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Transformações Lineares Matriz Definição (matriz) Uma matriz Am×n (m linhas e n colunas) é um arranjo retangular de mn elementos aij : A = a11 · · · a1n... ... am1 · · · amn . Definição (transposta) A transposta de Am×n é AT = Bn×m dada por bij = aji . B = b11 · · · b1m... ... bn1 · · · bnm = AT = a11 · · · am1... ... a1n · · · amn . Note que (AT )T = A. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28 Transformações Lineares Matriz Definição (matriz) Uma matriz Am×n (m linhas e n colunas) é um arranjo retangular de mn elementos aij : A = a11 · · · a1n... ... am1 · · · amn . Definição (transposta) A transposta de Am×n é AT = Bn×m dada por bij = aji . B = b11 · · · b1m... ... bn1 · · · bnm = AT = a11 · · · am1... ... a1n · · · amn . Note que (AT )T = A. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28 Transformações Lineares Matriz Definição (matriz) Uma matriz Am×n (m linhas e n colunas) é um arranjo retangular de mn elementos aij : A = a11 · · · a1n... ... am1 · · · amn . Definição (transposta) A transposta de Am×n é AT = Bn×m dada por bij = aji . B = b11 · · · b1m... ... bn1 · · · bnm = AT = a11 · · · am1... ... a1n · · · amn . Note que (AT )T = A. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28 Transformações Lineares Matriz Definição (matriz) Uma matriz Am×n (m linhas e n colunas) é um arranjo retangular de mn elementos aij : A = a11 · · · a1n... ... am1 · · · amn . Definição (transposta) A transposta de Am×n é AT = Bn×m dada por bij = aji . B = b11 · · · b1m... ... bn1 · · · bnm = AT = a11 · · · am1... ... a1n · · · amn . Note que (AT )T = A. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28 Transformações Lineares Produto Matriz-Vetor Notação Denotamos porMm×n o espaço das matrizes m × n. Definição (produto matriz-vetor) Seja A = ↑v1 ↓ · · · ↑ vn ↓ e w = (w1, . . . ,wn). Definimos Aw = ∑n i=1wivi . Lema (linearidade do produto matriz-vetor) A(u+ v) = Au+ Av ∀u,v A(ku) = k(Au) ∀k , ∀u Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 28 Transformações Lineares Produto Matriz-Vetor Notação Denotamos porMm×n o espaço das matrizes m × n. Definição (produto matriz-vetor) Seja A = ↑v1 ↓ · · · ↑ vn ↓ e w = (w1, . . . ,wn). Definimos Aw = ∑n i=1wivi . Lema (linearidade do produto matriz-vetor) A(u+ v) = Au+ Av ∀u,v A(ku) = k(Au) ∀k , ∀u Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 28 Transformações Lineares Produto Matriz-Vetor Notação Denotamos porMm×n o espaço das matrizes m × n. Definição (produto matriz-vetor) Seja A = ↑v1 ↓ · · · ↑ vn ↓ e w = (w1, . . . ,wn). Definimos Aw = ∑n i=1wivi . Lema (linearidade do produto matriz-vetor) A(u+ v) = Au+ Av ∀u,v A(ku) = k(Au) ∀k , ∀u Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof.Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares TL Associada a Matriz Definição (TL associada a uma matriz) Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw. Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm). AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm) A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm). Injetividade: suponha TA = TB. TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)]. TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Transformações Lineares Espaço Vetorial das Matrizes Definição (Soma de Matrizes e Produto Escalar-Matriz) A soma de matrizes e o produto escalar-matriz são definidos entrada a entrada. Com esta definição,Mm×n é espaço vetorial. Propriedade A associação A↔ TA é linear: TA+B = TA + TB e TαA = αTA. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Transformações Lineares Espaço Vetorial das Matrizes Definição (Soma de Matrizes e Produto Escalar-Matriz) A soma de matrizes e o produto escalar-matriz são definidos entrada a entrada. Com esta definição,Mm×n é espaço vetorial. Propriedade A associação A↔ TA é linear: TA+B = TA + TB e TαA = αTA. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Transformações Lineares Espaço Vetorial das Matrizes Definição (Soma de Matrizes e Produto Escalar-Matriz) A soma de matrizes e o produto escalar-matriz são definidos entrada a entrada. Com esta definição,Mm×n é espaço vetorial. Propriedade A associação A↔ TA é linear: TA+B = TA + TB e TαA = αTA. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Transformações Lineares Espaço Vetorial das Matrizes Definição (Soma de Matrizes e Produto Escalar-Matriz) A soma de matrizes e o produto escalar-matriz são definidos entrada a entrada. Com esta definição,Mm×n é espaço vetorial. Propriedade A associação A↔ TA é linear: TA+B = TA + TB e TαA = αTA. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Transformações Lineares Núcleo e Imagem Definição (Núcleo e Imagem) Definem-se núcleo e imagem de uma matriz A ∈Mm×n como o núcleo e a imagem da transformação linear correspondente, TA ∈ L(m;n): Nuc(A) = def Nuc(TA) Im(A) = def Im(TA) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28 Transformações Lineares Núcleo Cálculo do Núcleo [ A 0 ] Exemplo [ A 0 ] = 1 2 3 04 5 6 0 7 8 9 0 ∼ [ 1 0 −1 0 0 1 2 0 ] Nuc(A) = 〈(1,−2,1)〉 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Transformações Lineares Núcleo Cálculo do Núcleo [ A 0 ] Exemplo [ A 0 ] = 1 2 3 04 5 6 0 7 8 9 0 ∼ [ 1 0 −1 0 0 1 2 0 ] Nuc(A) = 〈(1,−2,1)〉 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Transformações Lineares Núcleo Cálculo do Núcleo [ A 0 ] Exemplo [ A 0 ] = 1 2 3 04 5 6 0 7 8 9 0 ∼ [ 1 0 −1 0 0 1 2 0 ] Nuc(A) = 〈(1,−2,1)〉 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Transformações Lineares Núcleo Cálculo do Núcleo [ A 0 ] Exemplo [ A 0 ] = 1 2 3 04 5 6 0 7 8 9 0 ∼ [ 1 0 −1 0 0 1 2 0 ] Nuc(A) = 〈(1,−2,1)〉 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Transformações Lineares Imagem Cálculo da Imagem Seja BT uma forma escalonada de AT . Então Im(B) = Im(A) {b1,b2, . . . ,bp} é base de Im(A). Exemplo A = 12 34 5 6 7 8 9 , AT = 1 4 72 5 8 3 6 9 ∼ [ 1 4 7 0 −3 −6 ] {(1,4,7), (0,−3,−6)} é base de Im(A). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Transformações Lineares Imagem Cálculo da Imagem Seja BT uma forma escalonada de AT . Então Im(B) = Im(A) {b1,b2, . . . ,bp} é base de Im(A). Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 , AT = 1 4 72 5 8 3 6 9 ∼ [ 1 4 7 0 −3 −6 ] {(1,4,7), (0,−3,−6)} é base de Im(A). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Transformações Lineares Imagem Cálculo da Imagem Seja BT uma forma escalonada de AT . Então Im(B) = Im(A) {b1,b2, . . . ,bp} é base de Im(A). Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 , AT = 1 4 72 5 8 3 6 9 ∼ [ 1 4 7 0 −3 −6 ] {(1,4,7), (0,−3,−6)} é base de Im(A). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Transformações Lineares Imagem Cálculo da Imagem Seja BT uma forma escalonada de AT . Então Im(B) = Im(A) {b1,b2, . . . ,bp} é base de Im(A). Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 , AT = 1 4 72 5 8 3 6 9 ∼ [ 1 4 7 0 −3 −6 ] {(1,4,7), (0,−3,−6)} é base de Im(A). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Transformações Lineares Imagem Cálculo da Imagem Seja BT uma forma escalonada de AT . Então Im(B) = Im(A) {b1,b2, . . . ,bp} é base de Im(A). Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 , AT = 1 4 72 5 8 3 6 9 ∼ [ 1 4 7 0 −3 −6 ] {(1,4,7), (0,−3,−6)} é base de Im(A). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Transformações Lineares Imagem Cálculo da Imagem Seja BT uma forma escalonada de AT . Então Im(B) = Im(A) {b1,b2, . . . ,bp} é base de Im(A). Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 , AT = 1 4 72 5 8 3 6 9 ∼ [ 1 4 7 0 −3 −6 ] {(1,4,7), (0,−3,−6)} é base de Im(A). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Transformações Lineares Imagem Cálculo da Imagem Seja BT uma forma escalonada de AT . Então Im(B) = Im(A) {b1,b2, . . . ,bp} é base de Im(A). Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 , AT = 1 4 72 5 8 3 6 9 ∼ [ 1 4 7 0 −3 −6 ] {(1,4,7), (0,−3,−6)} é base de Im(A). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Observação A imagem de uma matriz A é também chamada de espaço-coluna de A. Definição (Espaço-Linha) O espaço-linha de A é o espaço-coluna de AT . Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 ,∼ [ 1 2 3 0 −3 −6 ] {(1,2,3), (0,−3,−6)} é base de Im(AT ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Observação A imagem de uma matriz A é também chamada de espaço-coluna de A. Definição (Espaço-Linha) O espaço-linha de A é o espaço-coluna de AT . Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 ,∼ [ 1 2 3 0 −3 −6 ] {(1,2,3), (0,−3,−6)} é base de Im(AT ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Observação A imagem de uma matriz A é também chamada de espaço-coluna de A. Definição (Espaço-Linha) O espaço-linha de A é o espaço-coluna de AT . Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 ,∼ [ 1 2 3 0 −3 −6 ] {(1,2,3), (0,−3,−6)} é base de Im(AT ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Observação A imagem de uma matriz A é também chamada de espaço-coluna de A. Definição (Espaço-Linha) O espaço-linha de A é o espaço-coluna de AT . Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 ,∼ [ 1 2 3 0 −3 −6 ] {(1,2,3), (0,−3,−6)} é base de Im(AT ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Observação A imagem de uma matriz A é também chamada de espaço-coluna de A. Definição (Espaço-Linha) O espaço-linha de A é o espaço-coluna de AT . Exemplo A = 1 2 34 5 6 7 8 9 ,∼ [ 1 2 3 0 −3 −6 ] {(1,2,3), (0,−3,−6)} é base de Im(AT ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Lema Para qualquer matriz A ∈Mm×n, a dimensão do espaço-linha é igual à dimensão do espaço-coluna: dim(Im(A)) = dim(Im(AT )). Prova Seja ρ o número de linhas da forma escalonada de A. dim(Im(AT )) = ρ. dim(Nuc(A)) = #(vár. livres) = n − ρ. dim(Im(A)) = n − dim(Nuc(A)) = ρ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Lema Para qualquer matriz A ∈Mm×n, a dimensão do espaço-linha é igual à dimensão do espaço-coluna: dim(Im(A)) = dim(Im(AT )). Prova Seja ρ o número de linhas da forma escalonada de A. dim(Im(AT )) = ρ. dim(Nuc(A)) = #(vár. livres) = n − ρ. dim(Im(A)) = n − dim(Nuc(A)) = ρ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Lema Para qualquer matriz A ∈Mm×n, a dimensão do espaço-linha é igual à dimensão do espaço-coluna: dim(Im(A)) = dim(Im(AT )). Prova Seja ρ o número de linhas da forma escalonada de A. dim(Im(AT )) = ρ. dim(Nuc(A)) = #(vár. livres) = n − ρ. dim(Im(A)) = n − dim(Nuc(A)) = ρ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Lema Para qualquer matriz A ∈Mm×n, a dimensão do espaço-linha é igual à dimensão do espaço-coluna: dim(Im(A)) = dim(Im(AT )). Prova Seja ρ o número de linhas da forma escalonada de A. dim(Im(AT )) = ρ. dim(Nuc(A)) = #(vár. livres) = n − ρ. dim(Im(A)) = n − dim(Nuc(A)) = ρ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28 Transformações Lineares Espaço-Linha Lema Para qualquer matriz A ∈Mm×n, a dimensão do espaço-linha é igual à dimensão do espaço-coluna: dim(Im(A)) = dim(Im(AT )). Prova Seja ρ o número de linhas da forma escalonada de A. dim(Im(AT )) = ρ. dim(Nuc(A)) = #(vár. livres) = n − ρ. dim(Im(A)) = n − dim(Nuc(A)) = ρ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação R ([ x y ]) = R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2) cos θ se n θ θ e1 R(e1) − sen θ cos θ e2 R(e2) θ R ([ x y ]) = x [ cos θ sin θ ] + y [ − sin θ cos θ ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação R ([ x y ]) = R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2) cos θ se n θ θ e1 R(e1) − sen θ cos θ e2 R(e2) θ R ([ x y ]) = x [ cos θ sin θ ] + y [ − sin θ cos θ ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação R ([ x y ]) = R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2) cos θ se n θ θ e1 R(e1) − sen θ cos θ e2 R(e2) θ R ([ x y ]) = x [ cos θ sin θ ] + y [ − sin θ cos θ ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação R ([ x y ]) = R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2) cos θ se n θ θ e1 R(e1) − sen θ cos θ e2 R(e2) θ R ([ x y ]) = x [ cos θ sin θ ] + y [ − sin θ cos θ ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos T (x) = T (x1, . . . , xn) = T (∑n j=1 xjej ) = ∑n j=1 xjT (ej) = [ T (e1) · · · T (en) ] x1... xn = Ax∀x T = TA Note que A ∈Mm×n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos T (x) = T (x1, . . . , xn) = T (∑n j=1 xjej ) = ∑n j=1 xjT (ej) = [ T (e1) · · · T (en) ] x1... xn = Ax ∀x T = TA Note que A ∈Mm×n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos T (x) = T (x1, . . . , xn) = T (∑n j=1 xjej ) = ∑n j=1 xjT (ej) = [ T (e1) · · · T (en) ] x1... xn = Ax ∀x T = TA Note que A ∈Mm×n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos T (x) = T (x1, . . . , xn) = T (∑n j=1 xjej ) = ∑n j=1 xjT (ej) = [ T (e1) · · · T (en) ] x1... xn = Ax ∀x T = TA Note que A ∈Mm×n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos T (x) = T (x1, . . . , xn) = T (∑n j=1 xjej ) = ∑n j=1 xjT (ej) = [ T (e1) · · · T (en) ] x1... xn = Ax ∀x T = TA Note que A ∈Mm×n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos T (x) = T (x1, . . . , xn) = T (∑n j=1 xjej ) = ∑n j=1 xjT (ej) = [ T (e1) · · · T (en) ] x1... xn = Ax ∀x T = TA Note que A ∈Mm×n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos T (x) = T (x1, . . . , xn) = T (∑n j=1 xjej ) = ∑n j=1 xjT (ej) = [ T (e1) · · · T (en) ] x1... xn = Ax ∀x T = TA Note que A ∈Mm×n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos T (x) = T (x1, . . . , xn) = T (∑n j=1 xjej ) = ∑n j=1 xjT (ej) = [ T (e1) · · · T (en) ] x1... xn = Ax ∀x T = TA Note que A ∈Mm×n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Transformações Lineares Produto de Matrizes Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p, associamos TLs TA ∈ L(Rn;Rm) e TB ∈ L(Rp;Rn). Está bem definida a composição TA ◦ TB ∈ L(Rp;Rm). Existe C ∈Mm×p associada a TA ◦ TB, TC = TA ◦ TB. Definição (produto de matrizes) Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p define-se o produto C = AB como a matriz C ∈Mm×p que satisfaz TC = TA ◦ TB. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28 Transformações Lineares Produto de Matrizes Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p, associamos TLs TA ∈ L(Rn;Rm) e TB ∈ L(Rp;Rn). Está bem definida a composição TA ◦ TB ∈ L(Rp;Rm). Existe C ∈Mm×p associada a TA ◦ TB, TC = TA ◦ TB. Definição (produto de matrizes) Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p define-se o produto C = AB como a matriz C ∈Mm×p que satisfaz TC = TA ◦ TB. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28 Transformações Lineares Produto de Matrizes Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p, associamos TLs TA ∈ L(Rn;Rm) e TB ∈ L(Rp;Rn). Está bem definida a composição TA ◦ TB ∈ L(Rp;Rm). Existe C ∈Mm×p associada a TA ◦ TB, TC = TA ◦ TB. Definição (produto de matrizes) Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p define-se o produto C = AB como a matriz C ∈Mm×p que satisfaz TC = TA ◦ TB. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28 Transformações Lineares Produto de Matrizes Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p, associamos TLs TA ∈ L(Rn;Rm) e TB ∈ L(Rp;Rn). Está bem definida a composição TA ◦ TB ∈ L(Rp;Rm). Existe C ∈Mm×p associada a TA ◦ TB, TC = TA ◦ TB. Definição (produto de matrizes) Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p define-se o produto C = AB como a matriz C ∈Mm×p que satisfaz TC = TA ◦ TB. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28 Transformações Lineares Produto de Matrizes Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p, associamos TLs TA ∈ L(Rn;Rm) e TB ∈ L(Rp;Rn). Está bem definida a composição TA ◦ TB ∈ L(Rp;Rm). Existe C ∈Mm×p associada a TA ◦ TB, TC = TA ◦ TB. Definição (produto de matrizes) Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p define-se o produto C = AB como a matriz C ∈Mm×p que satisfaz TC = TA ◦ TB. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p. A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej)) = TA(Bej) = TA(bj) = Abj AB = [ Ab1 · · · Abn ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM /UFRJ 13 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Bp×m, Am×n, Cp×n = BA Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Bp×m, Am×n, Cp×n = BA = p m m n n p colunas são CLs das colunas da 1a matriz Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Bp×m, Am×n, Cp×n = BA = p m m n n p colunas são CLs das colunas da 1a matriz Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Bp×m, Am×n, Cp×n = BA = p m m n n p entradas são produtos escalares de linhas da 1a matriz por colunas da 2a matriz Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Bp×m, Am×n, Cp×n = BA = p m m n n p entradas são produtos escalares de linhas da 1a matriz por colunas da 2a matriz Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28 Transformações Lineares Cálculo do Produto de Matrizes Bp×m, Am×n, Cp×n = BA = p m m n n p linhas são CLs das linhas da 2a matriz Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28 Transformações Lineares Propriedades do Produto de Matrizes (αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC (A+ B)C = AC + BC (AB)T = BTAT AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Transformações Lineares Propriedades do Produto de Matrizes (αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC (A+ B)C = AC + BC (AB)T = BTAT AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Transformações Lineares Propriedades do Produto de Matrizes (αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC (A+ B)C = AC + BC (AB)T = BTAT AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Transformações Lineares Propriedades do Produto de Matrizes (αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC (A+ B)C = AC + BC (AB)T = BTAT AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Transformações Lineares Propriedades do Produto de Matrizes (αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC (A+ B)C = AC + BC (AB)T = BTAT AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Transformações Lineares Propriedades do Produto de Matrizes (αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC (A+ B)C = AC + BC (AB)T = BTAT AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Transformações Lineares Inversa de uma Matriz Definição (inversa de uma matriz) Se a TL TA associada à matriz A é invertível, então diz-se que A é invertível e define-se A−1 como a matriz associada à inversa de TA, isto é, A−1 satisfaz TA−1 = T − A 1. Se A não é invertível, diz-se que A é singular. Observação Vimos que se T ∈ L(U;V ) é invertível, então dim(U) = dim(V ). Isto implica que uma matriz invertível é necessariamente quadrada. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Transformações Lineares Inversa de uma Matriz Definição (inversa de uma matriz) Se a TL TA associada à matriz A é invertível, então diz-se que A é invertível e define-se A−1 como a matriz associada à inversa de TA, isto é, A−1 satisfaz TA−1 = T − A 1. Se A não é invertível, diz-se que A é singular. Observação Vimos que se T ∈ L(U;V ) é invertível, então dim(U) = dim(V ). Isto implica que uma matriz invertível é necessariamente quadrada. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Transformações Lineares Inversa de uma Matriz Definição (inversa de uma matriz) Se a TL TA associada à matriz A é invertível, então diz-se que A é invertível e define-se A−1 como a matriz associada à inversa de TA, isto é, A−1 satisfaz TA−1 = T − A 1. Se A não é invertível, diz-se que A é singular. Observação Vimos que se T ∈ L(U;V ) é invertível, então dim(U) = dim(V ). Isto implica que uma matriz invertível é necessariamente quadrada. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Transformações Lineares Inversa de uma Matriz Definição (inversa de uma matriz) Se a TL TA associada à matriz A é invertível, então diz-se que A é invertível e define-se A−1 como a matriz associada à inversa de TA, isto é, A−1 satisfaz TA−1 = T − A 1. Se A não é invertível, diz-se que A é singular. Observação Vimos que se T ∈ L(U;V ) é invertível, então dim(U) = dim(V ). Isto implica que uma matriz invertível é necessariamente quadrada. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa Seja A ∈Mn×n invertível e seja B ∈Mn×n a sua inversa. Segue da definição que TA ◦ TB = TB ◦ TA = I, onde I ∈ L(Rn;Rn) é a transformação identidade, I(x) = x ∀x ∈ Rn. A matriz associada a I é a matriz I = [ e1 · · · en ] , isto é, TI = I. Assim, B fica definida pela propriedade AB = BA = I. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa Seja A ∈Mn×n invertível e seja B ∈Mn×n a sua inversa. Segue da definição que TA ◦ TB = TB ◦ TA = I, onde I ∈ L(Rn;Rn) é a transformação identidade, I(x) = x ∀x ∈ Rn. A matriz associada a I é a matriz I = [ e1 · · · en ] , isto é, TI = I. Assim, B fica definida pela propriedade AB = BA = I. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa Seja A ∈Mn×n invertível e seja B ∈Mn×n a sua inversa. Segue da definição que TA ◦ TB = TB ◦ TA = I, onde I ∈ L(Rn;Rn) é a transformação identidade, I(x) = x ∀x ∈ Rn. A matriz associada a I é a matriz I = [ e1 · · · en ] , isto é, TI = I. Assim, B fica definida pela propriedade AB = BA = I. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa Seja A ∈Mn×n invertível e seja B ∈Mn×n a sua inversa. Segue da definição que TA ◦ TB = TB ◦ TA = I, onde I ∈ L(Rn;Rn) é a transformação identidade, I(x) = x ∀x ∈ Rn. A matriz associada a I é a matriz I = [ e1 · · · en ] , isto é, TI = I. Assim, B fica definida pela propriedade AB = BA = I. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferenteslados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa. AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[ 1 −2 1 0 1 1 0 1 ] ∼ [ 1 0 13 2 3 0 1 −13 13 ] ⇒ ⇒ [ 1 −2 1 1 ]−1 = [ 1 3 2 3 −13 13 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa Dada A ∈Mn×n, seja E a sua forma totalmente escalonada. Seja B definida por[ A I ] ∼ [ E B ] . A é invertível se e somente se E = I. Neste caso, A−1 = B. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa Dada A ∈Mn×n, seja E a sua forma totalmente escalonada. Seja B definida por[ A I ] ∼ [ E B ] . A é invertível se e somente se E = I. Neste caso, A−1 = B. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa Dada A ∈Mn×n, seja E a sua forma totalmente escalonada. Seja B definida por[ A I ] ∼ [ E B ] . A é invertível se e somente se E = I. Neste caso, A−1 = B. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Transformações Lineares Cálculo da Inversa Dada A ∈Mn×n, seja E a sua forma totalmente escalonada. Seja B definida por[ A I ] ∼ [ E B ] . A é invertível se e somente se E = I. Neste caso, A−1 = B. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Já sabemos encontrar a matriz associada a T ∈ L(Rn;Rm). É possível representar por uma matriz uma TL qualquer, T ∈ L(U;V )? A resposta é sim. Mas, assim como na representação de vetores por meio de coordenadas, é necessária a escolha de bases. A matriz representa uma TL com relação a duas bases (uma para o domínio e outra para o contra-domínio) da mesma forma que as coordenadas representam um vetor com relação a uma base: coordenadas vetor = matriz transf. linear Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Já sabemos encontrar a matriz associada a T ∈ L(Rn;Rm). É possível representar por uma matriz uma TL qualquer, T ∈ L(U;V )? A resposta