aula 8 EVs2-apresentacao

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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Espaços Vetoriais – 2a Parte
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28
Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dependência Linear
Definição (dependência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD)
se existe um vetor que é c.l. dos demais ou,
equivalentemente,
se o vetor nulo pode ser expresso como c.l. não-trivial
destes vetores.
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dependência Linear
Definição (independência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI)
se ele não é LD ou, equivalentemente,
se a única forma de expressar o vetor nulo como c.l.
destes vetores é com uma c.l. trivial.
Convenção
O conjunto vazio é dito LI.
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dependência Linear
Definição (independência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI)
se ele não é LD ou, equivalentemente,
se a única forma de expressar o vetor nulo como c.l.
destes vetores é com uma c.l. trivial.
Convenção
O conjunto vazio é dito LI.
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Vetoriais
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Vetoriais
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Linear
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Dimensão
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Dimensão
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Linear
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Dimensão
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dependência Linear
Teorema (caracterização dos conjuntos LD)
Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor
que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k
αivi .
Prova
Se: trivial.
Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD.
Seja
∑k
i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial.
Se αk fosse zero,
∑k−1
i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial,
contrariando a minimalidade de k.
Assim, αk 6= 0 e vk = −
∑k−1
i=1
αi
αk
vi .
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dependência Linear – Exemplo
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Dimensão
Dependência Linear – Exemplo
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Dependência Linear – Exemplo
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Dimensão
Dependência Linear – Exemplo
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
?
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Dimensão
Dependência Linear – Exemplo
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β+ 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Dependência Linear – Exemplo
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dependência Linear – Exemplo
(1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim.
α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7)
= ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ))
= (0,0,0)
m
1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
∼
 1 4 7 00 −3 −6 0
0 0 −2 0

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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se
expressa de forma única como combinação dos seus
elementos.
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se
expressa de forma única como combinação dos seus
elementos.
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn)
?
= (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se
expressa de forma única como combinação dos seus
elementos.
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se
expressa de forma única como combinação dos seus
elementos.
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn
... =
...
en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn
∑
αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
m
αi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se
expressa de forma única como combinação dos seus
elementos.
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 1
{e1,e2} é base de R2.
Exemplo 2
{(1,0), (1,1), (0,1)} não é base de R2.
(2,2) = 0(1,0) + 2(1,1) + 0(0,1)
= 2(1,0) + 0(1,1) + 2(0,1)
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Linear
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Dimensão
Base
Exemplo 1
{e1,e2} é base de R2.
Exemplo 2
{(1,0), (1,1), (0,1)} não é base de R2.
(2,2) = 0(1,0) + 2(1,1) + 0(0,1)
= 2(1,0) + 0(1,1) + 2(0,1)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28
Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 1
{e1,e2} é base de R2.
Exemplo 2
{(1,0), (1,1), (0,1)} não é base de R2.
(2,2) = 0(1,0) + 2(1,1) + 0(0,1)
= 2(1,0) + 0(1,1) + 2(0,1)
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 3
β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)}
= {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn
∑
αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .)
= (v1, v2, v3, . . .) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
...
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
...
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 3
β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)}
= {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn
∑
αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .)
= (v1, v2, v3, . . .) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
...
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
...
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28
Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 3
β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)}
= {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn
∑
αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .)
?
= (v1, v2, v3, . . .) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
...
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
...
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 3
β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)}
= {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn
∑
αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .)
= (v1, v2, v3, . . .) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
...
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
...
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 3
β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)}
= {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn
∑
αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .)
= (v1, v2, v3, . . .) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
...
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
...
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 3
β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)}
= {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn é base.
∑
αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .)
= (v1, v2, v3, . . .) = v
m
α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
...
⇐⇒

