Aula - V.A. e Distribuição de Probabilidades 02.pdf

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA 
Mendonça Júnior, A. F. 
 
 
 
 
Mossoró – RN 
18 de outubro de 2013 
Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidades 
• Variável aleatória 
• Variável aleatória discreta e contínua 
• Distribuições de probabilidade 
• Funções de distribuição 
• Esperança de função de uma variável 
• Variância de uma variável aleatória 
 VOCABULÁRIO BÁSICO DA ESTATÍSTICA 
• VARIÁVEL 
Uma variável corresponde a uma característica de um item ou de 
um indivíduo 
 
• POPULAÇÃO 
Uma população consiste em todos os itens ou indivíduos em 
relação aos quais você deseja tirar uma conclusão 
 
• AMOSTRA 
Uma amostra corresponde à parcela da população selecionada para 
análise 
 Vocabulário básico da estatística 
• ESPAÇO AMOSTRAL 
Conjunto de possibilidades, ou seja, os possíveis resultados 
associados a um experimento aleatório. 
 
• EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
Qualquer processo que venha a gerar um resultado incerto ou 
casual. 
 
• EVENTO 
Qualquer subconjunto de um espaço amostral. 
 Vocabulário básico da estatística 
• EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
Qualquer processo que venha a gerar um resultado incerto ou 
casual. 
 
 Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as 
mesmas condições (n) 
 
 Não se conhece a priori o resultado do experimento, mas 
podem-se descrever todos os possíveis resultados 
 
 Quando o experimento for repetido um grande número de 
vezes, surgirá uma regularidade do resultado, isto é, haverá uma 
estabilidade da fração (f = r/n) 
 Entendendo um Experimento Aleatório 
• EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
Uma situação, para exemplificarmos este fato, está associada à 
seguinte pergunta: 
 
 Meu vendedor poderá cumprir sua meta de venda na 
semana que vem? 
 
 Espaço amostral (S ou Ω): Nesta situação será atinge a meta 
e não atinge a meta. 
 Entendendo um Experimento Aleatório 
 PROBABILIDADES 
 
Espaço amostral = tudo que pode ocorrer 
Evento = o que quer que ocorra 
 
P = O QUE QUER QUE OCORRA 
 TUDO QUE PODE OCORRER 
 
 
 Entendendo um Experimento Aleatório 
 PROBABILIDADES 
 
 Evento Impossível 
P = 0 / n = 0 = 0% 
 
 Evento Certo 
P = n / n = 1 = 100% 
 
 Consequência: 0 < P < 1 
 0% < P < 100% 
 
 Entendendo um Experimento Aleatório 
 PROBABILIDADES 
 
IMPORTANTÍSSIMO: 
E: MULTIPLICA 
Ou: SOMA 
 
 
 Entendendo um Experimento Aleatório 
 Arremessa-se um dado comum e observa-se a face voltada 
para cima. Qual a probabilidade do valor obtido ser: 
 
a) Um número maior que 6? 
b) Um número menor ou igual a 6? 
c) Um número par? 
d) Um número ímpar? 
e) Um número primo? 
f) Um número par ou um número ímpar? 
g) Um número par ou um número primo? 
 
 
 EXEMPLOS 
 No arremesso de dois dados comuns, qual a probabilidade 
de obtermos nas duas faces voltadas para cima valores 
múltiplos de 3? 
 
 
 No arremesso de dois dados comuns, qual a probabilidade de 
obtermos nas duas faces voltadas para cima valores cuja soma 
seja igual a 10? 
 
 
 No arremesso de uma moeda viciada, a probabilidade de se 
obter cara é igual ao dobro da probabilidade de se obter 
coroa. Qual a probabilidade de se obter cada um dos casos? 
 
 EXEMPLOS 
Considere a seguinte situação: 
 Um casal deseja ter três filhos e pretende saber qual a 
probabilidade de nascerem no mínimo dois meninos, sendo 
que a probabilidade de ser menino ou de ser menina tem o 
mesmo valor. 
ÁRVORE DE POSSIBILIDADES 
 Num sorteio com os números de 1 a 25, a probabilidade de 
ser sorteado um número múltiplo de 3 é: 
 
 Em uma pesquisa de marketing foram entrevistadas duas mil 
pessoas, que opinaram sobre duas embalagens de um 
produto que seria lançado no mercado consumidor. O 
resultado foi o seguinte: 1.200 pessoas preferiram a primeira 
embalagem, 500 preferiram a segunda e 300 não gostaram de 
nenhuma delas. Escolhida uma pessoa ao acaso, qual é a 
probabilidade estimada de ela gostar da primeira 
embalagem? 
EXERCÍCIOS 
 Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, 
determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara 
na moeda. 
EXERCÍCIOS 
• EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
 A incerteza sempre está presente, o que quer dizer 
que, se estes experimentos forem repetidos em 
idênticas condições, não se pode determinar qual o 
resultado ocorrerá. 
 
