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CURSO DE INVERNO DE INTRODUC¸A˜O A` FI´SICA I AGOSTO/2012 Esta versa˜o da apostila encontra-se sob revisa˜o. Pro´-Reitoria de Po´s-Graduac¸a˜o/UFSC Pro´-Reitoria de Ensino de Graduac¸a˜o/UFSC Projeto REUNI - Reestruturac¸a˜o e Expansa˜o das Universidades Federais Programa de Po´s Graduac¸a˜o em F´ısica/UFSC Apostila elaborada por: Ariel Werle (Mestrando em F´ısica) Bruno Pavani Bertolino (Doutorando em F´ısica) Germano Scmann Bortolotto (Mestrando em F´ısica) Rodrigo Sergio Tiedt (Mestrando em F´ısica) Victor Alexandre Veit Schmachtenberg (Doutorando em F´ısica) Coordenac¸a˜o: Rafael Heleno Campos (Mestrando em F´ısica) Supervisa˜o: Prof. Dr. Marcelo Henrique Romano Tragtenberg (Programa de Po´s Graduac¸a˜o em F´ısica da UFSC) Revisor final: Prof. Dr. Oswaldo de Medeiros Ritter (Programa de Po´s Graduac¸a˜o em F´ısica da UFSC) Cronograma do curso e ministrantes: 30/07/2012 - Cinema´tica unidimensional (Germano Scmann Bortolotto) 31/07/2012 - Vetores (Bruno Pavani Bertolino) 01/08/2012 - Cinema´tica bidimensional (Rodrigo Sergio Tiedt) 02/08/2012 - Leis de Newton (Ariel Werle) 03/08/2012 - Aplicac¸a˜o das leis de Newton (Victor Alexandre Veit Schmachtenberg) Versa˜o atual: v3. I´ndice 1 Movimento em Uma Dimensa˜o 6 1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Grandezas, Unidades e Simbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Grandezas Fundamentais e Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Grandezas Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Cinema´tica Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Deslocamento e Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Velocidade Instantaˆnea e Velocidade Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.9 Movimento Unidimensional com Acelerac¸a˜o Constante . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10 Corpos em Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Vetores 22 2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Representac¸a˜o de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Operac¸o˜es de Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Multiplicac¸a˜o de um Vetor por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Produto Escalar de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 I´NDICE 4 2.7 Componentes de um Vetor em 2 Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.8 Vetores em 3 Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.9 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Vetores na Forma de Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.10 Produtos de Vetores na Forma de Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Movimento em Duas Dimenso˜es 30 3.1 Movimento em Duas Dimenso˜es com Acelerac¸a˜o Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Movimento de Proje´teis em Duas Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.1 Movimento Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 Movimento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.3 Alcance Horzontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.4 Altura Ma´xima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Acelerac¸a˜o Tangencial e Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Leis de Newton 36 4.1 Um Pouco de Histo´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Referenciais, Repouso e Forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 1a lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 2a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.5 Tipos de forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.6 A 3a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 I´NDICE 5 5 Aplicac¸o˜es das Leis de Newton 47 5.1 Forc¸a de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Forc¸as de Arraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6 Respostas dos Exerc´ıcios 60 7 Refereˆncias Bibliogra´ficas 62 Cap´ıtulo 1 Movimento em Uma Dimensa˜o 1.1 Introduc¸a˜o Utilizamos uma infinidade de palavras f´ısicas que sa˜o cotidianamente conhecidas pelas pes- soas, por exemplo: velocidade, forc¸a, energia, luz, calor, som e muitas outras. Se entrarmos em um campo mais profissional iremos nos de- parar com tecnicismos tais como: luminotec- nia, ressonaˆncia, reataˆncia, ondas moduladas, etc., que sa˜o utilizados e a`s vezes intuitiva- mente compreendidos por diferentes pessoas nos mais diferentes campos profissionais. Das mais elevadas posic¸o˜es intelectuais; me´dicos, bio´logos, geo´logos, filo´sofos, historiadores, geo´- grafos, engenheiros, etc., ate´ o mais humilde trabalhador, todos, absolutamente todos eles sem excec¸a˜o, precisam em algum momento da f´ısica para compreender algo que esta´ aconte- cendo. A palavra F´ısica procede do termo grego ϕνσιζ , que significa natureza. Podemos dizer que a F´ısica e´ um ramo da Filosofia Natural que es- tuda as propriedades ba´sicas do Universo e, portanto, e´ regida pelos inaltera´veis princ´ıpios que a natureza impo˜e. A F´ısica tenta dar resposta aos fenoˆmenos da natureza, fenoˆmenos dia´rios, que observamos a todo instante. Ela da´ ao homem que com ela trabalha um esp´ırito de observac¸a˜o, obrigando- o a perguntar-se o por queˆ? de certas mu- danc¸as que seu meio apresenta. 1.2 Grandezas, Unidades e Simbolos Nosso conhecimento e´ satisfato´rio quando po- demos expressa´-lo atrave´s de nu´meros. (Lord Kelvin) Apesar da beleza matema´tica de algumas de suas teorias mais complexas e abstratas, in- cluindo as part´ıculas elementares e a relativi- dade geral, a f´ısica e´ acima de tudo uma cieˆncia experimental. Portanto e´ de vital importaˆncia que os dados de quem realiza medidas ta˜o pre- cisas estejam de acordo com certos padro˜es, para que seja poss´ıvel comunicar os resultados destas medidasde um laborato´rio a outro sem ambiguidades. Definiremos alguns termos u´teis para este pro- cesso: GRANDEZA e´ tudo aquilo suscet´ıvel de me- dida. Exemplos: O comprimento, a massa, o tempo, sa˜o grandezas, ja´ que podemos medi- los. MEDIR e´ comparar duas grandezas da mes- ma espe´cie, uma das quais toma-se como UNI- DADE. Exemplo: Se A e B sa˜o grandezas da mesma espe´cie, e toma-se A como unidade, o nu´mero de unidades A que sa˜o necessa´rias para fazer uma grandeza igual a B, expressa a me- dida de B. 6 CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 7 QUANTIDADE DE UMA GRANDEZA e´ o nu´mero de unidades que equivale aquela grandeza. Exemplo: O tempo e´ uma grandeza; sete anos e´ uma quantidade. UNIDADE e´ uma quantidade arbitra´ria que adota-se para comparar com ela quantidades de sua mesma espe´cie. Na escolha de uma uni- dade influi a extensa˜o da quantidade a medir. Exemplos: Para fazer a medida da distaˆncia da Terra ate´ uma estrela distante, escolhe-se o ano-luz ; para a distaˆncia entre duas cidades o quiloˆmetro; no comprimento de um oˆnibus o metro; na medida da espessura de um filme o mil´ımetro e para a medida do comprimento de uma onda de luz o Angstrom (A˚). Na˜o e´ necessa´rio que sejam sempre estas as unida- des empregadas; podemos tomar como unidade qualquer quantidade arbitra´ria que nos con- vier: se chamamos A de uma quantidade (su- perf´ıcie na Figura 1.1), a quantidade B equi- vale a 4A; assim podemos medir B adotando A como unidade. Figura 1.1: A medida de B e´ 4 vezes A. 1.3 Grandezas Fundamen- tais e Suplementares Sa˜o GRANDEZAS FUNDAMENTAIS aque- las cujas unidades escolhemos arbitrariamente como base do sistema de unidades e na˜o pos- suem uma equac¸a˜o que as defina. Sendo os fenoˆmenos f´ısicos realizados no espac¸o durante o transcorrer do tempo; a natureza nos impo˜e, assim duas grandezas fundamentais: o COM- PRIMENTO (L) e o TEMPO (t), sem uma definic¸a˜o precisa, e cuja existeˆncia conhecemos desde o momento em que nossas vidas se ini- ciam. No ramo da F´ısica chamado mecaˆnica, e´ preciso uma terceira grandeza fundamental de- finida por nossa pro´pria intuic¸a˜o que, com as duas anteriores nos permita definir de um jeito coerente as novas grandezas que surgem nos fenoˆmenos mecaˆnicos; tal grandeza escolhe-se arbitrariamente: na F´ısica teo´rica usa-se a MAS- SA (M) e na te´cnica a FORC¸A (F ). E como grandezas suplementares temos o AˆNGULO (rad) e o AˆNGULO SO´LIDO (sr). Figura 1.2: Unidades fundamentais no SI. Figura 1.3: Fator, prefixo e s´ımbolo. De acordo com o Sistema Internacional de Uni- dades (SI) as unidades mais ba´sicas em que po- demos expressar os resultados de uma medida CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 8 sa˜o as mostradas na Figura 1.2 e os prefixos de quantidade que facilitam a expressa˜o de quan- tidades muito pequenas ou muito grandes de- pendendo do fator de escala em poteˆncias de 10 sa˜o mostrados na Figura 1.3 . 