Apostila2015

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Ca´lculo de
Probabilidade
I
Joaquim Neto
Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)
Instituto de Cieˆncias Exatas (ICE)
Departamento de Estat´ıstica
www.ufjf.br/joaquim neto
25 de outubro de 2015
”Nosso mundo, nossa vida, nosso destino, sa˜o
dominados pela incerteza. Esta e´ talvez a
u´nica declarac¸a˜o que podemos afirmar sem
incerteza”.
de Finetti
Suma´rio
1 Me´todos de contagem 7
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Princ´ıpio fundamental da contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Permutac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Permutac¸o˜es com repetic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Combinac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Triaˆngulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Respostas dos exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Introduc¸a˜o a` probabilidade 21
2.1 Espac¸o amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Definic¸o˜es de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Probabilidade cla´ssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Probabilidade frequentista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 Probabilidade geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4 Probabilidade subjetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Teoria dos conjuntos: revisa˜o de conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Axiomas de probabilidade e espac¸o de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Principais resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Probabilidade do vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.2 Probabilidade da unia˜o finita de eventos disjuntos 2 a 2 . . . . . . . . . . 27
2.6.3 Probabilidade do evento complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.4 Probabilidade de eventos aninhados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.5 Probabilidade entre 0 e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.6 Probabilidade da subtrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.7 Desigualdade de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.8 Probabilidade da unia˜o de 2 eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.9 Probabilidade da unia˜o de 3 eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.10 Probabilidade da unia˜o finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.11 Outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Probabilidade condicional e principais teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.1 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.2 Teorema da multiplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.3 Partic¸a˜o de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.4 Teorema da probabilidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.5 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.6 Sensibilidade e especificidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Independeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9.1 Descritores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9.2 Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
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2.9.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Varia´veis aleato´rias 51
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Varia´vel aleato´ria discreta e func¸a˜o de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Varia´vel aleato´ria cont´ınua e densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Varia´vel aleato´ria mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Quantil e mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Valor esperado da func¸a˜o de uma v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.10 Propriedades do valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.11 Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.12 Variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.13 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.13.1 Descritores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.13.2 Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.13.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Famı´lias de distribuic¸o˜es 85
4.1 Famı´lias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.1 Distribuic¸a˜o uniforme discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.2 Distribuic¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.3 Distribuic¸a˜o binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.4 Distribuic¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.5 Distribuic¸a˜o binomial negativa (Pascal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.6 Distribuic¸a˜o hipergeome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.7 Distribuic¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Famı´lias cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.1 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.2 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.3 Func¸a˜o gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.4 Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.5 Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.6 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.7 Chi-quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.8 t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.9 F de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.10 Gama invertida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.11 Relac¸o˜es entre distribuic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Exerc´ıcios . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1 Descritores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.2 Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
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Me´todos de contagem
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1.1 Introduc¸a˜o
A princ´ıpio, pode parecer desnecessa´ria a existeˆncia de me´todos para realizar uma contagem.
Isto de fato e´ verdade se o nu´mero de elementos que queremos contar for pequeno. Entretanto,
se o nu´mero de elementos for grande, a contagem pode se tornar uma tarefa a´rdua.
Exemplo 1.1. Seja A o conjunto de nu´meros de 3 algarismos distintos. Assim,
A = {123, 124, 125, ..., 875, 876}.
Observe que e´ trabalhoso obter todos os elementos deste conjunto e depois conta´-los. Corre-se
o risco de haver omisso˜es ou repetic¸o˜es de elementos.
Resultado 1.1. Consideremos os conjuntos A = {a1, a2, ..., an} e B = {b1, b2, ..., bm}. Podemos
formar n ·m pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B.
O diagrama de a´rvore, ilustrado abaixo, pode ser usado para visualizar os pares ordenados.
𝒃𝟏 𝒂𝟏,𝒃𝟏 
𝒃𝟐 𝒂𝟏,𝒃𝟐 ⋮ ⋮ 
𝒃𝒎 𝒂𝟏,𝒃𝒎 
𝒃𝟏 𝒂𝟐,𝒃𝟏 
𝒃𝟐 𝒂𝟐,𝒃𝟐 
⋮ ⋮ 
𝒃𝒎 𝒂𝟐,𝒃𝒎 
𝒃𝟏 𝒂𝒏,𝒃𝟏 
𝒃𝟐 𝒂𝒏,𝒃𝟐 
⋮ ⋮ 
𝒃𝒎 𝒂𝒏,𝒃𝒎 
𝒂𝟏 
𝒂𝟐 
⋮ 
𝒂𝒏 
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Exemplo 1.2. Consideremos 3 cidades: X, Y e Z. Suponhamos 4 rodovias que ligam X a` Y
e 5 que ligam Y a` Z. Partindo de X e passando por Y , de quantas formas podemos chegar ate´
Z?
Soluc¸a˜o:
𝒃𝟏 
𝒂𝟏 
𝒂𝟐 
𝒂𝟑 
𝒂𝟒 
𝒃𝟐 
𝒃𝟑 
𝒃𝟒 
𝒃𝟓 
𝒀 𝑿 𝒁 
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Sejam A = {a1, a2, a3, a4} o conjunto das rodovias que ligam X a` Y e B = {b1, b2, b3, b4, b5} o
conjunto das rodovias que ligam Y a` Z. Cada modo de viajar de X ate´ Z pode ser associado a
um par (a, b), com a ∈ A e b ∈ B. Logo nu´mero de modos de viajar de X ate´ Z e´ 4 · 5 (nu´mero
de pares ordenados).
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Definic¸a˜o 1.1. Seja n um nu´mero natural (inteiro na˜o negativo). O fatorial de n, indicado
por n!, e´ definido por:
n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · · 3 · 2 · 1, para n ≥ 2,
1! = 1 e
0! = 1.
Exemplo 1.3. ˆ 3! = 3 · 2 · 1.
ˆ 4! = 4 · 3 · 2 · 1.
ˆ 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1.
1.2 Princ´ıpio fundamental da contagem
Resultado 1.2 (Primeira parte do princ´ıpio fundamental da contagem). Consideremos
os conjuntos A1, A2, ..., An. O nu´mero de n-uplas ordenadas (sequeˆncias de n elementos) do
tipo (a1, a2, ..., an) tais que ai ∈ Ai ∀i ∈ {1, 2, ..., n} e´
#A1 ·#A2 · · ·#An.
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 
𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑨𝒏 
⋯ 
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Exemplo 1.4. Treˆs classes diferentes conte´m 20, 18 e 25 estudantes e nenhum estudante e´
membro de mais de uma das classes. Se uma equipe deve ser composta por um estudante de
cada classe, de quantos modos diferentes os membros desta equipe podem ser escolhidos?
Soluc¸a˜o: Sejam A1, A2, A3 conjuntos que representam as 3 classes. Cada equipe escolhida
pode ser associada a um vetor (a1, a2, a3), com ai ∈ Ai.
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 
𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑨𝟑 
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Logo, aplicando a primeira parte do princ´ıpio fundamental da contagem, o nu´mero de modos
que esta equipe pode ser escolhida e´
#A1 ·#A2 ·#A3 = 20 · 18 · 25 = 9000.
Resultado 1.3 (Segunda parte do princ´ıpio fundamental da contagem). Sejam A =
{a1, a2, ..., an} e p ≤ n. O nu´mero de sequeˆncias (vetores) do tipo (b1, b2, ..., bp) tais que bi ∈ A
∀i ∈ {1, ..., p} e bi 6= bj para i 6= j e´
n!
(n− p)! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · · (n− p+ 1)︸ ︷︷ ︸
p fatores
.
Em outras palavras, o nu´mero de sequeˆncias de tamanho p formadas com elementos distintos
2 a 2 de A e´ n!/(n− p)!.
𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , ⋯ , 𝒃𝒑 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠ ⋯ ≠ 𝒃𝒑 
𝑨 
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Exemplo 1.5. Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados sa˜o
poss´ıveis para os 3 primeiros lugares?
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto dos times que participam do campeonato. Os resultados poss´ıveis
para os 3 primeiros lugares podem ser associados a sequeˆncias-vetores (b1, b2, b3) de elementos
distintos dois a dois escolhidos em A.
𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠ 𝒃𝟑 
𝒃𝟏 
𝒃𝟐 
𝒃𝟑 
𝑨 
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Logo, aplicando a segunda parte do princ´ıpio fundamental da contagem, o nu´mero de resultados
poss´ıveis para os 3 primeiros lugares e´
20!
(20− 3)! = 20 · 19 · 18 = 6840.
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Como veremos no exemplo a seguir, algumas vezes as sequeˆncias a serem contadas possuem
tamanhos diferentes, o que impede o uso do princ´ıpio fundamental da contagem.
Exemplo 1.6. Uma pessoa lanc¸a uma moeda sucessivamente ate´ que ocorram duas caras con-
secutivas ou quatro lanc¸amentos sejam feitos, o que ocorrer primeiro. Quantos sa˜o os resultados
poss´ıveis?
Soluc¸a˜o: No diagrama abaixo, representamos os resultado “cara” e “coroa” com “K” e “C”,
respectivamente. Como podemos ver, o nu´mero de resultados poss´ıveis e´ 12.