 
 
 
 Entendendo um Experimento Aleatório 
 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 Variáveis Aleatórias 
DEFINIÇÕES 
 
• É uma função que associa cada elemento de um espaço 
amostral a um número real 
 
• É uma função com valores numéricos, cujo valor é 
determinado por fatores de chance 
 
• É uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende 
de fatores aleatórios 
 
• É uma função que atribui um valor numérico a cada 
resultado individual de uma experiência aleatória 
 
Regra que atribui um valor numérico a cada possível 
resultado de um experimento 
Figura 1. Mapeamento de eventos em números reais 
 Variáveis Aleatórias 
 Variáveis Aleatórias 
A FUNÇÃO VARIÁVEL ALEATÓRIA (V.A.) 
 
Seja X um valor numérico, cujo valor depende do resultado do 
experimento. Se X associa um resultado a um número, então X é uma 
função cujo domínio é o conjunto de resultados e cuja imagem é o 
conjunto dos números reais. Essa função X é conhecida pelo nome de 
Variável Aleatória. 
 
 
 Desta forma, pode-se escrever os resultados de um 
experimento aleatório através de números, ao invés de palavras 
ou símbolos, possibilitando um tratamento matemático 
facilitado. Em outras palavras, a variável aleatória traduz o 
resultado do experimento em números reais. 
S 
atributo 
qualitativa 
quantitativa 
discreta 
contínua 
Definição: variável aleatória é a função que associa 
cada elemento de S a um número real. 
 v.a. 
 Variáveis Aleatórias 
 Variáveis Aleatórias 
s 
S 
X (s) 
X 
Rx 
 Variáveis Aleatórias 
s1 s2 s3 s4 s5 s6 
x1 x2 x3 x4 
S 
KK 
KC 
CK 
CC 
X: número de caras em 2 lances de moeda 
0 1 2 
X(CC) = 0 
X(KC) = X(CK) = 1 
X(KK) = 2 
P(X = 0) = P(CC) 
P(X = 1) = P(KC  CK) 
P(X = 2) = P(KK) 
X(S) (imagem) 
Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado 
(K = cara e C = coroa) 
 Variáveis Aleatórias 
 TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 Tipos de Variáveis Aleatórias 
• São classificadas conforme a natureza do conjunto de valores 
reais que elas podem assumir 
 
 
 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
 
Assume um número finito ou infinito “numerável” de valores 
numéricos. Quando os valores podem ser listados. 
 
 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 
 
Assume um valor dado por uma medida em uma escala contínua, 
isto é, todos os valores possíveis em um intervalo real. Quando os 
valores não podem ser listados. 
x Discreta Contínua 
A distinção entre variáveis aleatórias discretas e 
contínuas é importante porque a utilização de 
diferentes modelos (DISTRIBUIÇÕES) de probabilidade 
depende do tipo de variável aleatória considerado 
 Tipos de Variáveis Aleatórias 
Definição: uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for 
finito ou infinito numerável. 
P(X = xi)  0 para todo i 
( ) 1i
i
P X x 
Função de Probabilidade 
( ) ( )f x P X x 
 Tipos de Variáveis Aleatórias 
Exemplos: 
 
a) jogar um dado 
 X: ponto obtido no dado 
 X ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 X: = 1 se ponto for igual a 6 
 X: = 0 caso contrário 
 X = {0, 1} 
 
b) jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes) 
 X: número de caras em 5 lances 
 X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
c) jogar uma moeda até tirar uma cara 
 X: número de jogadas até tirar uma cara (incluindo-se a cara) 
 X = {1, 2, 3, ...} 
 X: número de coroas até tirar uma cara 
 X = {0, 1, 2, ...} 
 
