aula 6 EVs-apresentacao

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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – 1a Parte
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1,2,3) ∈ R3
(1,2) 6= (2,1) ∈ R2
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1,2,3) ∈ R3
(1,2) 6= (2,1) ∈ R2
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1,2,3) ∈ R3
(1,2) 6= (2,1) ∈ R2
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w), ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)
= (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w), ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Espaços
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Espaço Rn
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Combinações
Lineares
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1,u2, . . . ,un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Representações Gráficas
(3, 2)
3
2 (3, 2)
3
2
3
2
(3, 2)
3
2 (1, 3, 2)
1
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Representações Gráficas
(3, 2)
3
2 (3, 2)
3
2
3
2
(3, 2)
3
2 (1, 3, 2)
1
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Representações Gráficas
(3, 2)
3
2 (3, 2)
3
2
3
2
(3, 2)
3
2 (1, 3, 2)
1
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Representações Gráficas
(3, 2)
3
2 (3, 2)
3
2
3
2
(3, 2)
3
2 (1, 3, 2)
1
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (u1 + v1,u2 + v2)
Regra do Triângulo
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (v1 + u1, v2 + u2)
Regra do Triângulo
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Soma de Vetores
u = (u1,u2)
v = (v1, v2)
w = u+ v = (v1 + u1, v2 + u2)
Regra do Paralelogramo
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Somando Vários Vetores
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Somando Vários Vetores
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Somando Vários Vetores
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Somando Vários Vetores
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Somando Vários Vetores
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
α > 1
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
0 < α < 1
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
α < 0
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
Conjunto (de vetores) no qual estão definidos uma soma
vetorial e uma multiplicação por escalar.
Definição (escalar)
Escalares são um conjunto de números no qual estão bem
definidas as operações de soma, subtração, multiplicação e
divisão. Neste curso, entenderemos sempre por escalar um
número real.
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
Conjunto (de vetores) no qual estão definidos uma soma
vetorial e uma multiplicação por escalar.
Definição (escalar)
Escalares são um conjunto de números no qual estão bem
definidas as operações de soma, subtração, multiplicação e
divisão. Neste curso, entenderemos sempre por escalar um
número real.
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaço Vetorial
Axiomas da soma vetorial
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w), ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
Axiomas da multiplicação por escalar
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Axiomas distributivos
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaço Vetorial
Axiomas da soma vetorial
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w), ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
Axiomas da multiplicação por escalar
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Axiomas distributivos
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaço Vetorial
Axiomas da soma vetorial
comutativ.: u+ v = v+ u,
associativ.: (u+ v) +w = u+ (v+w), ∀ u,v,w
elemento neutro: ∃ 0 t.q. u+ 0 = u ∀ u
inverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u+ (−u) = 0
Axiomas da multiplicação por escalar
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ u
elemento neutro: 1u = u, ∀u
Axiomas distributivos
