Modelo de Gerações Sobrepostas_Gabarito

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Marcelo de Sales Pessoa
Modelo de Gerações Sobrepostas
Gabarito
R1.: Temos:
Lt = L1t + L2t
= (1 + n)L1t�1 + L1t�1
= (1 + n)L1t�1 + (1 + n)L1t�2
= (1 + n) (L1t�1 + L1t�2)
= (1 + n) (L1t�1 + L2t�1)
= (1 + n)L1t�1
R2.: Temos:
Ct = c1tL1t + c2tL2t
= c1tL1t + c2tL1t�1
= c1tL1t + c2t
L1t
(1 + n)
Então,
Ct =
�
c1t +
c2t
(1 + n)
�
L1t
Assim,
ct =
Ct
L1t
=
�
c1t +
c2t
(1 + n)
�
R3 : Temos:
Yt = Ct + St
Yt = Ct + It (1)
e
�Kt+1 = Kt+1 �Kt = It � �Kt
Então,
It = Kt+1 �Kt + �Kt = Kt+1 � (1� �)Kt (2)
1
(2) em (1):
Yt = Ct +Kt+1 � (1� �)Kt
Agora, substituindo a equação do consumo agregado total, temos:
Yt =
�
c1t +
c2t
(1 + n)
�
L1t +Kt+1 � (1� �)Kt
, Yt
L1t
=
�
c1t +
c2t
(1 + n)
�
+
Kt+1
L1t
� (1� �) Kt
L1t
De…na kt = KtL1t :
Como
L1t = (1 + n)L1t�1
) L1t+1 = (1 + n)L1t
Então,
Yt
L1t
= ct +
Kt+1
L1t+1= (1 + n)
� (1� �) kt
Yt
L1t
= ct + (1 + n) kt+1 � (1� �) kt (3)
Como a função de produção é neoclássica, temos:
Yt = F (Kt; L1t)
Então,
Yt = L1tF
�
Kt
L1t
; 1
�
(4)
Yt
L1t
= f (kt)
(4) em (3):
f (kt) = ct + (1 + n) kt+1 � (1� �) kt
R4 : Temos:
�Kt+1 = It � �Kt
, Kt+1 �Kt = It � �Kt
, Kt+1 = It + (1� �)Kt
2
como investimento é igual a poupança, então,
Kt+1 = Yt � Ct + (1� �)Kt
Em equilíbrio, o lucro econômico é igual a zero. Então,
Yt = wtL1t +RtKt
Substituindo o produto, temos:
Kt+1 = wtL1t +RtKt � Ct + (1� �)Kt
Em equilíbrio, temos também:
rt = Rt � �
Então,
Rt = rt + �
E podemos escrever:
Kt+1 = wtL1t + (rt + �)Kt � Ct + (1� �)Kt
) Kt+1 = wtL1t � Ct + (1 + rt)Kt
Agora, sabemos que:
Ct = C1t + C2t
Então,
Kt+1 = wtL1t � C1t � C2t + (1 + rt)Kt
Da restrição orçamentária dos jovens e dos idosos, temos:
wtL1t � C1t = St
e
C2t = (1 + rt)St�1
Substituindo na equação de movimento do capital, temos:
Kt+1 = St � (1 + rt)St�1 + (1 + rt)Kt
Assim,
Kt+1 � St = (1 + rt) [Kt � St�1]
3
Então, para que essa equação seja válida a cada período, podemos fazer:
Kt+1 = St 8t
Em termos per capita, temos
Kt+1 = St = stL1t
, st = Kt+1
L1t
Como
L1t+1 = (1 + n)L1t
Então,
st =
Kt+1
L1t+1= (1 + n)
= (1 + n) kt+1
R5: O problema dos jovens é:
max
c1t;c2t+1
U (c1t) + �U (c2t+1) s.a