C 
K 
1° lançamento 
2° lançamento 
3° lançamento 
4° lançamento 
C 
K 
C 
K 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C ww
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1.3 Arranjos
Definic¸a˜o 1.2. Um arranjo e´ uma sequeˆncia formada com os elementos de um conjunto. Um
arranjo de elementos distintos e´ chamado de arranjo sem repetic¸a˜o.
O nu´mero de arranjos com p elementos de um conjunto A com n elementos sera´ denotado por
An,p e chamado de arranjo de n tomado p a p. Para o nu´mero de arranjos sem repetic¸a˜o,
usaremos a notac¸a˜o ASn,p e diremos arranjo sem repetic¸a˜o de n tomado p a p.
Arranjo sem repetição 
A 
Arranjo 
A 
𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, . . . , 𝒃𝒑 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠... ≠ 𝒃𝒑 
𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑, … , 𝒃𝒑 
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Obs: Para formar um arranjo, na˜o e´ preciso usar todos os elementos do conjunto.
Resultado 1.4. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos que
An,p = n
p
e
ASn,p =
n!
(n−p)! , para p ≤ n.
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Exemplo 1.7. As placas dos automo´veis sa˜o formadas por 3 letras (26 letras no alfabeto)
seguidas de 4 algarismos (nu´meros de 0 a 9). Quantas placas podem ser formadas?
Soluc¸a˜o: Seja A um conjuntos de sequeˆncias de 3 letras e B um conjunto de sequeˆncias
de 4 algarismos. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos que #A = A26,3 = 26
3 e
#B = A10,4 = 10
4. Assim, cada placa pode ser associada a um par (a, b) tal que a ∈ A e b ∈ B.
Aplicando novamente o princ´ıpio fundamental da contagem, o nu´mero de placas que podem ser
formadas e´
#A ·#B = 263 · 104 = 175760000.
Exemplo 1.8. Uma linha ferrovia´ria tem 16 estac¸o˜es. Quantos tipos de bilhetes devem ser
impressos, se cada tipo deve assinalar a estac¸a˜o de partida e a de chegada.
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto de estac¸o˜es da linha ferrovia´ria. Cada bilhete pode ser associado
a um par (a1, a2), tal que a1 ∈ A, a2 ∈ A e a1 6= a2. Logo, pelo princ´ıpio fundamental da
contagem, o nu´mero de bilhetes e´
AS16,2 = 16 · 15.
Exemplo 1.9. Os caracteres em co´digo MORSE sa˜o formados por sequeˆncias de trac¸os (-) e
pontos (.), sendo permitidas repetic¸o˜es. Por exemplo: “- . - - . .”.
a) Quantos caracteres podem ser representados usando 3 s´ımbolos?
b) Quantoscaracteres podem ser representados usando no ma´ximo 8 s´ımbolos?
Soluc¸a˜o: a) Seja A = {−, .}. Cada caracter de 3 s´ımbolos pode ser associado a um vetor
(a1, a2, a3), tal que a1, a2, a3 ∈ A. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos que o nu´mero
de caracteres de 3 s´ımbolos e´ A2,3 = 2
3 = 8.
b) O nu´mero de caracteres usando p s´ımbolos e´ A2,p e, consequentemente, o nu´mero de
caracteres com no ma´ximo 8 s´ımbolos e´ a soma do nu´mero de caracteres obtidos com p = 1, 2, ..., 8
s´ımbolos, ou seja,
A2,1 +A2,2 + ...+A2,8 = 2 + 2
2 + ...+ 28 = 510.
1.4 Permutac¸o˜es
Definic¸a˜o 1.3. Uma permutac¸a˜o, e´ uma sequeˆncia de elementos distintos formada com todos
os elementos de um determinado conjunto. O nu´mero de permutac¸o˜es de um conjunto com n
elementos sera´ denotado por Pn e chamado simplesmente de permutac¸a˜o de n elementos.
𝒃𝟏, 𝒃𝟐 , . . . , 𝒃𝒏 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠... ≠ 𝒃𝒏 
 
A 
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Obs: Para formar uma permutac¸a˜o, todos os elementos do conjunto devem ser utilizados.
Resultado 1.5. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos
Pn = ASn,n = n!
Exemplo 1.10. Quantos anagramas possui a palavra “Joaquim”?
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto das letras da palavra “Joaquim”. Como cada anagrama e´ uma
permutac¸a˜o dos elementos de A, temos que a quantidade procurada e´
P7 = 7! = 5040.
1.5 Permutac¸o˜es com repetic¸a˜o
Resultado 1.6. Seja A = {a1, ..., ar} um conjunto qualquer. Uma sequeˆncia com
n1 elementos iguais a a1,
n2 elementos iguais a a2,
...
nr elementos iguais a ar
e´ uma permutac¸a˜o com repetic¸a˜o dos elementos de A. Sendo n = n1+n2+...+nr, o nu´mero
total de sequeˆncias deste tipo e´
Pn1,n2,...,nrn =
n!
n1!n2!...nr!
.
(∆
, ◊
, ◊
, ◊
,∆
 ,
,∆
)
૚
૛
૜
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aq
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Exemplo 1.11. Um bairro e´ formado por 12 quarteiro˜es dispostos segundo a figura abaixo. Uma
pessoa sai do ponto P e caminha ate´ o ponto Q, sempre usando o caminho mais curto (movendo-
se sempre da esquerda para direita ou de baixo para cima no gra´fico). Nestas condic¸o˜es, quantos
caminhos diferentes ela podera´ fazer?
Q 
P ww
w.
ufj
f.b
r/jo
aq
uim
_n
eto
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Soluc¸a˜o: Usando V para denotar um movimento vertical e H para um movimento hori-
zontal, cada caminho pode ser associado a uma sequeˆncia com 3 elementos iguais a V e 4
elementos iguais a H. Por exemplo, a sequeˆncia (V, V, V,H,H,H,H) representa 3 movimentos
verticais seguidos de 4 movimentos horizontais. Deste modo, o problema se resume a contagem
de sequeˆncias com elementos repetidos. Logo, a quantidade procurada e´
P 3,47 =
7!
4!3!
= 35.
1.6 Combinac¸o˜es
Definic¸a˜o 1.4. Seja A um conjunto qualquer. Um subconjunto de A e´ chamado de combinac¸a˜o
dos elementos de A. O nu´mero de combinac¸o˜es com p elementos de um conjunto com n elementos
e´ denotado por Cn,p e chamado de combinac¸a˜o de n tomado p a p.
𝒃𝟏, 𝒃𝟐, . . . , 𝒃𝒑 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠... ≠ 𝒃𝒑 
A 
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f.b
r/jo
aq
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_n
eto
Obs: Uma outra notac¸a˜o para Cn,p e´
(
n
p
)
.
E´ importante notar a diferenc¸a entre combinac¸a˜o e arranjo sem repetic¸a˜o. Em uma combi-
nac¸a˜o a ordem dos elementos na˜o importa, ou seja, elementos que diferem apenas pela ordem
sa˜o contados como um u´nico elemento. Ja´ em um arranjo, a ordem importa, ou seja, sequeˆncias
com os mesmos elementos, mas em ordem diferente sa˜o contadas separadamente.
Resultado 1.7. A combinac¸a˜o de n tomado p a p e´ dada por
Cn,p =
n!
(n− p)!p! .
Exemplo 1.12. Dentre 10 homens e 8 mulheres, quantas comisso˜es de 5 pessoas podem ser
formadas, sendo que em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto dos subconjuntos de 3 homens e B o conjunto dos subconjuntos
de 2 mulheres. Pelo resultado 1.7, temos que #A = C10,3 = 120 e #B = C8,2 = 28. Ale´m disso,
cada comissa˜o pode ser associada a um par (a, b), com a ∈ A e b ∈ B. Logo, pela primeira parte
do princ´ıpio fundamental da contagem, o nu´mero de comisso˜es e´
#A ·#B = 120 · 28 = 3360.
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1.7 Triaˆngulo de Pascal
O triaˆngulo de pascal e´ uma forma de organizar os resultados de
(
n
p
)
para diferentes
valores de n e p, conforme indica a figura abaixo.
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A seguir, veremos alguns resultados relacionados a` combinac¸o˜es e, consequentemente, ao
Triaˆngulo de Pascal.
Resultado 1.8. Para todo n ∈ N, temos que(
n
0
)
= 1.
Prova: (
n
0
)
=
n!
(n− 0)!0! =
n!
n!
= 1.
Resultado 1.9. Para todo n ∈ N, temos que(
n
n
)
= 1.
Prova: (
n
n
)
=
n!
(n− n)!n! =
n!
n!
= 1.
Resultado 1.10 (Relac¸a˜o de Stiefel). Se n, p ∈ N e n > p ≥ 0 enta˜o
(
n
p
)
+
(
n
p+ 1
)
=
(
n+ 1
p+ 1
)
.
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 14 de 114
Prova: (
n
p
)
+
(
n
p+ 1
)
=
n!
p! (n− p)! +
n!
(p+ 1)! (n− p− 1)!
=
n!
p! (n− p)! +
n!
(p+ 1) p! (n− p− 1)!