é sim. Mas, assim como na representação de vetores por meio de coordenadas, é necessária a escolha de bases. A matriz representa uma TL com relação a duas bases (uma para o domínio e outra para o contra-domínio) da mesma forma que as coordenadas representam um vetor com relação a uma base: coordenadas vetor = matriz transf. linear Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Já sabemos encontrar a matriz associada a T ∈ L(Rn;Rm). É possível representar por uma matriz uma TL qualquer, T ∈ L(U;V )? A resposta é sim. Mas, assim como na representação de vetores por meio de coordenadas, é necessária a escolha de bases. A matriz representa uma TL com relação a duas bases (uma para o domínio e outra para o contra-domínio) da mesma forma que as coordenadas representam um vetor com relação a uma base: coordenadas vetor = matriz transf. linear Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Já sabemos encontrar a matriz associada a T ∈ L(Rn;Rm). É possível representar por uma matriz uma TL qualquer, T ∈ L(U;V )? A resposta é sim. Mas, assim como na representação de vetores por meio de coordenadas, é necessária a escolha de bases. A matriz representa uma TL com relação a duas bases (uma para o domínio e outra para o contra-domínio) da mesma forma que as coordenadas representam um vetor com relação a uma base: coordenadas vetor = matriz transf. linear Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Já sabemos encontrar a matriz associadaa T ∈ L(Rn;Rm). É possível representar por uma matriz uma TL qualquer, T ∈ L(U;V )? A resposta é sim. Mas, assim como na representação de vetores por meio de coordenadas, é necessária a escolha de bases. A matriz representa uma TL com relação a duas bases (uma para o domínio e outra para o contra-domínio) da mesma forma que as coordenadas representam um vetor com relação a uma base: coordenadas vetor = matriz transf. linear Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Já sabemos encontrar a matriz associada a T ∈ L(Rn;Rm). É possível representar por uma matriz uma TL qualquer, T ∈ L(U;V )? A resposta é sim. Mas, assim como na representação de vetores por meio de coordenadas, é necessária a escolha de bases. A matriz representa uma TL com relação a duas bases (uma para o domínio e outra para o contra-domínio) da mesma forma que as coordenadas representam um vetor com relação a uma base: coordenadas vetor = matriz transf. linear Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs U T−→ V [ · ]β ↓ ↓ [ · ]γ Rn −→ [T ]γ←β Rm [T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs U T−→ V [ · ]β ↓ ↓ [ · ]γ Rn −→ [T ]γ←β Rm [T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Sejam T ∈ L(U;V ), β = {u1, . . . ,un} base de] U e γ = {v1, . . . ,vm} base de V . Vimos que existe uma matriz A ∈Mm×n, denotada A = [T ]γ←β, definida por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Equivalentemente, [T (uj)]γ = A[uj ]β , j = 1, . . . ,n. Mas A[uj ]β = Aej = aj , j = 1, . . . ,n. Portanto aj = [T (uj)]γ , j = 1, . . . ,n. A j-ésima coluna da matriz que representa T com relação às bases β e γ é o vetor de coordenadas na base γ da imagem por T do j-ésimo vetor da base β. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Sejam T ∈ L(U;V ), β = {u1, . . . ,un} base de] U e γ = {v1, . . . ,vm} base de V . Vimos que existe uma matriz A ∈Mm×n, denotada A = [T ]γ←β, definida por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Equivalentemente, [T (uj)]γ = A[uj ]β , j = 1, . . . ,n. Mas A[uj ]β = Aej = aj , j = 1, . . . ,n. Portanto aj = [T (uj)]γ , j = 1, . . . ,n. A j-ésima coluna da matriz que representa T com relação às bases β e γ é o vetor de coordenadas na base γ da imagem por T do j-ésimo vetor da base β. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Sejam T ∈ L(U;V ), β = {u1, . . . ,un} base de] U e γ = {v1, . . . ,vm} base de V . Vimos que existe uma matriz A ∈Mm×n, denotada A = [T ]γ←β, definida por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Equivalentemente, [T (uj)]γ = A[uj ]β , j = 1, . . . ,n. Mas A[uj ]β = Aej = aj , j = 1, . . . ,n. Portanto aj = [T (uj)]γ , j = 1, . . . ,n. A j-ésima coluna da matriz que representa T com relação às bases β e γ é o vetor de coordenadas na base γ da imagem por T do j-ésimo vetor da base β. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Sejam T ∈ L(U;V ), β = {u1, . . . ,un} base de] U e γ = {v1, . . . ,vm} base de V . Vimos que existe uma matriz A ∈Mm×n, denotada A = [T ]γ←β, definida por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Equivalentemente, [T (uj)]γ = A[uj ]β , j = 1, . . . ,n. Mas A[uj ]β = Aej = aj , j = 1, . . . ,n. Portanto aj = [T (uj)]γ , j = 1, . . . ,n. A j-ésima coluna da matriz que representa T com relação às bases β e γ é o vetor de coordenadas na base γ da imagem por T do j-ésimo vetor da base β. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Sejam T ∈ L(U;V ), β = {u1, . . . ,un} base de] U e γ = {v1, . . . ,vm} base de V . Vimos que existe uma matriz A ∈Mm×n, denotada A = [T ]γ←β, definida por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Equivalentemente, [T (uj)]γ = A[uj ]β , j = 1, . . . ,n. Mas A[uj ]β = Aej = aj , j = 1, . . . ,n. Portanto aj = [T (uj)]γ , j = 1, . . . ,n. A j-ésima coluna da matriz que representa T com relação às bases β e γ é o vetor de coordenadas na base γ da imagem por T do j-ésimo vetor da base β. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Sejam T ∈ L(U;V ), β = {u1, . . . ,un} base de] U e γ = {v1, . . . ,vm} base de V . Vimos que existe uma matriz A ∈Mm×n, denotada A = [T ]γ←β, definida por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Equivalentemente, [T (uj)]γ = A[uj ]β , j = 1, . . . ,n. Mas A[uj ]β = Aej = aj , j = 1, . . . ,n. Portanto aj = [T (uj)]γ , j = 1, . . . ,n. A j-ésima coluna da matriz que representa T com relação às bases β e γ é o vetor de coordenadas na base γ da imagem por T do j-ésimo vetor da base β. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Teorema Dadas T : U → V, β, γ, defina [T ]γ←β = [ [T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ ] . Então vale [T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β ∀u ∈ U. [ · ]γ←β : L(U;V ) → Rm×n T 7→ [T ]γ←β é bijeção. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 28 Transformações Lineares Matrizes e TLs Teorema Dadas T : U → V, β, γ, defina [T ]γ←β = [ [T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ ] . Então vale [T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β ∀u ∈ U. [ · ]γ←β : L(U;V ) → Rm×n T 7→ [T ]γ←β é bijeção. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 28 Transformações Lineares Exemplo T : R2 → R3 linear T (1,0) = (1,2,3), T (2,1) = (0,0,2) β = {(1,0), (2,1)}, γ = {(1,2,3), (0,0,2), (0,1,0)} ε2 = {(1,0), (0,1)}, ε3 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} [T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2 = ? [T ]γ←β = [ [T (1,0)]γ [T (2,1)]γ ] = 1 00 1 0 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28 Transformações Lineares Exemplo T : R2 → R3 linear T (1,0) = (1,2,3), T (2,1) = (0,0,2) β = {(1,0), (2,1)}, γ = {(1,2,3), (0,0,2), (0,1,0)} ε2 = {(1,0), (0,1)}, ε3 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} [T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2 = ? [T ]γ←β = [ [T (1,0)]γ [T (2,1)]γ ] = 1 00 1 0 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28 Transformações Lineares Exemplo T : R2 → R3 linear T (1,0) = (1,2,3), T (2,1) = (0,0,2) β = {(1,0), (2,1)}, γ = {(1,2,3), (0,0,2), (0,1,0)} ε2 = {(1,0), (0,1)}, ε3 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} [T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2 = ? [T ]γ←β = [ [T (1,0)]γ [T (2,1)]γ ] = 1 00 1 0 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28 Transformações Lineares Exemplo T : R2 → R2,Tx = [ 2 1 1 2 ] x [T ]ε = [ 2 1 1 2 ] Seja β = {u1,u2} = {(1,1), (1,−1)}. Então T (u1) = (3,3) = 3(u1) ⇒ [T (u1)]β = [ 3 0 ]T T (u2) = (−1,1) = −(u2) ⇒ [T (u2)]β = [ 0 −1 ]T [T ]β = [ 3 0 0 −1 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Transformações Lineares Exemplo T : R2 → R2,Tx = [ 2 1 1 2 ] x [T ]ε = [ 2 1 1 2 ] Seja β = {u1,u2} = {(1,1), (1,−1)}. Então T (u1) = (3,3) = 3(u1) ⇒ [T (u1)]β = [ 3 0 ]T T (u2) = (−1,1) = −(u2) ⇒ [T (u2)]β = [ 0 −1 ]T [T ]β = [ 3 0 0 −1 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Transformações Lineares Exemplo T : R2 → R2,Tx = [ 2 1 1 2 ] x [T ]ε = [ 2 1 1 2 ] Seja β = {u1,u2} = {(1,1), (1,−1)}. Então T (u1) = (3,3) = 3(u1) ⇒ [T (u1)]β = [ 3 0 ]T T (u2) = (−1,1) = −(u2) ⇒ [T (u2)]β = [ 0 −1 ]T [T ]β = [ 3 0 0 −1 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 TransformaçõesLineares Exemplo T : R2 → R2,Tx = [ 2 1 1 2 ] x [T ]ε = [ 2 1 1 2 ] Seja β = {u1,u2} = {(1,1), (1,−1)}. Então T (u1) = (3,3) = 3(u1) ⇒ [T (u1)]β = [ 3 0 ]T T (u2) = (−1,1) = −(u2) ⇒ [T (u2)]β = [ 0 −1 ]T [T ]β = [ 3 0 0 −1 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Transformações Lineares Exemplo T : R2 → R2,Tx = [ 2 1 1 2 ] x [T ]ε = [ 2 1 1 2 ] Seja β = {u1,u2} = {(1,1), (1,−1)}. Então T (u1) = (3,3) = 3(u1) ⇒ [T (u1)]β = [ 3 0 ]T T (u2) = (−1,1) = −(u2) ⇒ [T (u2)]β = [ 0 −1 ]T [T ]β = [ 3 0 0 −1 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Transformações Lineares Exemplo T : R2 → R2,Tx = [ 2 1 1 2 ] x [T ]ε = [ 2 1 1 2 ] Seja β = {u1,u2} = {(1,1), (1,−1)}. Então T (u1) = (3,3) = 