apostila_curso_inverno_2012_fisica_v3

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CURSO DE INVERNO DE
INTRODUC¸A˜O A` FI´SICA I
AGOSTO/2012
Esta versa˜o da apostila encontra-se sob revisa˜o.
Pro´-Reitoria de Po´s-Graduac¸a˜o/UFSC
Pro´-Reitoria de Ensino de Graduac¸a˜o/UFSC
Projeto REUNI - Reestruturac¸a˜o e Expansa˜o das Universidades Federais
Programa de Po´s Graduac¸a˜o em F´ısica/UFSC
Apostila elaborada por:
Ariel Werle (Mestrando em F´ısica)
Bruno Pavani Bertolino (Doutorando em F´ısica)
Germano Scmann Bortolotto (Mestrando em F´ısica)
Rodrigo Sergio Tiedt (Mestrando em F´ısica)
Victor Alexandre Veit Schmachtenberg (Doutorando em F´ısica)
Coordenac¸a˜o:
Rafael Heleno Campos (Mestrando em F´ısica)
Supervisa˜o:
Prof. Dr. Marcelo Henrique Romano Tragtenberg
(Programa de Po´s Graduac¸a˜o em F´ısica da UFSC)
Revisor final:
Prof. Dr. Oswaldo de Medeiros Ritter
(Programa de Po´s Graduac¸a˜o em F´ısica da UFSC)
Cronograma do curso e ministrantes:
30/07/2012 - Cinema´tica unidimensional (Germano Scmann Bortolotto)
31/07/2012 - Vetores (Bruno Pavani Bertolino)
01/08/2012 - Cinema´tica bidimensional (Rodrigo Sergio Tiedt)
02/08/2012 - Leis de Newton (Ariel Werle)
03/08/2012 - Aplicac¸a˜o das leis de Newton (Victor Alexandre Veit
Schmachtenberg)
Versa˜o atual: v3.
I´ndice
1 Movimento em Uma Dimensa˜o 6
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Grandezas, Unidades e Simbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Grandezas Fundamentais e Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Grandezas Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Cinema´tica Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Deslocamento e Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Velocidade Instantaˆnea e Velocidade Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9 Movimento Unidimensional com Acelerac¸a˜o Constante . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Corpos em Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Vetores 22
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Representac¸a˜o de um
Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Operac¸o˜es de Adic¸a˜o e
Subtrac¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Multiplicac¸a˜o de um Vetor por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Produto Escalar de
Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3
I´NDICE 4
2.7 Componentes de um
Vetor em 2 Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Vetores em
3 Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de
Vetores na Forma de
Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10 Produtos de Vetores na Forma de Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Movimento em Duas Dimenso˜es 30
3.1 Movimento em Duas
Dimenso˜es com Acelerac¸a˜o Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Movimento de Proje´teis em Duas Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Movimento Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Movimento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3 Alcance Horzontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.4 Altura Ma´xima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Movimento Circular
Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Acelerac¸a˜o Tangencial e Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Leis de Newton 36
4.1 Um Pouco de Histo´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Referenciais, Repouso e Forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 1a lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 2a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Tipos de forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 A 3a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
I´NDICE 5
5 Aplicac¸o˜es das Leis de Newton 47
5.1 Forc¸a de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Movimento Circular
Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Forc¸as de Arraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Respostas dos Exerc´ıcios 60
7 Refereˆncias Bibliogra´ficas 62
Cap´ıtulo 1
Movimento em Uma Dimensa˜o
1.1 Introduc¸a˜o
Utilizamos uma infinidade de palavras f´ısicas
que sa˜o cotidianamente conhecidas pelas pes-
soas, por exemplo: velocidade, forc¸a, energia,
luz, calor, som e muitas outras. Se entrarmos
em um campo mais profissional iremos nos de-
parar com tecnicismos tais como: luminotec-
nia, ressonaˆncia, reataˆncia, ondas moduladas,
etc., que sa˜o utilizados e a`s vezes intuitiva-
mente compreendidos por diferentes pessoas
nos mais diferentes campos profissionais. Das
mais elevadas posic¸o˜es intelectuais; me´dicos,
bio´logos, geo´logos, filo´sofos, historiadores, geo´-
grafos, engenheiros, etc., ate´ o mais humilde
trabalhador, todos, absolutamente todos eles
sem excec¸a˜o, precisam em algum momento da
f´ısica para compreender algo que esta´ aconte-
cendo.
A palavra F´ısica procede do termo grego ϕνσιζ ,
que significa natureza. Podemos dizer que a
F´ısica e´ um ramo da Filosofia Natural que es-
tuda as propriedades ba´sicas do Universo e,
portanto, e´ regida pelos inaltera´veis princ´ıpios
que a natureza impo˜e.
A F´ısica tenta dar resposta aos fenoˆmenos da
natureza, fenoˆmenos dia´rios, que observamos a
todo instante. Ela da´ ao homem que com ela
trabalha um esp´ırito de observac¸a˜o, obrigando-
o a perguntar-se o por queˆ? de certas mu-
danc¸as que seu meio apresenta.
1.2 Grandezas, Unidades e
Simbolos
Nosso conhecimento e´ satisfato´rio quando po-
demos expressa´-lo atrave´s de nu´meros. (Lord
Kelvin)
Apesar da beleza matema´tica de algumas de
suas teorias mais complexas e abstratas, in-
cluindo as part´ıculas elementares e a relativi-
dade geral, a f´ısica e´ acima de tudo uma cieˆncia
experimental. Portanto e´ de vital importaˆncia
que os dados de quem realiza medidas ta˜o pre-
cisas estejam de acordo com certos padro˜es,
para que seja poss´ıvel comunicar os resultados
destas medidasde um laborato´rio a outro sem
ambiguidades.
Definiremos alguns termos u´teis para este pro-
cesso:
GRANDEZA e´ tudo aquilo suscet´ıvel de me-
dida. Exemplos: O comprimento, a massa, o
tempo, sa˜o grandezas, ja´ que podemos medi-
los.
MEDIR e´ comparar duas grandezas da mes-
ma espe´cie, uma das quais toma-se como UNI-
DADE. Exemplo: Se A e B sa˜o grandezas da
mesma espe´cie, e toma-se A como unidade, o
nu´mero de unidades A que sa˜o necessa´rias para
fazer uma grandeza igual a B, expressa a me-
dida de B.
6
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 7
QUANTIDADE DE UMA GRANDEZA
e´ o nu´mero de unidades que equivale aquela
grandeza. Exemplo: O tempo e´ uma grandeza;
sete anos e´ uma quantidade.
UNIDADE e´ uma quantidade arbitra´ria que
adota-se para comparar com ela quantidades
de sua mesma espe´cie. Na escolha de uma uni-
dade influi a extensa˜o da quantidade a medir.
Exemplos: Para fazer a medida da distaˆncia
da Terra ate´ uma estrela distante, escolhe-se
o ano-luz ; para a distaˆncia entre duas cidades
o quiloˆmetro; no comprimento de um oˆnibus
o metro; na medida da espessura de um filme
o mil´ımetro e para a medida do comprimento
de uma onda de luz o Angstrom (A˚). Na˜o e´
necessa´rio que sejam sempre estas as unida-
des empregadas; podemos tomar como unidade
qualquer quantidade arbitra´ria que nos con-
vier: se chamamos A de uma quantidade (su-
perf´ıcie na Figura 1.1), a quantidade B equi-
vale a 4A; assim podemos medir B adotando
A como unidade.
Figura 1.1: A medida de B e´ 4 vezes A.
1.3 Grandezas Fundamen-
tais e Suplementares
Sa˜o GRANDEZAS FUNDAMENTAIS aque-
las cujas unidades escolhemos arbitrariamente
como base do sistema de unidades e na˜o pos-
suem uma equac¸a˜o que as defina. Sendo os
fenoˆmenos f´ısicos realizados no espac¸o durante
o transcorrer do tempo; a natureza nos impo˜e,
assim duas grandezas fundamentais: o COM-
PRIMENTO (L) e o TEMPO (t), sem uma
definic¸a˜o precisa, e cuja existeˆncia conhecemos
desde o momento em que nossas vidas se ini-
ciam. No ramo da F´ısica chamado mecaˆnica, e´
preciso uma terceira grandeza fundamental de-
finida por nossa pro´pria intuic¸a˜o que, com as
duas anteriores nos permita definir de um jeito
coerente as novas grandezas que surgem nos
fenoˆmenos mecaˆnicos; tal grandeza escolhe-se
arbitrariamente: na F´ısica teo´rica usa-se a MAS-
SA (M) e na te´cnica a FORC¸A (F ). E como
grandezas suplementares temos o AˆNGULO
(rad) e o AˆNGULO SO´LIDO (sr).
Figura 1.2: Unidades fundamentais no SI.
Figura 1.3: Fator, prefixo e s´ımbolo.
De acordo com o Sistema Internacional de Uni-
dades (SI) as unidades mais ba´sicas em que po-
demos expressar os resultados de uma medida
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 8
sa˜o as mostradas na Figura 1.2 e os prefixos de
quantidade que facilitam a expressa˜o de quan-
tidades muito pequenas ou muito grandes de-
pendendo do fator de escala em poteˆncias de
10 sa˜o mostrados na Figura 1.3 .
1.4 Grandezas Derivadas
Uma grandeza e´ DERIVADA quando e´ defi-
nida empregando-se outras grandezas simples
ou fundamentais. Exemplo: ao dizer que um
carro tem uma velocidade de 60 quiloˆmetros
por hora, batiza-se uma quantidade que cor-
responde a uma grandeza derivada ou com-
posta, ja´ que na sua determinac¸a˜o precisa-se da
medida de um comprimento (informac¸a˜o for-
necida pelos odoˆmetros dos carros) e de um
tempo (informac¸a˜o fornecida pelo uso de um
cronoˆmetro). A velocidade, portanto, e´ uma
grandeza derivada.
Realiza-se uma MEDIDA INDIRETA quando
mede-se uma quantidade com relac¸a˜o a outras
que sera˜o relacionadas com aquelas por meio
de uma fo´rmula matema´tica. A determinac¸a˜o
de uma grandeza derivada exige: a) Sua de-
finic¸a˜o correta, clara e concisa. b) Estabele-
cer uma fo´rmula matema´tica que abarque to-
das as ide´ias expressas na definic¸a˜o. c) Fixar
unidades de medida. Uma vez compreendida e
aprendida a definic¸a˜o de uma grandeza f´ısica,
iremos expressa´-la atrave´s de uma fo´rmula. A
FO´RMULA e´, na F´ısica, a expressa˜o de uma
ideia.
Exemplo 1.1: Um carro percorreu 180 km em
3 horas. Quantos quiloˆmetros tera´ percorrido
em uma hora?
Soluc¸a˜o: Ummenino pensaria da seguinte for-
ma: 180 km/3 horas = 60 km percorridos em
uma hora; o quociente de dois nu´meros concre-
tos indica a variac¸a˜o da grandeza do numera-
dor, entre cada uma das unidades do denomi-
nador. Assim, compreende-se, que quando se
define velocidade me´dia como o espac¸o me´dio
percorrido por unidade de tempo, e chama-se s
ao espac¸o ou caminho percorrido e t ao tempo
empregado em percorreˆ-lo, formula-se sem du-
vidar:
velocidade me´dia =
espac¸o
tempo
⇐⇒ v¯ = s
t
(1.1)
Exerc´ıcio Proposto: Tendo em conta a equi-
valeˆncia entre unidades fundamentais, deter-
minar os fatores de conversa˜o de: a) km/h a
milhas/h. b) lb/ft3 a g/cm3. c) m/s a jd/h.
1.5 Cinema´tica Unidimen-
sional
Amecaˆnica e´ o mais antigo dos ramos da f´ısica,
baseando-se no estudo do movimento dos ob-
jetos. O ca´lculo das trajeto´rias de uma bola
de beisebol, um sate´lite de telecomunicac¸o˜es,
uma espac¸onave enviada para Marte, sa˜o al-
gum dos problemas dos quais ocupa-se, assim
como a ana´lise da trajeto´ria das part´ıculas fun-
damentais que formam-se nas coliso˜es nos mai-
ores aceleradores do mundo como o LHC.