=
n!
p!
(
1
(n− p)! +
1
(p+ 1) (n− p− 1)!
)
=
n!
p!
(
1
(n− p) (n− p− 1)! +
1
(p+ 1) (n− p− 1)!
)
=
n!
p! (n− p− 1)!
(
1
(n− p) +
1
(p+ 1)
)
=
n!
p! (n− p− 1)!
(
n+ 1
(n− p) (p+ 1)
)
=
n! (n+ 1)
(n− p) (n− p− 1)! (p+ 1) p!
=
(n+ 1)!
(n− p)! (p+ 1)! =
(
n+ 1
p+ 1
)
.
Obs: Podemos usar este resultado para fazer o ca´lculo das combinac¸o˜es do triaˆngulo de
pascal. Note que:
ˆ Como
(
n
0
)
= 1 ∀n ∈ N, todos os elementos da coluna 0 sa˜o iguais a 1.
ˆ Como
(
n
n
)
= 1 ∀n ∈ N, o u´ltimo elemento de cada linha e´ igual a 1.
ˆ Cada elemento do triaˆngulo que na˜o seja da coluna 0 nem o u´ltimo de cada linha e´ igual
a` soma daquele que esta´ na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa a`
esquerda deste u´ltimo (Relac¸a˜o de Stifel).
A figura abaixo ilustra passo-a-passo como a relac¸a˜o de Stiefel pode ser usada para construir
o triaˆngulo de Pascal.
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Resultado 1.11. Se n, p ∈ N e p ≤ n, enta˜o(
n
p
)
=
(
n
n− p
)
.
Prova: (
n
n− p
)
=
n!
(n− p)! [n− (n− p)!] =
n!
(n− p)!p! =
(
n
p
)
.
Obs: Este resultado afirma que os elementos de uma linha do triaˆngulo de Pascal equidis-
tantes dos extremos sa˜o iguais. Veja a figura abaixo.
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Henrique Neto 29 
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Resultado 1.12. Para todo n ∈ N, temos(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+ ...+
(
n
n
)
= 2n.
Prova: Seja A um conjunto com n elementos. Como
(
n
p
)
e´ o nu´mero de subconjuntos
com p elementos do conjunto A, temos que
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+ ...+
(
n
n
)
e´ o nu´mero
total de subconjuntos de A. Pensando de outra forma, para formar um subconjunto, temos duas
opc¸o˜es de escolha para cada elemento de A: ou o elemento esta´ no subconjunto ou na˜o esta´.
Como A tem n elementos, tera´ 2n subconjuntos.
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1.8 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1.1. Treˆs classes diferentes conte´m 20, 18 e 25 estudantes e nenhum estudante e´
membro de mais de uma das classes. Se uma equipe deve ser composta por um estudante de
cada classe, de quantos modos diferentes os membros desta equipe podem ser escolhidos?
Exerc´ıcio 1.2. Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados sa˜o
poss´ıveis para os 3 primeiros lugares?
Exerc´ıcio 1.3. Um cofre possui um disco marcado comos d´ıgitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. O
segredo do cofre e´ formado por uma sequeˆncia de 3 d´ıgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir
o cofre, quantas tentativas devera´ fazer (no ma´ximo) para conseguir abri-lo? Suponha que a
pessoa sabe a quantidade de d´ıgitos do segredo e que este e´ formado por d´ıgitos distintos.
Exerc´ıcio 1.4. De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6 cadeiras se duas
delas, Joaquim e Rafael, se recusam a sentar um ao lado do outro?
Exerc´ıcio 1.5. Considere 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas maneiras 2 pessoas
podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre eles?
Exerc´ıcio 1.6. Quantos anagramas da palavra “estudo” comec¸am e terminam com vogal?
Exerc´ıcio 1.7. Considere 2 urnas. A primeira com 4 cartas numeradas de 1 a 4 e a segunda
com 3 cartas numeradas de 7 a 9. Duas cartas sa˜o extra´ıdas da primeira urna, sucessivamente
e sem reposic¸a˜o, e em seguida duas cartas sa˜o extra´ıdas da segunda urna, sucessivamente e sem
reposic¸a˜o. Quantos nu´meros de 4 algarismos podem ser formados com os nu´meros das cartas
na sequeˆncia em que foram obtidas?
Exerc´ıcio 1.8. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos nu´meros de 4 algarismos
com pelo menos dois algarismos iguais existem?
Exerc´ıcio 1.9. De quantas formas 5 meninos e 5 meninas podem ficar em fila, de modo que
meninos e meninas devem ficar em posic¸o˜es alternadas?
Exerc´ıcio 1.10. Dez pessoas, dentre elas Antoˆnio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas
formas isto pode ser feito de modo que Antoˆnio e Beatriz fiquem sempre juntos?
Exerc´ıcio 1.11. De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se
a) os homens devem ficar juntos?
b) E se os homens devem ficar juntos e as mulheres tambe´m?
Exerc´ıcio 1.12. Considere 15 livros em uma estante, dos quais 4 sa˜o de probabilidade. De
quantas formas podemos coloca-lo em uma prateleira da estante de modo que os livros de proba-
bilidade fiquem sempre juntos?
Exerc´ıcio 1.13. Quantos anagramas existem da palavra “AMARILIS”?
Exerc´ıcio 1.14. Uma urna conte´m 3 bolas vermelhas e 2 amarelas, que se distinguem apenas
pela cor. Quantas sequeˆncias de cores sa˜o poss´ıveis de observar extraindo uma a uma sem
reposic¸a˜o?
Exerc´ıcio 1.15. Quantos nu´meros de 7 algarismos existem nos quais comparecem uma so´ vez
os algarismos 3, 4 e 5 e quatro vezes o algarismo 9?
Exerc´ıcio 1.16. Uma moeda e´ lanc¸ada 20 vezes. Quantas sequeˆncias de caras e coroas existem
com 10 caras e 10 coroas?
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Exerc´ıcio 1.17. Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos
entre 2,3,5,7 e 11?
Exerc´ıcio 1.18. Um time de futebol de sala˜o deve ser escalado a partir de um conjunto de 10
jogadores, entre eles Joaquim e Caio. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados se Ari
e Arnaldo devem ser escalados necessariamente?
Exerc´ıcio 1.19. Considere 10 homens e 10 mulheres. Quantas comisso˜es de 5 pessoas podemos
formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
Exerc´ıcio 1.20. Uma urna conte´m 10 bolas brancas e 6 pretas, todas marcadas com s´ımbolos
distintos. Quantos conjuntos de 7 bolas (retiradas desta urna) podemos formar de modo que pelo
menos 4 bolas do conjunto sejam pretas?
Exerc´ıcio 1.21. Em uma reunia˜o, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo
45 apertos de ma˜o. Quantas pessoas haviam na reunia˜o?
Exerc´ıcio 1.22. Um qu´ımico possui 10 tipos diferentes de substaˆncias. De quantos modos
poss´ıveis podera´ associar 6 diferentes tipos destas substaˆncias, sendo que dois tipos (somente)
na˜o podem ser juntados pois produzem mistura explosiva?
Exerc´ıcio 1.23. Quantas diagonais tem um pol´ıgono regular de n lados?
Exerc´ıcio 1.24. Obter o nu´mero de maneiras que nove algarismos iguais a 0 e seis algarismos
iguais a 1 podem ser colocados em sequeˆncia de modo que dois uns na˜o comparec¸am juntos.
Exerc´ıcio 1.25. Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem ser for-
mados de um baralho de 52 cartas?
Exerc´ıcio 1.26. A diretoria de uma firma e´ composta por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses.
Quantas comisso˜es podem ser formadas com 3 diretores brasileiros e 3 japoneses?
Exerc´ıcio 1.27. Em um grupo de 15 pessoas existem 5 me´dicos, 7 engenheiros e 3 advogados.
Selecionando pessoas neste grupo, quantas comisso˜es de 5 pessoas podemos formar, de modo que
cada comissa˜o seja constitu´ıda de 2 me´dicos, 2 engenheiros e 1 advogado?
Exerc´ıcio 1.28. Um homem possui 8 pares de meias distintos. De quantas formas ele pode
selecionar escolher dois pe´s de meia (um direito e um esquerdo) de modo que eles sejam de
pares diferentes?
Exerc´ıcio 1.29. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos nu´meros de algarismos
distintos existem entre 500 e 1000?
Exerc´ıcio 1.30. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos nu´meros pares de 3 algarismos
distintos podemos formar?
Exerc´ıcio 1.31. Quantos nu´meros pares de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,
3, 6, 7, 8 e 9?
Exerc´ıcio 1.32. Suponhamos que todos os nu´meros obtidos a partir da permutac¸a˜o dos alga-
rismos 1,2,4,6 e 8 foram dispostos em ordem crescente. Qual posic¸a˜o ocupa o nu´mero 68412?
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1.9 Respostas dos exerc´ıcios
1.1) 20× 18× 25 =9000.
1.2) 20× 19× 18 =6840.
1.3) 10× 9× 8 =720.
1.4) 6!− 2× 5! =480.
1.5) 90− 18 =72.
1.6) 3× 2× 4× 3× 2× 1 =144.
1.7) 4× 3× 3× 2 =72.
