Prova Final UFES Calculo I 2014.2

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[UFES-CCE-DMAT-Prova FINAL-Ca´lculo1-Equipe-manha˜, 17/12/14]
Leia a prova com atenc¸a˜o e justifique todas as respostas.
1. (2,0) Os gra´ficos da derivada e da derivada segunda de uma func¸a˜o f so˜ respectivamente:
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os extremos de f . O que podemos
afirmar sobre o comportamento assinto´tico de f? Encontre os intervalos onde f e´ coˆncava para
cima e os intervalos onde f e´ coˆncava para baixo e os ponto de inflexa˜o.
Sol.: Pelo gra´fico da derivada temos que f ′(x) > 0 se x > 3 e f ′(x) ≤ 0 se ≤ 3. Logo, f e´
crescente em (3,∞) e decrescente (−∞, 3). Podemos afirmar que f assume o mı´nimo global
x = 3. Podemos afirmar que f no˜ possui ass´ıntatos verticais, pois f ′ tem domı´nio em R. f no˜
possui ass´ıntotas horizontais pois e´ crescente se x > 3 e cresce com concavidade sempre para
cima. Ale´m disso e´ decrescente para x < 3 e decresce sempre com concavidade para cima. f e´
cnˆcava para baixo em (0, 2) e cnˆcava para cima em (−∞, 0) e em (2,∞). Logo, x = 0 e x = 2
sa˜o pontos de inflexa˜o de f .
2. (1,0) Mostre que a func¸a˜o f(x) = x101+x51+x+1 na˜o tem nem ma´ximos nem mı´nimos locais.
Sol.: Como f ′(x) = 101x100 + 51x50 + 1 > 0 para todo x ∈ R. Logo f e´ sempre crescente e
na˜o pode possuir extremos, pois neste caso ter´ıamos derivada zero neste ponto.
3. (2,0) Um cocho tem 6 m de comprimento, e suas extremidades teˆm a forma de semi-circunfereˆncias
com 2 m de diaˆmetro. Se o cocho e´ preenchido com a´gua a uma taxa de 1 m3/min, qua˜o ra´pido
o n´ıvel da a´gua estara´ subindo quando ela estiver a 0, 4 m de profundidade?
Sol.: O volume de a´gua quando a profundidade for h sera´ V = 3(arccos(1 − h) − (1 −
h)(
√
2h− h2). Pela regra da cadeia, dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
. Logo,
1 = 3
[
1√
1− (1− h)2 +
√
2h− h2 − (1− h) 1− h√
2h− h2
]
h=0,4
dh
dt
. Portanto
dh
dt
=
5
24
m/min.
1
4. (2,0) Calcule a integral
∫ pi/2
0
|sen(x) − cos(2x)|dx e interprete-a como a´rea de uma regia˜o.
Esboce a regia˜o.
Sol.: sen(x) = cos(2x), x ∈ [0, pi/2] enta˜o x = pi/6. Logo,
∫ pi/2
0
|sen(x) − cos(2x)|dx =∫ pi/6
0
cos(2x)− sen(x)dx+
∫ pi/2
pi/6
sen(x)− cos(2x)dx = 3
√
3− 2
2
.
5. (3,0) Calcule
(a) lim
x→1+
(
x
x− 1 −
1
lnx
)
Sol.: Usaremos L’Hospital.
lim
x→1+
(
x
x− 1 −
1
lnx
)
= lim
x→1+
x lnx− x+ 1
(x− 1) lnx
L′H
= lim
x→1+
lnx
lnx+ x−1
x
= lim
x→1+
x lnx
x lnx+ x− 1
L′H
=
1
2
.
(b)
d
dx
(
cosh(3x)
tan(x)e−x
)
Sol.:
d
dx
(
cosh(3x)
tan(x)e−x
)
=
d
dx
(
cosh(3x)ex
tan(x)
)
=
=
(3senh(3x)ex + ex cosh(x)) tan(x)− sec2(x) cosh(3x)ex
tan2(x)
.
(c)
∫
x sen(3x) cos(3x)dx
Sol.:
∫
x sen(3x) cos(3x)dx =
∫
x sen(6x)
2
dx. Fazendo u = x e dv = sen(6x), temos
du = dx e v = −cos(6x)
6
. Logo,
1
2
∫
x sen(6x)dx = −x cos(6x)
12
−
∫
−cos(6x)
12
dx =
−x cos(6x)
12
+
sen(6x)
72
+ C.
2