Ferramental Matemático_EDO_NotasI

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Marcelo de Sales Pessoa
Ferramental Matemático
Equações Diferenciais
Introdução
Def.: Equação diferencial: equação que contém derivadas de uma função.
Def.: Equação Diferencial Ordinária (EDO): equação diferencial com funções
de apenas uma variável.
Def.: Ordem de uma EDO: ordem da maior derivada.
Def.: EDO autônoma: EDO sem coe…cientes variáveis.
Def.: EDO não-linear: EDO com alguma função não-linear de y ou de suas
derivadas:
Def.: EDO homogênea: EDO na qual x (t) = 0:
Solução
No caso de uma equação diferencial, encontrar uma solução signi…ca encon-
trar a dinâmica de y (t), ou seja, como y (:) evolui com o tempo. Precisamos
conhecer a dinâmica, os estados estacionários e a estabilidade.
Def. Estado Estacionário: Estado em que y (t) não muda com o tempo: y�
tal que _y (t) = 0 no ponto y�:
Def. Estado Estacionário Estável: um estado estacionário, y�; tal que, se
y (0) 6= y�; y (t) !
t!1 y
�:
Resultado:
Se @ _y@y jy� > 0; então, y é instável localmente (ou seja, na vizinhança do estado
estacionário);
Se @ _y@y jy� < 0; então, y é estável localmente;
Solução Analítica
EDO linear com coe…cientes constantes:
_y (t) + ay (t) + x (t) = 0
onde a é uma constante e x (t) é uma função previamente conhecida do
tempo.
Solução :
y (t) = �e�atINT (t) + e�atb
essa equação é a solução geral.
1
Def.: Solução Geral x Solução Particular (ou exata): A solução dada é
dita geral, pois traz uma constante de integração arbitrária b. Nesse caso, há
in…nitos caminhos possíveis obtidos com diferentes valores de b: Para termos
uma solução particular, devemos especi…car b: Essa especi…cação é feita por
meio das condições de fronteira: condições iniciais e/ou …nais.
Sistemas de EDOs lineares
Seja o sistema de equações diferenciais lineares:
_y1 (t) = a11y1 (t) + :::+ a1nyn (t) + x1 (t)
:::
_yn (t) = an1y1 (t) + :::+ annyn (t) + xn (t)
Em notação matricial:
_y (t) = Ay (t) + x (t)
onde
_y (t) =
24 _y1 (t):::
_yn (t)
35
A =
264 a11 ::: a1n... . . . ...
an1 ::: ann
375
y (t) =
24 y1 (t):::
yn (t)
35
x (t) =
24 x1 (t):::
xn (t)
35
Obs.: Quando o vetor x (t) é igual a zero, dizemos que o sistema é homogêneo.
Solução Grá…ca: diagrama de Fases
Para construir o diagrama de fases (no plano y2 � y1), os passos são os
seguintes:
1o Faça o grá…co dos pontos em que _y1 = 0:
2o Analise a dinâmica de y1 (t) nas duas regiões divididas pelo grá…co _y1 = 0;
apontando, por meio de setas, a direção da variação de y (t) no tempo.
3o Faça o mesmo para y2:
2
4o Una as duas dinâmicas numa única …gura.
obs.: já é possível localizar o estado estacionário e observar o tipo de esta-
bilidade do sistema: estável, instável ou caminho-sela.
Def.: Estado Estacionário: aquele no qual as variáveis não se movem com o
tempo, o ponto em que _y1 = 0 e _y2 = 0:
5o Use condições de fronteira para encontrar a solução exata.
Resultado:
Se a matriz associada ao sistema de EDO for diagonal, as propriedades de
estabilidade dependem dos sinais dos coe…cientes:
1. Se os dois forem positivos, o sistema é instável;
2. Se os dois forem negativos, o sistema é estável;
3. Se um for positivo e o outro for negativo, o sistema tem estabilidade
do tipo caminho-sela.
Resultado
Forma geral de encontrar o tipo de estabilidade: observe em quantas regiões
do grá…co as trajetórias conduzem ao estado estacionário.
Se houver:
Duas: o sistema tem estabilidade do tipo caminho-sela. Há um braço estável
passando por essas duas regiões e cruzando o estado estacionário e há um braço
instável passando pelas outras duas regiões e cruzando o estado estacionário.
Quatro: o sistema é estável.
Zero: o sistema é instável.
Álgebra Matricial
Inversa
Def. Matriz Invertível: uma matriz quadrada A é dita invertível se existir
uma matriz B tal que:
AB = BA = I
onde I é a matriz identidade (1 na diagonal principal, 0 nas demais casas).
Def. Inversa: nesse caso, dizemos que B = A�1 é a inversa de A:
Def. Matriz Singular: matriz não invertível.