1.8) 94 − 9× 8× 7× 6 =3537.
1.9) 5!× 5!× 2 =28800.
1.10) 2× 9! =725760.
1.11) a) 4!× 5!× 6 =17280; b) 4!× 5!× 2 =5760.
1.12) 4!× 11!× 12 =11496038400.
1.13) 8!2!2! =10080.
1.14) 5!3!2! =10.
1.15) 7!4! =210.
1.16) 20!10!10! =184756.
1.17) C5,3 =10.
1.18) C8,3 =56.
1.19) C10,3 × C10,2 =5400.
1.20) C6,4 × C10,3 + C6,5 × C10,2 + C6,6 × C10,1 =2080.
1.21) Cn,2 = 45⇒ n =10.
1.22) C10,6 − C8,4 =140.
1.23) Cn,2 − n = n(n−3)2 .
1.24) C10,6 =210.
1.25) C4,3 × C48,2 =4512.
1.26) C7,3 × C4,3 =140.
1.27) C5,2 × C7,2 × C3,1 =630.
1.28) 8× 7 + 8× 7 =112.
1.29) 5× 8× 7 =280.
1.30) 3× 5× 4 =60.
1.31) 2× 6× 6 =72.
1.32) 3× 4! + 3× 3! + 2× 2! + 1 =95.
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Introduc¸a˜o a` probabilidade
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2.1 Espac¸o amostral
Definic¸a˜o 2.1. Suponhamos um experimento realizado sob certas condic¸o˜es fixas. O espac¸o amostral
Ω do experimento e´ um conjunto que conte´m representac¸o˜es de todos os resultados poss´ıveis,
onde por “resultado poss´ıvel”, entende-se resultado elementar e indivis´ıvel do experimento. Ω
deve satisfazer as seguintes condic¸o˜es:
ˆ A todo resultado poss´ıvel corresponde um, e somente um, elemento ω ∈ Ω.
ˆ Resultados distintos correspondem a elementos distintos em Ω, ou seja, ω ∈ Ω na˜o pode
representar mais de um resultado.
Resultados 
possíveis 𝜴 
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Exemplo 2.1. Considere um experimento que consiste em arremessar dois dados e observar os
nu´meros obtidos nas faces voltadas para cima. Defina um espac¸o amostral para este experimento.
Soluc¸a˜o: Na˜o e´ dif´ıcil encontrar quem defina Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} como espac¸o amostral deste
experimento. No entanto, esta definic¸a˜o esta´ incorreta, pois no experimento sa˜o arremessados
dois dados e na˜o um. Lembre-se que o espac¸o amostral deve conter representac¸o˜es de todos os
resultados poss´ıveis do experimento. Um espac¸o amostral para este experimento e´
Ω = {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6),
(2, 1), (2, 2), ..., (2, 6),
(3, 1), (3, 2), ..., (3, 6),
(4, 1), (4, 2), ..., (4, 6),
(5, 1), (5, 2), ..., (5, 6),
(6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)}.
Exemplo 2.2. Considere um experimento que consiste em selecionar ao acaso a altura de um
habitante do estado de Minas Gerais.Quais os resultados poss´ıveis deste experimento? Supondo
que na˜o exista uma altura ma´xima, talvez seja razoa´vel assumir Ω = (0,∞). Evidentemente,
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 21 de 114
este conjunto conte´m todos os resultados poss´ıveis e tambe´m resultados imposs´ıveis, tais como
1 milha˜o ou 1 bilha˜o de metros. Outros candidatos para Ω seriam, por exemplo, os intervalos
(0, 3) e [1/10, 3].
Exemplo 2.3. Considere um experimento que consiste em escolher aleatoriamente um ponto
do c´ırculo de raio unita´rio centrado na origem do sistema cartesiano. Neste caso, temos
Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
2.2 Eventos
Quando se realiza um experimento, ha´ certos eventos que ocorrem ou na˜o. Por exemplo, ao
jogar um dado e observar o resultado, alguns eventos sa˜o:
ˆ observar um nu´mero par,
ˆ observar o nu´mero 2 e
ˆ observar um nu´mero maior ou igual a 4.
Todo evento associado a` um experimento pode ser identificado a um subconjunto do espac¸o
amostral Ω. Reciprocamente, todo subconjunto A de Ω pode ser associado a um evento. Assim,
podemos associar
ˆ o conjunto {2, 4, 6} ao evento observar um nu´mero par e
ˆ o conjunto {4, 5, 6} ao evento observar um nu´mero maior ou igual a 4.
Definic¸a˜o 2.2. Seja Ω o espac¸o amostral do experimento. Todo subconjunto A ⊂ Ω sera´ cha-
mado evento.
ˆ Ω e´ o evento certo.
ˆ ∅ e´ o evento imposs´ıvel.
ˆ Para ω ∈ Ω, o evento {ω} e´ dito elementar (ou simples).
ˆ Eventos com uma atribuic¸a˜o de probabilidade sa˜o chamados de eventos aleato´rios.
Definic¸a˜o 2.3. O complementar de um evento A, denotado por Ac, e´ o conjunto formado
pelos elementos de Ω que na˜o pertencem a` A. Assim, Ac = {ω ∈ Ω : ω /∈ A}.
𝑨 
𝜴 𝜴 
𝑨𝒄 
𝑨 
ww
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2.3 Definic¸o˜es de probabilidade
Ha´ va´rias interpretac¸o˜es da probabilidade. A seguir, veremos as quatro mais importantes.
2.3.1 Probabilidade cla´ssica
Definic¸a˜o 2.4. Se Ω e´ finito, a definic¸a˜o cla´ssica da probabilidade P (A) de um evento A ⊂ Ω
e´ dada por
P (A) =
#A
#Ω
=
nu´mero de elementos de A
nu´mero de elementos de Ω
.
Obs: Esta definic¸a˜o basea-se no conceito de resultados equiprova´veis, ou melhor, no princ´ıpio
da indiferenc¸a. Por exemplo, em um experimento que consiste em lanc¸ar um dado e observar
o resultado, podemos usar Ω = {1, 2, ..., 6} e, diante da indiferenc¸a entre os resultados, temos
P (i) = 16 , ∀i ∈ Ω.
Exemplo 2.4. Suponhamos um experimento que consiste em retirar uma carta em um baralho.
Usando a definic¸a˜o cla´ssica de probabilidade, qual e´ a probabilidade de tirar um 7?
Soluc¸a˜o: Seja Ω = {A♥, 2♥, ..., J♣,K♣} o espac¸o amostral e A = {7♣, 7♦, 7♥, 7♠} o
evento de interesse. Assim,
P (A) =
#A
#Ω
=
4
52
.
2.3.2 Probabilidade frequentista
Definic¸a˜o 2.5. A definic¸a˜o frequentista baseia-se na frequ¨eˆncia relativa de um nu´mero
grande de realizac¸o˜es do experimento. Mais especificamente, definimos a probabilidade P (A)
de um evento A usando o limite da frequeˆncia relativa da ocorreˆncia de A em n repetic¸o˜es
independentes1 do experimento, com n tendendo ao infinito, ou seja,
P (A) = lim
n→∞
1
n
×
(
nu´mero de ocorreˆncias de A em n realizac¸o˜es
independentes do experimento
)
.
Obs: A grande dificuldade da definic¸a˜o frequentista e´ que os experimentos nunca sa˜o realizados
infinitas vezes, logo na˜o ha´ como avaliar a probabilidade de forma estrita.
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Figura 1: Nu´mero de arremessos de uma moeda honesta versos proporc¸o˜es de coroas obtidas.
1Mais adiante vamos formalizar o conceito de independeˆncia.
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Figura 2: Proporc¸a˜o de resultados em 10, 100, 200 e 1000 arremessos de um dado.
2.3.3 Probabilidade geome´trica
Definic¸a˜o 2.6. Consideremos um experimento que consiste em escolher um ponto ao acaso em
uma regia˜o Ω ⊂ Rp. A definic¸a˜o geome´trica da probabilidade P (A) de um evento A ⊂ Ω e´
dada por
P (A) =
volume de A
volume de Ω
.
Obs: Naturalmente, em espac¸os unidimensionais (p = 1) o volume e´ substitu´ıdo por compri-
mento e em espac¸os bidimensionais (p = 2), por a´rea.
Exemplo 2.5. O jogo de franc-carreau foi estudado pela primeira vez em 1733 pelo natura-
lista e matema´tico franceˆs Georges-Louis Leclerc e e´ apresentado por Badize´ et al. (1996) como
uma proposic¸a˜o para introduc¸a˜o a`s probabilidades. O jogo consiste em lanc¸ar uma moeda em
um piso de azulejos de forma quadrada. Os jogadores enta˜o apostam se a moeda ira´ parar com-
pletamente sobre um u´nico azulejo, posic¸a˜o chamada “franc-carreau”, ou sobrepor algum trecho
do rejunte (junc¸a˜o dos azulejos). Em uma regia˜o com n azulejos de lado igual a b cent´ımetros,
qual e´ a probabilidade de uma moeda de raio r cent´ımetros parar em posic¸a˜o “franc-carreau”?