α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
...
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Base
Exemplo 4
β = {1, t , t2, . . . , tn} ⊂ Pn é base.
É evidente que todo vetor do espaço pode ser expresso
como c.l. destes vetores.
Unicidade: sabemos que
n∑
i=0
ai t i =
n∑
i=0
bi t i ∀t ⇔ ai = bi , i = 0,1, . . . ,n.
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Base e CoordenadaDimensão
Base
Exemplo 4
β = {1, t , t2, . . . , tn} ⊂ Pn é base.
É evidente que todo vetor do espaço pode ser expresso
como c.l. destes vetores.
Unicidade: sabemos que
n∑
i=0
ai t i =
n∑
i=0
bi t i ∀t ⇔ ai = bi , i = 0,1, . . . ,n.
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Dimensão
Base
Exemplo 4
β = {1, t , t2, . . . , tn} ⊂ Pn é base.
É evidente que todo vetor do espaço pode ser expresso
como c.l. destes vetores.
Unicidade: sabemos que
n∑
i=0
ai t i =
n∑
i=0
bi t i ∀t ⇔ ai = bi , i = 0,1, . . . ,n.
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Dimensão
Base
Teorema
β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Dimensão
Base
Teorema
β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Base
Teorema
β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Base
Teorema
β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Base
Teorema
β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Base
Teorema
β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Base
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β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Dimensão
Base
Teorema
β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Base
Teorema
β é base de H se e só se β é LI e gera H.
Prova
Só se: Seja β base de H.
Da definição de base, segue que β é gerador.
Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI.
Se: Seja β LI e gerador.
Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β.
Suponha v =
∑n
i=0 αivi =
∑n
i=0 ξivi .
Então,
∑n
i=0(αi − ξi)vi = 0.
Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i .
Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única.
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Dimensão
Coordenadas
Definição (coordenadas)
As coordenadas do vetor v na base β = {b1,b2, . . . ,bn},
são os coeficientes αi ’s usados para combinar linearmente
os vetores bi ’s de forma a gerar v.
[v]β =

α1
α2
...
αn
 ⇐⇒ v =
n∑
i=1
αibi
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Exemplo 1
ε = {e1,e2, . . . ,en}
v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen
[
(v1, v2, . . . , vn)
]
ε
=

v1
v2
...
vn
 coordenadas de vcom relação
à base ε
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Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Exemplo 1
ε = {e1,e2, . . . ,en}
v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen
[
(v1, v2, . . . , vn)
]
ε
=

v1
v2
...
vn
 coordenadas de vcom relação
à base ε
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Exemplo 2
β ={(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)}
= {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn
v = (v1, v2, . . . , vn) = v1b1+(v2−v1)b2+ · · ·+(vn−vn−1)bn
[
(v1, v2, . . . , vn)
]
β
=

v1
v2 − v1
...
vn − vn−1

coordenadas de v
com relação
à base β
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Exemplo 2
β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)}
= {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn
v = (v1, v2, . . . , vn) = v1b1+(v2−v1)b2+ · · ·+(vn−vn−1)bn
[
(v1, v2, . . . , vn)
]
β
=

v1
v2 − v1
...
vn − vn−1

coordenadas de v
com relação
à base β
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28
Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Observação
v = (v1, v2, . . . , vn)
[v]ε =

v1
v2
...
vn
 [v]β =

v1
v2 − v1
...
vn − vn−1

Não confundir coordenadas e entradas.
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Observação
v = (v1, v2, . . . , vn)
[v]ε =

v1
v2
...
vn
 [v]β =

v1
v2 − v1
...
vn − vn−1

Não confundir coordenadas e entradas.
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
v = (2,4)
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
v = (2,4)
ε = { (1,0), (0,1) }
[v]ε =
[
2
4
]
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
v = (2,4)
β = { (1,1), (0,1) }
[v]β =
[
2
2
]
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3.
[v]β =
 23
−1
 v = ?
v = 2(1,1,1) + 3(1,0,1)− (2,0,−1) = (3,2,6)
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3.
[v]β =
 23
−1
 v = ?
v = 2(1,1,1) + 3(1,0,1)− (2,0,−1) = (3,2,6)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3.
[v]β =
 23
−1
 v = ?
v = 2(1,1,1) + 3(1,0,1)− (2,0,−1) = (3,2,6)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3.
[(4,3,7)]β = ?
a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1)
= (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3)
= (4,3,7)
1a1 + 1a2 + 2a3 = 4
1a1 + 0a2 + 0a3 = 3
1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3
1 1 −1 7
 ∼
 1 0 0 30 1 0 3
0 0 1 −1

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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3.
[(4,3,7)]β = ?
a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1)
= (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3)
= (4,3,7)
1a1 + 1a2 + 2a3 = 4
1a1 + 0a2 + 0a3 = 3
1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3
1 1 −1 7
 ∼
 1 0 0 30 1 0 3
0 0 1 −1

