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Estado duplo de tensões (no plano)
Tudo junto:
Resolução dos exercícios - Lista P2c
1. Determine s1, s2  e tmáx e seus respectivos planos de atuação no ponto A da seção
transversal no engastamento. Represente no Círculo de Mohr.
1) No engastamento:
2) A = 20*40 – 16*36 = 224 cm2
    Am = 18*38 = 684 cm2
    Iy = (20*403 / 12) – (16*363 / 12) = 44459 cm4
    M = 20*10*15 – 16*8*14 = 1208 cm3
3)
 
    |tt| = |T / 2*e*Am| = |5000 / 2*2*684| = 1.83 kN/cm2
    p|tv| = |v*m / b*I| = |120*1208 / (2+2)*44459| = 0.82 kN/cm2
    t = 1.01 kN/cm2
4)
 
    s  = (-100 / 224) + (24.000 / 44459)*z
    s (z=10) = 4.95 kN/cm2
5)
     PV (4.95;-1.01);      PH (0; 1.01)
6) Centro: sm = (so* + so) / 2
    so = 0
7) s1 = (so* + so)/ 2 + {[(so* - so) / 2]2 + to2}1/2   Þ  s1 = 5.15
    s2 = -0.19
8) Tg a1 = (s1 - so*) / to Þ a1 = 11.2o
    Tg a2 = (s2 - so*) / to Þ a2 = -78.9o
2. Conhecidas as tensões no ponto K das vigas das figuras A e B pedem-se:
a) as tensões principais e as direções dos planos correspondentes no ponto K (círculo de
Mohr e representação dos elementos sob tensões principais).
b) o valor da força P e da distância, indicados na figura.
Figura A
a)
1)
2)
3) s1 = (so* + s o) / 2 + {[(so* - so) / 2]2 + to2}1/2   Þ  s1 = 7.92
    s2 = -2.02
4) tmáx = R = {[(so* - so) / 2]2 + t o2}1/2  Þ  tmáx = 4.97 kN/cm2
             ou
     R = (s1 - s2) / 2
5) Tg a1 = (s1 - so*) / to Þ a1 = -26.8o
    Tg a2 = (s2 - so*) / to Þ a2 = 63.2o
6) Esforços solicitantes na seção que contém K
b)
1) Iy = (12 * 203)/12 – (10 * 163)/12   Þ  Iy= 4587 cm4
    s = (P*d / 4587)*z
    s (z=6) = (P*d / 4587)*6 = so* = 5,9   Þ   P*d = 4510
2) m = 4*12*8 – 2*10*7  Þ  m = 244
    tv = (m*V) / (b*I) = (244*P) / [(1+1)*4587] = to* = 4  Þ  P = 150 kN
    P*d = 4510  Þ  d = 30 cm
Figura B
a)
1) so = 0;   so* = -6,5 kN/cm2;   to = -5,2 kN/cm2;   to* = +5,2 kN/cm2
2)
3) s1 = (so* + s o) / 2 + {[(so* - so) / 2]2 + to2}1/2  Þ  s1 = 2,88 kN/cm2
    s2 = -9,38 kN/cm2
    sm = (so* + s o) / 2  Þ  sm = -3,25 kN/cm2
4) tmáx = R = {[(so* - so) / 2]2 + t o2}1/2  Þ  tmáx = 6,13 kN/cm2
5) Tg a1 = (s 1 - so*) / to Þ a1 = -61o
    Tg a2 = (s2 - so*) / to Þ a2 = 29o
6) Esforços solicitantes na seção que contém K
b)
1) Iy = [(18 * 23) / 12 + (92 * (18 * 2))] + [(1 * 163) / 12] + [(18 * 23) / 12 + (92 * (18 * 2))]  Þ  Iy = 6197
cm4
    s = (P*d / 6197)*z
3. Conhecidas as tensões no ponto K indicadas na figura, pedem-se:
a) as tensões principais e as direções dos planos correspondentes no ponto K (círculo de
Mohr)
b) os esforços solicitantes na seção transversal do ponto K
c) os valores de q e F das forças aplicadas na viga.
a)
1) so = 0;   so* = -12 kN/cm2;   to = -8 kN/cm2;   to* = +8 kN/cm2
    PV = (-12,8);   PH = (0,-8)
2)
3) s1 = (so* + s o) / 2 + {[(so* - so) / 2]2 + to2}1/2   Þ  s1 = 4 kN/cm2
    s2 = -16 kN/cm2
    sm = (so* + s o) / 2   Þ  sm = -6 kN/cm2
4) tmáx = R = {[(so* - so) / 2]2 + t o2}1/2   Þ  tmáx = 6,13 kN/cm2
5) Tg a1 = (s 1 - so*) / to   Þ  a1 = -63,5o
b) Esforços solicitantes na seção que contém K
c)
1)
    Iy = (6 * 203)/12  Þ  Iy = 4000 cm4
    Iz = (20 * 63)/12  Þ  Iz = 360 cm4
    s = [(40*F / 360)*y] + [(800*q / 4000)*z] = (F/9)*y + (q / 5) * z
    yk = -3;   zk = 0
    sk = (F / 9) * (-3) + (q / 5) * (0)   Þ  sk = -F / 3
    sk = -12  Þ  -F / 3 = -12   Þ  F = 36 kN
2)
    m = A*d = (6 * 10) * 5  Þ  m = 300
    tv = (V * m) / (b * Iz) = [(40 * q) * (300)] / (6 * 4000)  Þ  tv = q / 2
    tv = 8  Þ  q /2 = 8   Þ  q = 16 kN/m