d) sortear 5 pontos em um mapa pedológico 
 X: número de pontos correspondentes à classe Argissolo 
 X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 Tipos de Variáveis Aleatórias 
Definição: uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores 
possíveis (imagem) for inumerável. 
Se o conjunto imagem é inumerável, não há sentido em falar de valores específicos 
e portanto: P(X = x) = 0 
Função Densidade de Probabilidade (fdp) 
Qual a probabilidade de se escolher uma pessoa qualquer com 
1,7567234309... metros de altura? P(a < X < b)  0 
x 
f(x) 
a b 
( )P a X b 
 Tipos de Variáveis Aleatórias 
Problema: Define-se uma variável X como o número de caras em 6 lances de 
moeda. Qual a probabilidade de se obter mais que 4 caras nesses 
6 lances? 
 
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
P(X > 4) = P(X = 5) + P(X = 6) 
 
P(X = 5) = P(KKKKKC  KKKKCK  KKKCKK  KKCKKK  KCKKKK  CKKKKK) 
 = 6/64 
 
P(X = 6) = P(KKKKKK) 
 = 1/64 
 
P(X > 4) = 7/64 
 Tipos de Variáveis Aleatórias 
 RESUMO - Variável Aleatória 
 RESUMO - Exemplo 
 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
DEFINIÇÕES 
 
• É uma função que relaciona os valores possíveis de 
uma V.A. com as respectivas probabilidades de 
ocorrência 
 
 
• É uma correspondência que associa probabilidades 
aos valores de uma V.A. 
 
 
• Mostra a proporção das vezes em que a V.A. tende 
a assumir cada um dos diversos valores 
 
 Distribuições de Probabilidade 
 Distribuições de Probabilidade 
TROCANDO EM MIÚDOS 
 
 
A distribuição de probabilidade, ou modelo 
probabilístico, indica, para uma variável 
aleatória, quais são os resultados que podem 
ocorrer e qual é a probabilidade de cada 
resultado acontecer. 
 Distribuições de Probabilidade 
EXEMPLOS 
 
• Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. 
Construir a distribuição de probabilidades para a V.A. 
número de caras. 
 
 
Resultados Possíveis Probabilidades 
0 0,5 
1 0,5 
Total 1 
QUAIS 
RESULTADOS 
QUAL 
PROBABILIDADE 
 Distribuições de Probabilidade 
EXEMPLOS 
 
• Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. 
Construir a distribuição de probabilidades para a V.A. 
número de caras. 
 
 
 
0,50 0,50 
 Distribuições de Probabilidade 
EXEMPLOS 
 
• Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, 
construir a distribuição de probabilidades para a V.A. 
número de caras. 
 
 
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 
 
• A probabilidade de que dois eventos independentes 
ocorram é igual à multiplicação das probabilidades 
individuais. 
 
P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B) 
 
 Distribuições de Probabilidade 
EXEMPLOS 
 
• Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, 
construir a distribuição de probabilidades para a V.A. 
número de caras. 
 
 
Resultados 
Possíveis 
Resultados 
Numéricos 
Probabilidades 
CC 0 0,5 x 0,5 = 0,25 
CK 1 0,5 x 0,5 = 0,25 
KC 1 0,5 x 0,5 = 0,25 
KK 2 0,5 x 0,5 = 0,25 
Total 1 
 Distribuições de Probabilidade 
EXEMPLOS 
1o Lançamento 
K 
2o Lançamento 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
P(x) = 0,25 
C 
0,5 
0,5 
K 
C 
K 
C 
P(x) = 0,25 
P(x) = 0,25 
P(x) = 0,25 
Resultados Possíveis Probabilidades 
0 0,25 
1 0,5 
2 0,25 
Total 1 
 Distribuições de Probabilidade 
EXEMPLOS 
 
• Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, 
construir a distribuição de probabilidades para a V.A. 
número de caras. 
 
 
 Distribuições de Probabilidade 
EXEMPLOS 
 
• Um lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo 
de defeito. Construir a distribuição de probabilidades 
para a V.A. número de itens com defeito dentre 2 
sorteados aleatoriamente. 
 
REGRA DA ADIÇÃO 
 
• A probabilidade de que um entre dois eventos 
mutuamente excludentes ocorra é igual à soma das 
probabilidades individuais. 
 