Soluc¸a˜o:
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 24 de 114
8 
 Estamos trabalhando com a hipótese didática de que a associação entre Cabri II e uma 
planilha eletrônica (no nosso estudo, Excel) pode ser à base da construção de um milieu 
a-didático muito rico para um aluno que se encontra em processo de resolução de problemas 
relativos à modelização de situações aleatórias simples apresentadas em um contexto 
geométrico. Podemos mesmo acrescentar as situações aleatórias apresentadas fora de um 
contexto geométrico mas que podem ser resolvidas como tal através de uma mudança de quadros. 
Atribuímos esta riqueza à possibilidade comparação entre o cálculo a priori de uma 
probabilidade (razão entre áreas) e a estimação do valor desta probabilidade através da análise 
das freqüências experimentais observadas. Mas esta riqueza pode ser atribuída também à 
manipulação direta dos parâmetros da simulação pelos alunos. 
 
A solução do problema proposto. 
Voltemos ao enunciado proposto aos alunos. O jogo é representado no nosso dispositivo 
informático pela experiência aleatória “posicionar um círculo, ao acaso, cujo centro 
encontra-se no interior do quadrado ABCD”. Consideramos como 
evento “sucesso” o resultado: “o disco está em posição 
Franc-Carreau”. O problema que o aluno deve resolver é de 
determinar uma Urna de Bernoulli que represente esse jogo, 
passando pela explicitação da urna de pixéis que simula este 
modelo. 
Existem duas técnicas de resolução possíveis que são 
acessíveis aos alunos do Ensino Fundamental: a resolução geométrica e a resolução 
experimental. Abordaremos primeiramente a resolução geométrica, que consiste em considerar 
a probabilidade como sendo a razão formada pelas áreas dos quadrados EFGH e ABCD, 
conforme figura ao lado. Neste tipo de resolução, o quadrado EFGH representa o conjunto de 
todas as posições possíveis de centro P que resultam no evento “sucesso”, enquanto que ABCD 
representa o conjunto formado por todas as posições possíveis desse ponto P. 
A resolução experimental consiste em animar o dispositivo de contagem N para iniciar 
a simulação informática, que deve fornecer uma série de resultados em número suficientemente 
grande para o estudo da freqüência relativa de sucessos assim obtidos. Esta simulação é feita 
graças ao uso de macro-construções do tipo “geometria lógica” que permitem a diferenciação 
entre os resultados obtidos em termos de sucesso ou fracasso. Na figura que foi proposta nesta 
atividade, utilizamos uma construção que fornece o valor “1” quando o resultado é do tipo 
“sucesso”, e uma célula vazia na tabela quando o resultado é do tipo “fracasso”. Estes resultados 
serão armazenados em uma tabela para, em seguida, serem transferidos para a planilha Excel, na 
qual será feita a contagem do número de pontos que se localizam dentro de EFGH assim como, 
o cálculo da freqüência relativa. 
b
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A B
D C
P
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Cada localizac¸a˜o poss´ıvel para a moeda pode ser caracterizada pelo seu ponto central. Na
figura acima, o quadrado de ve´rtices A, B, C e D ilustra um azulejo e a circunfereˆncia de centro
P e raio r ilustra a moeda. Repare que a moeda estara´ localizada completamente sobre o azulejo
(posic¸a˜o “franc-carreau”) se, e somente se, seu centro estiver no interior do quadrado de ve´rtices
E, F, G e H. Assim, usando a definic¸a˜o geome´trica, a probabilidade procurada e´
n(b− 2r)2
nb2
=
(b− 2r)2
b2
.
Para explorar um aplicativo deste jogo, acesse
http://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativos.
2.3.4 Probabilidade subjetiva
Definic¸a˜o 2.7. A definic¸a˜o subjetiva de probabilidade baseia-se em crenc¸as e/ou informac¸o˜es
do observador a respeito do fenoˆmeno em estudo.
Exemplo 2.6. Consideremos o evento A =“chove em Moscou”. Para algue´m em Minas Gerais
podemos ter a seguinte avaliac¸a˜o: P (A) = 0, 5. Para algue´m de Leningrado, podemos ter P (A) =
0, 8 se chove em Leningrado e P (A) = 0, 3 se na˜o chove em Leningrado. Para algue´m de Moscou,
P (A) = 1 se esta´ chovendo em Moscou e P (A) = 0 se na˜o esta´ chovendo em Moscou.
2.4 Teoria dos conjuntos: revisa˜o de conceitos
Definic¸a˜o 2.8. Os conjuntos da sequeˆncia (finita ou enumera´vel) A1, A2, ... sa˜o disjuntos 2 a 2,
se Ai ∩Aj = ∅, ∀i 6= j.
𝑨𝟏 𝑨𝟐 
𝑨𝟑 
𝑨𝟒 
𝑨𝟓 
𝜴 
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Definic¸a˜o 2.9. O conjunto das partes P(A) de um conjunto A e´ definido por
P(A) = {B|B ⊂ A}.
Exemplo 2.7. Se A = {3, 5, 7}, enta˜o
P(A) = {{3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}, ∅}.
2.5 Axiomas de probabilidadee espac¸o de probabilidade
Na˜o vamos nos preocupar, doravante, com o problema de como definir probabilidade para
cada experimento. Simplesmente, vamos admitir que as probabilidades esta˜o definidas em um
certo conjunto A 2 de eventos, chamados de eventos aleato´rios. Vamos supor que a todo A ∈ A
seja associado um nu´mero real P (A), chamado de probabilidade de A, de modo que os axiomas
a seguir sejam satisfeitos.
ˆ Axioma 1: P (A) ≥ 0, ∀A ∈ A .
ˆ Axioma 2: P (Ω) = 1.
ˆ Axioma 3: Se A1, A2, ... ∈ A sa˜o disjuntos 2 a 2, enta˜o
P
( ∞⋃
n=1
An
)
=
∞∑
n=1
P (An).
Definic¸a˜o 2.10. Um espac¸o de probabilidade e´ um trio (Ω,A , P ), onde
ˆ Ω e´ um conjunto na˜o vazio,
ˆ A e´ um conjunto de eventos aleato´rios e
ˆ P e´ uma probabilidade em A .
ww
w.
ufj
f.b
r/jo
aq
uim
_n
eto
2Geralmente usamos A = P(Ω). Para saber mais sobre condic¸o˜es que A deve satisfazer, consulte James
(1981).
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 26 de 114
2.6 Principais resultados
2.6.1 Probabilidade do vazio
Resultado 2.1. P (∅) = 0.
Prova: Temos que
P (Ω) = P (Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ...)⇒
P (Ω) = P (Ω) + P (∅) + P (∅) + ...⇒
0 = P (∅) + P (∅) + ...⇒
P (∅) = 0.
2.6.2 Probabilidade da unia˜o finita de eventos disjuntos 2 a 2
Resultado 2.2. Se A1, A2, ..., An ∈ A sa˜o eventos aleato´rios disjuntos 2 a 2 enta˜o
P
(
n⋃
i=1
Ai
)
=
n∑
i=1
P (Ai).
Prova: Fazendo Ai = ∅ ∀i ∈ {n+ 1, n+ 2, ...}, temos que
P
(
n⋃
i=1
Ai
)
= P
( ∞⋃
i=1
Ai
)
= (pelo axioma 3) =
=
∞∑
i=1
P (Ai) =
n∑
i=1
P (Ai) +
∞∑
i=n+1
P (Ai)
=
n∑
i=1
P (Ai) +
∞∑
i=n+1
P (∅) = (pelo resultado anterior) =
=
n∑
i=1
P (Ai) +
∞∑
i=n+1
0 =
n∑
i=1
P (Ai).
2.6.3 Probabilidade do evento complementar
Resultado 2.3.
P (Ac) = 1− P (A), ∀A ∈ A .
Prova: Temos que
Ω = A ∪Ac ⇒
⇒ P (Ω) = P (A ∪Ac)⇒ (aplicando os axiomas 2 e 3)⇒
⇒ 1 = P (A) + P (Ac)⇒
⇒ P (A) = 1− P (Ac).
2.6.4 Probabilidade de eventos aninhados
Resultado 2.4. ∀A,B ∈ A ,
A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B).
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Prova: Pelo axioma 1, temos que P (B ∩Ac) ≥ 0. Assim,
P (B ∩Ac) ≥ 0⇒
⇒ P (B ∩Ac) + P (A) ≥ P (A)⇒ (pelo axioma 3)⇒
⇒ P ((B ∩Ac) ∪A) ≥ P (A)⇒
⇒ P (B) ≥ P (A).
2.6.5 Probabilidade entre 0 e 1
Resultado 2.5.
0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ∈ A
Prova: Como A ⊂ Ω, aplicando o resultado 2.4, temos que
P (A) ≤ P (Ω)⇒ (pelo axioma 2)⇒ P (A) ≤ 1.
Ale´m disso, pelo axioma 1, P (A) ≥ 0. Logo 0 ≤ P (A) ≤ 1.
2.6.6 Probabilidade da subtrac¸a˜o
Resultado 2.6. ∀A,B ∈ A ,
P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B).