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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3.
[(4,3,7)]β = ?
a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1)
= (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3)
= (4,3,7)
1a1 + 1a2 + 2a3 = 4
1a1 + 0a2 + 0a3 = 3
1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3
1 1 −1 7
 ∼
 1 0 0 30 1 0 3
0 0 1 −1

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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3.
[(4,3,7)]β = ?
a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1)
= (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3)
= (4,3,7)
1a1 + 1a2 + 2a3 = 4
1a1 + 0a2 + 0a3 = 3
1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3
1 1 −1 7
 ∼
 1 0 0 30 1 0 3
0 0 1 −1

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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3.
[(4,3,7)]β =
 33
−1

a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1)
= (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3)
= (4,3,7)
1a1 + 1a2 + 2a3 = 4
1a1 + 0a2 + 0a3 = 3
1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3
1 1 −1 7
 ∼
 1 0 0 30 1 0 3
0 0 1 −1

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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Coordenadas
Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Dimensão
Coordenadas
Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)?
Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos).
Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2:
p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1)
2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2
1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1
3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3
[p]β =
 2−1
2/3
 p(x) = 2− (x + 2) + 2
3
(x + 2)(x + 1)
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Dimensão
Coordenadas
Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V .
As coordenadas de v ∈ V na base β formam uma
n-upla ordenada de números reais, isto é, [v]β ∈ Rn.
Neste contexto, no entanto, usa-se a notação
[v]β =
 α1...
αn
 ( e não [v]β = (α1, . . . , αn)).
Às vezes, para denotar (α1, . . . , αn), usa-se
 α1...
αn
.
Lembre que [(α1, . . . , αn)]ε =
 α1...
αn

 .
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Coordenadas
Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V .
As coordenadas de v ∈ V na base β formam uma
n-upla ordenada de números reais, isto é, [v]β ∈ Rn.
Neste contexto, no entanto, usa-se a notação
[v]β =
 α1...
αn
 ( e não [v]β = (α1, . . . , αn)).
Às vezes, para denotar (α1, . . . , αn), usa-se
 α1...
αn
.
Lembre que [(α1, . . . , αn)]ε =
 α1...
αn

 .
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Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V .
As coordenadas de v ∈ V na base β formam uma
n-upla ordenada de números reais, isto é, [v]β ∈ Rn.
Neste contexto, no entanto, usa-se a notação
[v]β =
 α1...
αn
 ( e não [v]β = (α1, . . . , αn)).
Às vezes, para denotar (α1, . . . , αn), usa-se
 α1...
αn
.
Lembre que [(α1, . . . , αn)]ε =
 α1...
αn

 .
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Coordenadas
Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V .
As coordenadas de v ∈ V na base β formam uma
n-upla ordenada de números reais, isto é, [v]β ∈ Rn.
Neste contexto, no entanto, usa-se a notação
[v]β =
 α1...
αn
 ( e não [v]β = (α1, . . . , αn)).
Às vezes, para denotar (α1, . . . , αn), usa-se
 α1...
αn
.
Lembre que [(α1, . . . , αn)]ε =
 α1...
αn

 .
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Dimensão
Coordenadas
β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V
u =
∑n
i=1 αivi , w =
∑n
i=1 γivi , u+w =
∑n
i=1(αi + γi)vi
[u]β =
 α1...
αn
 , [w]β =
 γ1...
γn

[u+w]β =
 α1 + γ1...
αn + γn
 =
 α1...
αn
+
 γ1...
γn
 = [u]β + [w]β
Analogamente, [ξu]β =
 ξα1...
ξαn
 = ξ[u]β .
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Dimensão
Coordenadas
β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V
u =
∑n
i=1 αivi , w =
∑n
i=1 γivi , u+w =
∑n
i=1(αi + γi)vi
[u]β =
 α1...
αn
 , [w]β =
 γ1...
γn

[u+w]β =
 α1 + γ1...
αn + γn
 =
 α1...
αn
+
 γ1...
γn
 = [u]β + [w]β
Analogamente, [ξu]β =
 ξα1...
ξαn
 = ξ[u]β .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28
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Dimensão
Coordenadas
β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V
u =
∑n
i=1 αivi , w =
∑n
i=1 γivi , u+w =
∑n
i=1(αi + γi)vi
[u]β =
 α1...
αn
 , [w]β =
 γ1...
γn