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) 
 
AXIOMAS 
 
• Como os valores das distribuições de probabilidades 
são probabilidades, e como as V.A. devem tomar um de 
seus valores, temos as duas regras a seguir que se 
aplicam a qualquer distribuição de probabilidades: 
 
 
1. A soma de todos os valores de uma distribuição de 
probabilidades deve ser igual a 1 
∑ P(x) = 1 Onde x toma todos os valores possíveis 
 
2. A probabilidade de ocorrência de um evento deve ser 
0 ≤ P(x) ≤ 1 Para todo x 
 Distribuições de Probabilidade 
 x ∈ A 
 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 Variável Aleatória Discreta 
VALOR ESPERADO 
 
 
• O valor esperado, ou esperança, ou média, de 
uma distribuição de probabilidades 
corresponde à média dos resultados da variável 
aleatória quando o número de observações for 
muito grande. 
 Variável Aleatória Discreta 
VALOR ESPERADO 
X P(x) 
x1 p1 
x2 p2 
. . . . . . 
xn pn 
Total 1 
E(x) = µx = ∑ (xi . pi) 
 Variável Aleatória Discreta 
VARIÂNCIA 
X P(x) 
x1 p1 
x2 p2 
. . . . . . 
xn pn 
Total 1 
Var(x) = x = ∑ pi(xi - µx)2 
EXEMPLOS 
 
 
• Um grande lote de peças possui 60% dos 
itens com algum tipo de defeito. Construir a 
distribuição de probabilidades para a V.A. 
número esperado de itens com defeito 
dentre 3 sorteados aleatoriamente e o 
desvio padrão. 
 Variável Aleatória Discreta 
Res. Possíveis Res. Numéricos Probabilidades 
BBB 0 0,064 
BBD 1 0,096 
BDB 1 0,096 
DBB 1 0,096 
BDD 2 0,144 
DBD 2 0,144 
DDB 2 0,144 
DDD 3 0,216 
Total 1 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Discreta 
Itens com defeito (X = xi) Probabilidades (P (X = xi) ) 
O 0,064 
1 0,288 
2 0,432 
3 0,216 
Total 1 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Discreta 
E(x) = µx = ∑ (xi . pi) = 1,8 itens 
Itens com defeito (X = xi) Probabilidades (P (X = xi) ) 
O 0,064 
1 0,288 
2 0,432 
3 0,216 
Total 1 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Discreta 
Var(x) = x = ∑ pi(xi - µx)2 = 0,8485 item 
 Variável Aleatória Discreta 
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 
 
 
• A probabilidade de que dois eventos não 
independentes ocorram é igual à multiplicação 
das probabilidades individuais. 
 
 
P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B / A) 
 
 
Probabilidade do evento B ocorrer dado que o 
evento A tenha ocorrido 
EXEMPLOS 
 
 
• Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. 
Se forem retiradas duas peças do lote, qual é 
a probabilidade de serem retiradas: 
 
 
a) Duas peças boas? 
 
b) Duas peças defeituosas? 
 Variável Aleatória Discreta 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Discreta 
P(B) = 16 / 20 
B: Peça Boa 
D: Peça Defeituosa 
P(D) = 4 / 20 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Discreta 
Se a primeira peça for: 
 
Boa Defeituosa 
P(B/B) = 15 / 19 
P(B/D) = 4 / 19 
P(D/B) = 16 / 19 
P(D/D) = 3 / 19 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Discreta 
Se ambas as peças forem: 
 
Boa Defeituosa 
P(B/B) = 16/20 x 15/19 = 0,6316 
P(D/D) = 4/20 x 3/19 = 0,0316 
 Variável Aleatória Discreta 
REGRA DA ADIÇÃO 
 
 
• A probabilidade de que pelo menos um entre 
dois eventos não excludentes ocorra é igual a: 
 
 
P(Aou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
 
EXEMPLOS 
 
 
• A 3M Construções constrói 01 (um) 
condomínio quando acha que há 
probabilidade de pelo menos 40% de vender 
todos os apartamentos no 1º ano. Constrói 02 
(dois), aos quais atribui as probabilidades de 
40% e 50%. Qual é a probabilidade de que 
pelo menos 01 (um) condomínio seja vendido 
em sua totalidade? 
 Variável Aleatória Discreta 
EXEMPLOS 
 