α(u+ v) = αu+ αv, ∀ α,u,v
(α+ β)u = αu+ βu, ∀ α, β,u
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 1
Rn
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 2
Pn = {polinômios a0 + a1x + · · ·+ anxn}
Soma vetorial:
(
n∑
i=0
aix i
)
+
(
n∑
i=0
bix i
)
=
n∑
i=0
(ai + bi) x i
Multiplicação por escalar: α
(
n∑
i=0
aix i
)
=
n∑
i=0
(αai) x i
Observação: 0(x) =
n∑
i=0
0x i
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 2
Pn = {polinômios a0 + a1x + · · ·+ anxn}
Soma vetorial:
(
n∑
i=0
aix i
)
+
(
n∑
i=0
bix i
)
=
n∑
i=0
(ai + bi) x i
Multiplicação por escalar: α
(
n∑
i=0
aix i
)
=
n∑
i=0
(αai) x i
Observação: 0(x) =
n∑
i=0
0x i
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 2
Pn = {polinômios a0 + a1x + · · ·+ anxn}
Soma vetorial:
(
n∑
i=0
aix i
)
+
(
n∑
i=0
bix i
)
=
n∑
i=0
(ai + bi) x i
Multiplicação por escalar: α
(
n∑
i=0
aix i
)
=
n∑
i=0
(αai) x i
Observação: 0(x) =
n∑
i=0
0x i
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 2
Pn = {polinômios a0 + a1x + · · ·+ anxn}
Soma vetorial:
(
n∑
i=0
aix i
)
+
(
n∑
i=0
bix i
)
=
n∑
i=0
(ai + bi) x i
Multiplicação por escalar: α
(
n∑
i=0
aix i
)
=
n∑
i=0
(αai) x i
Observação: 0(x) =
n∑
i=0
0x i
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 3
F = {funções de R em R}
Soma vetorial: (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x
Multiplicação por escalar: (αf )(x) = α (f (x)) ∀x
Observação: 0(x) = 0 ∀x
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 3
F = {funções de R em R}
Soma vetorial: (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x
Multiplicação por escalar: (αf )(x) = α (f (x)) ∀x
Observação: 0(x) = 0 ∀x
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 3
F = {funções de R em R}
Soma vetorial: (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x
Multiplicação por escalar: (αf )(x) = α (f (x)) ∀x
Observação: 0(x) = 0 ∀x
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Espaços Vetoriais – Exemplo 3
F = {funções de R em R}
Soma vetorial: (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x
Multiplicação por escalar: (αf )(x) = α (f (x)) ∀x
Observação: 0(x) = 0 ∀x
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial
Definição (Subespaço Vetorial)
Subconjunto de um espaço vetorial que também é
espaço vetorial.
Lema (Primeira Caracterização de Subespaço)
H ⊂ V é subespaço vetorial se
0 ∈ H,
H é fechado para a soma vetorial e
H é fechado para a multiplicação por escalar.
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial
Definição (Subespaço Vetorial)
Subconjunto de um espaço vetorial que também é
espaço vetorial.
Lema (Primeira Caracterização de Subespaço)
H ⊂ V é subespaço vetorial se
0 ∈ H,
H é fechado para a soma vetorial e
H é fechado para a multiplicação por escalar.
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplos
1 V ⊂ V é subespaço vetorial de V .
2 {0} ⊂ V é subespaço vetorial de V .
3 Seja u ∈ V .
H = {v ∈ V | v = αu, α ∈ R} é subespaço de V .
0 ∈ H
v1 = α1u, v2 = α2u ⇒ v1 + v2 = (α1 + α2)u ∈ H
v = αu, β ∈ R ⇒ βv = (βα)u ∈ H
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplos
1 V ⊂ V é subespaço vetorial de V .
2 {0} ⊂ V é subespaço vetorial de V .
3 Seja u ∈ V .
H = {v ∈ V | v = αu, α ∈ R} é subespaço de V .
0 ∈ H
v1 = α1u, v2 = α2u ⇒ v1 + v2 = (α1 + α2)u ∈ H
v = αu, β ∈ R ⇒ βv = (βα)u ∈ H
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplos
1 V ⊂ V é subespaço vetorial de V .
2 {0} ⊂ V é subespaço vetorial de V .
3 Seja u ∈ V .
H = {v ∈ V | v = αu, α ∈ R} é subespaço de V .
0 ∈ H
v1 = α1u, v2 = α2u ⇒ v1 + v2 = (α1 + α2)u ∈ H
v = αu, β ∈ R ⇒ βv = (βα)u ∈ H
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplos
1 V ⊂ V é subespaço vetorial de V .
2 {0} ⊂ V é subespaço vetorial de V .
3 Seja u ∈ V .
H = {v ∈ V | v = αu, α ∈ R} é subespaço de V .
0 ∈ H
v1 = α1u, v2 = α2u ⇒ v1 + v2 = (α1 + α2)u ∈ H
v = αu, β ∈ R ⇒ βv = (βα)u ∈ H
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplos
1 V ⊂ V é subespaço vetorial de V .
2 {0} ⊂ V é subespaço vetorial de V .
3 Seja u ∈ V .
