Lista de Derivadas Parciais em Cálculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO - UFRPE
UNIDADE ACADEˆMICA DE SERRA TALHADA - UAST
PROFESSOR: Filipe Mendonc¸a de Lima
Lista Derivadas Parciais
1. Seja f(x, y) = 2xy − 4y. Calcule:
(a)
∂f
∂x
(x, y)
(b)
∂f
∂y
(x, y)
(c)
∂f
∂x
(1, 1)
(d)
∂f
∂y
(−1, 1)
2. Considere a func¸a˜o z = f(x, y) dada por z = arctg (x2 + y2). Calcule.
(a)
∂f
∂x
(x, y)
(b)
∂f
∂y
(x, y)
(c)
∂f
∂x
(1, 1)
(d)
∂f
∂y
(0, 0)
3. Sendo z = f(x, y) dada implicitamente por x2 + y2 + z2 = 1, z > 0, calcule:
(a)
∂z
∂x
(b)
∂z
∂y
4. Suponha que z = f(x, y) seja dada implicitamente pela equac¸a˜o
exyz = x2 + y2 + x2
Suponha que f admita derivada parcial em relac¸a˜o a x, expresse
∂z
∂x
em termos de x, y e z.
5. Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
(a) f(x, y) = x4 − 3x2y3
(b) f(x, y) = ln (3x + 5y)
6. Mostre que cada uma das seguintes func¸o˜es e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o da onda
∂2f(x, t)
∂x2
= a2
∂2f(x, t)
∂t2
.
(a) f(x, t) =
t
a2t2 − x2
(b) f(x, t) = (x− at)6 + (x + at)6
7. Calcule as derivadas parciais de 1◦ ordem em x e y para as func¸o˜es abaixo:
(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4
(b) fx, y) =
x3 + x2
x2 + y2
(c) f(x, y) = x2 ln (1 + x2 + y2)
(d) f(x, y) =
√
x3 + y2 + 3
8. Um plano tangente a um ponto (x0, y0, f(x0, y0)) de uma func¸a˜o f(x, y) e´ um plano dado pela unia˜o de todas as
retas tangentes ao ponto (x0, y0, f(x0, y0)) da func¸a˜o f(x, y). A equac¸a˜o desse plano e´ dada pela fo´rmula:
1
z − f(x0, y0) = ∂f(x0, y0)
∂x
(x− x0) + ∂f(x0, y0)
∂y
(y − y0)
(a) Ache a fo´rmula para o plano tangente da func¸a˜o f(x, y) = 3x2y − xy no ponto (1,−1, f(1,−1)).
(b) Ache a fo´rmula para o plano tangente da func¸a˜o f(x, y) = 4x− 2y + 3x2y2 no ponto (−1,−2, f(−1,−2))
9. Uma caixa de papela˜o sem tampa deve ter um volume de 13.500cm3. Determine as dimenso˜es que minimizem a
quantidade de papec¸a˜o utilizado.
10. Classifique os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo em ponto de sela, mı´nimo ou ma´ximo, se poss´ıvel.
(a) f(x, y) = xy(1− x− y)
(b) f(x, y) = (2x− x2)(2y − y2)
2