 
P(A) = 0,4 
 
P(B) = 0,5 
 
P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2 
 
P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7 
 Variável Aleatória Discreta 
Resultados Possíveis (A/B) Probabilidades 
Vende / Não Vende 0,2 
Vende / Vende 0,2 
Não Vende / Vende 0,3 
Não Vende / Não Vende 0,3 
Total 1 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Discreta 
 Variável Aleatória Discreta 
EXEMPLOS 
 
• Um comerciante espera vender um automóvel até 
sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-
feira é de 50%. Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira 
é de 10%, na quinta-feira e na sexta-feira de 5%. Seu 
lucro é de 3.000 u.m. se vender na segunda-feira é 
diminui 40% a cada dia. Calcule o valor esperado de 
lucro deste negociante nesta venda. 
 
 
 
 
 Variável Aleatória Discreta 
EXEMPLOS 
 
• A tabela a seguir apresenta dados relativos à 
distribuição de sexo e alfabetização em habitantes do 
RN com idade entre 20 e 24 anos. 
 
Sexo 
Alfabetizado 
 
Total 
Sim Não 
Masc. 39.577 8.672 48.249 
Fem. 46.304 7.297 56.601 
Total 85.881 15.969 101.850 
Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso 
: 101.850 jovens com idade entre 20 e 24 anos 
Definimos os eventos: 
 
M: jovem sorteado é do sexo masculino 
F: jovem sorteado é do sexo feminino 
S: jovem sorteado é alfabetizado 
N: jovem sorteado não é alfabetizado 
 Variável Aleatória Discreta 
EXEMPLOS 
Temos: 
0,157 
101.850 
15.969 
 = P(N) = 0,843 
101.850 
85.881 
 = P(S) = 
0,526 
101.850 
56.601 
= P(F) = 0,474 
101.850 
48.249 
 = P(M) = 
 Variável Aleatória Discreta 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Discreta 
EXEMPLOS 
 
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido 
ser alfabetizado e ser do sexo masculino? 
 
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido 
ser alfabetizado ou ser do sexo masculino? 
 
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido 
ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo 
masculino? 
 
 Variável Aleatória Discreta 
RESUMO 
 
• A função que associa probabilidades aos possíveis 
valores de uma V.A.D. X, é chamada de função de 
probabilidade discreta e é representada por: 
 
p(x) = P(X = x), x ∈ A 
 
PROPRIEDADES 
0 ≤ p(x) ≤ 1 
 
∑ p(x) = 1 
 x ∈ A 
 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
 Variável Aleatória Contínua 
DEFINIÇÃO 
 
• Uma variável aleatória é considerada contínua quando 
pode tomar qualquer valor de determinado intervalo 
 
• Variáveis aleatórias contínuas têm um número infinito 
de valores possíveis (Medição) 
 
 Tempo gasto no deslocamento de uma pessoa desde a 
sua residência até seu local de trabalho 
 
 Perda de peso experimentada por uma pessoa submetida 
a uma dieta alimentar. 
 
 
 Variável Aleatória Contínua 
PROPRIEDADES 
 
• Para V.A. contínua não faz sentido estabelecer um par 
entre xi e p(xi) 
 
• A probabilidade de ocorrer um xi específico é 0 (zero) 
 
• A distribuição de probabilidades é denominada função 
densidade de probabilidade (f.d.p.) que é uma função 
não negativa 
 
• A probabilidade de ocorrer valores entre a e b é 
definida pela área sob a curva entre os valores a e b. 
 
a b 
f(X) 
A probabilidade de qualquer valor individual é zero 
P(a ≤ X ≤ b) 
 Variável Aleatória Contínua 
EXEMPLOS 
 
• Verifique que f(x) = x/8 pode ser a densidade de 
probabilidade de uma variável aleatória definida sobre 
o intervalo de x = 0 à x = 4 
 Variável Aleatória Contínua 
0,5 
 
 
 
0,25 
 
 
 
0 
0 1 2 3 4 
f(x) 
x 
A primeira regra é 
atendida pois x/8 é 
não-negativo (positivo 
ou nulo) para qualquer 
valor no intervalo de 0 
a 4 
 
EXEMPLOS 
 
• Verifique que f(x) = x/8 pode ser a densidade de 
probabilidade de uma variável aleatória definida sobre 
o intervalo de x = 0 à x = 4 
 Variável Aleatória Contínua 
0,5 
 
 
 