Prova: Temos que
(A ∩Bc) ∪ (A ∩B) = A⇒
⇒ P ((A ∩Bc) ∪ (A ∩B)) = P (A)⇒
⇒ P (A ∩Bc) + P (A ∩B) = P (A)⇒
⇒ P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B) .
Obs: Em alguns livros o evento A ∩ Bc e´ definido como A − B. Aqui na˜o adotamos esta
notac¸a˜o para evitar confuso˜es entre a subtrac¸a˜o de probabilidades e a subtrac¸a˜o de conjuntos.
2.6.7 Desigualdade de Boole
Resultado 2.7. Supondo que A1, A2, A3, ... sa˜o eventos aleato´rios,
P
( ∞⋃
i=1
Ai
)
≤
∞∑
i=1
P (Ai).
Prova: Consideremos a seguinte sequeˆncia de eventos
B1 = A1
B2 = A2 ∩Ac1
B3 = A3 ∩ (A1 ∪A2)c
...
Bi = Ai ∩ (A1 ∪ ... ∪Ai−1)c
...
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 28 de 114
Note que esta sequeˆncia e´ de eventos disjuntos 2 a 2. Ale´m disso, temos que Bi ⊂ Ai, o que
implica P (Bi) ≤ P (Ai). Deste modo, temos que
P
( ∞⋃
i=1
Ai
)
= P
( ∞⋃
i=1
Bi
)
= (pelo axioma 3) =
=
∞∑
i=1
P (Bi) ≤
∞∑
i=1
P (Ai)
Resultado 2.8. Supondo que A1, A2, ..., An sa˜o eventos aleato´rios, temos que
P
(
n⋃
i=1
Ai
)
≤
n∑
i=1
P (Ai),
Prova: Ana´loga a` prova do resultado anterior.
2.6.8 Probabilidade da unia˜o de 2 eventos
Resultado 2.9. Se A e B forem eventos quaisquer, enta˜o
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
A B 
P = + - 
A 
P 
A 
P 
A 
P 
B B B 
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eto
Prova:
P (A ∪B) = P ((A ∩Bc) ∪B)
= (repare que A ∩Bc e B sa˜o disjuntos) =
= P (A ∩Bc) + P (B)
= P (A)− P (A ∩B) + P (B).
2.6.9 Probabilidade da unia˜o de 3 eventos
Resultado 2.10. Se A, B e C forem eventos quaisquer, enta˜o
P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P (A ∩ C)− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C).
Prova:
P (A ∪B ∪ C) = (pelo resultado 2.9) = P (A ∪B) + P (C)− P ((A ∪B) ∩ C)
= (pelo resultado 2.9) =
= P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P ((A ∪B) ∩ C)
= P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= (pelo resultado 2.9) =
= P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)
− P (A ∩ C)− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C) .
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2.6.10 Probabilidade da unia˜o finita
Resultado 2.11. Supondo uma sequeˆncia A1, A2, ..., An de eventos aleato´rios, temos que
P (A1 ∪A2 ∪ ... ∪An) =
n∑
i=1
P (Ai)−
n∑
i<j=2
P (Ai ∩Aj)
+
n∑
i<j<r=3
P (Ai ∩Aj ∩Ar) + ...
+ (−1)n−1 P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) .
Prova: Por induc¸a˜o finita.
Obs: Os dois u´ltimos resultados sa˜o casos particulares deste resultado.
2.6.11 Outros resultados
Resultado 2.12. Sejam A,B ∈ A .
Se P (B) = 1 enta˜o P (A) = P (A ∩B).
Prova: Como B ⊂ (A ∪ B), pelo resultado 2.4, P (B) ≤ P (A ∪ B), o que implica 1 ≤
P (A ∪B) ≤ 1, ou seja, P (A ∪B) = 1. Pelo resultado 2.9, temos ainda que
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)⇒
⇒ 1 = P (A) + 1− P (A ∩B)⇒
⇒ P (A ∩B) = P (A).
2.7 Probabilidade condicional e principais teoremas
2.7.1 Probabilidade condicional
Definic¸a˜o 2.11. Seja (Ω,A , P ) um espac¸o de probabilidade. Se B ∈ A e P (B) > 0, a
probabilidade condicional de A ∈ A dado B e´ definida por
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
.
Obs:
ˆ Se P (B) = 0, P (A|B) pode ser arbitrariamente definida. Mas, por independeˆncia, e´
conveniente fazer P (A|B) = P (A), como veremos adiante.
ˆ Decorre da definic¸a˜o que P (A ∩ B) = P (B)P (A|B) e esta igualdade tambe´m e´ va´lida
quando P (B) = 0 (verifique!).
Exemplo 2.8. Suponhamos que uma fa´brica possui 310 ma´quinas de soldar. Algumas destas
ma´quinas sa˜o ele´tricas (E), enquanto outras sa˜o manuais (M). Por outro lado, temos tambe´m
que algumas sa˜o novas (N) e outras sa˜o usadas (U). A tabela abaixo informa o nu´mero de
ma´quinas de cada categoria.
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 30 de 114
Ele´tricas Manuais Totais
Novas 10 60 70
Usadas 200 40 240
Totais 210 100 310
a) Sabendo que uma determinada pec¸a foi soldada usando uma ma´quina nova, qual e´ a
probabilidade (cla´ssica) de ter sido soldada por uma ma´quina ele´trica?
b) Sabendo que uma determinada pec¸a foi soldada usando uma ma´quina ele´trica, qual e´ a
probabilidade (cla´ssica) de ter sido soldada por uma ma´quina nova?
Soluc¸a˜o:
a)
P (E | N) = P (E ∩N)
P (N)
=
#(E ∩N)
#N
=
10
70
= 0, 1428571.
b)
P (N | E) = P (N ∩ E)
P (E)
=
#(N ∩ E)
#E
=
10
210
= 0, 04761905.
Resultado 2.13. Uma probabilidade condicional dado um evento B qualquer e´ uma probabili-
dade.
Soluc¸a˜o:
Para mostrar que a probabilidade condicional e´ uma probabilidade, devemos verificar que
ˆ P (A | B) ≥ 0, ∀A ∈ A ,
ˆ P (Ω | B) = 1 e que
ˆ se A1, A2, ... ∈ A sa˜o disjuntos 2 a 2, enta˜o
P
( ∞⋃
i=1
Ai
∣∣∣∣∣B
)
=
∞∑
i=1
P (Ai|B).
Vamos verificar enta˜o as condic¸o˜es acima.
ˆ Como P (A | B) = P (A∩B)P (B) , com P (A ∩ B) ≥ 0 e P (B) > 0, temos que P (A | B) ≥ 0 e a
1ª condic¸a˜o foi satisfeita.
ˆ Temos tambe´m que P (Ω | B) = P (Ω∩B)P (B) = P (B)P (B) = 1 e a segunda condic¸a˜o foi satisfeita.
ˆ Por fim, temos
P
( ∞⋃
i=1
Ai
∣∣∣∣∣B
)
=
P
(( ∞⋃
i=1
Ai
)
∩B
)
P (B)
=
P
( ∞⋃
i=1
(Ai ∩B)
)
P (B)
= (pelo axioma 3) =
=
∞∑
i=1
P (Ai ∩B)
P (B)
=
∞∑
i=1
P (Ai ∩B)
P (B)
=
∞∑
i=1
P (Ai|B).Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 31 de 114
2.7.2 Teorema da multiplicac¸a˜o
Teorema 2.1 (teorema da multiplicac¸a˜o). Seja (Ω,A , P ) um espac¸o de probabilidade com
A1, A2, ..., An ∈ A . Enta˜o
P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) = P (An|A1 ∩ ... ∩An−1)
× P (An−1|A1 ∩ ... ∩An−2)
× ...×
× P (A2|A1)P (A1)
Prova: Por induc¸a˜o finita.
Obs: Especificamente, para n = 2, temos
P (A1 ∩A2) = P (A2 | A1)P (A1) = P (A1 | A2)P (A2).
2.7.3 Partic¸a˜o de um conjunto
Definic¸a˜o 2.12. Uma sequeˆncia A1, A2, ... finita ou enumera´vel de conjuntos e´ uma partic¸a˜o
de um conjunto A quando
ˆ for uma sequeˆncia de conjuntos disjuntos 2 a 2 e
ˆ
⋃
i
Ai = A.
𝑨𝟏 
𝑨𝟐 
𝑨𝟑 
𝑨𝟒 𝑨𝟓 
ww
w.
ufj
f.b
r/jo
aq
uim
_n
eto
2.7.4 Teorema da probabilidade total
Teorema 2.2 (teorema da probabilidade total). Seja (Ω,A , P ) um espac¸o de probabilidade.
Se a sequeˆncia (finita ou enumera´vel) A1, A2, ... ∈ A formar uma partic¸a˜o de Ω, enta˜o
P (B) =
∑
i
P (B|Ai)P (Ai).
𝑨𝟏 
𝑨𝟐 
𝑨𝟑 
𝑨𝟒 𝑨𝟓 
𝑩 
ww
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ufj
f.b
r/jo
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eto
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 32 de 114
Prova:
P (B) = P
(⋃
i
(B ∩Ai)
)
= (pelo axioma 3) =
=
∑
i
P (B ∩Ai) =
∑
i
P (B|Ai)P (Ai).