H = {v ∈ V | v = αu, α ∈ R} é subespaço de V .
0 ∈ H
v1 = α1u, v2 = α2u ⇒ v1 + v2 = (α1 + α2)u ∈ H
v = αu, β ∈ R ⇒ βv = (βα)u ∈ H
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplos
1 V ⊂ V é subespaço vetorial de V .
2 {0} ⊂ V é subespaço vetorial de V .
3 Seja u ∈ V .
H = {v ∈ V | v = αu, α ∈ R} é subespaço de V .
0 ∈ H
v1 = α1u, v2 = α2u ⇒ v1 + v2 = (α1 + α2)u ∈ H
v = αu, β ∈ R ⇒ βv = (βα)u ∈ H
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Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 4
H = {(x , y ,0), x , y ∈ R} ⊂ R3 é subspaço.
(0,0,0) ∈ H.
Sejam (x1, y1,0), (x2, y2,0) ∈ H. Então
(x1, y1,0) + (x2, y2,0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) ∈ H.
Sejam (x , y ,0) ∈ H e α ∈ R. Então
α(x , y ,0) = (αx , αy , 0) ∈ H.
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Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 4
H = {(x , y ,0), x , y ∈ R} ⊂ R3 é subspaço.
(0,0,0) ∈ H.
Sejam (x1, y1,0), (x2, y2,0) ∈ H. Então
(x1, y1,0) + (x2, y2,0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) ∈ H.
Sejam (x , y ,0) ∈ H e α ∈ R. Então
α(x , y ,0) = (αx , αy , 0) ∈ H.
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 4
H = {(x , y ,0), x , y ∈ R} ⊂ R3 é subspaço.
(0,0,0) ∈ H.
Sejam (x1, y1,0), (x2, y2,0) ∈ H. Então
(x1, y1,0) + (x2, y2,0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) ∈ H.
Sejam (x , y ,0) ∈ H e α ∈ R. Então
α(x , y ,0) = (αx , αy , 0) ∈ H.
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Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 4
H = {(x , y ,0), x , y ∈ R} ⊂ R3 é subspaço.
(0,0,0) ∈ H.
Sejam (x1, y1,0), (x2, y2,0) ∈ H. Então
(x1, y1,0) + (x2, y2,0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) ∈ H.
Sejam (x , y ,0) ∈ H e α ∈ R. Então
α(x , y ,0) = (αx , αy , 0) ∈ H.
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Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Contra-exemplo 4
H = {(x , y ,1), x , y ∈ R} ⊂ R3 não é subspaço.
(0,0,0) 6∈ H.
Sejam (x1, y1,1), (x2, y2,1) ∈ H. Então
(x1, y1,1) + (x2, y2,1) = (x1 + x2, y1 + y2, 2) 6∈ H.
Sejam (x , y ,1) ∈ H e α ∈ R. Então
α(x , y ,1) = (αx , αy , α) 6∈ H, se α 6= 1.
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Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Contra-exemplo 4
H = {(x , y ,1), x , y ∈ R} ⊂ R3 não é subspaço.
(0,0,0) 6∈ H.
Sejam (x1, y1,1), (x2, y2,1) ∈ H. Então
(x1, y1,1) + (x2, y2,1) = (x1 + x2, y1 + y2, 2) 6∈ H.
Sejam (x , y ,1) ∈ H e α ∈ R. Então
α(x , y ,1) = (αx , αy , α) 6∈ H, se α 6= 1.
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Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Contra-exemplo 4
H = {(x , y ,1), x , y ∈ R} ⊂ R3 não é subspaço.
(0,0,0) 6∈ H.
Sejam (x1, y1,1), (x2, y2,1) ∈ H. Então
(x1, y1,1) + (x2, y2,1) = (x1 + x2, y1 + y2, 2) 6∈ H.
Sejam (x , y ,1) ∈ H e α ∈ R. Então
α(x , y ,1) = (αx , αy , α) 6∈ H, se α 6= 1.
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Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Contra-exemplo 4
H = {(x , y ,1), x , y ∈ R} ⊂ R3 não é subspaço.
(0,0,0) 6∈ H.
Sejam (x1, y1,1), (x2, y2,1) ∈ H. Então
(x1, y1,1) + (x2, y2,1) = (x1 + x2, y1 + y2, 2) 6∈ H.
Sejam (x , y ,1) ∈ H e α ∈ R. Então
α(x , y ,1) = (αx , αy , α) 6∈ H, se α 6= 1.
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Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 5
Pn ∈ F é subespaço (de F)?
É espaço vetorial com soma e multiplicação de Pn, mas
é espaço vetorial com soma e multiplicação de F?
Sejam p(x) =
n∑
i=0
aix i , q(x) =
n∑
i=0
bix i . Então
(p+
F
q)(x) = p(x) + q(x) =
∑n
i=0 aix
i +
∑n
i=0 bix
i
=
∑n
i=0 (ai + bi) x
i = (p+
Pn
q)(x) ∀x ∈ R
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 5
Pn ∈ F é subespaço (de F)?
É espaço vetorial com soma e multiplicação de Pn, mas
é espaço vetorial com soma e multiplicação de F?
Sejam p(x) =
n∑
i=0
aix i , q(x) =
n∑
i=0
bix i . Então
(p+
F
q)(x) = p(x) + q(x) =
∑n
i=0 aix
i +
∑n
i=0 bix
i
=
∑n
i=0 (ai + bi) x
i = (p+
Pn
q)(x) ∀x ∈ R
