GA Exame T4 2014

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EXAME - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Maicon Soˆnego - 07/07/2014 - T4
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
• A prova pode ser feita a la´pis.
• Coloque seu nome completo na folha de questo˜es e na folha de resoluc¸a˜o da prova.
• No final, entregue a folha de resoluc¸a˜o e a folha de questo˜es.
Questo˜es
1. (a) (15 pontos) Sabendo que ~V , ~U, ~W sa˜o l.i., mostre que 2~U − ~V , ~W + 3~V , 2~U tambe´m
sa˜o l.i..
(b) (15 pontos) Dados os pontos A = (1,−1, 3) e B = (3, 1, 5), ate´ que ponto se deve
prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento
quadruplique de valor?
2. (a) (20 pontos) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A = (2, 1,−4)
e´ paralela ao plano pi : x− y + 3z = 5 e concorrente com a reta s :

x = 1 + 3t
y = 3− t
z = −2− 2t.
Determine tambe´m o ponto de intersec¸a˜o entre r e s.
(b) (20 pontos) Dados o ponto A = (3, 2, 1) e as retas
r :
{
x = 3
z = 1
e s :
{
y = 3x− 1
z = −x+ 4
determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta t que passa por A e e´ ortogonal a r e s.
3. (a) (15 pontos) Dada uma elipse de semi-eixos a e b, calcule, em termos destes paraˆme-
tros, a a´rea do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.
(b) (15 pontos) Identifique e represente geometricamente a superf´ıcie S expressa pela
equac¸a˜o 2y = 12−x2−z2 no intervalo −3 ≤ y ≤ 6. Tambe´m identifique e represente
graficamente a intersecc¸a˜o de S com o plano pi1 : y = 2.
Boa prova!