1.4 Grandezas Derivadas Uma grandeza e´ DERIVADA quando e´ defi- nida empregando-se outras grandezas simples ou fundamentais. Exemplo: ao dizer que um carro tem uma velocidade de 60 quiloˆmetros por hora, batiza-se uma quantidade que cor- responde a uma grandeza derivada ou com- posta, ja´ que na sua determinac¸a˜o precisa-se da medida de um comprimento (informac¸a˜o for- necida pelos odoˆmetros dos carros) e de um tempo (informac¸a˜o fornecida pelo uso de um cronoˆmetro). A velocidade, portanto, e´ uma grandeza derivada. Realiza-se uma MEDIDA INDIRETA quando mede-se uma quantidade com relac¸a˜o a outras que sera˜o relacionadas com aquelas por meio de uma fo´rmula matema´tica. A determinac¸a˜o de uma grandeza derivada exige: a) Sua de- finic¸a˜o correta, clara e concisa. b) Estabele- cer uma fo´rmula matema´tica que abarque to- das as ide´ias expressas na definic¸a˜o. c) Fixar unidades de medida. Uma vez compreendida e aprendida a definic¸a˜o de uma grandeza f´ısica, iremos expressa´-la atrave´s de uma fo´rmula. A FO´RMULA e´, na F´ısica, a expressa˜o de uma ideia. Exemplo 1.1: Um carro percorreu 180 km em 3 horas. Quantos quiloˆmetros tera´ percorrido em uma hora? Soluc¸a˜o: Ummenino pensaria da seguinte for- ma: 180 km/3 horas = 60 km percorridos em uma hora; o quociente de dois nu´meros concre- tos indica a variac¸a˜o da grandeza do numera- dor, entre cada uma das unidades do denomi- nador. Assim, compreende-se, que quando se define velocidade me´dia como o espac¸o me´dio percorrido por unidade de tempo, e chama-se s ao espac¸o ou caminho percorrido e t ao tempo empregado em percorreˆ-lo, formula-se sem du- vidar: velocidade me´dia = espac¸o tempo ⇐⇒ v¯ = s t (1.1) Exerc´ıcio Proposto: Tendo em conta a equi- valeˆncia entre unidades fundamentais, deter- minar os fatores de conversa˜o de: a) km/h a milhas/h. b) lb/ft3 a g/cm3. c) m/s a jd/h. 1.5 Cinema´tica Unidimen- sional Amecaˆnica e´ o mais antigo dos ramos da f´ısica, baseando-se no estudo do movimento dos ob- jetos. O ca´lculo das trajeto´rias de uma bola de beisebol, um sate´lite de telecomunicac¸o˜es, uma espac¸onave enviada para Marte, sa˜o al- gum dos problemas dos quais ocupa-se, assim como a ana´lise da trajeto´ria das part´ıculas fun- damentais que formam-se nas coliso˜es nos mai- ores aceleradores do mundo como o LHC. A cinema´tica (do grego kinema, que significa movimento) e´ a parte da Mecaˆnica que se ocupa da descric¸a˜o do movimento sem se preocupar com as suas causas. Para simplificar, iniciaremos o estudo do mo- vimento ao longo de uma direc¸a˜o do espac¸o, enta˜o designamos este estudo de cinema´tica unidimensional. CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 9 1.6 Deslocamento e Veloci- dade O movimento de uma part´ıcula e´ completa- mente conhecido se a posic¸a˜o dela no espac¸o e´ conhecida em qualquer instante de tempo. Consideremos o movimento de um carro no eixo x, Figura 1.4, no instante de tempo t = 0 ele esta´ localizado a 30 m do sinal de traˆnsito. Comec¸a-se a fazer medic¸o˜es em intervalos re- gulares de tempo ∆t = 10 s e os resultados sa˜o os mostrado na tabela da Figura 1.5 , onde no primeiro intervalo de tempo o carro mudou de posic¸a˜o, de A© para B©. Figura 1.4: Movimento do carro. O valor da posic¸a˜o comec¸a a decrescer desde a posic¸a˜o B© ate´ F©, e na posic¸a˜o D© sua posic¸a˜o e´ zero. O gra´fico, Figura 1.6 , mostra a variac¸a˜o da posic¸a˜o do carro com respeito ao tempo. A curva foi suavizada para facilitar a compre- ensa˜o do leitor. Agora mudando de evento, se uma part´ıcula encontra-se em movimento, pode-se determi- nar facilmente a mudanc¸a de sua posic¸a˜o. O deslocamento de uma part´ıcula e´ defi- nido como uma mudanc¸a em sua posic¸a˜o. Movendo-se da posic¸a˜o inicial xi ate´ uma posic¸a˜o final x, esta mudanc¸a sera´ representada pela letra grega ∆. Portanto o deslocamento da Figura 1.5: Tabela de dados. Figura 1.6: Gra´fico de posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo. CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 10 part´ıcula e´ escrito como, ∆x ≡ x− x0. (1.2) De acordo com esta definic¸a˜o x tem que ser maior que x0 para obtermos um resultado po- sitivo, do contra´rio o deslocamento sera´ negati- vo. E´ comum confundir os termos deslocamen- to e distaˆncia percorrida. Imagine uma pessoa que sai de sua casa no bairro Trindade para a aula de F´ısica na UFSC, mas ela tem que pas- sar primeiro pelo Comper, pelo Banco do Bra- sil, para fazer um depo´sito para sua ma˜e, de- pois passar pela xerox perto do CTC e ao final ir ao CFM para a aula. A distaˆncia percorrida por ela e´ aquelatoda descrita anteriormente, embora o deslocamento e´ somente a diferenc¸a entre o ponto final (aula de F´ısica no CFM) e o ponto inicial (casa na Trindade). Para ten- tar esboc¸ar isto um pouco melhor a Figura 1.7 mostra a ideia basica entre os dois conceitos. Figura 1.7: Diferenc¸a entre deslocamento e distaˆncia percorrida. O deslocamento e´ um bom exemplo de uma grandeza vetorial. Muitas outras quantidades f´ısicas, como a velocidade e a acelerac¸a˜o, sa˜o exemplos de grandezas vetoriais. Em geral, um vetor e´ uma grandeza f´ısica que pre- cisa da especificac¸a˜o da direc¸a˜o e do mo´dulo. Ao contra´rio, um escalar e´ uma quanti- dade que tem mo´dulo mas na˜o direc¸a˜o. Voltando a` ana´lise do movimento do carro, e´ de vital importaˆncia fazer uma descric¸a˜o do des- locamento do carro no transcorrer do tempo, para cada intervalo mensurado (∆t), esta raza˜o tem um nome muito especial, e´ chamada de velocidade me´dia. A velocidade me´dia v¯x de uma part´ıcula e´ definida como o des- locamento ∆x dividido pelo intervalo de tempo ∆t no qual o deslocamento acon- teceu: v¯x ≡ ∆x ∆t (1.3) Desta definic¸a˜o observa-se que a velocidade tem as dimenso˜es de (L/t) metros por segundo no SI. A velocidade pode ser um valor positivo ou negativo, tudo vai depender se o deslocamento vai para a frente ou para atra´s, mas o intervalo de tempo ∆t sempre sera´ uma quantidade posi- tiva. Deve-se ressaltar que a velocidade me´dia e´ uma grandeza vetorial, mas como o caso ana- lisado ate´ agora e´ unidimensional a direc¸a˜o do vetor e´ definida atrave´s do s´ımbolo (+ ou -), dependendo o caso. Em nosso dia a dia, utiliza-se a expressa˜o ra- pidez para dizer de modo comparativo que um carro e´ mais rapido que outro, significando as- sim que um viaja a uma velocidade maior que o outro, mas na˜o devemos nos confundir ja´ que os dois termos apresentam ambiguidades em nosso jarga˜o cotidiano. Define-se, a velo- cidade escalar me´dia de uma part´ıcula como uma quantidade escalar, que e´ a distaˆncia percorrida por ela no intervalo total de tempo: velocidade escalar me´dia = distaˆncia total tempo total (1.4) A unidade que apresenta a velocidade escalar CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 11 me´dia no SI e´ metros por segundo, igual a velo- cidade me´dia, sendo a diferenc¸a fundamental e´ que esta u´ltima e´ uma grandeza vetorial e a ve- locidade escalar e´ um escalar. O conhecimento da velocidade escalar me´dia na˜o e´ informac¸a˜o suficente para saber o que aconteceu detalha- damente com o movimento de uma part´ıcula. Exemplo 1.2: Ache o deslocamento, veloci- dade me´dia e velocidade escalar me´dia do carro que foi descrito anteriormente entre as posic¸o˜es A© e F©. Soluc¸a˜o: A unidade dos deslocamentos e´ o metro, e o resultado nume´rico deve ser da mes- ma ordem de grandeza que foram os dados for- necidos. Sendo assim, as informac¸o˜es finais e iniciais sa˜o: x = −53 m a t = 50 s, x0 = 30 m a t0 = 0 s. Portanto, ∆x = xF −xA = (−53 m)− (30 m) = −83 m (1.5) Este resultado significa que o carro percorre uma distaˆncia de 83 metros na direc¸a˜o negativa desde o ponto inicial. Por outro lado e´ dif´ıcil fazer uma boa estimativa da velocidade me´dia sem um bom ca´lculo, v¯x = ∆x ∆t = x− x0 t− t0 = xF − xA tF − tA = −(53 m)− 30 m 50 s− 0 s = −83 m 50 s = −1, 7 m/s . (1.6) Obte´m-se que a velocidade escalar me´dia do carro no percurso todo e´ a soma das distaˆncias percorridas dividida pelo tempo total: = 22 m+ 52 m+ 53 m 50 s = 2, 5 m/s (1.7) 1.7 Velocidade Instantaˆnea e Velocidade Escalar Frequentemente e´ preciso conhecer a veloci- dade de uma part´ıcula em um determinado ins- tante de tempo t, sem nos importarmos com o fato de que o intervalo de tempo e´ na ver- dade finito. Por exemplo, embora calculemos facilmente a velocidade me´dia durante a via- gem de um carro, o maior interesse esta´ em conhecer instantaneamente sua velocidade, do mesmo modo que a pol´ıcia faz com os medido- res de velocidade postos nas principais estradas das cidades. Isto nos leva a crer que o intervalo de variac¸a˜o ou ∆t e´ cada vez mais curto ate´ ser quase zero. Sendo assim que forma temos para analisar a velocidade de um corpo se o tempo encontra-se fixo? A resposta a esta pergunta controversia esta´ relacionada diretamente com o ca´lculo diferencial, o qual nos ajudara´ a ob- ter uma descric¸a˜o instantaˆnea do movimento dos corpos em qualquer tempo desejado. Figura 1.8: a) Representa o movimento do carro. Para saber como este processo pode ser reali- zado, vamos considerar as Figuras 1.8 e 1.9, onde foi discutido a velocidade me´dia no in- tervalo composto pela posic¸a˜o A© ate´ B©. Fa- zendo B© cada vez mais pro´ximo de A©, qual CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 12 Figura 1.9: b) O processo feito para obter a veloci- dade inicial do carro. daquelas linhas representa a velocidade inicial do carro? Sendo que o carro parte com um mo- vimento para a direita, portanto inicialmente a velocidade deve ser um valor