Modelo de Ramsay-Cass-Koopmans_Gabarito

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Marcelo de Sales Pessoa
Modelo de Ramsay-Cass-Koopmans
Gabarito
Questão 1:
a) A renda vem do trabalho e dos ativos e é consumida ou poupada. Então,
temos:
r (t)� (t) + w (t)L (t) = C (t) + S (t)
) _� = r�+ wL� C
Seja a = �L ; ativos per capita. Então,
_a =
d
�
�
L
�
dt
= _�
1
L
+�
�
� 1
L2
�
_L
)
_�
L
= _a+ an
Assim,
_�
L
= r
�
L
+ w
L
L
� C
L
_a+ an = ra+ w � c
Portanto, a restrição orçamentária per capita das famílias é:
_a = (r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t)
b) Para evitar o esquema Ponzi, devemos impedir que a dívida cresça in-
de…nidamente:
lim
t!1 a (t) e
� R t
0
(r(�)�n)d� � 0
Questão 2:
Usando as condições necessárias de Pontryagin:
H = e�(��n)tu [c (t)] + v (t) [(r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t)]
1)
@H
@c
= e(n��)tu0 (c)� v (t) = 0
2) _v = �@H
@a
= �v (t) [r (t)� n]
3) _a = (r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t) ; a (0) = a0
4) lim
t!1 v (t) a (t) = 0
1
Agora, encontramos o sistema de EDO, em a e em c :
De 1), temos:
e(n��)tu0 (c)� v (t) = 0
v (t) = e(n��)tu0 (c)
ln v (t) = (n� �)t+ lnu0 (c (t))
_v
v
= (n� �) + 1
u0 (c)
u00 (c) _c
Substituindo em 2), temos:
(n� �) + 1
u0 (c)
u00 (c) _c = �r + n
, r � � = �cu
00 (c)
u0 (c)
_c
c
= 
_c
c
, _c
c
=
1
(r � �)
, _c
c
= � (r � �)
Agora, encontrando a condição …nal sobre a:
De 2), temos:
_v = �v (t) [r (t)� n]
, v (t) = v (0) e�
R t
0
(r(�)�n)d� = v (0) e�(�r(t)�n)t
Então,
lim
t!1 v (t) a (t) = 0
, lim
t!1 a (t) v (0) e
�(�r(t)�n)t = 0
, lim
t!1 a (t) e
�(�r(t)�n)t = 0
Questão 3:
Temos:
_a = (r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t)
, _a� (r (t)� n) a (t) = w (t)� c (t)
2
, e�(�r(t)�n)t [ _a� (r (t)� n) a (t)] = w (t) e�(�r(t)�n)t � c (t) e�(�r(t)�n)t
,
Z T
0
e�(�r(t)�n)t [ _a� (r (t)� n) a (t)] dt =
Z T
0
w (t) e�(�r(t)�n)tdt�
Z T
0
c (t) e�(�r(t)�n)tdt
,
Z T
0
d
�
a (t) e�(�r(t)�n)t
�
dt
=
Z T
0
w (t) e�(�r(t)�n)tdt�
Z T
0
c (t) e�(�r(t)�n)tdt
, a (T ) e�(�r(T )�n)T � a (0) e�(�r(T )�n)0 =
Z T
0
w (t) e�(�r(t)�n)tdt�
Z T
0
c (t) e�(�r(t)�n)tdt
, a (T ) e�(�r(T )�n)T +
Z T
0
c (t) e�(�r(t)�n)tdt = a (0) +
Z T
0
w (t) e�(�r(t)�n)tdt
Como
lim
t!1 a (t) e
�(�r(t)�n)t = 0
Então, Z 1
0
c (t) e�(�r(t)�n)tdt = a (0) +
Z 1
0
w (t) e�(�r(t)�n)tdt
Agora, fazendo Z 1
0
w (t) e�(�r(t)�n)tdt = ~w (0)
Então, temos: Z 1
0
c (t) e�(�r(t)�n)tdt = a (0) + ~w (0) (1)
Agora, sabemos que:
_c
c
= � (r (t)� �)
Então,
c (t) = c (0) e�(�r(t)��)t
Substituindo em (1):Z 1
0
c (0) e�(�r(t)��)te�(�r(t)�n)t = a (0) + ~w (0)
Então,
c (0) = � (0) [a (0) + ~w (0)]
onde
3
� (0) =
1R1
0
e[�r(t)(��1)���+n]tdt
Questão 4:
Dadas as hipóteses, temos:
Y (t) = F (K (t) ; L (t) ; T (t))
= F (K (t) ; L (t)T (t))
= F
�
K (t) ; L^ (t)
�
Então,
y^ � Y (t)
L^ (t)
=
F
�
K (t) ; L^ (t)
�
L^ (t)
= F
 
K (t)
L^ (t)
; 1
!