A cinema´tica (do grego kinema, que significa
movimento) e´ a parte da Mecaˆnica que se ocupa
da descric¸a˜o do movimento sem se preocupar
com as suas causas.
Para simplificar, iniciaremos o estudo do mo-
vimento ao longo de uma direc¸a˜o do espac¸o,
enta˜o designamos este estudo de cinema´tica
unidimensional.
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 9
1.6 Deslocamento e Veloci-
dade
O movimento de uma part´ıcula e´ completa-
mente conhecido se a posic¸a˜o dela no espac¸o
e´ conhecida em qualquer instante de tempo.
Consideremos o movimento de um carro no
eixo x, Figura 1.4, no instante de tempo t = 0
ele esta´ localizado a 30 m do sinal de traˆnsito.
Comec¸a-se a fazer medic¸o˜es em intervalos re-
gulares de tempo ∆t = 10 s e os resultados sa˜o
os mostrado na tabela da Figura 1.5 , onde no
primeiro intervalo de tempo o carro mudou de
posic¸a˜o, de A© para B©.
Figura 1.4: Movimento do carro.
O valor da posic¸a˜o comec¸a a decrescer desde a
posic¸a˜o B© ate´ F©, e na posic¸a˜o D© sua posic¸a˜o e´
zero. O gra´fico, Figura 1.6 , mostra a variac¸a˜o
da posic¸a˜o do carro com respeito ao tempo.
A curva foi suavizada para facilitar a compre-
ensa˜o do leitor.
Agora mudando de evento, se uma part´ıcula
encontra-se em movimento, pode-se determi-
nar facilmente a mudanc¸a de sua posic¸a˜o. O
deslocamento de uma part´ıcula e´ defi-
nido como uma mudanc¸a em sua posic¸a˜o.
Movendo-se da posic¸a˜o inicial xi ate´ uma posic¸a˜o
final x, esta mudanc¸a sera´ representada pela
letra grega ∆. Portanto o deslocamento da
Figura 1.5: Tabela de dados.
Figura 1.6: Gra´fico de posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo.
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 10
part´ıcula e´ escrito como,
∆x ≡ x− x0. (1.2)
De acordo com esta definic¸a˜o x tem que ser
maior que x0 para obtermos um resultado po-
sitivo, do contra´rio o deslocamento sera´ negati-
vo. E´ comum confundir os termos deslocamen-
to e distaˆncia percorrida. Imagine uma pessoa
que sai de sua casa no bairro Trindade para a
aula de F´ısica na UFSC, mas ela tem que pas-
sar primeiro pelo Comper, pelo Banco do Bra-
sil, para fazer um depo´sito para sua ma˜e, de-
pois passar pela xerox perto do CTC e ao final
ir ao CFM para a aula. A distaˆncia percorrida
por ela e´ aquelatoda descrita anteriormente,
embora o deslocamento e´ somente a diferenc¸a
entre o ponto final (aula de F´ısica no CFM) e
o ponto inicial (casa na Trindade). Para ten-
tar esboc¸ar isto um pouco melhor a Figura 1.7
mostra a ideia basica entre os dois conceitos.
Figura 1.7: Diferenc¸a entre deslocamento e distaˆncia
percorrida.
O deslocamento e´ um bom exemplo de uma
grandeza vetorial. Muitas outras quantidades
f´ısicas, como a velocidade e a acelerac¸a˜o, sa˜o
exemplos de grandezas vetoriais. Em geral,
um vetor e´ uma grandeza f´ısica que pre-
cisa da especificac¸a˜o da direc¸a˜o e do mo´dulo.
Ao contra´rio, um escalar e´ uma quanti-
dade que tem mo´dulo mas na˜o direc¸a˜o.
Voltando a` ana´lise do movimento do carro, e´ de
vital importaˆncia fazer uma descric¸a˜o do des-
locamento do carro no transcorrer do tempo,
para cada intervalo mensurado (∆t), esta raza˜o
tem um nome muito especial, e´ chamada de
velocidade me´dia. A velocidade me´dia v¯x
de uma part´ıcula e´ definida como o des-
locamento ∆x dividido pelo intervalo de
tempo ∆t no qual o deslocamento acon-
teceu:
v¯x ≡ ∆x
∆t
(1.3)
Desta definic¸a˜o observa-se que a velocidade tem
as dimenso˜es de (L/t) metros por segundo no
SI. A velocidade pode ser um valor positivo ou
negativo, tudo vai depender se o deslocamento
vai para a frente ou para atra´s, mas o intervalo
de tempo ∆t sempre sera´ uma quantidade posi-
tiva. Deve-se ressaltar que a velocidade me´dia
e´ uma grandeza vetorial, mas como o caso ana-
lisado ate´ agora e´ unidimensional a direc¸a˜o do
vetor e´ definida atrave´s do s´ımbolo (+ ou -),
dependendo o caso.
Em nosso dia a dia, utiliza-se a expressa˜o ra-
pidez para dizer de modo comparativo que um
carro e´ mais rapido que outro, significando as-
sim que um viaja a uma velocidade maior que
o outro, mas na˜o devemos nos confundir ja´
que os dois termos apresentam ambiguidades
em nosso jarga˜o cotidiano. Define-se, a velo-
cidade escalar me´dia de uma part´ıcula
como uma quantidade escalar, que e´ a
distaˆncia percorrida por ela no intervalo
total de tempo:
velocidade escalar me´dia =
distaˆncia total
tempo total
(1.4)
A unidade que apresenta a velocidade escalar
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 11
me´dia no SI e´ metros por segundo, igual a velo-
cidade me´dia, sendo a diferenc¸a fundamental e´
que esta u´ltima e´ uma grandeza vetorial e a ve-
locidade escalar e´ um escalar. O conhecimento
da velocidade escalar me´dia na˜o e´ informac¸a˜o
suficente para saber o que aconteceu detalha-
damente com o movimento de uma part´ıcula.
Exemplo 1.2: Ache o deslocamento, veloci-
dade me´dia e velocidade escalar me´dia do carro
que foi descrito anteriormente entre as posic¸o˜es
A© e F©.
Soluc¸a˜o: A unidade dos deslocamentos e´ o
metro, e o resultado nume´rico deve ser da mes-
ma ordem de grandeza que foram os dados for-
necidos. Sendo assim, as informac¸o˜es finais e
iniciais sa˜o: x = −53 m a t = 50 s, x0 = 30 m
a t0 = 0 s. Portanto,
∆x = xF −xA = (−53 m)− (30 m) = −83 m
(1.5)
Este resultado significa que o carro percorre
uma distaˆncia de 83 metros na direc¸a˜o negativa
desde o ponto inicial. Por outro lado e´ dif´ıcil
fazer uma boa estimativa da velocidade me´dia
sem um bom ca´lculo,
v¯x =
∆x
∆t
=
x− x0
t− t0 =
xF − xA
tF − tA
=
−(53 m)− 30 m
50 s− 0 s =
−83 m
50 s
= −1, 7 m/s .
(1.6)
Obte´m-se que a velocidade escalar me´dia do
carro no percurso todo e´ a soma das distaˆncias
percorridas dividida pelo tempo total:
=
22 m+ 52 m+ 53 m
50 s
= 2, 5 m/s (1.7)
1.7 Velocidade Instantaˆnea
e Velocidade Escalar
Frequentemente e´ preciso conhecer a veloci-
dade de uma part´ıcula em um determinado ins-
tante de tempo t, sem nos importarmos com
o fato de que o intervalo de tempo e´ na ver-
dade finito. Por exemplo, embora calculemos
facilmente a velocidade me´dia durante a via-
gem de um carro, o maior interesse esta´ em
conhecer instantaneamente sua velocidade, do
mesmo modo que a pol´ıcia faz com os medido-
res de velocidade postos nas principais estradas
das cidades. Isto nos leva a crer que o intervalo
de variac¸a˜o ou ∆t e´ cada vez mais curto ate´ ser
quase zero. Sendo assim que forma temos para
analisar a velocidade de um corpo se o tempo
encontra-se fixo? A resposta a esta pergunta
controversia esta´ relacionada diretamente com
o ca´lculo diferencial, o qual nos ajudara´ a ob-
ter uma descric¸a˜o instantaˆnea do movimento
dos corpos em qualquer tempo desejado.
Figura 1.8: a) Representa o movimento do carro.
Para saber como este processo pode ser reali-
zado, vamos considerar as Figuras 1.8 e 1.9,
onde foi discutido a velocidade me´dia no in-
tervalo composto pela posic¸a˜o A© ate´ B©. Fa-
zendo B© cada vez mais pro´ximo de A©, qual
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 12
Figura 1.9: b) O processo feito para obter a veloci-
dade inicial do carro.
daquelas linhas representa a velocidade inicial
do carro? Sendo que o carro parte com um mo-
vimento para a direita, portanto inicialmente
a velocidade deve ser um valor positivo no in-
tervalo A© ate´ B©, mas avaliando a velocidade
me´dia entre A© ate´ F© com certeza a velocidade
tera´ um valor negativo. A´ı vale ressaltar que
a ideia principal desta discuc¸a˜o e´ fazer o inter-
valo temporal de medida o menor poss´ıvel ate´
obtermos uma reta que corte a func¸a˜o num so´
ponto. Esta reta e´ chamada de reta tangente a`
curva e sua inclinac¸a˜o e´ a variac¸a˜o da posic¸a˜o
no tempo instantaneamente. Aqui vamos de-
finir o conceito de velocidade instantaˆntea
vx, que e´ igual ao valor limite da raza˜o
∆x/∆t quando ∆t e´ muito pro´ximo de
zero.
vx ≡ lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(1.8)
Seja o u´ltimo termo da equac¸a˜o anterior o cor-
respondente a` notac¸a˜o do ca´lculo diferencial,
este valor limite e´ mais conhecido como a de-
rivada da func¸a˜o posic¸a˜o x com respeito ao
tempo t. A velocidade instantaˆnea pode ter
um valor positivo, negativo ou zero. A partir
de agora usaremos o termo velocidade para a
velocidade instantaˆnea das part´ıculas e a velo-
cidade escalar me´dia de uma part´ıcula e´
definida como a raza˜o entre o espac¸o to-
tal percorrido e o tempo total para per-
correˆ-lo.
Exemplo 1.3: Uma part´ıcula esta´ se movendo
ao longo do eixo x. A posic¸a˜o da part´ıcula
e´ descrita pela expressa˜o x = 4t + 2t2, onde
x esta´ em metros e t esta´ em segundos. A
Figura 1.10 mostra o gra´fico da posic¸a˜o em
func¸a˜o do tempo. A part´ıcula move-se na direc¸a˜o
negativa do x no primeiro segundo, esta´ em re-
pouso em t = 1 s e move-se na direc¸a˜o positiva
do x para t > 1 s. (a) Determinar o deslo-
camento da part´ıcula no intervalo de tempo
t = 0 s a t = 1 s e de t = 1 s a t = 3 s. (b)
Calcular a velociade me´dia durante estos dois
intervalos de tempo. (c) Obter a velocidade
instantaˆnea da part´ıcula no tempo t = 2, 5 s.
Soluc¸a˜o: (a) Durante o primeiro intervalo de
tempo, tem-se uma curva com valores negati-
vos e velocidade negativa. Assim o desloca-
mento entre A© e B© tem que ser um valor ne-
gativo em unidade de metro, do mesmo modo
espera-se que o deslocamento entre B© a D© seja
positivo.
Figura 1.10: Posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo para uma
part´ıcula no eixo x que move-se de acordo com a ex-
pressa˜o x = −4t+ 2t2.
Para o primeiro intervalo de tempo o desloca-
mento e´,
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 13
∆xA→B = xB − xA
= [−4(1) + 2(1)2]− [−4(0) + 2(0)2]
= −2 m .
