Ferramental Matemático_EDO_Questões

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Marcelo de Sales Pessoa
Ferramental Matemático
Equações Diferenciais
Questões
Q1.: Encontre a solução grá…ca (estado estacionário; dinâmica e estabili-
dade) para:
a) _y (t) = ay (t)� b com a e b constantes e a > 0; b > 0:
b) _y (t) = ay (t)� b com a e b constantes, a < 0 e b > 0:
c) _y (t) = sy (t)� � �y (t) com s; � e � constantes positivas e � < 1:
Q2.: Encontre a solução analítica para:
a) _y (t) = a; com a constante.
b) _y (t) = a0 + a1t+ a2t2 + :::+ antn:
c) _y (t) + ay (t) + x (t) = 0 onde a é uma constante e x (t) é uma função do
tempo previamente conhecida.
d) _y (t)� y (t)� 1 = 0
e) _y (t)� y (t)� 1 = 0 com condição inicial: y (0) = 0:
f) _y (t)� y (t)� 1 = 0 com condição …nal: y (1000) = 0:
Q3: Resolva, gra…camente, o sistema:
_y1 (t) = a11y1 (t)
_y2 (t) = a22y2 (t)
quando:
a) a11 > 0 e a22 > 0:
b) a11 < 0 e a22 < 0:
c) a11 < 0 e a22 > 0:
Q4: Resolva, gra…camente, o seguinte sistema:
_y1 (t) = 0:06y1 (t)� y2 (t) + 1:4
_y2 (t) = �0:004y1 (t) + 0:04
com as condições de fronteira: y1 (0) = 1 e limt!1
�
e�0:06ty1 (t)
�
= 0:
Q5: Resolva, gra…camente, o seguinte sistema:
_k (t) = k (t)
0:3 � c (t)
_c (t) = c (t)
h
0:3k (t)
�0:7 � 0:06
i
com condições de fronteira: k (0) = 1 e limt!1
�
e�0:06tk (t)
�
= 0:
1
Q6: Encontre os autovalores e os autovetores da matriz A :
A =
�
0:06 �1
�0:004 0
�
Q7: Resolva, analiticamente, o sistema:
_y1 (t) = 0:06y1 (t)� y2 (t)
_y2 (t) = �0:004y1 (t)
Q8: Encontre a solução grá…ca do sistema apresentado em Q7.
Q9: Encontre a solução grá…ca do sistema obtido pela diagonalização do
sistema apresentado em Q7.
Q10:
a) Resolva, analiticamente, o sistema:
_y1 (t) = 0:06y1 (t)� y2 (t) + 1:4
_y2 (t) = �0:004y1 (t) + 0:04
com as condições de fronteira:
y1 (0) = 1
lim
t!1
�
e�0:06ty1 (t)
�
= 0
b) Quais são os valores iniciais de y1 e de y2?
c) Encontre o grá…co da dinâmica de y1 e de y2 nesse caso.
d) Encontre a solução grá…ca do sistema:
_z1 (t) = 0:1z1 (t) + 10=14
_z2 (t) = �0:04z2 (t) + 9:6=14
Q11: Resolva, analiticamente, o seguinte sistema:
_k (t) = k (t)
0:3 � c (t)
_c (t) = c (t)
h
0:3k (t)
�0:7 � 0:06
i
com condições de fronteira: k (0) = 1 e limt!1
�
e�0:06tk (t)
�
= 0:
Q12: Qual a solução para a seguinte EDO:
t _y + 2y � t2 + t� 1 = 0
com y (1) = 12?
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