0,25 
 
 
 
0 
0 1 2 3 4 
f(x) 
x 
A segunda regra é 
também verificada 
pois a área do 
triângulo pode ser 
calculada como (b x h) 
/ 2 = (4 x ½) / 2 = 1 
 
 
EXEMPLOS 
 
• Qual a probabilidade de uma variável aleatória com 
essa densidade de probabilidade tomar um valor 
menor do que 2? 
 Variável Aleatória Contínua 
0,5 
 
 
0,25 
 
 
0 
0 1 2 3 4 
f(x) 
x 
A probabilidade é dada 
pela área do triângulo 
sombreado na figura 
abaixo que abrange os 
valores da v.a. 
menores do que 2 
 
 
A área será (2 x ¼)/2 = 
1/4 
 
 
EXEMPLOS 
 
• Um jogo de azar é realizado da seguinte 
forma: toma-se um círculo e divide-o em 
duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do 
círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado 
e anota-se o número do setor onde a ponta 
do ponteiro parou. 
 Variável Aleatória Contínua 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Contínua 
Construir a distribuição 
de probabilidades para 
o número obtido neste 
experimento 
1 2 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Contínua 
X = xi P (X = xi) 
1 0,5 
2 0,5 
Total 1 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Contínua 
0,50 0,50 
EXEMPLOS 
 
 
• Considerar a mesma situação, só que o 
círculo é dividido em quatro partes iguais. 
Construir a distribuição de probabilidades 
para o número obtido neste experimento. 
 Variável Aleatória Contínua 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Contínua 
Construir a distribuição 
de probabilidades para 
o número obtido neste 
experimento 
1 2 
4 3 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Contínua 
X = xi P (X = xi) 
1 0,25 
2 0,25 
3 0,25 
4 0,25 
Total 1 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Contínua 
0,25 0,25 0,25 0,25 
DÚVIDA 
 
 
 
Qual é o número máximo de setores que se consegue 
em um círculo 
 
 
 
 
 
INFINITOS 
 Variável Aleatória Contínua 
? 
DÚVIDA 
 
Como ficaria o histograma 
 
 
 
 
 
 Variável Aleatória Contínua 
1 ∞ 
1 
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE 
 
• A função densidade de probabilidade está 
relacionada com a probabilidade da variável 
aleatória contínua assumir algum resultado 
possível. 
 Variável Aleatória Contínua 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 
f(x) 
 Variável Aleatória Contínua 
CARACTERÍSTICAS 
 
• O estudo de uma variável aleatória contínua é 
análogo ao das variáveis discretas. 
 
• A distribuição de probabilidades indica, para uma 
variável aleatória, quais são os resultados que 
podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada 
resultado acontecer. 
 Variável Aleatória Contínua 
CARACTERÍSTICAS 
 
• A área sob a função densidade é 1. 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 
f(x) 
1 ou 100% 
 Variável Aleatória Contínua 
CARACTERÍSTICAS 
 
• A probabilidade da variável aleatória assumir um 
valor determinado é zero, pois existem infinitos 
resultados possíveis. 
 
• As probabilidades sempre se referem a intervalos 
de valores. 
 Variável Aleatória Contínua 
CARACTERÍSTICAS 
xi 
f(x) 
X 
P (X = xi) = 0 
CARACTERÍSTICAS 
 
• A probabilidade da variável aleatória assumir um valor 
em um intervalo é igual à área sob a função densidadenaquele intervalo. 
 Variável Aleatória Contínua 
f(x) 
X 
P (a ≤ x ≤ b) 
ʃ f (x) dx = F(b) – F(a) 
a 
b 
EXEMPLOS 
 
• Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o 
qual é girado e anota-se o ângulo formado pelo 
ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir. 
 Variável Aleatória Contínua 
 
Definir a f.d.p. para 
o ângulo (α) obtido 
neste experimento. 
EXEMPLOS 
0o 
f(x) 
 Variável Aleatória Contínua 
1 
360o 
1/360 
X 
Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 
30o e 60o? 
EXEMPLOS 
 Variável Aleatória Contínua 
0o 
f(x) 
P(30o < X < 60o) 
360o 
1/360 
X 
30o 60
o
 
Área = 60 - 30 / 360 - 0 
Área = 1 / 12 = 0,08333 
mendoncajr@ufersa.edu.br 
Obrigado