(1.9)
Para calcular o deslocamento durante o segundo
intervalo,
∆xB→D = xD − xB
= [−4(3) + 2(3)2]− [−4(1) + 2(1)2]
= +8 m .
(1.10)
Este u´ltimo deslocamento podeser visto dire-
tamente do gra´fico da posic¸a˜o em func¸a˜o do
tempo.
(b) No primeiro intervalo ∆t = tB − tA = 1 s,
obte´m-se que
v¯x(A→B) =
∆xA→B
∆t
=
−2 m
1 s
= −2 m/s .
(1.11)
Para o segundo intervalo, ∆t = 2 s, portanto,
v¯x(B→D) =
∆xB→D
∆t
=
8 m
2 s
= +4 m/s .
(1.12)
(c) Certamente pode-se estimar que a veloci-
dade instantaˆnea deve ser da mesma ordem que
os resultados pre´vios, ao redor de 4 m/s. Exa-
minando o gra´fico, pode-se ver que a inclinac¸a˜o
da reta tangente na posic¸a˜o C© e´ maior que
da reta que liga os pontos B© e D©. Assim,
espera-se que a resposta seja maior que 4 m/s.
Atrave´s de medic¸o˜es na curva do gra´fico a t =
2, 5 s, obte´m-se,
vx = +6 m/s . (1.13)
1.8 Acelerac¸a˜o
Diz-se que quando a velocidade de uma part´ıcula
muda como func¸a˜o do tempo, enta˜o ela apre-
senta acelerac¸a˜o. Seja como exemplo um carro
que encontra-se numa corrida. Sua velocidade
no momento inicial na˜o sera´ a mesma o tempo
todo, pois o piloto vai procurar uma velocidade
cada vez maior para assim poder ganhar a com-
petic¸a˜o. Supondo que uma part´ıcula move-se
ao longo do eixo x com uma velocidade ini-
cial vx0 num instante t0 e adquire uma velo-
cidade final vx num instante t, define-se que
a acelerac¸a˜o me´dia de uma part´ıcula e´ a
mudanc¸a da velocidade ∆vx dividida pelo
intervalo de tempo decorrido ∆t durante
o qual aconteceu a mudanc¸a:
a¯x ≡ ∆vx
∆t
=
vx − vx0
t− t0 , (1.14)
Sendo a acelerac¸a˜o a taxa de variac¸a˜o da ve-
locidade com respeito ao tempo (L/t)/t, sua
unidade no SI e´ o m/s2. Em algumas situac¸o˜es
o valor da acelerac¸a˜o pode ser diferente so-
bre diferentes intervalos. Por isso, define-se a
acelerac¸a˜o instantaˆnea como o limite da ace-
lerac¸a˜o me´dia para um tempo ∆tmuito pro´ximo
de zero.
Figura 1.11: Diagrama do movimento de um carro
ao longo do eixo x.
Se imaginarmos que o ponto B© esteja muito
perto do ponto A© na Figura 1.12 , obte´m-se a
acelerac¸a˜o instantaˆnea como,
ax ≡ lim
∆t→0
∆vx
∆t
=
dvx
dt
. (1.15)
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 14
Figura 1.12: Gra´fico do movimento de um carro ao
longo do eixo x.
Diz-se que a acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ igual
a` derivada da velocidade com respeito ao
tempo. Do mesmo modo pode-se dizer que a
acelerac¸a˜o e´ a taxa da variac¸a˜o da velocidade
no tempo. Se ax e´ positiva, enta˜o a velocidade
e´ cada vez maior no tempo, mas se a acele-
rac¸a˜o e´ negativa enta˜o a velocidade apresenta
um comportamento decrescente.1
Figura 1.13: (a)Esboc¸o da velocidade e (b) ace-
lerac¸a˜o de uma part´ıcula como func¸a˜o do tempo.
A Figura 1.13 mostra a curva da velocidade e
da acelerac¸a˜o para uma part´ıcula como func¸a˜o
do tempo. Facilmente observa-se que os valores
positivos da acelerac¸a˜o esta˜o relacionados com
o aumento da velocidade.
Exemplo 1.4: A velocidade de uma part´ıcula
1Isto e´ verdade se a velocidade for positiva. Se a
velocidade for negativa, o valor da velocidade aumen-
tara´, pois o sinal aqui so´ representa o sentido do movi-
mento.
ao longo do eixo x varia de acordo com a ex-
pressa˜o vx = (40 − 5t2) m/s onde t esta´ em
segundos. (a) Procurar a acelerac¸a˜o me´dia no
intervalo de tempo t = 0, 0 s a t = 2, 0 s. (b)
Determinar a acelerac¸a˜o no tempo t = 2, 0 s.
Figura 1.14: Gra´fico da velocidade como func¸a˜o do
tempo, de acordo a` expressa˜o vx = (40− 5t2) m/s.
Soluc¸a˜o: (a) A Figura 1.14 mostra o gra´fico da
velocidade em func¸a˜o do tempo, sendo que a curva
e´ decrescente ate´ assumir valores negativos, espe-
rando que a acelerac¸a˜o seja negativa. Obte´m-se
que a velocidade nos pontos t0 = tA© = 0, 0 s e
t = tB© = 2, 0 s e´, portanto,
v
xA© = (40 − 5(0, 0)2) m/s = +40 m/s,
v
xB© = (40 − 5(2, 0)2) m/s = +20 m/s.
(1.16)
De tal forma que a acelerac¸a˜o no intervalo de tempo
∆t = 2, 0 s e´,
a¯x =
v
xB©− vxA©
tB©− tA©
=
(20− 40) m/s
(2.0 − 0.0) s = −10 m/s
2 .
(1.17)
O sinal negativo da acelerac¸a˜o me´dia neste inter-
valo faz com que a velocidade da part´ıcula adquira
um valor menor que o inicial.
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 15
(b) A velocidade em qualquer ponto e´ dada por
vx0 = (40 − 5t2) m/s, portanto a velocidade para
um tempo t+∆t e´,
vx = 40− 5(t+∆t)2 = 40− 5t2− 10t∆t− 5(∆t)2.
(1.18)
Portanto a mudanc¸a da velocidade sobre o inter-
valo de tempo ∆t e´,
∆vx = vx−vx0 = [−10t∆t−5(∆t)2] m/s. (1.19)
Dividindo esta u´ltima expressa˜o por ∆t e pegando
o limite para um intervalo de tempo muito pe-
queno:
ax = lim
∆t→0
∆vx
∆t
= lim
∆t→0
(−10t− 5∆t) = −10t m/s2.
(1.20)
Substituindo o tempo t = 2, 0 s,
ax = (−10)(2, 0) m/s2 = −20 m/s2 . (1.21)
A principal diferenc¸a entre os dois procedimentos
e´ que para o primeiro a acelerac¸a˜o e´ a me´dia en-
tre duas medidas nos pontos A© e B©, diferente de
quando e´ avaliada apenas no ponto B©, este re-
sultado sendo a taxa de variac¸a˜o da velocidade
naquele ponto ou o valor da reta tangente, signi-
ficando assim, a acelerac¸a˜o instantaˆnea.
1.9 Movimento Unidimen-
sional com Acelerac¸a˜o
Constante
O caso no qual a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula va-
ria com relac¸a˜o ao tempo e´ um bom exemplo do
qua˜o complexo pode ser a descric¸a˜o de um sis-
tema. Por outro lado, e´ muito comum que a des-
cric¸a˜o dos movimentos unidimensionais seja assu-
mida com acelerac¸a˜o constante. Sendo assim, a
acelerac¸a˜o me´dia em todos os tempos e´ a mesma,
significando que a taxa da variac¸a˜o da velocidade
e´ mesma durante todo o movimento.
Na equac¸a˜o 1.14, ao substituir a¯x por ax e to-
mando o tempo inicial t0 = 0 s, obte´m-se:
ax =
vx − vx0
t
ou vx = vx0 + axt. (1.22)
Esta e´ uma poderosa expressa˜o que permite de-
terminar a velocidade de um objeto em qualquer
tempo t caso se conhec¸a a velocidade inicial do ob-
jeto e sua acelerac¸a˜o (constante). As Figuras 1.15-
, 1.16, 1.17 mostram os diferentes gra´ficos que des-
crevem o movimento de um corpo com acelerac¸a˜o
constante.
Figura 1.15: Gra´fico que descreve a velocidade em
func¸a˜o do tempo de um corpo com acelerac¸a˜o constante
ao longo do eixo x.
Para o movimento com acelerac¸a˜o constante a ex-
pressa˜o para a velocidade me´dia em qualquer in-
tervalo de tempo e´ a me´dia aritme´tica,
v¯x =
vx0 + vx
2
. (1.23)
A equac¸a˜o para o deslocamento para qualquer cor-
po como func¸a˜o do tempo com acelerac¸a˜o cons-
tante e´,
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 16
Figura 1.16: Gra´fico que descreve a acelerac¸a˜o em
func¸a˜o do tempo de um corpo com acelerac¸a˜o constante
ao longo do eixo x.
Figura 1.17: Gra´fico que descreve a posic¸a˜o em
func¸a˜o do tempo de um corpo com acelerac¸a˜o cons-
tante ao longo do eixo x.
x− x0 = v¯xt = 1
2
(vx0 + vx)t. (1.24)
Pode-se obter outra expressa˜o u´til para o desloca-
mento com acelerac¸a˜o constante ao fazer algumas
substituic¸o˜es nas equac¸o˜es anteriores (se substi-
tuirmos vx da Equac¸a˜o 1.23 na Equac¸a˜o 2.12),
x− x0 = 1
2
(vx0 + vx0 + axt)t,
x− x0 = vx0t+ 1
2
axt
2.
(1.25)
Se derivarmos a equac¸a˜o anterior com respeito ao
tempo obtemos,
vx =
dx
dt
=
d
dx
(x0 + vx0t+
1
2
axt
2) = vx0 + axt
(1.26)
Finalmente, pode-se obter uma expressa˜o para o
deslocamento que na˜o dependa do tempo, ao fazer
a substituic¸a˜o do tempo da Equac¸a˜o 1.26 na Equa-
c¸a˜o 2.12,
x− x0 = 1
2
(vx0 + vx)
(
vx − vx0
ax
)
=
v2x − v2x0
2ax
,
v2x = v
2
x0 + 2ax(x− x0)
(1.27)
que e´ chamada Equac¸a˜o de Torricelli, inicialmente
obtida no contexto da F´ısica de Fluidos.
No caso no qual ax = 0, as equac¸o˜es anteriores
reduzem-se ao caso de movimento com velocidadeconstante.
Exemplo 1.5: Um carro viajando a uma velo-
cidade (constante) de 45, 0 m/s passa ao lado de
uma viatura da pol´ıcia que estava escondida atra´s
de uma propaganda na estrada. Um segundo apo´s
o carro passar pela propaganda, o policial parte
para pega´-lo, acelerando a uma taxa constante de
3, 00 m/s2. Quanto tempo o policial vai levar para
ultrapassar o carro?
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 17
Equac¸a˜o Informac¸a˜o fornecida
vx = vx0 + axt Velocidade como func¸a˜o
do tempo
x− x0 =
1
2
(vx0 + vx)t Deslocamento como func¸a˜o
da velocidade e do tempo
x− x0 = vx0t+
1
2
axt
2 Deslocamento como func¸a˜o
do tempo
v2x = v
2
x0
+ 2ax(x− x0) Velocidade como func¸a˜o
do deslocamento
Tabela 1.1: Equac¸o˜es cine´ticas do movimento unidi-
mensional com acelerac¸a˜o constante.
Soluc¸a˜o: Uma leitura detalhada ajuda a com-
preender que o movimento do policial e´ unifor-
memente acelerado. Conhece-se que um segundo
(1, 0 s) apo´s o carro passar o policial inicia a per-
seguic¸a˜o. Pore´m o carro move-se com velocidade
constante. A Figura 1.18 ajudara´ a compreender
melhor os eventos.