positivo no in- tervalo A© ate´ B©, mas avaliando a velocidade me´dia entre A© ate´ F© com certeza a velocidade tera´ um valor negativo. A´ı vale ressaltar que a ideia principal desta discuc¸a˜o e´ fazer o inter- valo temporal de medida o menor poss´ıvel ate´ obtermos uma reta que corte a func¸a˜o num so´ ponto. Esta reta e´ chamada de reta tangente a` curva e sua inclinac¸a˜o e´ a variac¸a˜o da posic¸a˜o no tempo instantaneamente. Aqui vamos de- finir o conceito de velocidade instantaˆntea vx, que e´ igual ao valor limite da raza˜o ∆x/∆t quando ∆t e´ muito pro´ximo de zero. vx ≡ lim ∆t→0 ∆x ∆t = dx dt (1.8) Seja o u´ltimo termo da equac¸a˜o anterior o cor- respondente a` notac¸a˜o do ca´lculo diferencial, este valor limite e´ mais conhecido como a de- rivada da func¸a˜o posic¸a˜o x com respeito ao tempo t. A velocidade instantaˆnea pode ter um valor positivo, negativo ou zero. A partir de agora usaremos o termo velocidade para a velocidade instantaˆnea das part´ıculas e a velo- cidade escalar me´dia de uma part´ıcula e´ definida como a raza˜o entre o espac¸o to- tal percorrido e o tempo total para per- correˆ-lo. Exemplo 1.3: Uma part´ıcula esta´ se movendo ao longo do eixo x. A posic¸a˜o da part´ıcula e´ descrita pela expressa˜o x = 4t + 2t2, onde x esta´ em metros e t esta´ em segundos. A Figura 1.10 mostra o gra´fico da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo. A part´ıcula move-se na direc¸a˜o negativa do x no primeiro segundo, esta´ em re- pouso em t = 1 s e move-se na direc¸a˜o positiva do x para t > 1 s. (a) Determinar o deslo- camento da part´ıcula no intervalo de tempo t = 0 s a t = 1 s e de t = 1 s a t = 3 s. (b) Calcular a velociade me´dia durante estos dois intervalos de tempo. (c) Obter a velocidade instantaˆnea da part´ıcula no tempo t = 2, 5 s. Soluc¸a˜o: (a) Durante o primeiro intervalo de tempo, tem-se uma curva com valores negati- vos e velocidade negativa. Assim o desloca- mento entre A© e B© tem que ser um valor ne- gativo em unidade de metro, do mesmo modo espera-se que o deslocamento entre B© a D© seja positivo. Figura 1.10: Posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo para uma part´ıcula no eixo x que move-se de acordo com a ex- pressa˜o x = −4t+ 2t2. Para o primeiro intervalo de tempo o desloca- mento e´, CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 13 ∆xA→B = xB − xA = [−4(1) + 2(1)2]− [−4(0) + 2(0)2] = −2 m . (1.9) Para calcular o deslocamento durante o segundo intervalo, ∆xB→D = xD − xB = [−4(3) + 2(3)2]− [−4(1) + 2(1)2] = +8 m . (1.10) Este u´ltimo deslocamento podeser visto dire- tamente do gra´fico da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo. (b) No primeiro intervalo ∆t = tB − tA = 1 s, obte´m-se que v¯x(A→B) = ∆xA→B ∆t = −2 m 1 s = −2 m/s . (1.11) Para o segundo intervalo, ∆t = 2 s, portanto, v¯x(B→D) = ∆xB→D ∆t = 8 m 2 s = +4 m/s . (1.12) (c) Certamente pode-se estimar que a veloci- dade instantaˆnea deve ser da mesma ordem que os resultados pre´vios, ao redor de 4 m/s. Exa- minando o gra´fico, pode-se ver que a inclinac¸a˜o da reta tangente na posic¸a˜o C© e´ maior que da reta que liga os pontos B© e D©. Assim, espera-se que a resposta seja maior que 4 m/s. Atrave´s de medic¸o˜es na curva do gra´fico a t = 2, 5 s, obte´m-se, vx = +6 m/s . (1.13) 1.8 Acelerac¸a˜o Diz-se que quando a velocidade de uma part´ıcula muda como func¸a˜o do tempo, enta˜o ela apre- senta acelerac¸a˜o. Seja como exemplo um carro que encontra-se numa corrida. Sua velocidade no momento inicial na˜o sera´ a mesma o tempo todo, pois o piloto vai procurar uma velocidade cada vez maior para assim poder ganhar a com- petic¸a˜o. Supondo que uma part´ıcula move-se ao longo do eixo x com uma velocidade ini- cial vx0 num instante t0 e adquire uma velo- cidade final vx num instante t, define-se que a acelerac¸a˜o me´dia de uma part´ıcula e´ a mudanc¸a da velocidade ∆vx dividida pelo intervalo de tempo decorrido ∆t durante o qual aconteceu a mudanc¸a: a¯x ≡ ∆vx ∆t = vx − vx0 t− t0 , (1.14) Sendo a acelerac¸a˜o a taxa de variac¸a˜o da ve- locidade com respeito ao tempo (L/t)/t, sua unidade no SI e´ o m/s2. Em algumas situac¸o˜es o valor da acelerac¸a˜o pode ser diferente so- bre diferentes intervalos. Por isso, define-se a acelerac¸a˜o instantaˆnea como o limite da ace- lerac¸a˜o me´dia para um tempo ∆tmuito pro´ximo de zero. Figura 1.11: Diagrama do movimento de um carro ao longo do eixo x. Se imaginarmos que o ponto B© esteja muito perto do ponto A© na Figura 1.12 , obte´m-se a acelerac¸a˜o instantaˆnea como, ax ≡ lim ∆t→0 ∆vx ∆t = dvx dt . (1.15) CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 14 Figura 1.12: Gra´fico do movimento de um carro ao longo do eixo x. Diz-se que a acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ igual a` derivada da velocidade com respeito ao tempo. Do mesmo modo pode-se dizer que a acelerac¸a˜o e´ a taxa da variac¸a˜o da velocidade no tempo. Se ax e´ positiva, enta˜o a velocidade e´ cada vez maior no tempo, mas se a acele- rac¸a˜o e´ negativa enta˜o a velocidade apresenta um comportamento decrescente.1 Figura 1.13: (a)Esboc¸o da velocidade e (b) ace- lerac¸a˜o de uma part´ıcula como func¸a˜o do tempo. A Figura 1.13 mostra a curva da velocidade e da acelerac¸a˜o para uma part´ıcula como func¸a˜o do tempo. Facilmente observa-se que os valores positivos da acelerac¸a˜o esta˜o relacionados com o aumento da velocidade. Exemplo 1.4: A velocidade de uma part´ıcula 1Isto e´ verdade se a velocidade for positiva. Se a velocidade for negativa, o valor da velocidade aumen- tara´, pois o sinal aqui so´ representa o sentido do movi- mento. ao longo do eixo x varia de acordo com a ex- pressa˜o vx = (40 − 5t2) m/s onde t esta´ em segundos. (a) Procurar a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de tempo t = 0, 0 s a t = 2, 0 s. (b) Determinar a acelerac¸a˜o no tempo t = 2, 0 s. Figura 1.14: Gra´fico da velocidade como func¸a˜o do tempo, de acordo a` expressa˜o vx = (40− 5t2) m/s. Soluc¸a˜o: (a) A Figura 1.14 mostra o gra´fico da velocidade em func¸a˜o do tempo, sendo que a curva e´ decrescente ate´ assumir valores negativos, espe- rando que a acelerac¸a˜o seja negativa. Obte´m-se que a velocidade nos pontos t0 = tA© = 0, 0 s e t = tB© = 2, 0 s e´, portanto, v xA© = (40 − 5(0, 0)2) m/s = +40 m/s, v xB© = (40 − 5(2, 0)2) m/s = +20 m/s. (1.16) De tal forma que a acelerac¸a˜o no intervalo de tempo ∆t = 2, 0 s e´, a¯x = v xB©− vxA© tB©− tA© = (20− 40) m/s (2.0 − 0.0) s = −10 m/s 2 . (1.17) O sinal negativo da acelerac¸a˜o me´dia neste inter- valo faz com que a velocidade da part´ıcula adquira um valor menor que o inicial. CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 15 (b) A velocidade em qualquer ponto e´ dada por vx0 = (40 − 5t2) m/s, portanto a velocidade para um tempo t+∆t e´, vx = 40− 5(t+∆t)2 = 40− 5t2− 10t∆t− 5(∆t)2. (1.18) Portanto a mudanc¸a da velocidade sobre o inter- valo de tempo ∆t e´, ∆vx = vx−vx0 = [−10t∆t−5(∆t)2] m/s. (1.19) Dividindo esta u´ltima expressa˜o por ∆t e pegando o limite para um intervalo de tempo muito pe- queno: ax = lim ∆t→0 ∆vx ∆t = lim ∆t→0 (−10t− 5∆t) = −10t m/s2. (1.20) Substituindo o tempo t = 2, 0 s, ax = (−10)(2, 0) m/s2 = −20 m/s2 . (1.21) A principal diferenc¸a entre os dois procedimentos e´ que para o primeiro a acelerac¸a˜o e´ a me´dia en- tre duas medidas nos pontos A© e B©, diferente de quando e´ avaliada apenas no ponto B©, este re- sultado sendo a taxa de variac¸a˜o da velocidade naquele ponto ou o valor da reta tangente, signi- ficando assim, a acelerac¸a˜o instantaˆnea. 1.9 Movimento Unidimen- sional com Acelerac¸a˜o Constante O caso no qual a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula va- ria com relac¸a˜o ao tempo e´ um bom exemplo do qua˜o complexo pode ser a descric¸a˜o de um sis- tema. Por outro lado, e´ muito comum que a des- cric¸a˜o dos movimentos unidimensionais seja assu- mida com acelerac¸a˜o constante. Sendo assim, a acelerac¸a˜o me´dia em todos os tempos e´ a mesma, significando que a taxa da variac¸a˜o da velocidade e´ mesma durante todo o movimento. Na equac¸a˜o 1.14, ao substituir a¯x por ax e to- mando o tempo inicial t0 = 0 s, obte´m-se: ax = vx − vx0 t ou vx = vx0 + axt. (1.22) Esta e´ uma poderosa expressa˜o que permite de- terminar a velocidade de um objeto em qualquer tempo t caso se conhec¸a a velocidade inicial do ob- jeto e sua acelerac¸a˜o (constante). As Figuras 1.15- , 1.16, 1.17 mostram os diferentes gra´ficos que des- crevem o movimento de um corpo com acelerac¸a˜o constante. Figura 1.15: Gra´fico que descreve a velocidade em func¸a˜o do tempo de um corpo com acelerac¸a˜o constante ao longo do eixo x. Para o movimento com acelerac¸a˜o constante a ex- pressa˜o para a velocidade me´dia em qualquer in- tervalo de tempo e´ a me´dia aritme´tica, v¯x = vx0 + vx 2 . (1.23) A equac¸a˜o para o deslocamento para qualquer cor- po como func¸a˜o do tempo com acelerac¸a˜o cons- tante e´, CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 16 Figura 1.16: Gra´fico que descreve a acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo de um corpo com acelerac¸a˜o constante ao longo do eixo x. Figura 1.17: Gra´fico que descreve