Exemplo 2.9. Uma empresa produz circuitos em treˆs fa´bricas, denotadas por I, II e III. A
fa´brica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As proba-
bilidades de que um circuito produzido por essas fa´bricas na˜o funcione sa˜o 0, 01, 0, 04 e 0, 03
respectivamente. Escolhido ao acaso um circuito da produc¸a˜o conjunta das treˆs fa´bricas, qual e´
a probabilidade do circuito na˜o funcionar?
Soluc¸a˜o: Consideremos os eventos
ˆ A1 =”o circuito foi produzido pela fa´brica I”,
ˆ A2 =”o circuito foi produzido pela fa´brica II”,
ˆ A3 =”o circuito foi produzido pela fa´brica III”e
ˆ B =”o circuito na˜o funciona”.
Primeiro repare que os conjuntos A1, A2 e A3 formam uma partic¸a˜o do espac¸o amostral.
Assim, aplicando o teorema da probabilidade total, temos que
P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + P (B|A3)P (A3)
= 0, 01× 0, 4 + 0, 04× 0, 3 + 0, 03× 0, 3 = 0, 025.
2.7.5 Teorema de Bayes
Teorema 2.3 (teorema de Bayes). Seja (Ω,A , P ) um espac¸o de probabilidade. Se a sequeˆncia
(finita ou enumera´vel) A1, A2, ...,∈ A formar uma partic¸a˜o de Ω, enta˜o
P (Ai|B) = P (B|Ai)P (Ai)∑
j
P (B|Aj)P (Aj) .
𝑨𝟏 
𝑨𝟐 
𝑨𝟑 
𝑨𝟒 𝑨𝟓 
𝑩 
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Prova:
P (Ai|B) = P (Ai ∩B)
P (B)
=
P (B|Ai)P (Ai)
P (B)
= (pelo teorema da probabilidade total) =
=
P (B|Ai)P (Ai)∑
j
P (B|Aj)P (Aj) .
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 33 de 114
Exemplo 2.10. Uma empresa produz circuitos em treˆs fa´bricas, denotadas por I, II e III.
A fa´brica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As
probabilidades de que um circuito produzido por essas fa´bricas na˜o funcione sa˜o 0, 01, 0, 04 e
0, 03 respectivamente. Um circuito e´ escolhido ao acaso da produc¸a˜o conjunta das treˆs fa´bricas.
Dado que o circuito escolhido na˜o funciona, qual e´ a probabilidade do circuito ter sido produzido
pela fa´brica I?
Soluc¸a˜o: Consideremos os eventos
ˆ A1 =”o circuito foi produzido pela fa´brica I”,
ˆ A2 =”o circuito foi produzido pela fa´brica II”,
ˆ A3 =”o circuito foi produzido pela fa´brica III”e
ˆ B =”o circuito na˜o funciona”.
Primeiro repare que os conjuntos A1, A2 e A3 formam uma partic¸a˜o do espac¸o amostral.
Assim, aplicando o teorema de Bayes, temos que
P (A1|B) = P (B|A1)P (A1)
P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + P (B|A3)P (A3)
=
0, 01× 0, 4
0, 025
= 0, 16
Exemplo 2.11. O problema de Monty Hall e´ um problema matema´tico que surgiu a partir
de um concurso televisivo dos Estados Unidos da Ame´rica chamado Let’s Make a Deal, exibido
na de´cada de 1970.
O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concor-
rentes, sabendo que atra´s de uma delas esta´ um carro (preˆmio bom) e que as outras teˆm preˆmios
de pouco valor.
1. Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta (que ainda na˜o e´ aberta).
2. Em seguida, Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente na˜o escolheu,
sabendo que o carro na˜o se encontra nela.
3. Agora, com duas portas apenas para escolher e sabendo que o carro esta´ atra´s de uma
delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no in´ıcio
do jogo ou se muda para a outra porta que ainda esta´ fechada.
Qual e´ a estrate´gia mais lo´gica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta?
Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Por
que?
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Para explorar jogos e aplicativos sobre o problema de Monty Hall, acesse
http://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativos.
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Para assistir a videos sobre o problema de Monty Hall, acesse
http://www.ufjf.br/joaquim_neto/videos.
Para obter um co´digo R que simula o problema de Monty Hall, acesse
http://www.ufjf.br/joaquim_neto/codigos.
Soluc¸a˜o: Consideremos os eventos
ˆ A1 = “Carro esta´ na primeira porta”,
ˆ A2 = “Carro esta´ na segunda porta”,
ˆ A3 = “Carro esta´ na terceira porta” e
ˆ B = “O apresentador abre a terceira porta”.
Naturalmente, iremos assumir P (B | A1) = 0, 5, P (B | A2) = 1 e P (B | A3) = 0. Assim,
pelo teorema da probabilidade total, temos
P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + P (B|A3)P (A3) =
=
1
2
· 1
3
+ 1 · 1
3
+ 0 · 1
3
=
1
2
= 0, 5
Agora, usando o teorema de Bayes, temos
P (A1 | B) = P (B | A1)P (A1)
P (B)
=
1
2 × 13
1
2
=
1
3
,
P (A2 | B) = P (B | A2)P (A2)
P (B)
=
1× 13
1
2
=
2
3
e
P (A3 | B) = P (B | A3)P (A3)
P (B)
=
0× 13
1
2
= 0.
Portanto, escolhendo trocar de porta a chance de ganhar o carro e´ maior.
2.7.6 Sensibilidade e especificidade
Suponhamos um exame me´dico qualquer com dois resultados poss´ıveis. Vamos assumir que
X = 1 quando o exame acusa a doenc¸a e que X = 0 caso contra´rio. Por outro lado, vamos usar
θ para indicar o verdadeiro estado do indiv´ıduo submetido ao exame, onde theta = 1 indica um
indiv´ıduo doente e θ = 0 indica um indiv´ıduo sauda´vel.
Definic¸a˜o 2.13. A sensibilidade e´ a probabilidade de um exame acusar a doenc¸a dado que o
indiv´ıduo possui a doenc¸a, ou seja,
P (X = 1 | θ = 1)
Definic¸a˜o 2.14. A especifidade e´ a probabilidade de na˜o acusar a doenc¸a dado que o indiv´ıduo
na˜o tem a doenc¸a.
P (X = 0 | θ = 0)
Os me´dicos apo´iam-se em exames laboratoriais para estabelecer diagno´sticos e sabem que,
para tal, quanto maiores forem estas duas medidas, melhor e´ o teste.
Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pa´gina 35 de 114
Exemplo 2.12. Uma pessoa vai ao me´dico reclamando de dores. O me´dico acredita que o
paciente pode ter uma determinada doenc¸a. Ele enta˜o examina o paciente cuidadosamente,
observa seus sintomas e assume subjetivamente que P (θ = 1) = 0, 6.
Para auxiliar o diagno´stico, ele prescreve um exame laboratorial. Vamos assumir que X = 1
quando o exame acusa a doenc¸a e X = 0 caso contra´rio. O exame fornece um resultado incerto
com as seguintes probabilidades
P (X = 0 | θ = 0) = 0, 90 (especificidade: exame na˜o acusar sem a doenc¸a) e
P (X = 1 | θ = 1) = 0, 95 (sensibilidade: exame acusar com a doenc¸a) e
.
Dado que o exame acusou a doenc¸a (X = 1), qual e´ a probabilidade do paciente ter a doenc¸a?
Soluc¸a˜o: Pelo teorema de Bayes, temos que
P (θ = 1 | X = 1) = P (X = 1 | θ = 1)P (θ = 1)
P (X = 1 | θ = 1)P (θ = 1) + P (X = 1 | θ = 0)P (θ = 0)
=
0, 95× 0, 6
0, 95× 0, 6 + 0, 1× 0, 4 = 0, 9344262.
Exemplo 2.13. Recomenda-seque, a partir dos 40 anos, as mulheres fac¸am mamografias anu-
ais. Nesta idade, aproximadamente uma em cada 100 mulheres sa˜o portadoras de um tumor
assintoma´tico de mama.
Seja θ uma quantidade desconhecida que indica se uma paciente desta faixa eta´ria tem a
doenc¸a ou na˜o. Se ela possui a doenc¸a enta˜o θ = 1, caso contra´rio θ = 0. Assim, podemos
assumir que
P (θ = 1) = 0, 01 e P (θ = 0) = 0, 99.
Sabe-se que a mamografia indica a doenc¸a em 80% das mulheres com caˆncer de mama, mas
esse mesmo resultado ocorre tambe´m com 9,6% das mulheres sem o caˆncer. Assim, seja X uma
varia´vel aleato´ria associada ao resultado da mamografia, de modo que se X = 1 o exame acusou
a doenc¸a e X = 0 caso contra´rio. Temos enta˜o que
P (X = 0 | θ = 0) = 0, 904 (especificidade: exame na˜o acusar sem a doenc¸a) e
P (X = 1 | θ = 1) = 0, 80 (sensibilidade: exame acusar com a doenc¸a).
Imagine agora que voceˆ encontra uma amiga de 40 e poucos anos aos prantos, desesperada,
porque fez uma mamografia de rotina e o exame acusou a doenc¸a. Qual a probabilidade de ela
ter um caˆncer de mama?