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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Espaço Rn
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Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 5
Pn ∈ F é subespaço (de F)?
É espaço vetorial com soma e multiplicação de Pn, mas
é espaço vetorial com soma e multiplicação de F?
Sejam p(x) =
n∑
i=0
aix i , q(x) =
n∑
i=0
bix i . Então
(p+
F
q)(x) = p(x) + q(x) =
∑n
i=0 aix
i +
∑n
i=0 bix
i
=
∑n
i=0 (ai + bi) x
i = (p+
Pn
q)(x) ∀x ∈ R
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 5
Pn ∈ F é subespaço (de F)?
É espaço vetorial com soma e multiplicação de Pn, mas
é espaço vetorial com soma e multiplicação de F?
Sejam p(x) =
n∑
i=0
aix i , q(x) =
n∑
i=0
bix i . Então
(p+
F
q)(x) = p(x) + q(x) =
∑n
i=0 aix
i +
∑n
i=0 bix
i
=
∑n
i=0 (ai + bi) x
i = (p+
Pn
q)(x) ∀x ∈ R
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 6
H = {p ∈ P3 | p(1) = 0} ⊂ P3 é subespaço.
0 ∈ H.
Sejam p,q ∈ H. Como p(1) = q(1) = 0, então
(p+ q)(1) = p(1) + q(1) = 0.
Sejam p ∈ H e α ∈ R. Como p(1) = 0, então
(αp)(1) = α(p(1)) = 0.
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 6
H ={p ∈ P3 | p(1) = 0} ⊂ P3 é subespaço.
0 ∈ H.
Sejam p,q ∈ H. Como p(1) = q(1) = 0, então
(p+ q)(1) = p(1) + q(1) = 0.
Sejam p ∈ H e α ∈ R. Como p(1) = 0, então
(αp)(1) = α(p(1)) = 0.
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Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 6
H = {p ∈ P3 | p(1) = 0} ⊂ P3 é subespaço.
0 ∈ H.
Sejam p,q ∈ H. Como p(1) = q(1) = 0, então
(p+ q)(1) = p(1) + q(1) = 0.
Sejam p ∈ H e α ∈ R. Como p(1) = 0, então
(αp)(1) = α(p(1)) = 0.
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Vetoriais
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Combinações
Lineares
Subespaço Vetorial – Exemplo 6
H = {p ∈ P3 | p(1) = 0} ⊂ P3 é subespaço.
0 ∈ H.
Sejam p,q ∈ H. Como p(1) = q(1) = 0, então
(p+ q)(1) = p(1) + q(1) = 0.
Sejam p ∈ H e α ∈ R. Como p(1) = 0, então
(αp)(1) = α(p(1)) = 0.
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Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−2,−2) = 1(1,1)− 2(−2,−2) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−2,−2) ∀α, β ×
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Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−2,−2) = 1(1,1)− 2(−2,−2) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−2,−2) ∀α, β ×
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−2,−2) = 1(1,1)− 2(−2,−2) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−2,−2) ∀α, β ×
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Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−2,−2) = 1(1,1)− 2(−2,−2) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−2,−2) ∀α, β ×
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1,v2, . . . ,vp se pode ser
expresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3,3) = 3(1,1) + 0(−2,−2) = 1(1,1)− 2(−2,−2) X
(3,4) 6= α(1,1) + β(−2,−2) ∀α, β ×
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Mais Exemplos
3x3 − x2 + 4x = 3(x3 + x)− (x2 − x) X
x3 + 2x2 + 10 6= α(x3 + x) + β(x2 − x) ∀α, β ×
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Mais Exemplos
3x3 − x2 + 4x = 3(x3 + x)− (x2 − x) X
x3 + 2x2 + 10 6= α(x3 + x) + β(x2 − x) ∀α, β ×
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 36
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Mais Exemplos
3x3 − x2 + 4x = 3(x3 + x)− (x2 − x) X
x3 + 2x2 + 10 6= α(x3 + x) + β(x2 − x) ∀α, β ×
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Mais Exemplos
3x3 − x2 + 4x = 3(x3 + x)− (x2 − x) X
x3 + 2x2 + 10 6= α(x3 + x) + β(x2 − x) ∀α, β ×
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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Ainda Mais Exemplos
(2,1,7) é c.l. de (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7)? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (2,1,7)
m
1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3
0 0 −2 7
∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8
0 0 1 −3.5