a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo de um corpo com acelerac¸a˜o cons- tante ao longo do eixo x. x− x0 = v¯xt = 1 2 (vx0 + vx)t. (1.24) Pode-se obter outra expressa˜o u´til para o desloca- mento com acelerac¸a˜o constante ao fazer algumas substituic¸o˜es nas equac¸o˜es anteriores (se substi- tuirmos vx da Equac¸a˜o 1.23 na Equac¸a˜o 2.12), x− x0 = 1 2 (vx0 + vx0 + axt)t, x− x0 = vx0t+ 1 2 axt 2. (1.25) Se derivarmos a equac¸a˜o anterior com respeito ao tempo obtemos, vx = dx dt = d dx (x0 + vx0t+ 1 2 axt 2) = vx0 + axt (1.26) Finalmente, pode-se obter uma expressa˜o para o deslocamento que na˜o dependa do tempo, ao fazer a substituic¸a˜o do tempo da Equac¸a˜o 1.26 na Equa- c¸a˜o 2.12, x− x0 = 1 2 (vx0 + vx) ( vx − vx0 ax ) = v2x − v2x0 2ax , v2x = v 2 x0 + 2ax(x− x0) (1.27) que e´ chamada Equac¸a˜o de Torricelli, inicialmente obtida no contexto da F´ısica de Fluidos. No caso no qual ax = 0, as equac¸o˜es anteriores reduzem-se ao caso de movimento com velocidadeconstante. Exemplo 1.5: Um carro viajando a uma velo- cidade (constante) de 45, 0 m/s passa ao lado de uma viatura da pol´ıcia que estava escondida atra´s de uma propaganda na estrada. Um segundo apo´s o carro passar pela propaganda, o policial parte para pega´-lo, acelerando a uma taxa constante de 3, 00 m/s2. Quanto tempo o policial vai levar para ultrapassar o carro? CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 17 Equac¸a˜o Informac¸a˜o fornecida vx = vx0 + axt Velocidade como func¸a˜o do tempo x− x0 = 1 2 (vx0 + vx)t Deslocamento como func¸a˜o da velocidade e do tempo x− x0 = vx0t+ 1 2 axt 2 Deslocamento como func¸a˜o do tempo v2x = v 2 x0 + 2ax(x− x0) Velocidade como func¸a˜o do deslocamento Tabela 1.1: Equac¸o˜es cine´ticas do movimento unidi- mensional com acelerac¸a˜o constante. Soluc¸a˜o: Uma leitura detalhada ajuda a com- preender que o movimento do policial e´ unifor- memente acelerado. Conhece-se que um segundo (1, 0 s) apo´s o carro passar o policial inicia a per- seguic¸a˜o. Pore´m o carro move-se com velocidade constante. A Figura 1.18 ajudara´ a compreender melhor os eventos. Figura 1.18: O esboc¸o dos eventos. Primeiro, escrevendo a posic¸a˜o do carro como fun- c¸a˜o do tempo, convenientemente escolhendo a po- sic¸a˜o da propaganda como a origem e tB© ≡ 0, 0 s como o tempo da partida do policial. Naquele instante o carro ja´ tera´ percorrido uma distaˆncia de 45, 0 m, portanto a posic¸a˜o inicial do carro e´ xB© = 45, 0 m. A equac¸a˜o do deslocamento do carro e´ dada por xcarro =xB© + vxcarrot =45, 0 m+ (45, 0 m/s)t, (1.28) mostrando assim que para o tempo igual t = 0 s a posic¸a˜o do carro e´ xcarro = 45, 0 m. Para o caso do policial, ele parte da origem no tempo t = 0, 0 s com uma acelerac¸a˜o constante. Assim a equac¸a˜o que descreve seu movimento e´ x = x0 + vx0t+ 1 2 axt 2, xpolicial = 0 + 0t+ 1 2 (3, 00 m/s2)t2. (1.29) A ideia aqui e´ que o policial vai ultrapassar o carro no instante quando suas posic¸o˜es sejam as mes- mas, chamado instante C©: xpolicial = xcarro, 1 2 (3, 00 m/s2)t2 = 45, 0 m+ (45, 0 m/s)t, (1.30) levando, assim, a uma equac¸a˜o quadra´tica, 1.50t2 − 45, 0t − 45, 0 = 0.0, (1.31) sendo soluc¸a˜o f´ısica da equac¸a˜o (tempos positi- vos), quando t = 31, 0 s . 1.10 Corpos em Queda Li- vre Ja´ e´ bem conhecido o fato que os corpos de dife- rentes formas, quando na auseˆncia de atrito, caem com a mesma acelerac¸a˜o em direc¸a˜o ao centro da terra devido a` ac¸a˜o da gravidade. Assim define-se o conceito de queda livre. A queda livre e´ a si- tuac¸a˜o em que um objeto qualquer move-se somente pela ac¸a˜o da gravidade, sem ter em considerac¸a˜o seu movimento inicial. Denota- se a acelerac¸a˜o da queda livre pela letra g (gravi- dade). O valor da gravidade na superf´ıcie da terra e´ g = 9, 8 m/s2(sendo este um valor me´dio, pois a acelerac¸a˜o da gravidade varia com a latitude e a altitude). Se for desprezado o atrito com o ar durante a queda livre dos corpos, as equac¸o˜es que descrevem CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 18 o movimento uniformemente acelerado adaptam- se perfeitamente com a descric¸a˜o da queda dos corpos apenas substituindo a acelerac¸a˜o pela gra- vidade ay = g = −9, 8 m/s2 onde o sinal negativo esta´ relacionado com a escolha do sentido positivo do eixo das posic¸o˜es apontando para cima. Exemplo 1.6: Uma pedra e´ lanc¸ada do alto de um pre´dio com uma velocidade inicial para acima de 20, 0 m/s. A altura do pre´dio e´ de 50, 0 m. Assuma que a pedra comec¸a seu movimento em t = 0, 0 s. Determinar, (a) o tempo no qual a pe- dra estara´ na sua ma´xima altura, (b) a ma´xima altura, (c) o tempo no qual a pedra retorna a` al- tura original, (d) a velocidade da pedra naquele instante e (e) a velocidade e a posic¸a˜o no tempo t = 5, 0 s. Soluc¸a˜o: (a) No ponto onde a altura e´ ma´xima a velocidade da pedra e´ zero. Para calcular este tempo utiliza-se a equac¸a˜o vy = vy0 + ayt, mas vy = 0, 0 m/s para a altura ma´xima, enta˜o 20, 0 m/s + (−9, 8 m/s2)t = 0, 0, tma´x = 20, 0 m/s 9, 80 m/s2 = 2, 04 s . (1.32) (b) Para calcular a altura ma´xima, yma´x = vy0tma´x + 1 2 ayt 2 ma´x = (20, 0 m/s)(2, 04 s) + 1 2 (−9, 8 m/s2)(2, 04 s)2 = 20, 4 m . (1.33) (c) Para calcular o tempo necessa´rio para que a pedra esteja novamente na altura inicial, fazemos y = y0 = 0 m, assim: y − y0 = vy0t+ 1 2 ayt 2, 0 = 20, 0t− 4, 90t2. (1.34) A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o obteˆm-se resolvendo uma equac¸a˜o de segundo grau. Resolvendo a equac¸a˜o e desprezando o resultado negativo, obtemos que para o tempo t = 4, 08 s a pedra estara´ novamente em sua altura inicial. (d) Para calcular a velocidade basta fazer a se- guinte relac¸a˜o, vy = vy0 + ayt = 20, 0 m/s+ (−9, 80 m/s2)(4, 08 s) = −20, 0 m/s . (1.35) O valor negativo da velocidade ı´ndica que sua di- rec¸a˜o e´ agora oposta a` direc¸a˜o original (na qual a pedra ia para cima). (e) Para esta parte a ana´lise sera´ um pouco dife- rente, pois considera-se o que acontece depois do ponto B©, onde a pedra encontra-se com veloci- dade zero e na sua altura ma´xima, ate´ chegar a` posic¸a˜o D©, tendo assim t = tD − tB: vyD = vyB + ayt = 0, 0 m/s+ (−9, 8 m/s2)(5, 00 s− 2, 04 s) = −29, 0 m/s . (1.36) Embora o ca´lculo poderia ter sido feito desde o ponto inicial A©, onde t = tD− tA = 5, 00 s: Subs- tituindo o tempo t = 5, 0 s na equac¸a˜o da veloci- dade vy = vy0 + ayt = 20, 0 m/s+ (−9, 8 m/s2)(5, 00 s) = −29, 0 m/s, (1.37) e na equac¸a˜o da posic¸a˜o CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 19 y = y0 + vy0t+ 1 2 ayt 2 = 0.0 m+ (20, 0 m/s)(5, 00 s) + 1 2 (−9, 8 m/s2)(5, 0 s)2 = −22, 5 m . (1.38) Exerc´ıcio Proposto: (a) Achar a velocidade da pedra justamente antes que ela atinja o cha˜o e (b) o tempo total da trajeto´ria. Resposta: (a) −37, 1 m/s, (b) 5, 83 s 1.11 Questo˜es Questa˜o 1.1: Se a velocidade me´dia e´ diferente de zero num intervalo estabelecido, sera´ que a ve- locidade instantaˆnea nunca podera´ ser zero? Ex- plicar os argumentos. Questa˜o 1.2: Um estudante no topo de um pre´dio de altura h lanc¸a uma bola verticalmente para cima com uma velocidade inicial de mo´dulo vy0 e lanc¸a uma segunda bola para baixo com uma velo- cidade inicial de mesmo mo´dulo. Qual e´ o mo´dulo da velocidade final das bolas quando elas chegam ao cha˜o? Questa˜o 1.3: Dois carros esta˜o se movendo em direc¸o˜es paralelas ao longo de uma rodovia. Num instante a velocidade escalar do carro A e´ maior que a velocidade escalar do carro B. Isto significa que a acelerac¸a˜o do carro A e´ maior que a que tem o carro B? Questa˜o 1.4: Em outro planeta que tem o valor da gravidade treˆs vezes maior que a gravidade da terra, g′ = 3g, quanto tempo precisara´ um corpo que cai desde uma altura h do repouso ate´ chegar ao cha˜o? Compare o resultado quando o mesmo corpo encontra-se na terra. Questa˜o 1.5: Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da velo- cidade escalar em func¸a˜o do tempo para um corpo que cai num queda livre partindo de uma posic¸a˜o de equil´ıbrio, desprezando o atrito com o ar. Como o gra´fico poderia variar ao levar em considerac¸a˜o o atrito com o ar? 1.12 Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1.1: O deslocamento como func¸a˜o do tempo de uma part´ıcula ao longo do eixo x e´ mos- trado na Figura 1.19. Achar a velocidade me´dia nos seguintes intervalos (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4 s, (c) 2 s a 4 s, (d) 4 s a 7 s, (e) 0 a 8 s. Figura 1.19: Exerc´ıcio 1.1. Exerc´ıcio 1.2: Uma pessoa esta´ caminhando com uma velocidade constante de mo´dulo v1 ao longo de umalinha reta formada pelos pontos A e B e depois volta ao longo da mesma linha com uma ve- locidade constante de mo´dulo v2. (a)Qual sua ve- locidade escalar me´dia em todo o percurso? (b)Qual sua velocidade me´dia em todo o percurso? Exerc´ıcio 1.3: A posic¸a˜o de uma part´ıcula va- ria em relac¸a˜o ao tempo ao longo do eixo x, como e´ mostrado na Figura 1.20. (a) Achar a veloci- dade me´dia no intervalo de tempo de t = 1, 5 s ate´ t = 4, 0 s. (b) Determine a velocidade instantaˆnea em t = 2, 0 s por medic¸a˜o da reta tangente a` curva como e´ mostrada no gra´fico da Figura 1.13. (c) Qual e´ o valor de t para qual