Figura 1.18: O esboc¸o dos eventos.
Primeiro, escrevendo a posic¸a˜o do carro como fun-
c¸a˜o do tempo, convenientemente escolhendo a po-
sic¸a˜o da propaganda como a origem e tB© ≡ 0, 0 s
como o tempo da partida do policial. Naquele
instante o carro ja´ tera´ percorrido uma distaˆncia
de 45, 0 m, portanto a posic¸a˜o inicial do carro e´
xB© = 45, 0 m. A equac¸a˜o do deslocamento do
carro e´ dada por
xcarro =xB© + vxcarrot
=45, 0 m+ (45, 0 m/s)t,
(1.28)
mostrando assim que para o tempo igual t = 0 s a
posic¸a˜o do carro e´ xcarro = 45, 0 m. Para o caso do
policial, ele parte da origem no tempo t = 0, 0 s
com uma acelerac¸a˜o constante. Assim a equac¸a˜o
que descreve seu movimento e´
x = x0 + vx0t+
1
2
axt
2,
xpolicial = 0 + 0t+
1
2
(3, 00 m/s2)t2.
(1.29)
A ideia aqui e´ que o policial vai ultrapassar o carro
no instante quando suas posic¸o˜es sejam as mes-
mas, chamado instante C©:
xpolicial = xcarro,
1
2
(3, 00 m/s2)t2 = 45, 0 m+ (45, 0 m/s)t,
(1.30)
levando, assim, a uma equac¸a˜o quadra´tica,
1.50t2 − 45, 0t − 45, 0 = 0.0, (1.31)
sendo soluc¸a˜o f´ısica da equac¸a˜o (tempos positi-
vos), quando t = 31, 0 s .
1.10 Corpos em Queda Li-
vre
Ja´ e´ bem conhecido o fato que os corpos de dife-
rentes formas, quando na auseˆncia de atrito, caem
com a mesma acelerac¸a˜o em direc¸a˜o ao centro da
terra devido a` ac¸a˜o da gravidade. Assim define-se
o conceito de queda livre. A queda livre e´ a si-
tuac¸a˜o em que um objeto qualquer move-se
somente pela ac¸a˜o da gravidade, sem ter em
considerac¸a˜o seu movimento inicial. Denota-
se a acelerac¸a˜o da queda livre pela letra g (gravi-
dade). O valor da gravidade na superf´ıcie da terra
e´ g = 9, 8 m/s2(sendo este um valor me´dio, pois a
acelerac¸a˜o da gravidade varia com a latitude e a
altitude).
Se for desprezado o atrito com o ar durante a
queda livre dos corpos, as equac¸o˜es que descrevem
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 18
o movimento uniformemente acelerado adaptam-
se perfeitamente com a descric¸a˜o da queda dos
corpos apenas substituindo a acelerac¸a˜o pela gra-
vidade ay = g = −9, 8 m/s2 onde o sinal negativo
esta´ relacionado com a escolha do sentido positivo
do eixo das posic¸o˜es apontando para cima.
Exemplo 1.6: Uma pedra e´ lanc¸ada do alto de
um pre´dio com uma velocidade inicial para acima
de 20, 0 m/s. A altura do pre´dio e´ de 50, 0 m.
Assuma que a pedra comec¸a seu movimento em
t = 0, 0 s. Determinar, (a) o tempo no qual a pe-
dra estara´ na sua ma´xima altura, (b) a ma´xima
altura, (c) o tempo no qual a pedra retorna a` al-
tura original, (d) a velocidade da pedra naquele
instante e (e) a velocidade e a posic¸a˜o no tempo
t = 5, 0 s.
Soluc¸a˜o: (a) No ponto onde a altura e´ ma´xima
a velocidade da pedra e´ zero. Para calcular este
tempo utiliza-se a equac¸a˜o vy = vy0 + ayt, mas
vy = 0, 0 m/s para a altura ma´xima, enta˜o
20, 0 m/s + (−9, 8 m/s2)t = 0, 0,
tma´x =
20, 0 m/s
9, 80 m/s2
= 2, 04 s .
(1.32)
(b) Para calcular a altura ma´xima,
yma´x = vy0tma´x +
1
2
ayt
2
ma´x
= (20, 0 m/s)(2, 04 s) +
1
2
(−9, 8 m/s2)(2, 04 s)2
= 20, 4 m .
(1.33)
(c) Para calcular o tempo necessa´rio para que a
pedra esteja novamente na altura inicial, fazemos
y = y0 = 0 m, assim:
y − y0 = vy0t+ 1
2
ayt
2,
0 = 20, 0t− 4, 90t2.
(1.34)
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o obteˆm-se resolvendo uma
equac¸a˜o de segundo grau. Resolvendo a equac¸a˜o
e desprezando o resultado negativo, obtemos que
para o tempo
t = 4, 08 s
a pedra estara´ novamente em sua altura inicial.
(d) Para calcular a velocidade basta fazer a se-
guinte relac¸a˜o,
vy = vy0 + ayt
= 20, 0 m/s+ (−9, 80 m/s2)(4, 08 s)
= −20, 0 m/s .
(1.35)
O valor negativo da velocidade ı´ndica que sua di-
rec¸a˜o e´ agora oposta a` direc¸a˜o original (na qual a
pedra ia para cima).
(e) Para esta parte a ana´lise sera´ um pouco dife-
rente, pois considera-se o que acontece depois do
ponto B©, onde a pedra encontra-se com veloci-
dade zero e na sua altura ma´xima, ate´ chegar a`
posic¸a˜o D©, tendo assim t = tD − tB:
vyD = vyB + ayt
= 0, 0 m/s+ (−9, 8 m/s2)(5, 00 s− 2, 04 s)
= −29, 0 m/s .
(1.36)
Embora o ca´lculo poderia ter sido feito desde o
ponto inicial A©, onde t = tD− tA = 5, 00 s: Subs-
tituindo o tempo t = 5, 0 s na equac¸a˜o da veloci-
dade
vy = vy0 + ayt
= 20, 0 m/s+ (−9, 8 m/s2)(5, 00 s)
= −29, 0 m/s,
(1.37)
e na equac¸a˜o da posic¸a˜o
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 19
y = y0 + vy0t+
1
2
ayt
2
= 0.0 m+ (20, 0 m/s)(5, 00 s)
+
1
2
(−9, 8 m/s2)(5, 0 s)2
= −22, 5 m .
(1.38)
Exerc´ıcio Proposto: (a) Achar a velocidade da
pedra justamente antes que ela atinja o cha˜o e (b)
o tempo total da trajeto´ria.
Resposta: (a) −37, 1 m/s, (b) 5, 83 s
1.11 Questo˜es
Questa˜o 1.1: Se a velocidade me´dia e´ diferente
de zero num intervalo estabelecido, sera´ que a ve-
locidade instantaˆnea nunca podera´ ser zero? Ex-
plicar os argumentos.
Questa˜o 1.2: Um estudante no topo de um pre´dio
de altura h lanc¸a uma bola verticalmente para
cima com uma velocidade inicial de mo´dulo vy0 e
lanc¸a uma segunda bola para baixo com uma velo-
cidade inicial de mesmo mo´dulo. Qual e´ o mo´dulo
da velocidade final das bolas quando elas chegam
ao cha˜o?
Questa˜o 1.3: Dois carros esta˜o se movendo em
direc¸o˜es paralelas ao longo de uma rodovia. Num
instante a velocidade escalar do carro A e´ maior
que a velocidade escalar do carro B. Isto significa
que a acelerac¸a˜o do carro A e´ maior que a que tem
o carro B?
Questa˜o 1.4: Em outro planeta que tem o valor
da gravidade treˆs vezes maior que a gravidade da
terra, g′ = 3g, quanto tempo precisara´ um corpo
que cai desde uma altura h do repouso ate´ chegar
ao cha˜o? Compare o resultado quando o mesmo
corpo encontra-se na terra.
Questa˜o 1.5: Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da velo-
cidade escalar em func¸a˜o do tempo para um corpo
que cai num queda livre partindo de uma posic¸a˜o
de equil´ıbrio, desprezando o atrito com o ar. Como
o gra´fico poderia variar ao levar em considerac¸a˜o
o atrito com o ar?
1.12 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1.1: O deslocamento como func¸a˜o do
tempo de uma part´ıcula ao longo do eixo x e´ mos-
trado na Figura 1.19. Achar a velocidade me´dia
nos seguintes intervalos (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4 s, (c)
2 s a 4 s, (d) 4 s a 7 s, (e) 0 a 8 s.
Figura 1.19: Exerc´ıcio 1.1.
Exerc´ıcio 1.2: Uma pessoa esta´ caminhando com
uma velocidade constante de mo´dulo v1 ao longo
de umalinha reta formada pelos pontos A e B e
depois volta ao longo da mesma linha com uma ve-
locidade constante de mo´dulo v2. (a)Qual sua ve-
locidade escalar me´dia em todo o percurso? (b)Qual
sua velocidade me´dia em todo o percurso?
Exerc´ıcio 1.3: A posic¸a˜o de uma part´ıcula va-
ria em relac¸a˜o ao tempo ao longo do eixo x, como
e´ mostrado na Figura 1.20. (a) Achar a veloci-
dade me´dia no intervalo de tempo de t = 1, 5 s ate´
t = 4, 0 s. (b) Determine a velocidade instantaˆnea
em t = 2, 0 s por medic¸a˜o da reta tangente a` curva
como e´ mostrada no gra´fico da Figura 1.13. (c)
Qual e´ o valor de t para qual a velocidade ins-
tantaˆnea e´ zero?
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 20
Figura 1.20: Exerc´ıcio 1.3.
Exerc´ıcio 1.4: Utilizando-se dos dados da Ta-
bela 1.2 para a posic¸a˜o x em metros para um dado
tempo t em segundos para um carro movimentando-
se ao longo de uma reta:
x(m) 0,0 2,3 9,2 20,7 36,8 57,5
t(s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Tabela 1.2: Exerc´ıcio 1.4.
(a) Construa uma curva suave da posic¸a˜o versus
o tempo. (b) Construindo a reta tangente a curva
x(t), achar a velocidade instantaˆnea em qualquer
instante de tempo. (c) Fazer o gra´fico da velo-
cidade instantaˆnea como func¸a˜o do tempo e de-
terminar o valor da acelerac¸a˜o me´dia do carro.
(d) Qual e´ a velocidade inicial do carro dada pela
equac¸a˜o da velocidade instantaˆnea obtida na questa˜o
(b)?
Exerc´ıcio 1.5: Uma part´ıcula viaja com uma ve-
locidade de 60, 0 m/s ao longo do eixo x no ins-
tante inicial t = 0, 0 s. Num tempo t = 15, 0 s
apo´s o in´ıcio a velocidade e´ zero, pois ela dimi-
nuiu a velocidade a uma taxa constante neste in-
tervalo. Qual e´ o valor da acelerac¸a˜o me´dia neste
intervalo? O que significa o sinal da resposta?
Exerc´ıcio 1.6: Um objeto esta´ se movendo ao
longo do eixo x de acordo com a expressa˜o x(t) =
(3, 00t2 − 2, 00t + 3, 00) m. Determinar, (a) a ve-
locidade me´dia no intervalo de t = 2, 00 s ate´
t = 3, 00 s, (b) a velocidade instantaˆnea nos dois
valores de tempo anteriores, (c) a acelerac¸a˜o me´dia
neste intervalo e (d) a acelerac¸a˜o instantaˆnea para
os dois valores de tempo mencionados.
Exerc´ıcio 1.7: A Figura 1.21 mostra o gra´fico
da velocidade em func¸a˜o do tempo de um moto-
queiro que comec¸a seu movimento partindo do re-
pouso, movendo-se ao longo do eixo x. (a) Achar
a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de t = 0, 00 s ate´
t = 6, 00 s. (b) Estimar o tempo no qual ele ad-
quire o valor ma´ximo positivo da acelerac¸a˜o e o
valor dela. (c) Quando a acelerac¸a˜o e´ zero? (d)
Estimar o valor ma´ximo negativo da acelerac¸a˜o e
o tempo no qual ocorre.