[u+w]β =
 α1 + γ1...
αn + γn
 =
 α1...
αn
+
 γ1...
γn
 = [u]β + [w]β
Analogamente, [ξu]β =
 ξα1...
ξαn
 = ξ[u]β .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28
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Dimensão
Coordenadas
β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V
u =
∑n
i=1 αivi , w =
∑n
i=1 γivi , u+w =
∑n
i=1(αi + γi)vi
[u]β =
 α1...
αn
 , [w]β =
 γ1...
γn

[u+w]β =
 α1 + γ1...
αn + γn
 =
 α1...
αn
+
 γ1...
γn
 = [u]β + [w]β
Analogamente, [ξu]β =
 ξα1...
ξαn
 = ξ[u]β .
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Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V
u =
∑n
i=1 αivi , w =
∑n
i=1 γivi , u+w =
∑n
i=1(αi + γi)vi
[u]β =
 α1...
αn
 , [w]β =
 γ1...
γn

[u+w]β =
 α1 + γ1...
αn + γn
 =
 α1...
αn
+
 γ1...
γn
 = [u]β + [w]β
Analogamente, [ξu]β =
 ξα1...
ξαn
 = ξ[u]β .
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
O mapeamento [ · ]β : V → Rn
v 7→ [v]β
é linear, isto é,
preserva soma vetorial e multiplicação por escalar
[u+ v]β = [u]β + [v]β ∀u,v ∈ V
[αu]β = α[u]β ∀α ∈ R, ∀u ∈ V
ou, equivalentemente,
preserva combinações lineares
[αu+ γv]β = α[u]β + γ[v]β ∀α, γ ∈ R, ∀u,v ∈ V
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Coordenadas
O mapeamento [ · ]β : V → Rn
v 7→ [v]β
é linear, isto é,
preserva soma vetorial e multiplicação por escalar
[u+ v]β = [u]β + [v]β ∀u,v ∈ V
[αu]β = α[u]β ∀α ∈ R, ∀u ∈ V
ou, equivalentemente,
preserva combinações lineares
[αu+ γv]β = α[u]β + γ[v]β ∀α, γ ∈ R, ∀u,v ∈ V
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Definição (dimensão finita)
Um espaço que admite base finita é de dimensão finita.
Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita.
Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base.
Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base.
P é de dimensão infinita. De fato,
dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer,
defina N = max
p∈β
grau(p) e q(x) = xN+1.
Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base.
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Definição (dimensão finita)
Um espaço que admite base finita é de dimensão finita.
Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita.
Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base.
Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base.
P é de dimensão infinita. De fato,
dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer,
defina N = max
p∈β
grau(p) e q(x) = xN+1.
Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base.
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Definição (dimensão finita)
Um espaço que admite base finita é de dimensão finita.
Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita.
Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base.
Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base.
P é de dimensão infinita. De fato,
dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer,
defina N = max
p∈β
grau(p) e q(x) = xN+1.
Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base.
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Definição (dimensão finita)
Um espaço que admite base finita é de dimensão finita.
Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita.
Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base.
Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base.
P é de dimensão infinita. De fato,
dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer,
defina N = max
p∈β
grau(p) e q(x) = xN+1.
Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base.
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Definição (dimensão finita)
Um espaço que admite base finita é de dimensão finita.
Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita.
Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base.
Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base.
P é de dimensão infinita. De fato,
dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer,
defina N = max
p∈β