a velocidade ins- tantaˆnea e´ zero? CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 20 Figura 1.20: Exerc´ıcio 1.3. Exerc´ıcio 1.4: Utilizando-se dos dados da Ta- bela 1.2 para a posic¸a˜o x em metros para um dado tempo t em segundos para um carro movimentando- se ao longo de uma reta: x(m) 0,0 2,3 9,2 20,7 36,8 57,5 t(s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Tabela 1.2: Exerc´ıcio 1.4. (a) Construa uma curva suave da posic¸a˜o versus o tempo. (b) Construindo a reta tangente a curva x(t), achar a velocidade instantaˆnea em qualquer instante de tempo. (c) Fazer o gra´fico da velo- cidade instantaˆnea como func¸a˜o do tempo e de- terminar o valor da acelerac¸a˜o me´dia do carro. (d) Qual e´ a velocidade inicial do carro dada pela equac¸a˜o da velocidade instantaˆnea obtida na questa˜o (b)? Exerc´ıcio 1.5: Uma part´ıcula viaja com uma ve- locidade de 60, 0 m/s ao longo do eixo x no ins- tante inicial t = 0, 0 s. Num tempo t = 15, 0 s apo´s o in´ıcio a velocidade e´ zero, pois ela dimi- nuiu a velocidade a uma taxa constante neste in- tervalo. Qual e´ o valor da acelerac¸a˜o me´dia neste intervalo? O que significa o sinal da resposta? Exerc´ıcio 1.6: Um objeto esta´ se movendo ao longo do eixo x de acordo com a expressa˜o x(t) = (3, 00t2 − 2, 00t + 3, 00) m. Determinar, (a) a ve- locidade me´dia no intervalo de t = 2, 00 s ate´ t = 3, 00 s, (b) a velocidade instantaˆnea nos dois valores de tempo anteriores, (c) a acelerac¸a˜o me´dia neste intervalo e (d) a acelerac¸a˜o instantaˆnea para os dois valores de tempo mencionados. Exerc´ıcio 1.7: A Figura 1.21 mostra o gra´fico da velocidade em func¸a˜o do tempo de um moto- queiro que comec¸a seu movimento partindo do re- pouso, movendo-se ao longo do eixo x. (a) Achar a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de t = 0, 00 s ate´ t = 6, 00 s. (b) Estimar o tempo no qual ele ad- quire o valor ma´ximo positivo da acelerac¸a˜o e o valor dela. (c) Quando a acelerac¸a˜o e´ zero? (d) Estimar o valor ma´ximo negativo da acelerac¸a˜o e o tempo no qual ocorre. Figura 1.21: Exerc´ıcio 1.7. Exerc´ıcio 1.8: Um avia˜o aproxima-se da terra para aterrissar com uma velocidade de 100 m/s e pode desacelerar a uma taxa de −5, 00 m/s2 ate´ chegar ao repouso. (a) Desde o instante no qual o avia˜o encosta na terra, qual e´ o tempo mı´nimo para que o avia˜o possa estar completamente em repouso? (b) Pode o avia˜o aterrissar no aeroporto de uma ilha tropical que tem 0, 800 km de pista? Exerc´ıcio 1.9: Um mulher pula do 17o andar de um pre´dio a uma altura de 49 m, quando chega a altura h = 0, 0 m ela cai sobre um colcha˜o de ar amortecendo seu movimento numa distaˆncia de 1, 6 m. Calcular: (a) A velocidade escalar da mu- lher justamente no instante de tempo antes de ela tocar o colcha˜o. (b) A acelerac¸a˜o me´dia quando esta´ em contato com o colcha˜o. (c) O tempo de queda. (d) O tempo de contato com o colcha˜o ate´ que sua velocidade seja zero. CAPI´TULO 1. MOVIMENTO EM UMA DIMENSA˜O 21 Exerc´ıcio 1.10: A altura de um helico´ptero com respeito ao cha˜o e´ h = 3, 00t2. Partindo do cha˜o, apo´s 2, 00 s ele deixa cair uma sacola de massa M . Quanto tempo precisara´ a sacola para chegar a terra? Cap´ıtulo 2 Vetores 2.1 Introduc¸a˜o Muitas grandezas f´ısicas, tais como massa, carga ele´trica e temperatura, sa˜o chamadas grandezas escalares, e necessitam apenas de um nu´mero se- guido de uma unidade de medida apropriada para serem definidas. Outro conjunto de grandezas f´ı- sicas, como forc¸a, velocidade e deslocamento sa˜o chamadas grandezas vetoriais, e representadas por flechas no espac¸o a`s quais damos o nome de ve- tores. Essas flechas possuem mo´dulo, direc¸a˜o e sentido. 2.2 Representac¸a˜o de um Vetor Para representar graficamente um vetor, conside- ramos, inicialmente, um segmento de reta AB so- bre a reta r, na Figura 2.1 Figura 2.1: Segmento de reta. orientando esse segmento com uma seta, que inicia em A e termina em B, obtemos a representac¸a˜o gra´fica de um vetor, conforme a Figura 2.2. Como hav´ıamos dito antes, um vetor e´ completa- mente especificado por treˆs informac¸o˜es: 1 - Mo´dulo: Dado por um nu´mero seguido de uma unidade, o mo´dulo esta´ associado ao tamanho Figura 2.2: Vetor ~a. do vetor, isto e´, ele especifica a intensidade da grandeza associada a ele. Se representarmos um vetor por uma letra com uma flecha em cima, por exemplo ~a, podemos representar simbolicamente o mo´dulo por |~a| , ou, simplesmente, a. 2 - Direc¸a˜o: E´ a inclinac¸a˜o ou aˆngulo de um vetor em relac¸a˜o a um eixo de um determinado sistema de refereˆncia (Figura 2.3). Figura 2.3: Direc¸a˜o. 3- Sentido: Coincidindo com a orientac¸a˜o do ve- tor, o sentido indica para onde aponta o vetor, conforme e´ mostrado na Figura 2.4 Para todo vetor com um determinado sentido, existe um vetor com sentido oposto. Por exemplo, o ve- tor ~a possui um vetor com sentido oposto repre- sentado por −~a. 22 CAPI´TULO 2. VETORES 23 Figura 2.4: Sentido. 2.3 Operac¸o˜es de Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Vetores Para que possamos manipular equac¸o˜es envolvendo vetores, devemos saber como estes objetos ma- tema´ticos se comportam ao efetuarmos operac¸o˜es matema´ticas conhecidas. Representando dois ve- tores quaisquer por ~a e ~b, podemos formar um terceiro vetor ~s com a definic¸a˜o de soma vetorial ~s = ~a+~b (2.1) A operac¸a˜o de soma pode facilmente ser visuali- zada geometricamente. Na Figura 2.5, represen- tamos a soma dos vetores ~a e ~b. Figura 2.5: Soma de vetores. A te´cnica para desenhar uma soma vetorial con- siste em: (1) Desenhar o vetor ~a preservando a sua orientac¸a˜o. (2) Desenhar o vetor ~b com seu in´ıcio na extremidade do vetor ~a . (3) O vetor soma sera´ feito desenhando uma flecha ligando o in´ıcio do vetor ~a com a extremidade do vetor ~b. Pode-se notar que a operac¸a˜o de soma ~a +~b tem o mesmo resultado da operac¸a˜o de soma ~b+~a, ou seja, a adic¸a˜o de vetores e´ comutativa. A operac¸a˜o de subtrac¸a˜o de vetores pode ser cons- tru´ıda levando em conta que o vetor −~b e´ o vetor ~b com sentido oposto. A subtrac¸a˜o de dois vetores ~a e ~b e´ enta˜o obtida usando a equac¸a˜o (2.1) , ou seja, ~s = ~a+ ( −~b ) = ~a−~b, (2.2) geometricamente, a subtrac¸a˜o de dois esta´ ilus- trada na Figura 2.6. Figura 2.6: Subtrac¸a˜o de vetores. E´ possivel representar graficamente a operac¸a˜o de soma vetorial com um nu´mero arbitra´rio de veto- res. Para exemplificar, consideramos os vetores ~a, ~b, ~c, ~d, ~e, representados na Figura 2.7. O vetor resultante da soma ~a + ~b + ~c + ~d + ~e e´ obtido de forma ana´loga a` soma de dois vetores. Inicial- mente o vetor ~a e´ fixado em uma posic¸a˜o, desloca- se paralelamente o vetor~b de forma que sua origem coincida com a extremidade do vetor ~a. Repete-se o processo para os vetores ~c, ~d, ~e, e ao final o ve- tor soma tera´ sua origem no in´ıcio do vetor ~a e sua extremidade estara´ junto com a extremidade do vetor ~e, conforme ilustrado na Figura 2.8. Podemospensar no deslocamento de uma part´ıcula como a soma vetorial de deslocamentos intermedi- a´rios. Dessa maneira, e´ fa´cil interpretar a regra da soma geome´trica de vetores como uma sequeˆncia de deslocamentos. CAPI´TULO 2. VETORES 24 Figura 2.7: Vetores ~a, ~b, ~c, ~d, ~e. Figura 2.8: Soma dos vetores ~a, ~b, ~c, ~d, ~e. 2.4 Multiplicac¸a˜o de um Ve- tor por um Escalar Quando multiplicamos um vetor ~a por um escalar s obtemos outro vetor cujo mo´dulo e´ o produto do mo´dulo de ~a pelo valor absoluto de s, cuja direc¸a˜o e´ a mesma de ~a e cujo sentido e´ o mesmo de ~a, se s for positivo, e o sentido oposto, se s for negativo. Para dividir ~a por s, multiplicamos ~a por 1/s. Os resultados da multiplicac¸a˜o de um vetor ~a por 2 e −1/3 sa˜o mostrados na Figura 2.9. Figura 2.9: Multiplicac¸a˜o por escalar. 2.5 Produto Escalar de Vetores Certas grandezas f´ısicas sa˜o especificadas apenas por um nu´mero seguido de uma unidade, e sa˜o chamadas grandezas escalares. A operac¸a˜o de pro- duto escalar entre dois vetores ~a e ~b tem como re- sultado um escalar, e´ representada por ~a ·~b (leˆ-se ~a escalar ~b) e definida como ~a ·~b = ab cos θ, (2.3) onde a e b sa˜o os mo´dulos de ~a e ~b, respectiva- mente, e θ e´ o aˆngulo entre ~a e ~b, como mostrado na Figura 2.10. Figura 2.10: Aˆngulo entre dois vetores. Um exemplo de uma grandeza escalar obtida atrave´s do produto escalar de vetores e´ o trabalho de uma forc¸a constante sobre um corpo, dado por: W = ~F · ~d (2.4) Onde ~F e´ a forc¸a aplicada e ~d o deslocamento do corpo. O produto escalar possui as propriedades: 1) ~a ·~b = ~b · ~a 2) ~a · ( ~b+ ~c ) = ~a ·~b+ ~a · ~c 3) (n~a) ·~b = ~a · ( n~b ) = n ( ~a ·~b ) , sendo n um nu´mero real. 2.6 Produto Vetorial O produto vetorial entre dois vetores ~a e ~b, repre- sentado por ~a × ~b (leˆ-se ~a vetorial ~b) e´ definido CAPI´TULO 2. VETORES 25 de forma que o vetor ~c, resultante desse produto, tenha as seguintes caracter´ısticas: Mo´dulo: O mo´dulo do vetor ~c e´ igual ao produto do mo´dulo do vetor ~a pelo mo´dulo de ~b multipli- cado pelo seno do aˆngulo formado por ~a e ~b, ou seja, c = absenθ. (2.5) Geometricamente, o mo´dulo do vetor ~c e´ igual a` a´rea do paralelogramo gerado pelos vetores ~a e ~b, como mostrado na Figura 2.11. Figura 2.11: Mo´dulo do produto vetorial. Direc¸a˜o: O vetor ~c = ~a×~b sera´ perpendicular ao plano determinado pelos vetores ~a e ~b , ou seja, sera´ simultaneamente perpendicular a ~a e ~b, caso os vetores ~a e~b na˜o sejam paralelos. Se os vetores ~a e ~b forem paralelos o resultado do produto vetorial entre eles e´ ~0. Sentido: O sentido do vetor e´ dado pela regra da ma˜o direita. Os vetores ~a e ~b determinam um plano. Imagine um eixo perpendicular passando pela origem dos dois vetores ~a e ~b, alinhe sua ma˜o direita podendo girar em torno desse eixo, enta˜o gire a ma˜o de ~a para ~b. O polegar indicara´ o sen- tido do vetor ~a × ~b , conforme ilustra a Figura 2.12 O produto vetorial possui as seguintes proprieda- des alge´bricas: 1) ~a×~b = −~b× ~a, 2) ~a× ( ~b+ ~c ) = ~a×~b+ ~a× ~c, 3) (n~a)×~b = ~a× ( n~b ) = n ( ~a×~b ) . sendo n um nu´mero real. Exemplos de grandezas f´ısicas obtidas atrave´s do produto vetorial sa˜o a forc¸a de Lorentz e o torque de uma forc¸a. Figura 2.12: Regra da ma˜o direita. 