Figura 1.21: Exerc´ıcio 1.7.
Exerc´ıcio 1.8: Um avia˜o aproxima-se da terra
para aterrissar com uma velocidade de 100 m/s e
pode desacelerar a uma taxa de −5, 00 m/s2 ate´
chegar ao repouso. (a) Desde o instante no qual
o avia˜o encosta na terra, qual e´ o tempo mı´nimo
para que o avia˜o possa estar completamente em
repouso? (b) Pode o avia˜o aterrissar no aeroporto
de uma ilha tropical que tem 0, 800 km de pista?
Exerc´ıcio 1.9: Um mulher pula do 17o andar de
um pre´dio a uma altura de 49 m, quando chega
a altura h = 0, 0 m ela cai sobre um colcha˜o de
ar amortecendo seu movimento numa distaˆncia de
1, 6 m. Calcular: (a) A velocidade escalar da mu-
lher justamente no instante de tempo antes de ela
tocar o colcha˜o. (b) A acelerac¸a˜o me´dia quando
esta´ em contato com o colcha˜o. (c) O tempo de
queda. (d) O tempo de contato com o colcha˜o ate´
que sua velocidade seja zero.
CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 21
Exerc´ıcio 1.10: A altura de um helico´ptero com
respeito ao cha˜o e´ h = 3, 00t2. Partindo do cha˜o,
apo´s 2, 00 s ele deixa cair uma sacola de massa
M . Quanto tempo precisara´ a sacola para chegar
a terra?
Cap´ıtulo 2
Vetores
2.1 Introduc¸a˜o
Muitas grandezas f´ısicas, tais como massa, carga
ele´trica e temperatura, sa˜o chamadas grandezas
escalares, e necessitam apenas de um nu´mero se-
guido de uma unidade de medida apropriada para
serem definidas. Outro conjunto de grandezas f´ı-
sicas, como forc¸a, velocidade e deslocamento sa˜o
chamadas grandezas vetoriais, e representadas por
flechas no espac¸o a`s quais damos o nome de ve-
tores. Essas flechas possuem mo´dulo, direc¸a˜o e
sentido.
2.2 Representac¸a˜o de um
Vetor
Para representar graficamente um vetor, conside-
ramos, inicialmente, um segmento de reta AB so-
bre a reta r, na Figura 2.1
Figura 2.1: Segmento de reta.
orientando esse segmento com uma seta, que inicia
em A e termina em B, obtemos a representac¸a˜o
gra´fica de um vetor, conforme a Figura 2.2.
Como hav´ıamos dito antes, um vetor e´ completa-
mente especificado por treˆs informac¸o˜es:
1 - Mo´dulo: Dado por um nu´mero seguido de
uma unidade, o mo´dulo esta´ associado ao tamanho
Figura 2.2: Vetor ~a.
do vetor, isto e´, ele especifica a intensidade da
grandeza associada a ele. Se representarmos um
vetor por uma letra com uma flecha em cima, por
exemplo ~a, podemos representar simbolicamente o
mo´dulo por |~a| , ou, simplesmente, a.
2 - Direc¸a˜o: E´ a inclinac¸a˜o ou aˆngulo de um
vetor em relac¸a˜o a um eixo de um determinado
sistema de refereˆncia (Figura 2.3).
Figura 2.3: Direc¸a˜o.
3- Sentido: Coincidindo com a orientac¸a˜o do ve-
tor, o sentido indica para onde aponta o vetor,
conforme e´ mostrado na Figura 2.4
Para todo vetor com um determinado sentido, existe
um vetor com sentido oposto. Por exemplo, o ve-
tor ~a possui um vetor com sentido oposto repre-
sentado por −~a.
22
CAPI´TULO 2. VETORES 23
Figura 2.4: Sentido.
2.3 Operac¸o˜es de Adic¸a˜o e
Subtrac¸a˜o de Vetores
Para que possamos manipular equac¸o˜es envolvendo
vetores, devemos saber como estes objetos ma-
tema´ticos se comportam ao efetuarmos operac¸o˜es
matema´ticas conhecidas. Representando dois ve-
tores quaisquer por ~a e ~b, podemos formar um
terceiro vetor ~s com a definic¸a˜o de soma vetorial
~s = ~a+~b (2.1)
A operac¸a˜o de soma pode facilmente ser visuali-
zada geometricamente. Na Figura 2.5, represen-
tamos a soma dos vetores ~a e ~b.
Figura 2.5: Soma de vetores.
A te´cnica para desenhar uma soma vetorial con-
siste em: (1) Desenhar o vetor ~a preservando a
sua orientac¸a˜o. (2) Desenhar o vetor ~b com seu
in´ıcio na extremidade do vetor ~a . (3) O vetor
soma sera´ feito desenhando uma flecha ligando o
in´ıcio do vetor ~a com a extremidade do vetor ~b.
Pode-se notar que a operac¸a˜o de soma ~a +~b tem
o mesmo resultado da operac¸a˜o de soma ~b+~a, ou
seja, a adic¸a˜o de vetores e´ comutativa.
A operac¸a˜o de subtrac¸a˜o de vetores pode ser cons-
tru´ıda levando em conta que o vetor −~b e´ o vetor
~b com sentido oposto. A subtrac¸a˜o de dois vetores
~a e ~b e´ enta˜o obtida usando a equac¸a˜o (2.1) , ou
seja,
~s = ~a+
(
−~b
)
= ~a−~b, (2.2)
geometricamente, a subtrac¸a˜o de dois esta´ ilus-
trada na Figura 2.6.
Figura 2.6: Subtrac¸a˜o de vetores.
E´ possivel representar graficamente a operac¸a˜o de
soma vetorial com um nu´mero arbitra´rio de veto-
res. Para exemplificar, consideramos os vetores ~a,
~b, ~c, ~d, ~e, representados na Figura 2.7. O vetor
resultante da soma ~a + ~b + ~c + ~d + ~e e´ obtido
de forma ana´loga a` soma de dois vetores. Inicial-
mente o vetor ~a e´ fixado em uma posic¸a˜o, desloca-
se paralelamente o vetor~b de forma que sua origem
coincida com a extremidade do vetor ~a. Repete-se
o processo para os vetores ~c, ~d, ~e, e ao final o ve-
tor soma tera´ sua origem no in´ıcio do vetor ~a e
sua extremidade estara´ junto com a extremidade
do vetor ~e, conforme ilustrado na Figura 2.8.
Podemospensar no deslocamento de uma part´ıcula
como a soma vetorial de deslocamentos intermedi-
a´rios. Dessa maneira, e´ fa´cil interpretar a regra da
soma geome´trica de vetores como uma sequeˆncia
de deslocamentos.
CAPI´TULO 2. VETORES 24
Figura 2.7: Vetores ~a, ~b, ~c, ~d, ~e.
Figura 2.8: Soma dos vetores ~a, ~b, ~c, ~d, ~e.
2.4 Multiplicac¸a˜o de um Ve-
tor por um Escalar
Quando multiplicamos um vetor ~a por um escalar
s obtemos outro vetor cujo mo´dulo e´ o produto do
mo´dulo de ~a pelo valor absoluto de s, cuja direc¸a˜o
e´ a mesma de ~a e cujo sentido e´ o mesmo de ~a, se s
for positivo, e o sentido oposto, se s for negativo.
Para dividir ~a por s, multiplicamos ~a por 1/s. Os
resultados da multiplicac¸a˜o de um vetor ~a por 2 e
−1/3 sa˜o mostrados na Figura 2.9.
Figura 2.9: Multiplicac¸a˜o por escalar.
2.5 Produto Escalar de
Vetores
Certas grandezas f´ısicas sa˜o especificadas apenas
por um nu´mero seguido de uma unidade, e sa˜o
chamadas grandezas escalares. A operac¸a˜o de pro-
duto escalar entre dois vetores ~a e ~b tem como re-
sultado um escalar, e´ representada por ~a ·~b (leˆ-se
~a escalar ~b) e definida como
~a ·~b = ab cos θ, (2.3)
onde a e b sa˜o os mo´dulos de ~a e ~b, respectiva-
mente, e θ e´ o aˆngulo entre ~a e ~b, como mostrado
na Figura 2.10.
Figura 2.10: Aˆngulo entre dois vetores.
Um exemplo de uma grandeza escalar obtida atrave´s
do produto escalar de vetores e´ o trabalho de uma
forc¸a constante sobre um corpo, dado por:
W = ~F · ~d (2.4)
Onde ~F e´ a forc¸a aplicada e ~d o deslocamento do
corpo.
O produto escalar possui as propriedades:
1) ~a ·~b = ~b · ~a
2) ~a ·
(
~b+ ~c
)
= ~a ·~b+ ~a · ~c
3) (n~a) ·~b = ~a ·
(
n~b
)
= n
(
~a ·~b
)
,
sendo n um nu´mero real.
2.6 Produto Vetorial
O produto vetorial entre dois vetores ~a e ~b, repre-
sentado por ~a × ~b (leˆ-se ~a vetorial ~b) e´ definido
CAPI´TULO 2. VETORES 25
de forma que o vetor ~c, resultante desse produto,
tenha as seguintes caracter´ısticas:
Mo´dulo: O mo´dulo do vetor ~c e´ igual ao produto
do mo´dulo do vetor ~a pelo mo´dulo de ~b multipli-
cado pelo seno do aˆngulo formado por ~a e ~b, ou
seja,
c = absenθ. (2.5)
Geometricamente, o mo´dulo do vetor ~c e´ igual a`
a´rea do paralelogramo gerado pelos vetores ~a e ~b,
como mostrado na Figura 2.11.
Figura 2.11: Mo´dulo do produto vetorial.
Direc¸a˜o: O vetor ~c = ~a×~b sera´ perpendicular ao
plano determinado pelos vetores ~a e ~b , ou seja,
sera´ simultaneamente perpendicular a ~a e ~b, caso
os vetores ~a e~b na˜o sejam paralelos. Se os vetores ~a
e ~b forem paralelos o resultado do produto vetorial
entre eles e´ ~0.
Sentido: O sentido do vetor e´ dado pela regra
da ma˜o direita. Os vetores ~a e ~b determinam um
plano. Imagine um eixo perpendicular passando
pela origem dos dois vetores ~a e ~b, alinhe sua ma˜o
direita podendo girar em torno desse eixo, enta˜o
gire a ma˜o de ~a para ~b. O polegar indicara´ o sen-
tido do vetor ~a × ~b , conforme ilustra a Figura
2.12
O produto vetorial possui as seguintes proprieda-
des alge´bricas:
1) ~a×~b = −~b× ~a,
2) ~a×
(
~b+ ~c
)
= ~a×~b+ ~a× ~c,
3) (n~a)×~b = ~a×
(
n~b
)
= n
(
~a×~b
)
.
sendo n um nu´mero real.
Exemplos de grandezas f´ısicas obtidas atrave´s do
produto vetorial sa˜o a forc¸a de Lorentz e o torque
de uma forc¸a.
Figura 2.12: Regra da ma˜o direita.
2.7 Componentes de um
Vetor em 2 Dimenso˜es
Podemos escrever um vetor qualquer como a soma
de outros vetores. Consideramos inicialmente um
sistema cartesiano xy de coordenadas. Sejam ~ax
um vetor que possui a mesma direc¸a˜o do eixo x e
~ay um vetor que possui a mesma direc¸a˜o do eixo
y. A soma destes vetores fornece um vetor ~a dado
por
~a = ~ax + ~ay, (2.6)
conforme ilustrado na Figura 2.13. Os vetores ~ax
e ~ay sa˜o as chamadas componentes do vetor ~a.