Def.: Determinante das matrizes A (2x2) e B (3x3):
A =
�
a b
c d
�
det (A) = ad� cb
B =
24 a b cd e f
g h i
35
det (B) = aei+ bfg + chd� ceg � bdi� ahf
3
Cálculo da Inversa
A�1 =
1
det (A)
�
CT
�
onde Cij = (�1)i+j Mij , onde Mij é o Menor do elemento Aij ; obtido como
o determinante da matriz que resta ao eliminarmos a linha i e a coluna j de A:
Para
A =
�
a b
c d
�
temos
A�1 =
1
det (A)
�
CT
�
=
1
ad� cb
�
d �c
�b a
�T
=
1
ad� cb
�
d �b
�c a
�
=
�
d
ad�cb
�b
ad�cb�c
ad�cb
a
ad�cb
�
Para
B =
24 a b cd e f
g h i
35
temos:
B�1 =
1
det (B)
�
CT
�
=
1
det (B)
24 A B CD E F
G H I
35T
=
1
det (B)
24 A D GB E H
C F I
35
4
onde
det (B) = aei+ bfg + chd� ceg � bdi� ahf
A = (�1)1+1 (ei� fh) = ei� fh
B = (�1)1+2 (di� fg) = fg � di
C = (�1)1+3 (dh� eg) = dh� eg
D = (�1)2+1 (bi� ch) = ch� bi
E = (�1)2+2 (ai� cg) = ai� cg
F = (�1)2+3 (ah� bg) = bg � ah
G = (�1)3+1 (bf � ce) = bf � ce
H = (�1)3+2 (af � cd) = cd� af
I = (�1)3+3 (ae� bd) = ae� bd
Resultado:
Uma matriz será singular se e somente se seu determinante for igual a zero.
Autovalor, Autovetor e Diagonalização de Matrizes
Def.: Equação Característica: equação polinomial de ordem n no � gerada
pela equação:
det (A� �I) = 0 (1)
Def.: Raízes Características ou Autovalores: soluções da equação caracterís-
tica.
Def.: Vetor Característico ou Autovetor: vetor vi associado ao autovalor �i
via equação:
(A� �I) v = 0
Diagonalização de matrizes
Uma vez encontrados os autovalores e os autovetores, podemos escrever:
AV = V D
onde V = [v1; :::vi; :::vn] é uma matriz com os autovetores como colunas e D
é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Então,
V �1AV = D
Assim, a matriz D é a matriz diagonal correspondente à matriz A por meio
da transformação usando V:
5
Resultado
Se os autovalores de A forem distintos, os autovetores em V serão linear-
mente independentes. Nesse caso, det (V ) 6= 0; então, V �1 existe e podemos
diagonalizar A:
Solução Analítica de Sistemas Homogêneos Lineares
Seja o seguinte sistema de EDO lineares e homogêneas:
_y1 (t) = a11y1 (t) + :::+ a1nyn (t)
:::
_yn (t) = an1y1 (t) + :::+ annyn (t)
Então,
_y (t) = Ay (t)
onde
_y (t) =
24 _y1 (t):::
_yn (t)
35
A =
264 a11 ::: a1n... . . . ...
an1 ::: ann
375
y (t) =
24 y1 (t):::
yn (t)
35
Solução do Sistema:
1o: Encontre os autovalores da matriz A : �1; �2; :::; �n e veri…que se são
distintos (caso contrário, não é possível diagonalizar A);
2o: Encontre os autovetores v1; v2; :::; vn associados a esses autovalores e
construa a matriz V tendo esses autovetores como colunas;
3o: Usando os valores encontrados nos passos 1 e 2, teremos a solução:
y = V Eb
onde:
y =
2664
y1 (t)
y2 (t)
:::
yn (t)
3775
6
V =
266664
v11 v12 ::: v1n
v21 v22
. . . v2n
...
...
. . .
...
vn1 ::: ::: vnn
377775
E =
266664
e�1t 0 ::: 0
0 e�2t :::
...
... :::
. . . 0
0 ::: 0 e�nt
377775
b =
26664
b1
b2
...
bn
37775
Então, para cada i = 1; :::; n; temos:
yi (t) = vi1e
�1tb1 + vi2e
�2tb2 + :::+ vine
�ntbn
4o: Use as condições de fronteira para determinar as constantes de integração
em b:
Estabilidade
Temos:
�1 > 0 e �2 > 0 ) sistema instável
�1 < 0 e �2 < 0 ) sistema estável
�1 < 0 e �2 > 0) estabilidade tipo sela
obs.: no caso de estabilidade tipo sela, o braço estável (instável) corresponde
ao autovetor associado ao autovalor negativo (positivo).