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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Ainda Mais Exemplos
(2,1,7) é c.l. de (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7)? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (2,1,7)
m
1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3
0 0 −2 7
∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8
0 0 1 −3.5

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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Ainda Mais Exemplos
(2,1,7) é c.l. de (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7)? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (2,1,7)
m
1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3
0 0 −2 7
∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8
0 0 1 −3.5

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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Ainda Mais Exemplos
(2,1,7) é c.l. de (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7)? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
?
= (2,1,7)
m
1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3
0 0 −2 7
∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8
0 0 1 −3.5

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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Ainda Mais Exemplos
(2,1,7) é c.l. de (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7)? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (2,1,7)
m
1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3
0 0 −2 7
∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8
0 0 1 −3.5

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Espaços
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Espaço Rn
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Lineares
Combinação Linear – Ainda Mais Exemplos
(2,1,7) é c.l. de (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7)? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (2,1,7)
m
1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3
0 0 −2 7
∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8
0 0 1 −3.5

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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Ainda Mais Exemplos
(2,1,7) é c.l. de (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7)? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (2,1,7)
m
1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3
0 0 −2 7
∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8
0 0 1 −3.5

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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear – Ainda Mais Exemplos
(2,1,7) é c.l. de (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7)? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (2,1,7)
m
1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3
0 0 −2 7
∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8
0 0 1 −3.5