Figura 2.13: Componentes de um vetor
Dessa forma e´ possivel construirmos vetores com
tamanho arbitra´rio atrave´s da multiplicac¸a˜o de
suas componentes por um escalar. A multiplicac¸a˜o
CAPI´TULO 2. VETORES 26
de um vetor por escalar preserva a direc¸a˜o, no en-
tanto pode alterar o mo´dulo e o sentido.
Definindo os versores iˆ e jˆ, vetores unita´rios que
possuem a mesma direc¸a˜o e apontam no sentido
positivo dos eixos x e y respectivamente, os vetores
~ax e ~ay que aparecem na equac¸a˜o (2.6) podem ser
escritos com mo´dulo e sentido arbitra´rios:
~ax = axiˆ,
~ay = ay jˆ, (2.7)
onde ax e ay sa˜o escalares. Substituindo a equac¸a˜o
(2.7) na equac¸a˜o (2.6), obtemos
~a = ~ax + ~ay
= axiˆ+ ay jˆ, (2.8)
Em muitos problemas envolvendo vetores na˜o dis-
pomos de informac¸o˜es diretas sobre o mo´dulo, a
direc¸a˜o e o sentido dos vetores. Em vez disso,
dispomos de informac¸a˜o acerca de suas compo-
nentes escalares. Para exemplificar, imaginamos
um plano representado por um sistema de coorde-
nadas cartesiano, conforme indica a Figura 2.13.
Iremos chamar de ax a projec¸a˜o do vetor no eixo
x e ay a projec¸a˜o no eixo y.
Sabendo o aˆngulo θ que o vetor ~a forma com o
eixo x, teremos as relac¸o˜es
ax = a cos θ,
ay = a sin θ, (2.9)
onde a e´ o mo´dulo de ~a, que e´ obtido pelo teorema
de Pita´goras
a =
√
a2x + a
2
y, (2.10)
as quantidades ax e ay sa˜o as componentes esca-
lares do vetor ~a.
Exemplo 2.1: Sabe-se que, apo´s deixar o aero-
porto, um avia˜o foi avistado a uma distaˆncia de
215 km, voando em uma direc¸a˜o que faz um aˆngulo
de 22o com o norte para leste. Qual e´ a distaˆncia
percorrida a norte e a leste do aeroporto?
Soluc¸a˜o: O problema pode ser facilmente resol-
vido se escolhermos um sistema de coordenadas
em que o eixo y corresponda a direc¸a˜o norte e o
eixo x corresponda ao leste, conforme a Figura
2.14.
Figura 2.14: Sistema de coordenadas em que o eixo
y aponta para o norte e o eixo x aponta para o leste.
Nesse sistema de coordenadas, o mo´dulo do vetor
~a e´ justamente a distaˆncia percorrida pelo avia˜o.
Como os eixos x e y formam um angulo de 90o,
enta˜o o angulo do eixo x com o vetor deslocamento
do avia˜o e´ 90o − 22o = 68o. Aplicando a equac¸a˜o
(2.9) temos
ax = a cos θ = (215 km) (cos 68
o) = 81 km,
ay = a sin θ = (215 km) (sen68
o) = 199 km.
2.8 Vetores em
3 Dimenso˜es
Ate´ agora trabalhamos com vetores com compo-
nentes em uma e duas dimenso˜es. Considerando
o espac¸o tridimensional, utilizamos os eixos carte-
sianos de coordenadas xyz. Para representarmos
um vetor ~a em termos de vetores unita´rios, deve-
mos introduzir um novo vetor unita´rio apontando
para o sentido positivo do eixo z, como mostra a
Figura 2.15. Denotaremos este vetor por kˆ.
Dessa forma a expressa˜o (2.8) e´ escrita como
~a = axiˆ+ ay jˆ + az kˆ (2.11)
o que pode ser vizualizado na Figura 2.16.
CAPI´TULO 2. VETORES 27
Figura 2.15: Versores no espac¸o tridimensional.
Figura 2.16: Componentes de um vetor no espac¸o
tridimensional.
O mo´dulo a de um vetor em 3 dimenso˜es, tambe´m
representado por|~a| , pode ser obtido com a equac¸a˜o
|~a| =
√
a2x + a
2
y + a
2
z (2.12)
2.9 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de
Vetores na Forma de
Componentes
A soma de ~a com um vetor ~b = bxiˆ + by jˆ + bz kˆ
e´ obtida somando-se as componentes de mesma
direc¸a˜o:
~s = ~a+~b
=
(
axiˆ+ ay jˆ + az kˆ
)
+
(
bxiˆ+ by jˆ + bz kˆ
)
= (ax + bx) iˆ+ (ay + by)~j + (az + bz) kˆ. (2.13)
Exemplo 2.2: Os vetores abaixo esta˜o expressos
em termos de vetores unita´rios
~a = 4, 2ˆi − 1, 6jˆ ,
~b = −1, 6ˆi+ 2, 9jˆ ,
~c = −3, 7kˆ.
Ache o vetor soma dos vetores acima.
Soluc¸a˜o: Com base nos resultados obtidos na
equac¸a˜o (2.13) , podemos obter a fo´rmula
~s= (ax + bx + cx) iˆ+ (ay + by + cy) jˆ+
(az + bz + cz) kˆ
substituindo os valores nume´ricos
~s = (4, 2 − 1, 6 + 0)ˆi+ (−1, 6 + 2, 9 + 0) jˆ
+ (0 + 0− 3, 7) kˆ
= 2, 6ˆi + 1, 3jˆ − 3, 7kˆ.
2.10 Produtos de Vetores na
Forma de Componen-
tes
Para multiplicar um vetor na forma de componen-
tes por um escalar, multiplicamos todos os com-
ponentes do vetor pelo escalar. Isto e´:
s~a = saxiˆ+ say jˆ + saz kˆ (2.14)
Os produtos escalar e vetorial podem ser realiza-
dos utilizando os componentes dos vetores envol-
vidos. Para efetuar o produto escalar, notamos
que:
iˆ · iˆ = jˆ · jˆ = kˆ · kˆ = cos 0o = 1,
iˆ · jˆ = iˆ · kˆ = jˆ · kˆ = cos 90o = 0
Isto ocorre porque iˆ, jˆ e kˆ sa˜o mutuamente per-
pendiculares.
Dados dois vetores ~a = axiˆ + ay jˆ + az kˆ e ~b =
bxiˆ + by jˆ + bzkˆ, o produto escalar entre eles na
forma de componentes e´ dado por:
~a ·~b = axbx + ayby + azbz (2.15)
Exemplo 2.3: Qual e´ o aˆngulo formado pelos
vetores ~a = 3ˆi− 4jˆ e ~b = −2ˆi+ 3kˆ ?
CAPI´TULO 2. VETORES 28
Soluc¸a˜o: A definic¸a˜o de produto escalar, dada
anteriormente, deve ser coerente com a notac¸a˜o de
vetores unita´rios, para representar um vetor qual-
quer. Enta˜o a equac¸a˜o (2.3) pode ser usada para
calcular o produto das componentes dos vetores:
~a ·~b = ab cos θ
=
(
3ˆi− 4jˆ
)
·
(
−2ˆi+ 3kˆ
)
= −6ˆi · iˆ+ 9ˆi · kˆ + 8jˆ · iˆ− 12~j · kˆ
= −6 cos 0o + 9cos 90o + 8cos 90o − 12 cos 90o
= −6,
ou seja,
cos θ =
−6
ab
,
onde
a =
√
32 + (−4)2 = 5,
b =
√
(−2)2 + 32 =
√
13,
ab = 5
√
13 ≃ 18,
dessa forma o aˆngulo pode ser escrito como
cos θ =
−1
3
,
θ = arccos
(−1
3
)
= 109o.
Agora vamos efetuar o produto vetorial. Devido a`
definic¸a˜o do produto vetorial, os vetores unita´rios
iˆ, jˆ, kˆ devem satisfazer as relac¸o˜es
iˆ× jˆ = kˆ,
jˆ × kˆ = iˆ,
kˆ × iˆ = jˆ,
iˆ× iˆ = jˆ × jˆ = kˆ × kˆ = 0.
Exemplo 2.4: Se ~a = 3ˆi − 4jˆ e ~b = −2ˆi + 3kˆ,
obtenha o vetor ~c = ~a×~b.
Soluc¸a˜o: Aplicando a propriedade distributiva do
produto vetorial temos:
~a×~b =
(
3ˆi− 4jˆ
)
×
(
−2~i+ 3kˆ,
)
= −6
(
iˆ× iˆ
)
+ 9
(
iˆ× ~k
)
+ 8
(
jˆ × iˆ
)
− 12
(
jˆ × kˆ
)
= −12ˆi− 9jˆ − 8kˆ.
2.11 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.1: Com os vetores ~u = 2ˆi + 3jˆ + 4kˆ
e ~v = iˆ+ 5jˆ − 3kˆ, calcule ~u× ~v.
Exerc´ıcio 2.2: Dados os vetores ~t = 2ˆi − 4jˆ,
~v = −5ˆi + jˆ e ~z = −12ˆi + 6jˆ, determinar k1 e k2
para que ~z = k1~t+ k2~v.
Exerc´ıcio 2.3: Verifique que os vetores ~u = −iˆ e
~v = jˆ, sa˜o ortogonais.
Exerc´ıcio 2.4: Determine o mo´dulo dos vetores:
a) ~u = 3ˆi+ 2jˆ − 6kˆ,
b) ~w = 7ˆi+ jˆ − 7kˆ.
Exerc´ıcio 2.5: Calcule o aˆngulo entre os vetores
~a = 3ˆi− 4jˆ e ~b = 8ˆi− 6jˆ.
Exerc´ıcio 2.6: Seja ~a = 3ˆi − kˆ e ~b = −5jˆ + 7kˆ.
Encontre o vetor ~c = ~a×~b
Exerc´ıcio 2.7: Sejam os vetores ~a = 4ˆi − 3jˆ e
~b = −iˆ+ jˆ + 4kˆ. Calcule:
a) ~a+~b,
b) ~a−~b,
c) ~c tal que ~a−~b+ ~c = 0.
Exerc´ıcio 2.8: O vetor ~a ilustrado na Figura 2.17
tem mo´dulo igual a 5 cm e faz um aˆngulo de 120o
com o semi-eixo positivo OX. Determine as suas
componentes nas direc¸o˜es x e y.
Figura 2.17: Exerc´ıcio 2.8.
Exerc´ıcio 2.9: A componente x de um vetor vale
-25 unidades e a componente y vale 40 unidades.
Qual o aˆngulo entre esse vetor e o sentido positivo
dos x?
Exerc´ıcio 2.10: verifique que o produto vetorial
de dois vetores ~a × ~b pode ser escrito como o
determinante da matriz


iˆ jˆ kˆ
ax ay az
bx by bz

 .
CAPI´TULO 2. VETORES 29
Exerc´ıcio 2.11: Encontre o aˆngulo entre as dia-
gonais das faces de um cubo. Voceˆ pode utilizar
um cubo de lado 1 para as suas contas, como se
veˆ na Figura 2.18.
Figura 2.18: Exerc´ıcio 2.11.
Exerc´ıcio 2.12: Dados os vetores ~a,~b,~c, ~d na Fi-
gura 2.19, abaixo, fac¸a um esboc¸o do vetor ~s re-
sultante da operac¸a˜o ~s = ~a−~b+ ~c− ~d.
Figura 2.19: Exerc´ıcio 2.12.
