Provinha_3_de_Micro_II

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Provinha 1 - EAE0205 � Microeconomia II
ATENÇÃO, HÁ QUESTÕES NO VERSO DESTA FOLHA
25 de setembro de 2015
Questão 1. Em um edifício moram 10 famílias, que consomem água. A
utilidade da família n (para n = 1, 2, ..., 10), como função de seu consumo de
água (an) e de seu gasto com água (gn) é:.
un(an, gn) = n ln (an)− gn. (1)
Note que quanto maior n, mais forte é a preferência por água. O preço da
água junto à empresa fornecedora é 1, portanto o total gasto em água no edifício
é igual à soma dos consumos de água, ou seja:
10∑
n=1
an =
10∑
n=1
gn. (2)
a) (1.5 pontos) Suponha que toda a água consumida no condomínio seja
igualmente dividida entre as famílias. Assim, temos gn =
∑10
n=1
an
10 . Qual será
o consumo de cada família (como função de n)? Qual será o consumo total de
água?
b) (1 ponto)Monte o problema que caracteriza o consumo eficiente de água
dada a restrição (2), e mostre que este problema gera o seguinte Lagrangeano:
L = ln (a1)− g1 + 10∑
n=2
λn (n ln (an)− gn) + γ
(
10∑
n=1
gn −
10∑
n=1
an
)
.
c) (1.5 pontos) Derive as condições de primeira ordem do problema que
gera as alocações eficientes. Mostre que os multiplicadores de Lagrange terão
todos o mesmo valor. Qual é a quantidade eficiente e água a ser consumida?
d) (1.5 pontos) Suponha agora que seja possível instalar um sistema que
permita inferir o consumo de agua em cada apartamento, e que cada aparta-
mento pague exatamente o quanto consumiu (ou seja, agora an = gn). Qual
será o consumo de água de cada apartamento (como função de n)? Qual será o
consumo total de água? Compare com sua resposta no ítem (c), e explique o
resultado usando o conceito de externalidade (não use mais do que 3 linhas em
sua explicação).
e) (1.5 pontos) Suponha que os moradores se reúnam para discutir a com-
pra do sistema mencionado no ítem (d). Qual o valor máximo que eles es-
tarão dispostos a gastar (em conjunto) para adquirir este sistema? (obs. Não
é necessário aqui fazer todas as contas e chegar a um número. Apenas indique
uma expressão matemática que determina este valor).
1
f) (1.5 pontos) Suponha que os moradores não se reúnam, mas cada um
deles considere individualmente a possibilidade de comprar o sistema que per-
mite o pagamento individualizado de água por cada apartamento. Neste caso,
dado o valor derivado em (e), haveria a contratação do sistema? Qual o preço
máximo que levaria à contratação do sistema por um dos moradores? (obs.
Novamente, aqui, não é necessário fazer as contas. Deixe apenas indicada uma
expressão que determina este preço). Explique sua resposta tomando como
referência um problema padrão de bens públicos.
g) (1.5 pontos) Suponha agora que não haja a possibilidade de medir os
consumos de água individuais de cada apartamento. A companhia de água
impõe um preço para o consumo total de água no edifício com o formato:
P = c.a+K,
sendo a ≡ ∑10n=1 an o total de água consumido no prédio, e K uma constante
qualquer (que pode ser positiva ou negativa). Suponha que a conta seja dividida
igualmente entre apartamentos (ou seja, cada apartamento gasta P/10(ou seja,
gn = c.a+K10 para qualquer n). Encontre os valores para a e K que garantam
que as duas condições a seguir sejam válidas:
(i) O consumo total de água é igual ao eficiente.
(ii) A companhia é capaz de financiar seus custos, ou seja, a equação (2) é
válida.
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