3(u1) ⇒ [T (u1)]β = [ 3 0 ]T T (u2) = (−1,1) = −(u2) ⇒ [T (u2)]β = [ 0 −1 ]T [T ]β = [ 3 0 0 −1 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Transformações Lineares Mudança de Base Quando a transformação em questão é a identidade, I : U → U, ainda podemos escolher duas bases distintas, β e γ, para o domínio e o contra-domínio (isto é, duas bases distintas para U). Neste caso, temos [I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ ∀u ∈ U. Note que [I]γ←β é uma matriz que tranforma coordenadas na base β em coordenadas na base γ. É a chamada matriz mudança de base de β para γ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Transformações Lineares Mudança de Base Quando a transformação em questão é a identidade, I : U → U, ainda podemos escolher duas bases distintas, β e γ, para o domínio e o contra-domínio (isto é, duas bases distintas para U). Neste caso, temos [I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ ∀u ∈ U. Note que [I]γ←β é uma matriz que tranforma coordenadas na base β em coordenadas na base γ. É a chamada matriz mudança de base de β para γ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Transformações Lineares Mudança de Base Quando a transformação em questão é a identidade, I : U → U, ainda podemos escolher duas bases distintas, β e γ, para o domínio e o contra-domínio (isto é, duas bases distintas para U). Neste caso, temos [I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ ∀u ∈ U. Note que [I]γ←β é uma matriz que tranforma coordenadas na base β em coordenadas na base γ. É a chamada matriz mudança de base de β para γ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Transformações Lineares Mudança de Base Quando a transformação em questão é a identidade, I : U → U, ainda podemos escolher duas bases distintas, β e γ, para o domínio e o contra-domínio (isto é, duas bases distintas para U). Neste caso, temos [I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ ∀u ∈ U. Note que [I]γ←β é uma matriz que tranforma coordenadas na base β em coordenadas na base γ. É a chamada matriz mudança de base de β para γ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Transformações Lineares Mudança de Base Quando a transformação em questão é a identidade, I : U → U, ainda podemos escolher duas bases distintas, β e γ, para o domínio e o contra-domínio (isto é, duas bases distintas para U). Neste caso, temos [I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ ∀u ∈ U. Note que [I]γ←β é uma matriz que tranforma coordenadas na base β em coordenadas na base γ. É a chamada matriz mudança de base de β para γ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Transformações Lineares Mudança de Base Quando a transformação em questão é a identidade, I : U → U, ainda podemos escolher duas bases distintas, β e γ, para o domínio e o contra-domínio (isto é, duas bases distintas para U). Neste caso, temos [I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ ∀u ∈ U. Note que [I]γ←β é uma matriz que tranforma coordenadas na base β em coordenadas na base γ. É a chamada matriz mudança de base de β para γ. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Transformações Lineares Matriz da Composição (Produto de Matrizes) U VT Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Transformações Lineares Matriz da Composição (Produto de Matrizes) U VT Rn Rm [ · ]β [ · ]γ Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Transformações Lineares Matriz da Composição (Produto de Matrizes) U VT Rn Rm [T ]γ←β [ · ]β [ · ]γ Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Transformações Lineares Matriz da Composição (Produto de Matrizes) V Rm [ · ]γ WS Rp [S]δ←γ [ · ]δ Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Transformações Lineares Matriz da Composição (Produto de Matrizes) U VT Rn Rm [T ]γ←β [ · ]β [ · ]γ WS Rp [S]δ←γ [ · ]δ Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Transformações Lineares Matriz da Composição (Produto de Matrizes) U VT Rn Rm [T ]γ←β [ · ]β [ · ]γ WS Rp [S]δ←γ [ · ]δ S ◦ T Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Transformações Lineares Matriz da Composição (Produto de Matrizes) U VT Rn Rm [T ]γ←β [ · ]β [ · ]γ WS Rp [S]δ←γ [ · ]δ S ◦ T [S ◦ T ]δ←β Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Transformações Lineares Matriz da Composição (Produto de Matrizes) U VT Rn Rm [T ]γ←β [ · ]β [ · ]γ WS Rp [S]δ←γ [ · ]δ S ◦ T [S ◦ T ]δ←β [S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Transformações Lineares Inversa da Matriz de Mudança de Base Corolário [I]β←γ = [I]−1γ←β Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28 Transformações Lineares
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