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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Combinação Linear Trivial
Definição (combinação linear trivial)
0 = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vp
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1,v2, . . . ,vp é o conjunto de
todas as combinações lineares de v1,v2, . . . ,vp.
〈v1,v2, . . . ,vp〉 =
{ p∑
i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1,2, . . . ,p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . . . ,vp} gera (é gerador de) o conjunto S se
〈v1, . . . ,vp〉 = S.
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado – Exemplos
〈(1,0,0), (0,1,0)〉 = {(x , y ,0) | x , y ∈ R}
〈(x − 1), x(x − 1), . . . , xn−1(x − 1)〉
= {p ∈ Pn | p(1) = 0}
p(x) = (x − 1)
(
n−1∑
i=0
aix i
)
=
n−1∑
i=0
ai
(
x i(x − 1)
)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado – Exemplos
〈(1,0,0), (0,1,0)〉 = {(x , y ,0) | x , y ∈ R} 6= R2
〈(x − 1), x(x − 1), . . . , xn−1(x − 1)〉
= {p ∈ Pn | p(1) = 0}
p(x) = (x − 1)
(
n−1∑
i=0
aix i
)
=
n−1∑
i=0
ai
(
x i(x − 1)
)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado – Exemplos
〈(1,0,0), (0,1,0)〉 = {(x , y ,0) | x , y ∈ R}
〈(x − 1), x(x − 1), . . . , xn−1(x − 1)〉
= {p ∈ Pn | p(1) = 0}
p(x) = (x − 1)
(
n−1∑
i=0
aix i
)
=
n−1∑
i=0
ai
(
x i(x − 1)
)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado – Exemplos
〈(1,0,0), (0,1,0)〉 = {(x , y ,0) | x , y ∈ R}
〈(x − 1), x(x − 1), . . . , xn−1(x − 1)〉
= {p ∈ Pn | p(1) = 0}
p(x) = (x − 1)
(
n−1∑
i=0
aix i
)
=
n−1∑
i=0
ai
(
x i(x − 1)
)
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado – Outro Exemplo
φ0 φ1
φ2 φ3
〈φ0, . . . , φ3〉 =
funções tipo

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Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado – Outro Exemplo
φ0 φ1
φ2 φ3
〈φ0, . . . , φ3〉 =
funções tipo