2.7 Componentes de um Vetor em 2 Dimenso˜es Podemos escrever um vetor qualquer como a soma de outros vetores. Consideramos inicialmente um sistema cartesiano xy de coordenadas. Sejam ~ax um vetor que possui a mesma direc¸a˜o do eixo x e ~ay um vetor que possui a mesma direc¸a˜o do eixo y. A soma destes vetores fornece um vetor ~a dado por ~a = ~ax + ~ay, (2.6) conforme ilustrado na Figura 2.13. Os vetores ~ax e ~ay sa˜o as chamadas componentes do vetor ~a. Figura 2.13: Componentes de um vetor Dessa forma e´ possivel construirmos vetores com tamanho arbitra´rio atrave´s da multiplicac¸a˜o de suas componentes por um escalar. A multiplicac¸a˜o CAPI´TULO 2. VETORES 26 de um vetor por escalar preserva a direc¸a˜o, no en- tanto pode alterar o mo´dulo e o sentido. Definindo os versores iˆ e jˆ, vetores unita´rios que possuem a mesma direc¸a˜o e apontam no sentido positivo dos eixos x e y respectivamente, os vetores ~ax e ~ay que aparecem na equac¸a˜o (2.6) podem ser escritos com mo´dulo e sentido arbitra´rios: ~ax = axiˆ, ~ay = ay jˆ, (2.7) onde ax e ay sa˜o escalares. Substituindo a equac¸a˜o (2.7) na equac¸a˜o (2.6), obtemos ~a = ~ax + ~ay = axiˆ+ ay jˆ, (2.8) Em muitos problemas envolvendo vetores na˜o dis- pomos de informac¸o˜es diretas sobre o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido dos vetores. Em vez disso, dispomos de informac¸a˜o acerca de suas compo- nentes escalares. Para exemplificar, imaginamos um plano representado por um sistema de coorde- nadas cartesiano, conforme indica a Figura 2.13. Iremos chamar de ax a projec¸a˜o do vetor no eixo x e ay a projec¸a˜o no eixo y. Sabendo o aˆngulo θ que o vetor ~a forma com o eixo x, teremos as relac¸o˜es ax = a cos θ, ay = a sin θ, (2.9) onde a e´ o mo´dulo de ~a, que e´ obtido pelo teorema de Pita´goras a = √ a2x + a 2 y, (2.10) as quantidades ax e ay sa˜o as componentes esca- lares do vetor ~a. Exemplo 2.1: Sabe-se que, apo´s deixar o aero- porto, um avia˜o foi avistado a uma distaˆncia de 215 km, voando em uma direc¸a˜o que faz um aˆngulo de 22o com o norte para leste. Qual e´ a distaˆncia percorrida a norte e a leste do aeroporto? Soluc¸a˜o: O problema pode ser facilmente resol- vido se escolhermos um sistema de coordenadas em que o eixo y corresponda a direc¸a˜o norte e o eixo x corresponda ao leste, conforme a Figura 2.14. Figura 2.14: Sistema de coordenadas em que o eixo y aponta para o norte e o eixo x aponta para o leste. Nesse sistema de coordenadas, o mo´dulo do vetor ~a e´ justamente a distaˆncia percorrida pelo avia˜o. Como os eixos x e y formam um angulo de 90o, enta˜o o angulo do eixo x com o vetor deslocamento do avia˜o e´ 90o − 22o = 68o. Aplicando a equac¸a˜o (2.9) temos ax = a cos θ = (215 km) (cos 68 o) = 81 km, ay = a sin θ = (215 km) (sen68 o) = 199 km. 2.8 Vetores em 3 Dimenso˜es Ate´ agora trabalhamos com vetores com compo- nentes em uma e duas dimenso˜es. Considerando o espac¸o tridimensional, utilizamos os eixos carte- sianos de coordenadas xyz. Para representarmos um vetor ~a em termos de vetores unita´rios, deve- mos introduzir um novo vetor unita´rio apontando para o sentido positivo do eixo z, como mostra a Figura 2.15. Denotaremos este vetor por kˆ. Dessa forma a expressa˜o (2.8) e´ escrita como ~a = axiˆ+ ay jˆ + az kˆ (2.11) o que pode ser vizualizado na Figura 2.16. CAPI´TULO 2. VETORES 27 Figura 2.15: Versores no espac¸o tridimensional. Figura 2.16: Componentes de um vetor no espac¸o tridimensional. O mo´dulo a de um vetor em 3 dimenso˜es, tambe´m representado por|~a| , pode ser obtido com a equac¸a˜o |~a| = √ a2x + a 2 y + a 2 z (2.12) 2.9 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Vetores na Forma de Componentes A soma de ~a com um vetor ~b = bxiˆ + by jˆ + bz kˆ e´ obtida somando-se as componentes de mesma direc¸a˜o: ~s = ~a+~b = ( axiˆ+ ay jˆ + az kˆ ) + ( bxiˆ+ by jˆ + bz kˆ ) = (ax + bx) iˆ+ (ay + by)~j + (az + bz) kˆ. (2.13) Exemplo 2.2: Os vetores abaixo esta˜o expressos em termos de vetores unita´rios ~a = 4, 2ˆi − 1, 6jˆ , ~b = −1, 6ˆi+ 2, 9jˆ , ~c = −3, 7kˆ. Ache o vetor soma dos vetores acima. Soluc¸a˜o: Com base nos resultados obtidos na equac¸a˜o (2.13) , podemos obter a fo´rmula ~s= (ax + bx + cx) iˆ+ (ay + by + cy) jˆ+ (az + bz + cz) kˆ substituindo os valores nume´ricos ~s = (4, 2 − 1, 6 + 0)ˆi+ (−1, 6 + 2, 9 + 0) jˆ + (0 + 0− 3, 7) kˆ = 2, 6ˆi + 1, 3jˆ − 3, 7kˆ. 2.10 Produtos de Vetores na Forma de Componen- tes Para multiplicar um vetor na forma de componen- tes por um escalar, multiplicamos todos os com- ponentes do vetor pelo escalar. Isto e´: s~a = saxiˆ+ say jˆ + saz kˆ (2.14) Os produtos escalar e vetorial podem ser realiza- dos utilizando os componentes dos vetores envol- vidos. Para efetuar o produto escalar, notamos que: iˆ · iˆ = jˆ · jˆ = kˆ · kˆ = cos 0o = 1, iˆ · jˆ = iˆ · kˆ = jˆ · kˆ = cos 90o = 0 Isto ocorre porque iˆ, jˆ e kˆ sa˜o mutuamente per- pendiculares. Dados dois vetores ~a = axiˆ + ay jˆ + az kˆ e ~b = bxiˆ + by jˆ + bzkˆ, o produto escalar entre eles na forma de componentes e´ dado por: ~a ·~b = axbx + ayby + azbz (2.15) Exemplo 2.3: Qual e´ o aˆngulo formado pelos vetores ~a = 3ˆi− 4jˆ e ~b = −2ˆi+ 3kˆ ? CAPI´TULO 2. VETORES 28 Soluc¸a˜o: A definic¸a˜o de produto escalar, dada anteriormente, deve ser coerente com a notac¸a˜o de vetores unita´rios, para representar um vetor qual- quer. Enta˜o a equac¸a˜o (2.3) pode ser usada para calcular o produto das componentes dos vetores: ~a ·~b = ab cos θ = ( 3ˆi− 4jˆ ) · ( −2ˆi+ 3kˆ ) = −6ˆi · iˆ+ 9ˆi · kˆ + 8jˆ · iˆ− 12~j · kˆ = −6 cos 0o + 9cos 90o + 8cos 90o − 12 cos 90o = −6, ou seja, cos θ = −6 ab , onde a = √ 32 + (−4)2 = 5, b = √ (−2)2 + 32 = √ 13, ab = 5 √ 13 ≃ 18, dessa forma o aˆngulo pode ser escrito como cos θ = −1 3 , θ = arccos (−1 3 ) = 109o. Agora vamos efetuar o produto vetorial. Devido a` definic¸a˜o do produto vetorial, os vetores unita´rios iˆ, jˆ, kˆ devem satisfazer as relac¸o˜es iˆ× jˆ = kˆ, jˆ × kˆ = iˆ, kˆ × iˆ = jˆ, iˆ× iˆ = jˆ × jˆ = kˆ × kˆ = 0. Exemplo 2.4: Se ~a = 3ˆi − 4jˆ e ~b = −2ˆi + 3kˆ, obtenha o vetor ~c = ~a×~b. Soluc¸a˜o: Aplicando a propriedade distributiva do produto vetorial temos: ~a×~b = ( 3ˆi− 4jˆ ) × ( −2~i+ 3kˆ, ) = −6 ( iˆ× iˆ ) + 9 ( iˆ× ~k ) + 8 ( jˆ × iˆ ) − 12 ( jˆ × kˆ ) = −12ˆi− 9jˆ − 8kˆ. 2.11 Exerc´ıcios Exerc´ıcio 2.1: Com os vetores ~u = 2ˆi + 3jˆ + 4kˆ e ~v = iˆ+ 5jˆ − 3kˆ, calcule ~u× ~v. Exerc´ıcio 2.2: Dados os vetores ~t = 2ˆi − 4jˆ, ~v = −5ˆi + jˆ e ~z = −12ˆi + 6jˆ, determinar k1 e k2 para que ~z = k1~t+ k2~v. Exerc´ıcio 2.3: Verifique que os vetores ~u = −iˆ e ~v = jˆ, sa˜o ortogonais. Exerc´ıcio 2.4: Determine o mo´dulo dos vetores: a) ~u = 3ˆi+ 2jˆ − 6kˆ, b) ~w = 7ˆi+ jˆ − 7kˆ. Exerc´ıcio 2.5: Calcule o aˆngulo entre os vetores ~a = 3ˆi− 4jˆ e ~b = 8ˆi− 6jˆ. Exerc´ıcio 2.6: Seja ~a = 3ˆi − kˆ e ~b = −5jˆ + 7kˆ. Encontre o vetor ~c = ~a×~b Exerc´ıcio 2.7: Sejam os vetores ~a = 4ˆi − 3jˆ e ~b = −iˆ+ jˆ + 4kˆ. Calcule: a) ~a+~b, b) ~a−~b, c) ~c tal que ~a−~b+ ~c = 0. Exerc´ıcio 2.8: O vetor ~a ilustrado na Figura 2.17 tem mo´dulo igual a 5 cm e faz um aˆngulo de 120o com o semi-eixo positivo OX. Determine as suas componentes nas direc¸o˜es x e y. Figura 2.17: Exerc´ıcio 2.8. Exerc´ıcio 2.9: A componente x de um vetor vale -25 unidades e a componente y vale 40 unidades. Qual o aˆngulo entre esse vetor e o sentido positivo dos x? Exerc´ıcio 2.10: verifique que o produto vetorial de dois vetores ~a × ~b pode ser escrito como o determinante da matriz iˆ jˆ kˆ ax ay az bx by bz . CAPI´TULO 2. VETORES 29 Exerc´ıcio 2.11: Encontre o aˆngulo entre as dia- gonais das faces de um cubo. Voceˆ pode utilizar um cubo de lado 1 para as suas contas, como se veˆ na Figura 2.18. Figura 2.18: Exerc´ıcio 2.11. Exerc´ıcio 2.12: Dados os vetores ~a,~b,~c, ~d na Fi- gura 2.19, abaixo, fac¸a um esboc¸o do vetor ~s re- sultante da operac¸a˜o ~s = ~a−~b+ ~c− ~d. Figura 2.19: Exerc´ıcio 2.12. Exerc´ıcio 2.13: Demonstre a equac¸a˜o (2.15) para o produto escalar de dois vetores na forma de com- ponentes, isto e´: ~a ·~b = axbx + ayby + azbz Cap´ıtulo 3 Movimento em Duas Dimenso˜es 3.1 Movimento em Duas Dimenso˜es com Acele- rac¸a˜o Constante No movimento em duas dimenso˜es as componentes x e y dos vetores posic¸a˜o e velocidade que descre- vem o movimento podem ser analisadas separada- mente. Assim : ~r = xiˆ+ yjˆ (3.1) onde x = x0 + v0xt+ 1 2 axt 2 y = y0 + v0yt+ 1 2 ayt 2 (3.2) e ~v = vxiˆ+ vy jˆ (3.3) sendo vx = v0x + axt e vy = v0y + ayt (3.4) 3.2 Movimento de Proje´teis em Duas Dimenso˜es Podemos modelar o problema do movimento de proje´teis, desprezando a forc¸a de arrasto1 com o ar, considerando o proje´til como sendo uma part´ıcula, e assumindo que como a trajeto´ria e´ pro´xima a su- perf´ıcie da terra, onde a gravidade pode ser con- siderada constante e dirigida para baixo. Figura 3.1: Trajeto´ria descrita por um proje´ti lanc¸ado com velocidade inicial (v0) que faz um angulo θ0 com a horizontal. A partir da Figura 3.1, podemos ver que as com- ponentes v0x e v0y podem ser obtidas decompondo o vetor ~v0 com o aˆngulo θ0 com o eixo x positivo: v0x = v0 cos θ0 e v0y = v0senθ0 (3.5) 1Quando existe uma velocidade relativa entre um fluido e um corpo so´lido (seja porque o corpo se move atrave´s do fluido, seja porque o fluido passa pelo corpo), o corpo experimenta uma forc¸a de arrasto que se opoem ao movimento relativo e e´ paralela a` direc¸a˜o do movimento relativo do fluido. 