Autovalores idênticos
Nesse caso, os autovetores são linearmente dependentes. Então, detV = 0 e
não podemos inverter V e resolver o sistema dessa forma.
Seja o autovalor único � :Se � < 0; o sistema é estável.
Se � > 0; o sistema é instável.
Solução Analítica de Sistemas Lineares não Homogêneos
Seja o sistema não homogêneo:
_y (t) = Ay (t) + x (t)
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onde x (t) é um vetor coluna de funções conhecidas de t; podendo ser con-
stantes:
x (t) =
2664
x1 (t)
x2 (t)
:::
xn (t)
3775
De…na:
z � V �1y
Nesse caso, teremos o sistema:
_zi (t) = �izi (t) + V
�1
i x (t)
onde V �1i é a linha i de V
�1 para i = 1; :::; n:
A metodologia de solução de cada uma dessas equações é semelhante à an-
terior:
zi (t) = e
�it
Z
e��i�V �1i x (�) d� + e
�itbi
8i = 1; ::; n:
Como vale para todo i; essa expressão para o z pode ser escrita de forma
matricial:
z = EX^ + Eb
onde X^ é um vetor coluna com integrais do tipo:
R
e��i�V �1i x (�) d�:
Agora, como:
z � V �1y
temos:
y = V z = V EX^ + V Eb
Linearização de Sistemas Não-Lineares
Teorema de Taylor
Seja a função f (x) : Podemos obter uma aproximação para essa função em
torno do ponto x� usando um polinômio da seguinte forma:
f (x) = f (x�)+f 0 (x�) (x� x�)+1
2
f
00
(x�) (x� x�)2+:::+ 1
n!
fn (x�) (x� x�)n+Rn+1
onde Rn+1 é um resto da ordem n+ 1:
Sem o resto Rn+1; trata-se de uma expansão de Taylor de ordem n da função
f (x) em torno do ponto x�:
8
Quanto maior o valor de n; melhor a aproximação.
Def.: Linearização: Linearizamos uma função quando fazemos uma aproxi-
mação de Taylor em torno de x� usando um polinômio de ordem 1.
Expansão de Taylor para funções de mais de uma variável
Da mesma forma, temos a expansão de Taylor para funções de mais de uma
variável:
f (x1; x2) = f (x
�
1; x
�
2) + fx1 (x
�
1; x
�
2) (x1 � x�1) + fx1 (x�1; x�2) (x2 � x�2) +R2
onde fxi é a derivada parcial da função em relação a xi:
Linearização de Sistema de EDO
Seja o sistema:
_y1 (t) = f
1 (y1 (t) ; :::; yn (t))
:::
_yn (t) = f
n (y1 (t) ; :::; yn (t))
onde as funções f1; :::; fn não são lineares.
Fazendo uma expansão de Taylor dessas funções em torno do estado esta-
cionário, temos:
_y1 (t) = f
1 (:) + f1y1 (:) (y1 � y�1) + :::+ f1yn (:) (yn � y�n) +R1
:::
_yn (t) = f
n (:) + fny1 (:) (y1 � y�1) + :::+ fnyn (:) (yn � y�n) +R1
onde f i (:) é o valor da função i no estado estacionário; f iyj é o valor da
derivada parcial da função i em relação a yj no estado estacionário e Ri são os
resíduos de Taylor.
Se o sistema estiver próximo do estado estacionário, a aproximação é boa,
então os resíduos podem ser ignorados.
Por de…nição, o valor de cada função no estado estacionário é 0, então, os
primeiros termos podem ser ignorados.
Assim, …camos com:
_y1 (t) = f
1
y1 (:) (y1 � y�1) + :::+ f1yn (:) (yn � y�n) (2)
:::
_yn (t) = f
n
y1 (:) (y1 � y�1) + :::+ fnyn (:) (yn � y�n)
Esse sistema pode ser escrito sob a forma matricial e resolvido como resolve-
mos os sistemas lineares anteriores:
9
_y = A (y � y�)
onde
_y =
24 _y1 (t):::
_yn (t)
35
A =
264 f
1
y1 (:) ::: f
1
yn (:)
...
. . .
...
fny1 (:) ::: f
n
yn (:)
375
y � y� =
24 y1 � y�:::
yn � y�
35
obs.: A contém constantes avaliadas no estado estacionário.
EDO com coe…ciente variável
Solução analítica para a seguinte EDO:
_y (t) + a (t) y (t) + x (t) = 0
onde a (t) é uma função do tempo conhecida.
y (t) = e�
R t
0
a(�)d� �
�
�
Z
e
R t
0
a(�)d�x (t) d (t)
�
+ be�
R t
0
a(�)d�
10