Exerc´ıcio 2.13: Demonstre a equac¸a˜o (2.15) para
o produto escalar de dois vetores na forma de com-
ponentes, isto e´:
~a ·~b = axbx + ayby + azbz
Cap´ıtulo 3
Movimento em Duas Dimenso˜es
3.1 Movimento em Duas
Dimenso˜es com Acele-
rac¸a˜o Constante
No movimento em duas dimenso˜es as componentes
x e y dos vetores posic¸a˜o e velocidade que descre-
vem o movimento podem ser analisadas separada-
mente. Assim :
~r = xiˆ+ yjˆ (3.1)
onde
x = x0 + v0xt+
1
2
axt
2
y = y0 + v0yt+
1
2
ayt
2
(3.2)
e
~v = vxiˆ+ vy jˆ (3.3)
sendo
vx = v0x + axt e vy = v0y + ayt (3.4)
3.2 Movimento de Proje´teis
em Duas Dimenso˜es
Podemos modelar o problema do movimento de
proje´teis, desprezando a forc¸a de arrasto1 com o
ar, considerando o proje´til como sendo uma part´ıcula,
e assumindo que como a trajeto´ria e´ pro´xima a su-
perf´ıcie da terra, onde a gravidade pode ser con-
siderada constante e dirigida para baixo.
Figura 3.1: Trajeto´ria descrita por um proje´ti
lanc¸ado com velocidade inicial (v0) que faz um angulo
θ0 com a horizontal.
A partir da Figura 3.1, podemos ver que as com-
ponentes v0x e v0y podem ser obtidas decompondo
o vetor ~v0 com o aˆngulo θ0 com o eixo x positivo:
v0x = v0 cos θ0 e v0y = v0senθ0 (3.5)
1Quando existe uma velocidade relativa entre um
fluido e um corpo so´lido (seja porque o corpo se move
atrave´s do fluido, seja porque o fluido passa pelo
corpo), o corpo experimenta uma forc¸a de arrasto que
se opoem ao movimento relativo e e´ paralela a` direc¸a˜o
do movimento relativo do fluido.
30
CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 31
O movimento de proje´teis como visto na Figura
3.1 pode parecer complicado, mas torna-se bas-
tante simplificado ao usarmos a propriedade (de-
monstrada experimentalmente, como visto na Fi-
gura 3.2) que o movimento horizontal e o movi-
mento vertical sa˜o independentes, logo um na˜o
afeta o outro. Na pra´tica temos na horizontal
um movimento uniforme e na vertical um movi-
mento uniformemente variado, como sera´ enfati-
zado mais adiante.
Figura 3.2: Lanc¸amento queda livre na bola da es-
querda e lanc¸amento com velocidade inicial horizontal
na bola da direita, as linhas indicam o tempo decorrido
3.2.1 Movimento Horizontal
Como nesta parte temos um movimento uniforme,
a acelerac¸a˜o e´ zero, logo a componente x da Equa-
c¸a˜o(3.2), usando as Equac¸a˜o(3.5) torna-se:
x = x0 + v0 cos θ0t (3.6)
3.2.2 Movimento Vertical
Neste movimento, o tratamento e´ o mesmo que
o da queda livre. A acelerac¸a˜o a sera´ substituida
por −g, onde a componente y da Equac¸a˜o(3.2), da
Equac¸a˜o(3.4) e da equac¸a˜o de Torricelli, usando a
Equac¸a˜o(3.5) tornam-se:
y = y0 + v0senθ0t− 1
2
g2t (3.7)
vy = v0senθ0 − gt (3.8)
v2y = (v0senθ0)
2 − 2g∆y (3.9)
3.2.3 Alcance Horzontal
Vamos supor que o proje´til e´ lanc¸ado desde o ori-
gem em t = 0 e com velocidade positiva ~v0, como
e´ mostrado na Figura 3.1. Dois pontos sa˜o de
especial interece para analisar: O ponto de al-
tura ma´xima (A), que tem coordenadas cartesi-
anas (R/2, h), e o ponto (B), com coordenadas
(R, 0). A distaˆncia R e´ chamada alcance horizon-
tal. Vamos encontrar R e h em termos de v0, θ0 e
g:
Podemos determinar h, notando que em (A), a
velocidade vAy = 0. Portanto podemos usar as
equac¸o˜es (3.5), para determinar o tempo tA em
que o proje´til chega na altura ma´xima (A):
vy = v0y − gt
0 = v0 sin θ0 − gtA
tA =
v0 sin θ0
g
(3.10)
O alcance horizontal R e´ a posic¸a˜o do proje´til em
um tempo tB, tempo esse que e´ duas vezes o tempo
que ele demora para chegar ao pico. Assim, tB =
2tA. Agora fazemos uso da parte x das equac¸o˜es
(3.2) para escrever, com vBx = v0x = v0 cos θ0
R = v0xtB = (v0 cos θ0)2tA
R = (v0 cos θ0)
2v0senθ0
g(3.11)
Usando a identidade sen2θ = 2senθ cos θ, escreve-
mos R de um jeito mais compacto
R =
v20sen2θ0
g
(3.12)
3.2.4 Altura Ma´xima
Para encontrar a altura ma´xima, utilizamos a ex-
pressa˜o para tA da Equac¸a˜o (3.10) na parte y das
equac¸o˜es (3.2), onde yA = h obtemos:
h = (v0 sin θ0)
v0senθ0
g
− 1
2
g
(
v0senθ0
g
)2
(3.13)
CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 32
Figura 3.3: Trajeto´rias para alguns aˆngulos.
h =
v20sen
2θ0
2g
(3.14)
A Figura 3.3 ilustra as trajeto´rias que teria um
proje´til lanc¸ado de diferentes aˆngulos com uma
determinada velocidade inicial. Como voceˆ pode
ver o alcance e´ ma´ximo para θ0 = 45
o.
3.3 Movimento Circular
Uniforme
Figura 3.4: Movimento circular
A Figura 3.4 mostra um carro que se move em
uma rotato´ria com o mo´dulo de sua velocidade
constante v. Este tipo de movimento e´ chamado
movimento circular uniforme. Quando estudamos
o movimento de proje´teis o vetor velocidade mu-
dava tanto de direc¸a˜o quanto de mo´dulo. No mo-
vimento circular uniforme, o vetor velocidade so-
mente muda de direc¸a˜o, o mo´dulo da velocidade
permanece constante. Neste tipo movimento o ve-
tor velocidade esta´ mudando, enta˜o o movimento
e´ acelerado. A direc¸a˜o do vetor acelerac¸a˜o e´ diri-
gida para o centro da trajeto´ria. Esta acelerac¸a˜o
e´ chamada acelerac¸a˜o centr´ıpeta e e´ dada por
ac =
v2
r
, (3.15)
onde r e´ o raio do circulo.
Em varias aplicac¸o˜es e´ conveniente falar do per´ıodo
T . O per´ıodo e´ definido como o tempo que a
part´ıcula demora para fazer uma revoluc¸a˜o. As-
sim, como a distaˆncia percorrida e´ o per´ımetro do
circulo, p = 2πr, enta˜o
T =
2πr
v
. (3.16)
3.4 Acelerac¸a˜o Tangencial
e Radial
Figura 3.5: Descric¸a˜o dos vetores unita´rios rˆ e θˆ e
Acelerac¸a˜o total de uma part´ıcula que se movimenta
em uma trajeto´ria curva.
Dependendo do problema em questa˜o talvez me-
lhor escrever a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula em
termos de vetores unita´rios. Fazemos isso defi-
nindo rˆ e θˆ, mostrados na Figura 3.5, onde rˆ e´
um vetor unita´rio que fica na direc¸a˜o do raio do
circulo e no sentido de aumento do raio, e θˆ e´ um
CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 33
vetor unita´rio tangente a` trajeto´ria do circulo e
seu sentido e´ o de aumento do aˆngulo θ. Fazendo
uso desta notac¸a˜o podemos escrever a acelerac¸a˜o
total como
~a = ~at + ~ar =
d|~v|
dt
θˆ − v
2
r
rˆ. (3.17)
Estes vetores sa˜o descritos na Figura 3.5.
3.5 Exemplos
Antes de ver a soluc¸a˜o o aluno deve tentar fazer o
problema primeiro.
Exemplo 3.1: Em um bar local, o barman de-
pois de encher uma caneca com chopp, desliza a
caneca para o cliente que momentaneamente dis-
tra´ıdo na˜o veˆ a caneca, que desliza-se para fora da
mesa com velocidade horizontal v0. A altura da
mesa e´ h. (a) Com que velocidade a caneca deixa
a mesa, se a distancia em que ela bate o piso fica
a uma distaˆncia d da base da mesa, e (b) qual era
a direc¸a˜o da velocidade da caneca antes de atingir
o piso?
Soluc¸a˜o: Considere a Figura 3.6 que representa
esquematicamente o problema.
Figura 3.6: Exemplo 3.1
Tomando o origem do sistema de coordenadas no
ponto onde a caneca cai da mesa. Como a ace-
lerac¸a˜o em x e´ zero e que a velocidade inicial
esta´ apenas na horizontal, logo, v0x = v0 e v0y =
0. Enta˜o, as coordenadas da caneca em qualquer
tempo sa˜o dadas por
x = v0t
y = −1
2
gyt2
(3.18)
Quando na caneca chega ao piso y = −h, enta˜o
−h = −1
2
gt2 (3.19)
Que da´ o tempo de impacto
t =
√
2h
g
(3.20)
(a) Substituindo x = d e (3.20) na Equac¸a˜o (3.18)
para x:
d = v0
√
2h
g
v0 = d
√
g
2h
(3.21)
(b) No instante antes do impacto a componente
da velocidade em x ainda e´
Figura 3.7: Velocidade Resultante
vx = v0 (3.22)
e a componente y e´
vy = −gt = −g
√
2h
g
(3.23)
Enta˜o a direc¸a˜o de movimento no instante que a
caneca toca o piso e´ para baixo da horizontal com
CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 34
um aˆngulo de
θ = tan−1
( |vy|
vx
)
θ = tan−1

g
√
2h
g
d
√
g
2h


θ = tan−1
(
2h
d
)
(3.24)
Exemplo 3.2: Um astronauta em um planeta
estranho, percebe que pode saltar 15 m se a velo-
cidade inicial dele for 3 m/s. Qual e´ a acelerac¸a˜o
da gravidade no planeta?
Soluc¸a˜o: Da Equac¸a˜o (3.12) com R = 15m, v0 =
3 m/s, θmax = 45
o
g =
v20
R
=
9
15
= 0, 6 m/s2 (3.25)
Exemplo 3.3: Uma pedra e´ lanc¸ada do n´ıvel da
terra e atinge uma altura ma´xima igual ao alcance
horizontal d. (a) Qual foi o aˆngulo em que a pe-
dra foi lanc¸ada?. (b) A sua resposta da parte (a)
seria diferente em outro planeta? (c) Qual e´ o al-
cance horizontal dmax que a pedra pode atingir
se for lanc¸ada com a mesma velocidade, mas com
o aˆngulo de alcance ma´ximo?
Soluc¸a˜o: (a) Para identificar a altura ma´xima,
fazemos A o ponto de lanc¸amento, e B o ponto
mais alto:
v2By = v
2
Ay + 2ay(yB − yA)
0 = v2Asenθ0 + 2(−g)(ymax − 0)
ymax =
v2Asen
2θ0
2g
.
(3.26)
Agora fazemos C o ponto de impacto, onde t e´
diferente de zero:
yC = yA + vAyt+
1
2
(−g)t2
0 = 0 + vAsenθ0t− 1
2
gt2
t =
2vAsenθ0
g
;
(3.27)
Usando o resultado de (3.27) encontramos o al-
cance na horizontal,
xC = xA + vAxt
d = vA cos θ0
2vAsenθ0
g
.
(3.28)
Como o problema dizia que d = ymax, podemos
igualar (3.26) = (3.27)
v2Asen
2θ0
2g
=
2v2Asenθ0 cos θ0
g
,
senθ0
cos θ0
=tan θ0 = 4.
∴ θ0 =76
o
(3.29)
(b) Como g se cancela, a resposta na˜o depende de
g, e portanto e´ a mesma em qualquer planeta.
(c) O alcance ma´ximo e´ atingido para θ0 = 45
o
dmax
d
=
vA cos 45
o2vAsen45
og
vA cos 76o2vAsen76og
dmax
d
= 2, 125
dmax =
17
8
d
(3.30)
Exemplo 3.4: Um carro faz uma curva leve de
raio 100, 0m a uma velocidade constante de 72km/h.