30 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 31 O movimento de proje´teis como visto na Figura 3.1 pode parecer complicado, mas torna-se bas- tante simplificado ao usarmos a propriedade (de- monstrada experimentalmente, como visto na Fi- gura 3.2) que o movimento horizontal e o movi- mento vertical sa˜o independentes, logo um na˜o afeta o outro. Na pra´tica temos na horizontal um movimento uniforme e na vertical um movi- mento uniformemente variado, como sera´ enfati- zado mais adiante. Figura 3.2: Lanc¸amento queda livre na bola da es- querda e lanc¸amento com velocidade inicial horizontal na bola da direita, as linhas indicam o tempo decorrido 3.2.1 Movimento Horizontal Como nesta parte temos um movimento uniforme, a acelerac¸a˜o e´ zero, logo a componente x da Equa- c¸a˜o(3.2), usando as Equac¸a˜o(3.5) torna-se: x = x0 + v0 cos θ0t (3.6) 3.2.2 Movimento Vertical Neste movimento, o tratamento e´ o mesmo que o da queda livre. A acelerac¸a˜o a sera´ substituida por −g, onde a componente y da Equac¸a˜o(3.2), da Equac¸a˜o(3.4) e da equac¸a˜o de Torricelli, usando a Equac¸a˜o(3.5) tornam-se: y = y0 + v0senθ0t− 1 2 g2t (3.7) vy = v0senθ0 − gt (3.8) v2y = (v0senθ0) 2 − 2g∆y (3.9) 3.2.3 Alcance Horzontal Vamos supor que o proje´til e´ lanc¸ado desde o ori- gem em t = 0 e com velocidade positiva ~v0, como e´ mostrado na Figura 3.1. Dois pontos sa˜o de especial interece para analisar: O ponto de al- tura ma´xima (A), que tem coordenadas cartesi- anas (R/2, h), e o ponto (B), com coordenadas (R, 0). A distaˆncia R e´ chamada alcance horizon- tal. Vamos encontrar R e h em termos de v0, θ0 e g: Podemos determinar h, notando que em (A), a velocidade vAy = 0. Portanto podemos usar as equac¸o˜es (3.5), para determinar o tempo tA em que o proje´til chega na altura ma´xima (A): vy = v0y − gt 0 = v0 sin θ0 − gtA tA = v0 sin θ0 g (3.10) O alcance horizontal R e´ a posic¸a˜o do proje´til em um tempo tB, tempo esse que e´ duas vezes o tempo que ele demora para chegar ao pico. Assim, tB = 2tA. Agora fazemos uso da parte x das equac¸o˜es (3.2) para escrever, com vBx = v0x = v0 cos θ0 R = v0xtB = (v0 cos θ0)2tA R = (v0 cos θ0) 2v0senθ0 g(3.11) Usando a identidade sen2θ = 2senθ cos θ, escreve- mos R de um jeito mais compacto R = v20sen2θ0 g (3.12) 3.2.4 Altura Ma´xima Para encontrar a altura ma´xima, utilizamos a ex- pressa˜o para tA da Equac¸a˜o (3.10) na parte y das equac¸o˜es (3.2), onde yA = h obtemos: h = (v0 sin θ0) v0senθ0 g − 1 2 g ( v0senθ0 g )2 (3.13) CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 32 Figura 3.3: Trajeto´rias para alguns aˆngulos. h = v20sen 2θ0 2g (3.14) A Figura 3.3 ilustra as trajeto´rias que teria um proje´til lanc¸ado de diferentes aˆngulos com uma determinada velocidade inicial. Como voceˆ pode ver o alcance e´ ma´ximo para θ0 = 45 o. 3.3 Movimento Circular Uniforme Figura 3.4: Movimento circular A Figura 3.4 mostra um carro que se move em uma rotato´ria com o mo´dulo de sua velocidade constante v. Este tipo de movimento e´ chamado movimento circular uniforme. Quando estudamos o movimento de proje´teis o vetor velocidade mu- dava tanto de direc¸a˜o quanto de mo´dulo. No mo- vimento circular uniforme, o vetor velocidade so- mente muda de direc¸a˜o, o mo´dulo da velocidade permanece constante. Neste tipo movimento o ve- tor velocidade esta´ mudando, enta˜o o movimento e´ acelerado. A direc¸a˜o do vetor acelerac¸a˜o e´ diri- gida para o centro da trajeto´ria. Esta acelerac¸a˜o e´ chamada acelerac¸a˜o centr´ıpeta e e´ dada por ac = v2 r , (3.15) onde r e´ o raio do circulo. Em varias aplicac¸o˜es e´ conveniente falar do per´ıodo T . O per´ıodo e´ definido como o tempo que a part´ıcula demora para fazer uma revoluc¸a˜o. As- sim, como a distaˆncia percorrida e´ o per´ımetro do circulo, p = 2πr, enta˜o T = 2πr v . (3.16) 3.4 Acelerac¸a˜o Tangencial e Radial Figura 3.5: Descric¸a˜o dos vetores unita´rios rˆ e θˆ e Acelerac¸a˜o total de uma part´ıcula que se movimenta em uma trajeto´ria curva. Dependendo do problema em questa˜o talvez me- lhor escrever a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula em termos de vetores unita´rios. Fazemos isso defi- nindo rˆ e θˆ, mostrados na Figura 3.5, onde rˆ e´ um vetor unita´rio que fica na direc¸a˜o do raio do circulo e no sentido de aumento do raio, e θˆ e´ um CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 33 vetor unita´rio tangente a` trajeto´ria do circulo e seu sentido e´ o de aumento do aˆngulo θ. Fazendo uso desta notac¸a˜o podemos escrever a acelerac¸a˜o total como ~a = ~at + ~ar = d|~v| dt θˆ − v 2 r rˆ. (3.17) Estes vetores sa˜o descritos na Figura 3.5. 3.5 Exemplos Antes de ver a soluc¸a˜o o aluno deve tentar fazer o problema primeiro. Exemplo 3.1: Em um bar local, o barman de- pois de encher uma caneca com chopp, desliza a caneca para o cliente que momentaneamente dis- tra´ıdo na˜o veˆ a caneca, que desliza-se para fora da mesa com velocidade horizontal v0. A altura da mesa e´ h. (a) Com que velocidade a caneca deixa a mesa, se a distancia em que ela bate o piso fica a uma distaˆncia d da base da mesa, e (b) qual era a direc¸a˜o da velocidade da caneca antes de atingir o piso? Soluc¸a˜o: Considere a Figura 3.6 que representa esquematicamente o problema. Figura 3.6: Exemplo 3.1 Tomando o origem do sistema de coordenadas no ponto onde a caneca cai da mesa. Como a ace- lerac¸a˜o em x e´ zero e que a velocidade inicial esta´ apenas na horizontal, logo, v0x = v0 e v0y = 0. Enta˜o, as coordenadas da caneca em qualquer tempo sa˜o dadas por x = v0t y = −1 2 gyt2 (3.18) Quando na caneca chega ao piso y = −h, enta˜o −h = −1 2 gt2 (3.19) Que da´ o tempo de impacto t = √ 2h g (3.20) (a) Substituindo x = d e (3.20) na Equac¸a˜o (3.18) para x: d = v0 √ 2h g v0 = d √ g 2h (3.21) (b) No instante antes do impacto a componente da velocidade em x ainda e´ Figura 3.7: Velocidade Resultante vx = v0 (3.22) e a componente y e´ vy = −gt = −g √ 2h g (3.23) Enta˜o a direc¸a˜o de movimento no instante que a caneca toca o piso e´ para baixo da horizontal com CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 34 um aˆngulo de θ = tan−1 ( |vy| vx ) θ = tan−1 g √ 2h g d √ g 2h θ = tan−1 ( 2h d ) (3.24) Exemplo 3.2: Um astronauta em um planeta estranho, percebe que pode saltar 15 m se a velo- cidade inicial dele for 3 m/s. Qual e´ a acelerac¸a˜o da gravidade no planeta? Soluc¸a˜o: Da Equac¸a˜o (3.12) com R = 15m, v0 = 3 m/s, θmax = 45 o g = v20 R = 9 15 = 0, 6 m/s2 (3.25) Exemplo 3.3: Uma pedra e´ lanc¸ada do n´ıvel da terra e atinge uma altura ma´xima igual ao alcance horizontal d. (a) Qual foi o aˆngulo em que a pe- dra foi lanc¸ada?. (b) A sua resposta da parte (a) seria diferente em outro planeta? (c) Qual e´ o al- cance horizontal dmax que a pedra pode atingir se for lanc¸ada com a mesma velocidade, mas com o aˆngulo de alcance ma´ximo? Soluc¸a˜o: (a) Para identificar a altura ma´xima, fazemos A o ponto de lanc¸amento, e B o ponto mais alto: v2By = v 2 Ay + 2ay(yB − yA) 0 = v2Asenθ0 + 2(−g)(ymax − 0) ymax = v2Asen 2θ0 2g . (3.26) Agora fazemos C o ponto de impacto, onde t e´ diferente de zero: yC = yA + vAyt+ 1 2 (−g)t2 0 = 0 + vAsenθ0t− 1 2 gt2 t = 2vAsenθ0 g ; (3.27) Usando o resultado de (3.27) encontramos o al- cance na horizontal, xC = xA + vAxt d = vA cos θ0 2vAsenθ0 g . (3.28) Como o problema dizia que d = ymax, podemos igualar (3.26) = (3.27) v2Asen 2θ0 2g = 2v2Asenθ0 cos θ0 g , senθ0 cos θ0 =tan θ0 = 4. ∴ θ0 =76 o (3.29) (b) Como g se cancela, a resposta na˜o depende de g, e portanto e´ a mesma em qualquer planeta. (c) O alcance ma´ximo e´ atingido para θ0 = 45 o dmax d = vA cos 45 o2vAsen45 og vA cos 76o2vAsen76og dmax d = 2, 125 dmax = 17 8 d (3.30) Exemplo 3.4: Um carro faz uma curva leve de raio 100, 0m a uma velocidade constante de 72km/h. (a) Qual a acelerac¸a˜o centr´ıpeta do carro?. Se to- marmos essa acelarac¸a˜o centr´ıpeta