= f
�
k^ (t)
�
Além disso, como y^ � Y
L^
;
Y = L^y^ = L^f
�
k^
�
= L^f
�
K
L^
�
, Y = LTf
�
K
LT
�
Então,
@Y
@K
= LTf�
�
K
LT
�
1
LT
= f�
�
k^
�
e
@Y
@L
= Tf
�
K
LT
�
+ LTf�
�
K
LT
� �K
(LT )2
T
= Tf
�
K
LT
�
+ LTf�
�
K
LT
� �K
(LT )2
T
=
�
f
�
K
LT
�
� K
LT
f�
�
K
LT
��
T
=
h
f
�
k^
�
� k^f�
�
k^
�i
ext
Questão 5:
Numa economia sem risco e sem arbitragem, devemos ter:
R (t)� � = r (t)
4
Em equilíbrio competitivo, com as …rmas maximizando lucro, devemos ter
@Y
@K
= R (t)
@Y
@L
= w (t)
Então,
f�
�
k^
�
= R (t) = r (t) + �
, r (t) = f�
�
k^
�
� �
e
w (t) =
h
f
�
k^
�
� k^f�
�
k^
�i
ext
Questão 6:
Temos:
a = k
_a = (r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t)
f 0
�
k^
�
= r (t) + �
w (t) = ext
h
f
�
k^
�
� f 0
�
k^
�
k^
i
Então,
_k =
�
f 0
�
k^
�
� � � n
�
k (t) + ext
h
f
�
k^
�
� f 0
�
k^
�
k^
i
� c (t)
Agora, como,
k^ =
K
L^
=
K
LT
=
K
L
1
ext
= ke�xt
Então,
k = k^ext
_k =
:
k^ext + xk^ext
=
� :
k^ + xk^
�
ext
5
Então,
� :
k^ + xk^
�
ext =
�
f 0
�
k^
�
� � � n
�
k^ext + ext
h
f
�
k^
�
� f 0
�
k^
�
k^
i
� c (t)
)
:
k^ + xk^ =
�
f 0
�
k^
�
� � � n
�
k^ + f
�
k^
�
� f 0
�
k^
�
k^ � c (t) e�xt
Agora,
c (t) e�xt =
C
L
1
ext
=
C
L^
= c^ (t)
Então,
:
k^ = f
�
k^
�
� c^ (t)� (x+ � + n) k^
Questão 7:
Temos:
_c
c
= � [r (t)� �] (2)
f 0
�
k^
�
= r (t) + �
c^ =
C
L^
=
C
LT
= ce�xt
c = c^ext
) ln c = ln c^+ xt
) _c
c
=
:
c^
c^
+ x
Substituindo em (2), temos:
:
c^
c^
+ x = �
h
f 0
�
k^
�
� � � �
i
)
:
c^
c^
= �
h
f 0
�
k^
�
� � � �� 
x
i
Questão 8:
Da condição de transversalidade do problema das famílias, temos:
lim
t!1 a (t) e
�(�r(t)�n)t = 0
6
) lim
t!1 k (t) e
� R t
0 (f
0(k^(�))���n)d� = 0
) lim
t!1 k^ (t) e
� R t
0 (f
0(k^(�))���n�x)d� = 0
Questão 9:
Temos o seguinte sistema de EDO com condições de fronteira:
:
c^
c^
= �
�
f 0
�
k^
�
� � � �� 
x
�
:
k^ = f
�
k^
�
� c^ (t)� (x+ � + n) k^
Condição inicial: k^ (0) e a condição de transversalidade em k^ :
lim
t!1 k^ (t) e
� R t
0 (f
0(k^(�))���n�x)d� = 0
Então, como a taxa de crescimento no estado estacionário de k^ e de c^ são
iguais a zero, temos:
:
c^
c^
= �
�
f 0
�
k^
�
� � � �� 
x
�
= 0
, f 0
�
k^�
�
� � = �+ 
x (3)
Para k^ > k^�; o consumo decresce com o tempo, pois f 0
�
k^
�
é decrescente.
O oposto ocorre para k^ < k^�:
Usando a EDO em k^, temos:
c^� = f
�
k^�
�
� (x+ � + n) k^�
Para c^ > c^�; k^ decresce com o tempo, pois d
:
k^
dc < 0: O oposto ocorre para
c^ < c^�:
Agora, derivando em relação a k^�; observamos que a função é côncava e
possui ponto de máximo (regra de ouro):
e, na regra de ouro,
f 0
�
k^�g
�
� � = x+ n
Temos a seguinte condição …nal derivada da condição de transversalidade:
lim
t!1 k^ (t) e
� R t
0 (f
0(k^(�))���n�x)d� = 0
7
Então, no estado estacionário, como k^� é constante e > 0, para que essa
condição seja satisfeita, devemos ter uma taxa de desconto positiva:
f 0
�
k^�
�
� � � n� x > 0
, f 0
�
k^�
�
� � > n+ x
Agora, usando a equação (3) ; temos:
�+ 
x > n+ x
, f 0
�
k^�
�
� � > f 0
�
k^�g
�
� �
Então, como a produtividade marginal é decrescente,
k^� < k^�g
Assim, temos:
8