wt = c1t + st
c2;t+1 = (1 + rt+1) st
que é equivalente a:
max
c1t;c2t+1
U (c1t) + �U (c2t+1) s.a
c2;t+1 = (1 + rt+1) (wt � c1t)
Solução:
max
c1t
U (c1t) + �U ((1 + rt+1) (wt � c1t))
Derivando em relação a c1t e igualando a zero, temos:
U 0 (c1t)� �U 0 (c2t+1) (1 + rt+1) = 0
Então,
U 0 (c1t) = �U 0 (c2t+1) (1 + rt+1)
Para � = 11+� e
4
U (cit) =
c1�
it
1� 
temos: U 0 (cit) = c
�
it e:
U 0 (c1t) = �U 0 (c2t+1) (1 + rt+1)
c�
1t =
1
1 + �
c�
2t+1 (1 + rt+1)
, c2t+1 =
�
1 + rt+1
1 + �
�1=
c1t
R6 : Temos
dx1
dx2
= �
@g(:)
@x2
@g(:)
@x1
= � 2x2 � 3x1�3x2 + 3x21
=
3x1 � 2x2
3x21 � 3x2
R7: Esse sistema pode ser escrito como24 2 1 �30 4 5
3 0 �9
3524 xy
z
35 =
24 17
3
35
Então,
x =
det
24 1 1 �37 4 5
3 0 �9
35
det
24 2 1 �30 4 5
3 0 �9
35 =
78
�21
= �3:7143
R8 : Temos:
�
F (c1t; c2t+1; rt+1; wt) = (1 + �)U
0 (c1t)� (1 + rt+1)U 0 (c2t+1) = 0
G (c1t; c2t+1; rt+1; wt) = c2;t+1 + (1 + rt+1) (c1t � wt) = 0
Temos:
5
@c2t+1
@wt
= �det Jw;c2t
det J
onde:
Jw;c2t =
� @F
@c1t
@F
@w
@G
@c1t
@G
@w
�
=
�
(1 + �)U 00 (c1t) 0
(1 + rt+1) � (1 + rt+1)
�
Então,
det Jw;c2t = � (1 + rt+1) (1 + �)U 00 (c1t)
E
J =
"
@F
@c1t
@F
@c2t+1
@G
@c1t
@G
@c2t+1
#
=
�
(1 + �)U 00 (c1t) � (1 + rt+1)U 00 (c2t+1)
(1 + rt+1) 1
�
Então,
det J = (1 + �)U 00 (c1t) + (1 + rt+1)
2
U 00 (c2t+1)
Assim,
@c2t+1
@wt
= �det Jw;c2t
det J
= � � (1 + rt+1) (1 + �)U
00 (c1t)
(1 + �)U 00 (c1t) + (1 + rt+1)
2
U 00 (c2t+1)
> 0
R9 : Temos:
st = wt � c1t
Pela equação de Euler do consumo, temos:
c2t+1 =
�
1 + rt+1
1 + �
�1=
c1t
Então,
st = wt �
�
1 + rt+1
1 + �
��1=
c2t+1
Agora, sabemos, pela restrição orçamentária dos agentes, que:
c2t+1 = (1 + rt+1) st
Então,
st = wt �
�
1 + rt+1
1 + �
��1=
(1 + rt+1) st
6
,
"
1 +
(1 + rt+1)
1�1=
(1 + �)
�1=
#
st = wt
Agora, pela equação de equilíbrio do capital:
st = (1 + n) kt+1
Então, substituindo:"
1 +
(1 + rt+1)
1�1=
(1 + �)
�1=
#
kt+1 =
wt
1 + n
Agora, do equilíbrio competitivo, sabemos que:
rt = f
0 (kt)� �
) rt+1 = f 0 (kt+1)� �
e
wt = f (kt)� ktf 0 (kt)
Substituindo:"
1 +
(1 + f 0 (kt+1)� �)1�1=
(1 + �)
�1=
#
kt+1 =
f (kt)� ktf 0 (kt)
1 + n
Então,"
1 +
(1 + f 0 (kt+1)� �)1�1=
(1 + �)
�1=
#
kt+1 �
�
f (kt)� ktf 0 (kt)
1 + n
�
= 0
7