(a) Qual a acelerac¸a˜o centr´ıpeta do carro?. Se to-
marmos essa acelarac¸a˜o centr´ıpeta como sendo a
ma´xima permitida, (b) qual deve ser a velocidade
do carro ao circundar uma rotato´ria de r = 4, 0m?
(c) Qual seria o pero´odo desse movimento?
Soluc¸a˜o:
(a)Usando a Equac¸a˜o (3.15) econtramos ac, lembre-
se de comverte km/h para m/s
ac =
v2
r
=
202
100
ac = 4m/s
2
(3.31)
(b) Usando o resultado de (a) e encontrando uma
expressa˜o para v
v =
√
acr
v =
√
4.4
v = 4, 0m/s
(3.32)
CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 35
(c)
T =
2πr
v
T =
2π4
4
T = 2πs
(3.33)
3.6 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.1: Um jogador de futebol chuta uma
bola horizontalmente de um trampol´ım de 4 m de
altura de uma piscina. Se o jogador observa a bola
atingindo a a´gua 20,0 m a frente do trampol´ım,
qual foi a velocidade inicial dada para a pedra?
Exerc´ıcio 3.2: Num jogo de voˆlei, desde uma
distaˆncia de 14,5 m da rede, e´ dado um saque
do tipo ”jornada nas estrelas”. A bola sobe 20
m acima da altura de lanc¸amento, e desce ate´ a
altura do lanc¸amento num ponto do campo ad-
versa´rio situado a 1 m da rede e 8 m a` esquerda
do lanc¸amento. (a) Em que aˆngulo a bola foi
lanc¸ada? (b) Com que velocidade (em km/h) volta
a atingir a altura do lanc¸amento? (c) Quanto
tempo decorre neste percurso?
Exerc´ıcio 3.3: Robin Hood lanc¸a uma flecha com
um aˆngulo de 60o com a horizontal. Um ajudante
esta´ a uma distaˆncia de 150 m dele e lanc¸a uma
mac¸a˜ verticalmente com a uma velocidade inicial
para atingir a trajeto´ria da flecha. (a) Qual e´ a
velocidade inicial da mac¸a˜ ? (b) Quanto tempo de-
pois do disparo da flecha a mac¸a˜ deve ser lanc¸ada
para atingir a flecha?
Exerc´ıcio3.4: Um pneu de 0, 5 m de raio gira
a uma taxa constante de 200 rev/min. Encontre
o valor da acelerac¸a˜o centr´ıpeta de uma pequena
pedra que esta´ cravada na superf´ıcie do pneu.
Exerc´ıcio 3.5: Encontre a taxa de rotac¸a˜o em
rev/s que deve ter um aparelho girante de raio
9, 5 m constru´ıdo para simular acelerac¸o˜es de 3g
em seus extremos.
Exerc´ıcio 3.6: Um jogador de basquete quer en-
cestar a bola levantando-a desde uma altura de 2,0
m do cha˜o, com velocidade inicial de 7,0 m/s. A
distaˆncia da bola a` vertical que passa pelo centro
do cesto e´ de 3,0 m, e o aro do cesto esta´ a 3,05
m de altura do cha˜o. Em que aˆngulo a bola deve
ser levantada?
Exerc´ıcio 3.7: Qual e´ a hora entre 9 h e 10 h em
que o ponteiro dos minutos de um relo´gio coin-
cide com o das horas? Depois de meio dia, qual
e´ a primeira vez que os treˆs ponteiros voltam a
coincidir?
Exerc´ıcio 3.8: Numa ultracentr´ıfuga girando a
50000 rpm (rotac¸o˜es por minuto), uma part´ıcula
se encontra a 20 cm do eixo de rotac¸a˜o. Cal-
cule a relac¸a˜o entre a acelerac¸a˜o centr´ıpeta dessa
part´ıcula e a acelerac¸a˜o da gravidade g.
Cap´ıtulo 4
Leis de Newton
4.1 Um Pouco de Histo´ria
Deve-se a Johannes Kepler (1571-1630), a propo-
sic¸a˜o em 1621, de treˆs leis sobre a cinema´tica do
movimento dos planetas ao redor do Sol. As leis
de Kepler, como ficaram conhecidas, estabelecem
que:
i. Lei das O´rbitas: Os planetas giram ao redor
do Sol em o´rbitas el´ıpticas, estando o Sol posicio-
nado em um dos focos desta elipse.
ii. Lei das A´reas: O raio vetor que liga o sol ao
planeta, varre a´reas iguais em intervalos de tempo
iguais.
iii. Lei dos Per´ıodos: O quadrado do per´ıodo
da o´rbita de um planeta e´ proporcional ao cubo do
comprimento do semi-eixo maior desta elipse.
Entretanto, a esta e´poca de descobertas, nada foi
dito a respeito do que causava o movimento el´ıptico,
e havia apenas uma suspeita por parte de Ke-
pler de que uma poss´ıvel lei de gravitac¸a˜o envolvia
uma forc¸a dependente do inverso do quadrado da
distaˆncia (HAWLEY & HOLCOMB, 1998). Pos-
teriormente, esta ide´ia foi perseguida por Robert
Hooke (1635 - 1703) e outro intelectuais de seus
dias. Em 1684, Hooke chegou mesmo a afirmar a
Edmund Halley (1656 - 1742) que poderia provar
facilmente sua hipo´tese do inverso do quadrado
da distaˆncia, mas falhou em apresentar a prova,
mesmo apo´s alguns meses. Neste mesmo ano, Hal-
ley fez uma visita a Isaac Newton (1642 – 1727), e
perguntou-lhe sobre como deveria ser a forma de
uma o´rbita para uma forc¸a dependente do inverso
do quadrado da distaˆncia, e Newton respondeu-
lhe que seria el´ıptica. Quando o espantado Hal-
ley perguntou sobre como ele poderia saber disto,
Newton respondeu simplesmente: “Eu calculei!”.
Ao pedido de Halley para ver os ca´lculos, Newton
replicou dizendo na˜o conseguir acha´-los no meio de
seus pape´is, o que provavelmente fez por na˜o ter
ainda a prova completa ou por medo de erros e de
exposic¸a˜o pu´blica 1. Entretanto, treˆs meses mais
tarde, Newton apresentava os ca´lculos completos
a Halley, que comec¸ou a incentiva´-lo no sentido de
publicar suas concluso˜es.
Dois anos depois, Newton apresentava os primei-
ros manuscritos e em 1687, era publicado o li-
vro Princ´ıpios Matema´ticos de Filosofia Natural,
conhecido simplesmente pelo nome de Principia.
Este, que fora publicado com patroc´ınio pessoal
do pro´prio Halley, e´ possivelmente um dos maio-
res trabalhos cient´ıficos ja´ publicados (HAWLEY
& HOLCOMB, 1998).
Nesta obra, sa˜o lanc¸adas as bases de toda a mecaˆ-
nica cla´ssica, conhecida na˜o por acaso como Mecaˆnica
Newtoniana, atrave´s de 3 leis ou princ´ıpios ba´sicos,
chamadas de Leis de Newton.
Newton (Figura 4.1) encerrou sua carreira cien-
tifica poucos anos apo´s a publicac¸a˜o deste livro,
quando em 1693, foi vitima de um se´rio problema
mental, causado possivelmente pelos anos de ex-
1Alguns anos antes, Newton havia publicado um
trabalho em o´tica e fora duramente atacado por Ho-
oke, poss´ıvel raza˜o pela qual se mantinha reservado
desta vez.
36
CAPI´TULO 4. LEIS DE NEWTON 37
Figura 4.1: Isaac Newton. Fonte: http://fisicaarte-
brasil.blogspot.com (em 18/07/2011).
posic¸a˜o ao mercu´rio, durante seus anos de estudos
em alquimia.
Mas, o que estas leis teˆm a ver com o movimento
planeta´rio? E porque o trabalho de Newton esta´
relacionado a` lenda´ria mac¸a˜ que caiu em sua cabec¸a?
Estas respostas podem ser encontradas nas pro´ximas
sec¸o˜es deste cap´ıtulo.
4.2 Referenciais, Repouso e
Forc¸as
Um referencial e´ um sistema de eixos (com origem
e eixos com sentido crescente definido) em relac¸a˜o
ao(s) qual(is) se faz determinada observac¸a˜o so-
bre uma situac¸a˜o de movimento. O referencial no
qual a Lei da Ine´rcia e´ verificada, e todos os ou-
tros que se movam com velocidade v constante em
relac¸a˜o a este, diz-se que sa˜o referenciais inerciais.
Se houverem acelerac¸o˜es envolvidas, tratam-se de
referenciais na˜o inerciais.
Assim, imagine-se dentro de um oˆnibus que per-
corre uma avenida muito extensa e com asfalto
liso e sem buracos, em linha reta e com velocidade
constante. Voceˆ pode “equilibrar-se” dentro deste
oˆnibus da mesma maneira que se equilibraria se ele
estivesse parado em relac¸a˜o a estrada (cuidado ao
tentar isto: em geral o asfalto conte´m buracos!).
Se considerarmos que os demais passageiros den-
tro do oˆnibus constituem um referencial inercial
(quando o oˆnibus na˜o esta acelerando e nem fre-
ando) pode-se observar que sua posic¸a˜o em relac¸a˜o
a eles na˜o se altera (caso voceˆ esteja realmente se
equilibrando em pe´ no meio do corredor), ou seja,
voceˆ estara´ em repouso em relac¸a˜o os passageiros,
pois na˜o muda sua posic¸a˜o em relac¸a˜o a eles. Mas,
se considerarmos a avenida como referencial, ve-
remos que voceˆ estara´ em movimento, pois estara´
mudando de posic¸a˜o em relac¸a˜o a ela.
Uma definic¸a˜o de forc¸a pode ser dada como:
Quantidade vetorial, capaz de alterar o estado de
movimento de um corpo.
Assim, considerando-se um corpo de massa m.
Quando for aplicada a este corpo uma forc¸a ~F , o
mesmo sera´ sujeito a uma mudanc¸a de velocidade,
dada pela acelerac¸a˜o:
~a =
∆~x
∆t
(4.1)
Esta mudanc¸a de velocidade sera´ tanto maior, quanto
menor for a massa do corpo para uma mesma forc¸a
e podem ser relacionadas por:
~F
m
= ~a. (4.2)
Pode-se rearranjar a expressa˜o (4.2), criando uma
definic¸a˜o operacional de forc¸a:
~F = m~a. (4.3)
A unidade de forc¸a no Sistema Internacional de
Unidades (SI) e´ o Newton (N), que de acordo com
4.3 e´, em termos das unidades fundamentais do SI,
dado por:
1 N = 1 kg · 1 m/s2. (4.4)
Veˆ-se ainda de (4.3) que, como a acelerac¸a˜o e´ uma
quantidade vetorial, enta˜o a forc¸a tambe´m deve
ser uma quantidade vetorial (uma vez que a massa
e´ um escalar). Sendo assim, cabe para a forc¸a o
princ´ıpio da superposic¸a˜o, definido como:
Quando duas ou mais forc¸as atuam sobre um corpo,
o efeito resultante sera´ a soma dos efeitos devidos
a cada forc¸a em separado, ao que se chama comu-
mente de forc¸a resultante.
CAPI´TULO 4. LEIS DE NEWTON 38
4.3 1a lei de Newton
O enunciado moderno da primeira lei de Newton,
ou Lei da Ine´rcia, e´:
Os corpos tendem a manter seu estado de movi-
mento, seja repouso ou velocidade constante, quando
nenhuma forc¸a resultante atuar sobre eles.
Parece simples, mas hoje em dia, vivemos imersos
nas implicac¸o˜es desta 1a lei todos os dias, em todos
os lugares, por exemplo:
1 - Os cintos de seguranc¸a nos ve´ıculos visam im-
pedir que os passageiros sejam arremessados atrave´s