como sendo a ma´xima permitida, (b) qual deve ser a velocidade do carro ao circundar uma rotato´ria de r = 4, 0m? (c) Qual seria o pero´odo desse movimento? Soluc¸a˜o: (a)Usando a Equac¸a˜o (3.15) econtramos ac, lembre- se de comverte km/h para m/s ac = v2 r = 202 100 ac = 4m/s 2 (3.31) (b) Usando o resultado de (a) e encontrando uma expressa˜o para v v = √ acr v = √ 4.4 v = 4, 0m/s (3.32) CAPI´TULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSO˜ES 35 (c) T = 2πr v T = 2π4 4 T = 2πs (3.33) 3.6 Exerc´ıcios Exerc´ıcio 3.1: Um jogador de futebol chuta uma bola horizontalmente de um trampol´ım de 4 m de altura de uma piscina. Se o jogador observa a bola atingindo a a´gua 20,0 m a frente do trampol´ım, qual foi a velocidade inicial dada para a pedra? Exerc´ıcio 3.2: Num jogo de voˆlei, desde uma distaˆncia de 14,5 m da rede, e´ dado um saque do tipo ”jornada nas estrelas”. A bola sobe 20 m acima da altura de lanc¸amento, e desce ate´ a altura do lanc¸amento num ponto do campo ad- versa´rio situado a 1 m da rede e 8 m a` esquerda do lanc¸amento. (a) Em que aˆngulo a bola foi lanc¸ada? (b) Com que velocidade (em km/h) volta a atingir a altura do lanc¸amento? (c) Quanto tempo decorre neste percurso? Exerc´ıcio 3.3: Robin Hood lanc¸a uma flecha com um aˆngulo de 60o com a horizontal. Um ajudante esta´ a uma distaˆncia de 150 m dele e lanc¸a uma mac¸a˜ verticalmente com a uma velocidade inicial para atingir a trajeto´ria da flecha. (a) Qual e´ a velocidade inicial da mac¸a˜ ? (b) Quanto tempo de- pois do disparo da flecha a mac¸a˜ deve ser lanc¸ada para atingir a flecha? Exerc´ıcio3.4: Um pneu de 0, 5 m de raio gira a uma taxa constante de 200 rev/min. Encontre o valor da acelerac¸a˜o centr´ıpeta de uma pequena pedra que esta´ cravada na superf´ıcie do pneu. Exerc´ıcio 3.5: Encontre a taxa de rotac¸a˜o em rev/s que deve ter um aparelho girante de raio 9, 5 m constru´ıdo para simular acelerac¸o˜es de 3g em seus extremos. Exerc´ıcio 3.6: Um jogador de basquete quer en- cestar a bola levantando-a desde uma altura de 2,0 m do cha˜o, com velocidade inicial de 7,0 m/s. A distaˆncia da bola a` vertical que passa pelo centro do cesto e´ de 3,0 m, e o aro do cesto esta´ a 3,05 m de altura do cha˜o. Em que aˆngulo a bola deve ser levantada? Exerc´ıcio 3.7: Qual e´ a hora entre 9 h e 10 h em que o ponteiro dos minutos de um relo´gio coin- cide com o das horas? Depois de meio dia, qual e´ a primeira vez que os treˆs ponteiros voltam a coincidir? Exerc´ıcio 3.8: Numa ultracentr´ıfuga girando a 50000 rpm (rotac¸o˜es por minuto), uma part´ıcula se encontra a 20 cm do eixo de rotac¸a˜o. Cal- cule a relac¸a˜o entre a acelerac¸a˜o centr´ıpeta dessa part´ıcula e a acelerac¸a˜o da gravidade g. Cap´ıtulo 4 Leis de Newton 4.1 Um Pouco de Histo´ria Deve-se a Johannes Kepler (1571-1630), a propo- sic¸a˜o em 1621, de treˆs leis sobre a cinema´tica do movimento dos planetas ao redor do Sol. As leis de Kepler, como ficaram conhecidas, estabelecem que: i. Lei das O´rbitas: Os planetas giram ao redor do Sol em o´rbitas el´ıpticas, estando o Sol posicio- nado em um dos focos desta elipse. ii. Lei das A´reas: O raio vetor que liga o sol ao planeta, varre a´reas iguais em intervalos de tempo iguais. iii. Lei dos Per´ıodos: O quadrado do per´ıodo da o´rbita de um planeta e´ proporcional ao cubo do comprimento do semi-eixo maior desta elipse. Entretanto, a esta e´poca de descobertas, nada foi dito a respeito do que causava o movimento el´ıptico, e havia apenas uma suspeita por parte de Ke- pler de que uma poss´ıvel lei de gravitac¸a˜o envolvia uma forc¸a dependente do inverso do quadrado da distaˆncia (HAWLEY & HOLCOMB, 1998). Pos- teriormente, esta ide´ia foi perseguida por Robert Hooke (1635 - 1703) e outro intelectuais de seus dias. Em 1684, Hooke chegou mesmo a afirmar a Edmund Halley (1656 - 1742) que poderia provar facilmente sua hipo´tese do inverso do quadrado da distaˆncia, mas falhou em apresentar a prova, mesmo apo´s alguns meses. Neste mesmo ano, Hal- ley fez uma visita a Isaac Newton (1642 – 1727), e perguntou-lhe sobre como deveria ser a forma de uma o´rbita para uma forc¸a dependente do inverso do quadrado da distaˆncia, e Newton respondeu- lhe que seria el´ıptica. Quando o espantado Hal- ley perguntou sobre como ele poderia saber disto, Newton respondeu simplesmente: “Eu calculei!”. Ao pedido de Halley para ver os ca´lculos, Newton replicou dizendo na˜o conseguir acha´-los no meio de seus pape´is, o que provavelmente fez por na˜o ter ainda a prova completa ou por medo de erros e de exposic¸a˜o pu´blica 1. Entretanto, treˆs meses mais tarde, Newton apresentava os ca´lculos completos a Halley, que comec¸ou a incentiva´-lo no sentido de publicar suas concluso˜es. Dois anos depois, Newton apresentava os primei- ros manuscritos e em 1687, era publicado o li- vro Princ´ıpios Matema´ticos de Filosofia Natural, conhecido simplesmente pelo nome de Principia. Este, que fora publicado com patroc´ınio pessoal do pro´prio Halley, e´ possivelmente um dos maio- res trabalhos cient´ıficos ja´ publicados (HAWLEY & HOLCOMB, 1998). Nesta obra, sa˜o lanc¸adas as bases de toda a mecaˆ- nica cla´ssica, conhecida na˜o por acaso como Mecaˆnica Newtoniana, atrave´s de 3 leis ou princ´ıpios ba´sicos, chamadas de Leis de Newton. Newton (Figura 4.1) encerrou sua carreira cien- tifica poucos anos apo´s a publicac¸a˜o deste livro, quando em 1693, foi vitima de um se´rio problema mental, causado possivelmente pelos anos de ex- 1Alguns anos antes, Newton havia publicado um trabalho em o´tica e fora duramente atacado por Ho- oke, poss´ıvel raza˜o pela qual se mantinha reservado desta vez. 36 CAPI´TULO 4. LEIS DE NEWTON 37 Figura 4.1: Isaac Newton. Fonte: http://fisicaarte- brasil.blogspot.com (em 18/07/2011). posic¸a˜o ao mercu´rio, durante seus anos de estudos em alquimia. Mas, o que estas leis teˆm a ver com o movimento planeta´rio? E porque o trabalho de Newton esta´ relacionado a` lenda´ria mac¸a˜ que caiu em sua cabec¸a? Estas respostas podem ser encontradas nas pro´ximas sec¸o˜es deste cap´ıtulo. 4.2 Referenciais, Repouso e Forc¸as Um referencial e´ um sistema de eixos (com origem e eixos com sentido crescente definido) em relac¸a˜o ao(s) qual(is) se faz determinada observac¸a˜o so- bre uma situac¸a˜o de movimento. O referencial no qual a Lei da Ine´rcia e´ verificada, e todos os ou- tros que se movam com velocidade v constante em relac¸a˜o a este, diz-se que sa˜o referenciais inerciais. Se houverem acelerac¸o˜es envolvidas, tratam-se de referenciais na˜o inerciais. Assim, imagine-se dentro de um oˆnibus que per- corre uma avenida muito extensa e com asfalto liso e sem buracos, em linha reta e com velocidade constante. Voceˆ pode “equilibrar-se” dentro deste oˆnibus da mesma maneira que se equilibraria se ele estivesse parado em relac¸a˜o a estrada (cuidado ao tentar isto: em geral o asfalto conte´m buracos!). Se considerarmos que os demais passageiros den- tro do oˆnibus constituem um referencial inercial (quando o oˆnibus na˜o esta acelerando e nem fre- ando) pode-se observar que sua posic¸a˜o em relac¸a˜o a eles na˜o se altera (caso voceˆ esteja realmente se equilibrando em pe´ no meio do corredor), ou seja, voceˆ estara´ em repouso em relac¸a˜o os passageiros, pois na˜o muda sua posic¸a˜o em relac¸a˜o a eles. Mas, se considerarmos a avenida como referencial, ve- remos que voceˆ estara´ em movimento, pois estara´ mudando de posic¸a˜o em relac¸a˜o a ela. Uma definic¸a˜o de forc¸a pode ser dada como: Quantidade vetorial, capaz de alterar o estado de movimento de um corpo. Assim, considerando-se um corpo de massa m. Quando for aplicada a este corpo uma forc¸a ~F , o mesmo sera´ sujeito a uma mudanc¸a de velocidade, dada pela acelerac¸a˜o: ~a = ∆~x ∆t (4.1) Esta mudanc¸a de velocidade sera´ tanto maior, quanto menor for a massa do corpo para uma mesma forc¸a e podem ser relacionadas por: ~F m = ~a. (4.2) Pode-se rearranjar a expressa˜o (4.2), criando uma definic¸a˜o operacional de forc¸a: ~F = m~a. (4.3) A unidade de forc¸a no Sistema Internacional de Unidades (SI) e´ o Newton (N), que de acordo com 4.3 e´, em termos das unidades fundamentais do SI, dado por: 1 N = 1 kg · 1 m/s2. (4.4) Veˆ-se ainda de (4.3) que, como a acelerac¸a˜o e´ uma quantidade vetorial, enta˜o a forc¸a tambe´m deve ser uma quantidade vetorial (uma vez que a massa e´ um escalar). Sendo assim, cabe para a forc¸a o princ´ıpio da superposic¸a˜o, definido como: Quando duas ou mais forc¸as atuam sobre um corpo, o efeito resultante sera´ a soma dos efeitos devidos a cada forc¸a em separado, ao que se chama comu- mente de forc¸a resultante. CAPI´TULO 4. LEIS DE NEWTON 38 4.3 1a lei de Newton O enunciado moderno da primeira lei de Newton, ou Lei da Ine´rcia, e´: Os corpos tendem a manter seu estado de movi- mento, seja repouso ou velocidade constante, quando nenhuma forc¸a resultante atuar sobre eles. Parece simples, mas hoje em dia, vivemos imersos nas implicac¸o˜es desta 1a lei todos os dias, em todos os lugares, por exemplo: 1 - Os cintos de seguranc¸a nos ve´ıculos visam im- pedir que os passageiros sejam arremessados atrave´s
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