Soluc¸a˜o: Temos que
P (θ = 1 | X = 1) = P (X = 1 | θ = 1)P (θ = 1)
P (X = 1 | θ = 1)P (θ = 1) + P (X = 1 | θ = 0)P (θ = 0)
=
0, 80× 0, 01
0, 80× 0, 01 + 0, 096× 0, 99 = 0, 07763975
Logo, a probabilidade dela ter a doenc¸a e´ de aproximadamente 7,8%.
Obs: Ao apresentar este problema a va´rias pessoas, inclusive estudantes de medicina, observa-
se uma tendeˆncia a superestimar a probabilidade a posteriori da doenc¸a. Isto revela que o racioc´ı-
nio bayesiano na˜o e´ intuitivo. Parece haver uma tendeˆncia geral a ignorar o fato de que a probabi-
lidade a priori de doenc¸a e´ pequena, fenoˆmeno denominado “fala´cia da probabilidade de base”
pelo psico´logo norte-americano (de origem israelense) Daniel Kahneman, premiado com o No-
bel de Economia em 2002 por estudos sobre o comportamento de investidores. Num sentido
espec´ıfico: “as pessoas na˜o sa˜o racionais”.
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2.8 Independeˆncia
Definic¸a˜o 2.15 (independeˆncia entre dois eventos). Dois eventos aleato´rios A e B sa˜o
independentes quando
P (A ∩B) = P (A)P (B).
Obs: Se os eventos A e B sa˜o independentes, enta˜o
P (A | B) = P (A) e P (B | A) = P (B).
Assim, se dois eventos forem independentes, a ocorreˆncia de um deles na˜o afeta a probabilidade
de ocorreˆncia do outro.
Exemplo 2.14. Consideremos novamente o experimento que consiste em escolher um ponto
aleatoriamente no c´ırculo de raio unita´rio (centrado na origem do sistema cartesiano de coor-
denadas). Sejam A um evento formado pelos pontos que esta˜o a menos de meia unidade de
distaˆncia da origem e B um evento formado pelos pontos que possuem primeira coordenada
maior que a segunda. Mostre que os eventos A e B sa˜o independentes.
Soluc¸a˜o: Como
P (A ∩B) = 1
8
e P (A)P (B) =
1
4
1
2
=
1
8
,
temos que P (A ∩B) = P (A)P (B) e, consequentemente, os eventos sa˜o independentes.
Agora, vejamos dois modos de definir independeˆncia para 2 ou mais eventos: a independeˆncia
2 a 2 e a independeˆncia mu´tua.
Definic¸a˜o 2.16 (independeˆncia 2 a 2). Seja {Ai : i ∈ I} uma colec¸a˜o de eventos aleato´rios in-
dexada por um conjunto (de ı´ndices) I. Os eventos desta colec¸a˜o sa˜o ditos independentes 2 a 2
se
P (Ai ∩Aj) = P (Ai)P (Aj) ∀i, j ∈ I tais que i 6= j.
Definic¸a˜o 2.17 (independeˆncia mu´tua). Seja B = {Ai : i ∈ I} uma colec¸a˜o de eventos
aleato´rios indexada por um conjunto (de ı´ndices) I. Os eventos desta colec¸a˜o sa˜o (mutuamente)
independentes se, para toda subfamı´lia finita {Ai1 , Ai2 , ..., Ain} de eventos em B, tivermos
P (Ai1 ∩Ai2 ∩ ... ∩Ain) = P (Ai1)P (Ai2)...P (Ain)
As duas definic¸o˜es de independeˆncia formuladas acima sa˜o parecidas, pore´m na˜o sa˜o equiva-
lentes. O resultado a seguir estabelece que uma colec¸a˜o de eventos (mutuamente) independentes
e´ necessariamente uma colec¸a˜o de eventos independentes 2 a 2. Pore´m, a rec´ıproca na˜o e´ verda-
deira, conforme veremos no exemplo 2.15.
Resultado 2.14. Qualquer colec¸a˜o B de eventos aleato´rios (mutuamente) independentes e´ uma
colec¸a˜o de eventos independentes 2 a 2.
Prova: Como B e´ uma colec¸a˜o de eventos (mutuamente) independentes, para toda subfamı´lia
finita {Ai1 , Ai2 , ..., Ain} de eventos em B, temos que
P (Ai1 ∩Ai2 ∩ ... ∩Ain) = P (Ai1)P (Ai2)...P (Ain).
Em particular, para todas as subfamı´lias {Ai, Aj} com i 6= j, temos que
P (Ai ∩Aj) = P (Ai)P (Aj).
Logo, B e´ uma colec¸a˜o de eventos independentes 2 a 2.
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Exemplo 2.15. Suponhamos um experimento que consiste em jogar dois dados. Considere os
eventos:
ˆ A = {o primeiro dado mostra um nu´mero par},
ˆ B = {o segundo dado mostra um nu´mero ı´mpar},
ˆ C = {ambos os dados mostram nu´meros ı´mpares ou ambos mostram nu´meros pares}.
a) Os eventos acima sa˜o independentes 2 a 2?
b) Os eventos acima sa˜o mutuamente independentes?
Soluc¸a˜o:
a) Para mostrar que os eventos sa˜o independentes 2 a 2, devemos verificar se
P (A ∩B) = P (A)P (B), P (A ∩ C) = P (A)P (C) e P (B ∩ C) = P (B)P (C).
Primeiro, note que
ˆ P (A) = 3×66×6 = 0, 5,
ˆ P (B) = 6×36×6 = 0, 5,
ˆ P (C) = 3×36×6 +
3×3
6×6 = 0, 5,
ˆ P (A ∩B) = 3×36×6 = 0, 25,
ˆ P (A ∩ C) = 3×36×6 = 0, 25 e
ˆ P (B ∩ C) = 3×36×6 = 0, 25.
Consequentemente,
ˆ P (A ∩B) = 0, 25 = 0, 5× 0, 5 = P (A)P (B),
ˆ P (A ∩ C) = 0, 25 = 0, 5× 0, 5 = P (A)P (C) e
ˆ P (B ∩ C) = 0, 25 = 0, 5× 0, 5 = P (B)P (C).
Logo os eventos sa˜o independentes 2 a 2.
b) Para mostrar que os eventos sa˜o (mutuamente) independentes, devemos verificar se
ˆ P (A ∩B) = P (A)P (B),
ˆ P (A ∩ C) = P (A)P (C),
ˆ P (B ∩ C) = P (B)P (C) e
ˆ P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
No item (a), verificamos que as 3 primeiras condic¸o˜es sa˜o verdadeiras e, portanto, falta
apenas avaliar se P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C). Pelo item (a), temos ainda que P (A) =
P (B) = P (C) = 0, 5 e, consequentemente, P (A)P (B)P (C) = 0, 53 = 0, 125. Por outro lado,
A ∩B ∩ C = ∅ e, consequentemente, P (A ∩B ∩ C) = P (∅) = 0. Assim,
P (A ∩B ∩ C) = P (∅) = 0 6= 0, 125 = P (A)P (B)P (C).
Logo, os eventos na˜o sa˜o mutuamente independentes.
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Resultado 2.15. Se A e B forem acontecimentos independentes, tambe´m o sera˜o
a) A e Bc,
b) Ac e B e
c) Ac e Bc.
Soluc¸a˜o:
a)
P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B) = P (A)− P (A)P (B) = P (A)(1− P (B)) = P (A)P (Bc).
b)
P (Ac ∩B) = P (B)− P (A ∩B) = P (B)− P (A)P (B) = P (B)(1− P (A)) = P (B)P (Ac).
c)
P (Ac ∩Bc) = P ((A ∪B)c) = 1− P (A ∪B)
= (pelo resultado 2.9) = 1− (P (A) + P (B)− P (A ∩B))
= 1− P (A)− P (B) + P (A)P (B)
= (colocando − P (B) em evideˆncia) =
= 1− P (A)− P (B) (1− P (A))
= (colocando 1− P (A) em evideˆncia) =
= (1− P (A)) (1− P (B)) = P (Ac)P (Bc) .
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2.9 Exerc´ıcios
2.9.1 Descritores
DescritorDescriçãoPalavra chave
D2.1Definir o espaço amostral de um experimento.Espaço amostral
D2.2Usar a definição clássica para calcular probabilidades.Definição clássica
D2.3Usar a definição geométrica para calcular probabilidades.Definição Geométrica
D2.4Identificar uma sequência de eventos disjuntos 2 a 2.Eventos disjuntos 2 a 2
D2.5
Calcular probabilidades usando teoria dos conjuntos, axiomas, 
resultados e teoremas não relacionados ao conceito de 
probabilidade condicional.
Axiomas, resultados e teoremas
D2.6
Usar a definição de probabilidade condicional para calcular 
probabilidades.
Probabilidade condicional
D2.7Usar o Teorema da Multiplicação para calcular probabilidades.Teorema da Multiplicação
D2.8
Usar o Teorema da Probabilidade Total para calcular 
probabilidades.
Teorema da Probabilidade Total
D2.9Usar o Teorema de Bayespara calcular probabilidades.Teorema