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
Observação
Convenciona-se que o conjunto gerado por um conjunto
vazio de vetores é {0}.(
Isto é consistente com a convenção de que
∑0
i=1 vi = 0
)
.
Observação
O conjunto gerado por um conjunto qualquer de vetores é
um subespaço. De fato, sejam u =
n∑
i=1
uivi , w =
n∑
i=1
wivi .
0 ∈ H, u+w =
n∑
i=1
(ui + wi)vi , αu =
n∑
i=1
(αui)vi
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
Observação
Convenciona-se que o conjunto gerado por um conjunto
vazio de vetores é {0}.(
Isto é consistente com a convenção de que
∑0
i=1 vi = 0
)
.
Observação
O conjunto gerado por um conjunto qualquer de vetores é
um subespaço. De fato, sejam u =
n∑
i=1
uivi , w =
n∑
i=1
wivi .
0 ∈ H, u+w =
n∑
i=1
(ui + wi)vi , αu =
n∑
i=1
(αui)vi
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
Observação
Convenciona-se que o conjunto gerado por um conjunto
vazio de vetores é {0}.(
Isto é consistente com a convenção de que
∑0
i=1 vi = 0
)
.
Observação
O conjunto gerado por um conjunto qualquer de vetores é
um subespaço. De fato, sejam u =
n∑
i=1
uivi , w =
n∑
i=1
wivi .
0 ∈ H, u+w =
n∑
i=1
(ui + wi)vi , αu =
n∑
i=1
(αui)vi
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
Observação
Convenciona-se que o conjunto gerado por um conjunto
vazio de vetores é {0}.(
Isto é consistente com a convenção de que
∑0
i=1 vi = 0
)
.
Observação
O conjunto gerado por um conjunto qualquer de vetores é
um subespaço. De fato, sejam u =
n∑
i=1
uivi , w =
n∑
i=1
wivi .
0 ∈ H, u+w =
n∑
i=1
(ui + wi)vi , αu =
n∑
i=1
(αui)vi
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
Observação
Convenciona-se que o conjunto gerado por um conjunto
vazio de vetores é {0}.(
Isto é consistente com a convenção de que
∑0
i=1 vi = 0
)
.
Observação
O conjunto gerado por um conjunto qualquer de vetores é
um subespaço. De fato, sejam u =
n∑
i=1
uivi , w =
n∑
i=1
wivi .
0 ∈ H, u+w =
n∑
i=1
(ui + wi)vi , αu =
n∑
i=1
(αui)vi
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
Observação
Convenciona-se que o conjunto gerado por um conjunto
vazio de vetores é {0}.(
Isto é consistente com a convenção de que
∑0
i=1 vi = 0
)
.
Observação
O conjunto gerado por um conjunto qualquer de vetores é
um subespaço. De fato, sejam u =
n∑
i=1
uivi , w =
n∑
i=1
wivi .
0 ∈ H, u+w =
n∑
i=1
(ui + wi)vi , αu =
n∑
i=1
(αui)vi
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Álgebra Linear II 2008/2 Prof.Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑
i=1
i 6=k
αivi
⇓
α1v1 + . . .+ αk−1vk−1−1vk + αk+1vk+1 + . . .+ αpvp = 0
0 pode ser expresso como c.l. não-trivial dos vi ’s.
Vale a volta?
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Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑
i=1
i 6=k
αivi
⇓
α1v1 + . . .+ αk−1vk−1−1vk + αk+1vk+1 + . . .+ αpvp = 0
0 pode ser expresso como c.l. não-trivial dos vi ’s.
Vale a volta?
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑
i=1
i 6=k
αivi
⇓
α1v1 + . . .+ αk−1vk−1−1vk + αk+1vk+1 + . . .+ αpvp = 0
0 pode ser expresso como c.l. não-trivial dos vi ’s.
Vale a volta?
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Se 0 pode ser expresso como c.l. não-trivial dos vi ’s,
p∑
i=1
αivi = 0, com αk 6= 0,
então, dividindo-se por (−αk ),
−α1αk v1 − . . .−
αk−1
αk
vk−1−1vk − αk+1αk vk+1 − . . .−
αp
αk
vp = 0
e portanto
vk =
p∑
i=1
i 6=k
− αi
αk
vi .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Se 0 pode ser expresso como c.l. não-trivial dos vi ’s,
p∑
i=1
αivi = 0, com αk 6= 0,
então, dividindo-se por (−αk ),
−α1αk v1 − . . .−
αk−1
αk
vk−1−1vk − αk+1αk vk+1 − . . .−
αp
αk
vp = 0
e portanto
vk =
p∑
i=1
i 6=k
− αi
αk
vi .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Se 0 pode ser expresso como c.l. não-trivial dos vi ’s,
p∑
i=1
αivi = 0, com αk 6= 0,
então, dividindo-se por (−αk ),
−α1αk v1 − . . .−
αk−1
αk
vk−1−1vk − αk+1αk vk+1 − . . .−
αp
αk
vp = 0
e portanto
vk =
p∑
i=1
i 6=k
− αi
αk
vi .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Definição (dependência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD)
se existe um vetor que é c.l. dos demais ou,
equivalentemente,
se o vetor nulo pode ser expresso como c.l. não-trivial
destes vetores.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Definição (independência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI)
se ele não é LD ou, equivalentemente,
se a única forma de expressar o vetor nulo como c.l.
destes vetores é com uma c.l. trivial.
Convenção
O conjunto vazio é dito LI.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Definição (independência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI)
se ele não é LD ou, equivalentemente,
se a única forma de expressar o vetor nulo como c.l.
destes vetores é com uma c.l. trivial.
Convenção
O conjunto vazio é dito LI.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 36
Esp. Vet. I
Espaços
Vetoriais
Espaço Rn
Espaço Vetorial
Combinações
Lineares
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim,αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Combinações
Lineares
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Combinações
Lineares
Dependência Linear – Exemplos
