡0. Sendo 
�⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ3 uma função derivável em 𝑡0 ∈ 𝐷(�⃗�) dada por �⃗�(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), 
teremos que 
�⃗�′(𝑡0) = (𝑓′(𝑡0), 𝑔′(𝑡0), ℎ′(𝑡0)). 
Com base nesta informação e em seus conhecimentos prévios em derivadas de funções de uma variável 
real a valores reais, pede-se: 
 
a) considerando a função vetorial �⃗⃗⃗�(𝑥) = (cos 𝑥 , 𝑥2 − 2𝑥,
1
𝑥−𝜋
), determine �⃗⃗⃗�′(𝑥). 
Sugestão de resposta. 
Sabemos que a função �⃗⃗⃗� é derivável em 𝑥 ∈ 𝐷(�⃗⃗⃗�) se, e somente se, cada uma das funções 
componentes 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 e ℎ(𝑥) =
1
𝑥−𝜋
 de �⃗⃗⃗� for derivável em 𝑥 ∈ 𝐷(�⃗⃗⃗�) =
{𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ 𝜋}. As derivadas das funções componentes em 𝑥 ∈ 𝐷(�⃗⃗⃗�) são dadas por: 
. 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑥) = − sin 𝑥 
. 
𝑑𝑔
𝑑𝑥
(𝑥) = 2𝑥 − 2 
. 
𝑑ℎ
𝑑𝑥
(𝑥) = −
1
(𝑥−𝜋)2
 com 𝑥 ≠ 𝜋 
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Como as derivadas das funções componentes existem no domínio da função vetorial, podemos afirmar 
que 
𝑑�⃗⃗⃗�
𝑑𝑥
(𝑥) será dado por: 
�⃗⃗⃗�′(𝑥) = (− sin 𝑥 , 2𝑥 − 2, −
1
(𝑥−𝜋)2
). 
 
b) considerando a função vetorial 𝑧(𝑥) = (cos 𝑥 , 𝑥2 − 2𝑥, sin 𝑥), determine 𝑧′(𝑥). 
Sugestão de resposta. 
Sabemos que a função 𝑧 é derivável em 𝑥 ∈ 𝐷(𝑧) se, e somente se, cada uma das funções componentes 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 e ℎ(𝑥) = sin 𝑥 de 𝑧 for derivável em 𝑥 ∈ 𝐷(𝑧) = ℝ. As derivadas das 
funções componentes em 𝑥 ∈ 𝐷(𝑧) são dadas por: 
. 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑥) = − sin 𝑥 
. 
𝑑𝑔
𝑑𝑥
(𝑥) = 2𝑥 − 2 
. 
𝑑ℎ
𝑑𝑥
(𝑥) = cos 𝑥 
Como as derivadas das funções componentesexistem no domínio da função vetorial, podemos afirmar 
que 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
(𝑥) será dado por: 
𝑧′(𝑥) = (− 𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 2𝑥 − 2, 𝑐𝑜𝑠 𝑥). 
 
7. O Teorema Fundamental do Cálculo, visto em Fundamentos de Matemática I, pode ser estendido 
para funções contínuas �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ𝑛, com 𝑛 ∈ ℕ∗, de forma que: 
∫ �⃗�(𝑡)𝑑𝑡 = �⃗⃗⃗�(𝑡) + 𝐶, 
onde �⃗⃗⃗�′(𝑡) = �⃗�(𝑡). Ou seja, �⃗⃗⃗� é a primitiva de �⃗�. Sendo �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ3 uma função contínua 
em 𝐷(�⃗�) dada por �⃗�(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), teremos que a integral indefinida de �⃗� é dada por 
∫ �⃗�(𝑡)𝑑𝑡 = (∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 , ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 , ∫ ℎ(𝑡)𝑑𝑡). 
Com base nesta informação e em seus conhecimentos prévios em derivadas de funções de uma variável 
real a valores reais, pede-se: 
 
a) considerando a função vetorial �⃗⃗⃗�(𝑥) = (cos 𝑥 , 𝑥2 − 2𝑥,
1
𝑥−𝜋
), determine ∫ �⃗⃗⃗�(𝑥)𝑑𝑥. 
Sugestão de resposta. 
Nomeando as funções componentes da função vetorial �⃗⃗⃗� como 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 e 
ℎ(𝑥) =
1
𝑥−𝜋
, sabemos que a integral indefinida de �⃗⃗⃗� será dada por 
∫ �⃗⃗⃗�(𝑥)𝑑𝑥 = (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 , ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥) = (∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 , ∫(𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥 , ∫
1
𝑥−𝜋
𝑑𝑥), 
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caso cada uma das integrais nas componentes do vetor existirem. As integrais indefinidas das funções 
componentes em 𝑥 ∈ 𝐷(�⃗⃗⃗�) são dadas por: 
. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐1 
. ∫(𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥3
3
− 𝑥2 + 𝑐2 
. ∫
1
𝑥−𝜋
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥 − 𝜋| + 𝑐3 
Como as integrais das funções componentes existem no domínio da função vetorial, podemos afirmar 
que ∫ �⃗⃗⃗�(𝑥)𝑑𝑥 será dada por: 
∫ �⃗⃗⃗�(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐1,
𝑥3
3
− 𝑥2 + 𝑐2, 𝑙𝑛|𝑥 − 𝜋| + 𝑐3); 
que podemos escrever como 
∫ �⃗⃗⃗�(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑠𝑖𝑛 𝑥 ,
𝑥3
3
− 𝑥2 , 𝑙𝑛|𝑥 − 𝜋|) + (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3), 
 onde podemos nomear �⃗⃗⃗�(𝑥) = (𝑠𝑖𝑛 𝑥 ,
𝑥3
3
− 𝑥2 , 𝑙𝑛|𝑥 − 𝜋|) e 𝐶 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3). 
 
b) sendo �⃗� ∶ 𝐷(�⃗�) ⊆ ℝ → ℝ3 uma função contínua em 𝐷(�⃗�) dada por �⃗�(𝑡) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), 
teremos que a integral definida de �⃗� é dada por 
∫ �⃗�(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= (∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
, ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
, ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
). 
Considerando a função vetorial 𝑧(𝑥) = (cos 𝑥 , 𝑥2 − 2𝑥, sin 𝑥), determine ∫ 𝑧(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
. 
Sugestão de resposta. 
Nomeando as funções componentes da função vetorial 𝑧 como 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 e 
ℎ(𝑥) = sin 𝑥, sabemos que a integral definida de 𝑧 será dada por 
∫ 𝑧(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
= (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
, ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
, ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
) = (∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
, ∫ (𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
, ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
), 
caso cada uma das integrais nas componentes do vetor existirem. As integrais definidas das funções 
componentes em 𝑥 ∈ 𝐷(𝑧) são dadas por: 
. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
= [𝑠𝑖𝑛 𝑥] |
𝜋
0
= 𝑠𝑖𝑛 𝜋 − 𝑠𝑖𝑛 0 = 0 − 0 = 0 
. ∫ (𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
= [
𝑥3
3
− 𝑥2] |
𝜋
0
= (
𝜋3
3
− 𝜋2) − (
03
3
− 02) =
𝜋3
3
− 𝜋2 
. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
= [− cos 𝑥] |
𝜋
0
= (− cos 𝜋) − (− cos 0) = (−(−1)) − (−1) = 2 
Como as integrais das funções componentes existem no domínio da função vetorial, podemos afirmar 
que ∫ 𝑧(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
 será dada por: 
∫ 𝑧(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
= (0,
𝜋3
3
− 𝜋2, 2).