08 - Flexão

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MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Flexão
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Flexão
Viga em repouso
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Viga flexionada
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A flexão, no campo da mecânica, é um esforço
físico no qual se caracteriza pela deformação
ocorrer perpendicularmente à força atuante.
Flexão
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ocorrer perpendicularmente à força atuante.
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Momento fletor
É o momento resultante de todas as forças e
momentos de uma porção isolada sobre a outra
porção na direção transversal ao eixo da barra na
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porção na direção transversal ao eixo da barra na
seção transversal de corte.
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Flexão: tipos
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Flexão simples (M+V)Flexão pura (M) Flexão composta (M+V+T)
Além dessas, deve-se considerar a flexão oblíqua, 
quando o carregamento acontece de forma angular.
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����FLEXÃO PURA 
A flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura
fica solicitada apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD
da viga abaixo. Neste trecho, a força cortante é nula e o momento
fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços internos.
É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho
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É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho
CD, as forças P são simétricas e o peso próprio da estrutura, na
presença das forças P, é desprezado.
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Trecho L - 2a → atua apenas momento fletor. O momento fletor é constante neste
trecho, sendo assim, a curvatura é também constante.
 
a a L - 2a 
P P 
y 
x 
y C 
E 
D 
F 
 
r 
C
 
D
 
θ
 
O 
M 
M
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a a L - 2a 
y 
E
 
C
 
F
 
D
 
A parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a parte superior
diminuiu. Havendo variação de comprimento ∆L, tem-se deformação específica ε.
Portanto, pode-se afirmar que o momento fletor produz tensão normal σ. Esta tensão
provoca a variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra
diminuiu de comprimento existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem
o seu comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra (arco CD).
O → centro da curvatura da superfície neutra.
r → raio de curvatura da superfície neutra.
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O arco CD é dado por: CD r= .θ
O arco EF é dado por: ( )EF r y= + ⋅θ
Por definição: L L∆=ε
( ) θ θ+ ⋅ − ⋅
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Deformação específica ε de EF: ε EF
EF CD
CD
=
−
( )
ε
θ θ
θEF
r y r
r
=
+ ⋅ − ⋅
⋅
ou
Simplificando-se a expressão anterior: r yEF =ε
Utilizando-se a lei de Hooke, , pode-se obter a tensão normal que
provocou o alongamento de EF:
σ ε= ⋅E
r
yEEF ⋅=σ
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Por definição: e y dA I zA
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⋅ =∫
O momento de inércia IZ, calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da
área da seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide (linha neutra).
Substituindo-se IZ, o momento fletor assume a forma:
σ ⋅ ⋅ =∫ y dA MA
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M E
r
I z= ⋅ r
E I
M
z
=
⋅
σ =
⋅
⋅
E y
E I
M
z
σ =
⋅M y
I z
→
Substituindo-se r em , tem-se :
r
yEEF ⋅=σ
→
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EXEMPLO - Sendo dado: Seção transversal:
Momento máx = 4,67x 107 N.mm
Carga aplicada de baixo p/ cima.
Posição do Centróide:
Sendo A1 = A2 = 10000 mm2:
AAyA
z
15025
;0'
×+×∑
=
10
Momento de Inércia:
e d= distancia da posição do centróide de cada 
área até y’.
( ) 47721
472
3
2
472
3
1
32
1035,111024,711,4
1024,75,6210000
12
20050
1011,45,6210000
12
50200
)12/'(.'
mmIII
mmI
mmI
bhIdAIiI
zzz
z
z
retz
×=×+=+=
×=×+
×
=
×=×+
×
=
=+=
mm
AA
AA
A
yAy
i
ii 5,8715025'
21
21
=
+
×+×
=
∑
∑
=
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Tensões Máximas de Compressão e de Tração
- Compressão
MPa
xI
yM
x
z
máx
x
36
1035,11
5,87104,67
7
7
−=
××
−=
⋅
=
σ
σ
- Tração
MPa
xI
yM
x
z
máx
x
9,66
1035,11
5,162104,67
7
7
=
××
=
⋅
=
σ
σ
11
MPax 36−=σ MPax 9,66=σ
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Exercício
Considerando o carregamento abaixo, onde o momento máximo
ocorre em n-n, determinar as tensões máximas de compressão e
tração para cada seção transversal (medidas em cm).
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