{v1, v2, v3} = {(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5)} é LD.
De fato, v1 − 2v2 + v3 = 0.
{v1, v2, v3} é LD, onde v1(x) = sin(x)
v2(x) = sin(2x) e
v3(x) = sin(x) cos(x)
.
De fato, v2 − 2v3 = 0, isto é,
sin(2x)− 2 sin(x) cos(x) = 0 ∀x ∈ R.
{1, t , . . . , tn} é LI.
De fato, a0 + a1t + · · ·+ antn = 0 ∀t ⇔ ai = 0 ∀i .
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Dependência Linear – Exemplos
{v1, v2, v3} = {(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5)} é LD.
De fato, v1 − 2v2 + v3 = 0.
{v1, v2, v3} é LD, onde v1(x) = sin(x)
v2(x) = sin(2x) e
v3(x) = sin(x) cos(x)
.
De fato, v2 − 2v3 = 0, isto é,
sin(2x)− 2 sin(x) cos(x) = 0 ∀x ∈ R.
{1, t , . . . , tn} é LI.
De fato, a0 + a1t + · · ·+ antn = 0 ∀t ⇔ ai = 0 ∀i .
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{v1, v2, v3} = {(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5)} é LD.
De fato, v1 − 2v2 + v3 = 0.
{v1, v2, v3} é LD, onde v1(x) = sin(x)
v2(x) = sin(2x) e
v3(x) = sin(x) cos(x)
.
De fato, v2 − 2v3 = 0, isto é,
sin(2x)− 2 sin(x) cos(x) = 0 ∀x ∈ R.
{1, t , . . . , tn} é LI.
De fato, a0 + a1t + · · ·+ antn = 0 ∀t ⇔ ai = 0 ∀i .
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{v1, v2, v3} = {(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5)} é LD.
De fato, v1 − 2v2 + v3 = 0.
{v1, v2, v3} é LD, onde v1(x) = sin(x)
v2(x) = sin(2x) e
v3(x) = sin(x) cos(x)
.
De fato, v2 − 2v3 = 0, isto é,
sin(2x)− 2 sin(x) cos(x) = 0 ∀x ∈ R.
{1, t , . . . , tn} é LI.
De fato, a0 + a1t + · · ·+ antn = 0 ∀t ⇔ ai = 0 ∀i .
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{v1, v2, v3} = {(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5)} é LD.
De fato, v1 − 2v2 + v3 = 0.
{v1, v2, v3} é LD, onde v1(x) = sin(x)
v2(x) = sin(2x) e
v3(x) = sin(x) cos(x)
.
De fato, v2 − 2v3 = 0, isto é,
sin(2x)− 2 sin(x) cos(x) = 0 ∀x ∈ R.
{1, t , . . . , tn} é LI.
De fato, a0 + a1t + · · ·+ antn = 0 ∀t ⇔ ai = 0 ∀i .
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Dependência Linear – Exemplos
{v1, v2, v3} = {(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5)} é LD.
De fato, v1 − 2v2 + v3 = 0.
{v1, v2, v3} é LD, onde v1(x) = sin(x)
v2(x) = sin(2x) e
v3(x) = sin(x) cos(x)
.
De fato, v2 − 2v3 = 0, isto é,
sin(2x)− 2 sin(x) cos(x) = 0 ∀x ∈ R.
{1, t , . . . , tn} é LI.
De fato, a0 + a1t + · · ·+ antn = 0 ∀t ⇔ ai = 0 ∀i .
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Dependência Linear – Exemplos
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
?
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Dependência Linear – Exemplos
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Dependência Linear – Exemplos
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) é LI? Não.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,9)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 9γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +9γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 0 0

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Dependência Linear – Exemplos
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) é LI? Não.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,9)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 9γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +9γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 0 0

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Dependência Linear – Exemplos
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) é LI? Não.
α(1,2,3) +β(4,5,6) + γ(7,8,9)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 9γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +9γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 0 0

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Dependência Linear – Exemplos
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) é LI? Não.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,9)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 9γ))
?
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +9γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 0 0

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Dependência Linear – Exemplos
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) é LI? Não.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,9)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 9γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +9γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 0 0

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(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) é LI? Não.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,9)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 9γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +9γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 0 0

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(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) é LI? Não.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,9)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 9γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +9γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 0 0

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