grau(p) e q(x) = xN+1.
Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base.
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Definição (dimensão finita)
Um espaço que admite base finita é de dimensão finita.
Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita.
Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base.
Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base.
P é de dimensão infinita. De fato,
dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer,
defina N = max
p∈β
grau(p) e q(x) = xN+1.
Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H.
Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n.
Sejam aij tais que vj =
m∑
i=1
aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m
j=1,...,n
.
Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0.
n∑
j=1
xjaj = 0 ⇒
n∑
j=1
xjaij = 0 ∀i ⇒
m∑
i=1
 n∑
j=1
xjaij
ui = 0
⇒
n∑
j=1
xj
(
m∑
i=1
aijui
)
=
n∑
j=1
xjvj = 0
⇒ γ não é LI.
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H.
Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n.
Sejam aij tais que vj =
m∑
i=1
aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m
j=1,...,n
.
Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0.
n∑
j=1
xjaj = 0 ⇒
n∑
j=1
xjaij = 0 ∀i ⇒
m∑
i=1
 n∑
j=1
xjaij
ui = 0
⇒
n∑
j=1
xj
(
m∑
i=1
aijui
)
=
n∑
j=1
xjvj = 0
⇒ γ não é LI.
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Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H.
Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n.
Sejam aij tais que vj =
m∑
i=1
aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m
j=1,...,n
.
Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0.
n∑
j=1
xjaj = 0 ⇒
n∑
j=1
xjaij = 0 ∀i ⇒
m∑
i=1
 n∑
j=1
xjaij
ui = 0
⇒
n∑
j=1
xj
(
m∑
i=1
aijui
)
=
n∑
j=1
xjvj = 0
⇒ γ não é LI.
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Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H.
Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n.
Sejam aij tais que vj =
m∑
i=1
aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m
j=1,...,n
.
Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0.
n∑
j=1
xjaj = 0 ⇒
n∑
j=1
xjaij = 0 ∀i ⇒
m∑
i=1
 n∑
j=1
xjaij
ui = 0
⇒
n∑
j=1
xj
(
m∑
i=1
aijui
)
=
n∑
j=1
xjvj = 0
⇒ γ não é LI.
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H.
Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n.
Sejam aij tais que vj =
m∑
i=1
aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m
j=1,...,n
.
Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0.
n∑
j=1
xjaj = 0 ⇒
n∑
j=1
xjaij = 0 ∀i ⇒
m∑
i=1
 n∑
j=1
xjaij
ui = 0
⇒
n∑
j=1
xj
(
m∑
i=1
aijui
)
=
n∑
j=1
xjvj = 0
⇒ γ não é LI.
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(In)Dependência
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Dimensão
Dimensão
Teorema
Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H.
Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n.
Sejam aij tais que vj =
m∑
i=1
aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m
j=1,...,n
.
Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0.
n∑
j=1
xjaj = 0 ⇒
n∑
j=1
xjaij = 0 ∀i ⇒
m∑
i=1
 n∑
j=1
xjaij
ui = 0
⇒
n∑
j=1
xj
(
m∑
i=1
aijui
)
=
n∑
j=1
xjvj = 0
⇒ γ não é LI.
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Dimensão
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Teorema
Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H.
Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n.
Sejam aij tais que vj =
m∑
i=1
aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m
j=1,...,n.
Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0.
n∑
j=1
xjaj = 0 ⇒
n∑
j=1
xjaij = 0 ∀i ⇒
m∑
i=1
 n∑
j=1
xjaij
ui = 0
⇒
n∑
j=1
xj
(
m∑
i=1
aijui
)
=
n∑
j=1
xjvj = 0
⇒ γ não é LI.
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Corolário
Toda base de um subespaço vetorial de dimensão finita tem
o mesmo número de elementos.
Sejam β = {v1,v2, . . . ,vn} e γ = {u1,u2, . . . ,um} bases.
β é LI
γ é gerador
}
⇒ n < m
β é gerador
γ é LI
}
⇒ m < n

⇒ m = n
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Corolário
Toda base de um subespaço vetorial de dimensão finita tem
o mesmo número de elementos.
Sejam β = {v1,v2, . . . ,vn} e γ = {u1,u2, . . . ,um} bases.
β é LI
γ é gerador
}
⇒ n < m
β é gerador
γ é LI
}
⇒ m < n

⇒ m = n
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Corolário
Toda base de um subespaço vetorial de dimensão finita tem
o mesmo número de elementos.
Sejam β = {v1,v2, . . . ,vn} e γ = {u1,u2, . . . ,um} bases.
β é LI
γ é gerador
}
⇒ n < m
β é gerador
γ é LI
}
⇒ m < n

⇒ m = n
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 28
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Definição (dimensão)
A dimensão de um (sub)espaço vetorial de dimensão finita
é o número de vetores em (qualquer) uma de suas bases.
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(In)Dependência
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Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Lema
Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos
demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉.
vk =
∑
i 6=k αivi .
Dado w ∈ 〈S〉, temos
w =
∑
i γivi =
∑
i 6=k γivi + γkvk
=
∑
i 6=k γivi + γk
∑
i 6=k αivi
=
∑
i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉.
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Dimensão
Dimensão
Lema
Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos
demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉.
vk =
∑
i 6=k αivi .
Dado w ∈ 〈S〉, temos
w =
∑
i γivi =
∑
i 6=k γivi + γkvk
=
∑
i 6=k γivi + γk
∑
i 6=k αivi
=
∑
i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉.
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Dimensão
Dimensão
Lema
Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos
demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉.
vk =
∑
i 6=k αivi .
Dado w ∈ 〈S〉, temos
w =
∑
i γivi =
∑
i 6=k γivi + γkvk
=
∑
i 6=k γivi + γk
∑
i 6=k αivi
=
∑
i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉.
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Dimensão
Dimensão
Lema
Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos
demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉.
vk =
∑
i 6=k αivi .
Dado w ∈ 〈S〉, temos
w =
∑
i γivi =
∑
i 6=k γivi + γkvk
=
∑
i 6=k γivi + γk
∑
i 6=k αivi
=
∑
i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉.
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(In)Dependência
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Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Lema
Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos
demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉.
vk =
∑
i 6=k αivi .
Dado w ∈ 〈S〉, temos
w =
∑
i γivi =
∑
i 6=k γivi + γkvk
=
∑
i 6=k γivi + γk
∑
i 6=k αivi
=
∑
i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉.
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Dimensão
Dimensão
Lema
Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos
demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉.
vk =
∑
i 6=k αivi .
Dado w ∈ 〈S〉, temos
w =
∑
i γivi =
∑
i 6=k γivi + γkvk
=
∑
i 6=k γivi + γk
∑
i 6=k αivi
=
∑
i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉.
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Dimensão
Dimensão
Lema
Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos
demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉.
vk =
∑
i 6=k αivi .
Dado w ∈ 〈S〉, temos
w =
∑
i γivi =
∑
i 6=k γivi + γkvk
=
∑
i 6=k γivi + γk
∑
i 6=k αivi
=
∑
i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉.
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(In)Dependência
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Dimensão
Dimensão
Corolário
Todo conjunto gerador contém uma base.
Se o conjunto é LI, nada a fazer.
Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais.
Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador
(pelo lema anterior).
Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI.
(Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.)
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Dimensão
Dimensão
Corolário
Todo conjunto gerador contém uma base.
Se o conjunto é LI, nada a fazer.
Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais.
Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador
(pelo lema anterior).
Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI.
(Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.)
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Corolário
Todo conjunto gerador contém uma base.
Se o conjunto é LI, nada a fazer.
Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais.
Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador
(pelo lema anterior).
Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI.
(Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Corolário
Todo conjunto gerador contém uma base.
Se o conjunto é LI, nada a fazer.
Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais.
Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador
(pelo lema anterior).
Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI.
(Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Corolário
Todo conjunto gerador contém uma base.
Se o conjunto é LI, nada a fazer.
Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais.
Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador
(pelo lema anterior).
Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI.
(Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28Esp. Vet. II
Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Corolário
Todo conjunto gerador contém uma base.
Se o conjunto é LI, nada a fazer.
Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais.
Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador
(pelo lema anterior).
Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI.
(Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja,
se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que
{v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base.
Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base.
Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador.
Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o
subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear
dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto,
os vi ’s não são descartados no processo.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja,
se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que
{v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base.
Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base.
Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador.
Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o
subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear
dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto,
os vi ’s não são descartados no processo.
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(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja,
se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que
{v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base.
Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base.
Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador.
Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o
subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear
dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto,
os vi ’s não são descartados no processo.
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Teorema
Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja,
se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que
{v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base.
Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base.
Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador.
Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o
subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear
dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto,
os vi ’s não são descartados no processo.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28
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Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja,
se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que
{v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base.
Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base.
Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador.
Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o
subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear
dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto,
os vi ’s não são descartados no processo.
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Espaços
Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Teorema
Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja,
se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que
{v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base.
Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base.
Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador.
Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o
subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear
dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto,
os vi ’s não são descartados no processo.
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Vetoriais
(In)Dependência
Linear
Base e Coordenada
Dimensão
Dimensão
Corolário
Em um espaço de dimensão n:
um conjunto com mais de n vetores não é LI;
um conjunto com menos de n vetores não é gerador e
um conjunto de n vetores é gerador se e só se é LI.
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	Espaços Vetoriais
	(In)Dependência Linear
	Base e Coordenada
	Dimensão