AnáliseMatemáticaII A

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C
A
I
I-
A
TEORIA EEXERCÍCIOS
ANA SÁ
BENTOLOURO
2004
I´ndice
1 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o 1
1.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Primitivac¸a˜o por partes e por substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral 35
2.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Classes de func¸o˜es integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 A´reas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Integrais impro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 Se´ries Nume´ricas 87
3.1 Generalizac¸a˜o da operac¸a˜o adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Definic¸a˜o de se´rie. Convergeˆncia. Propriedades gerais . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Se´ries alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Convergeˆncia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5 Se´ries de termos na˜o negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6 Multiplicac¸a˜o de se´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4 Sucesso˜es e Se´ries de Func¸o˜es 131
4.1 Introduc¸a˜o. Sucesso˜es de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Convergeˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Convergeˆncia pontual e convergeˆncia uniforme de se´ries de func¸o˜es . . . . . 138
4.4 Se´ries de poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5 Se´rie de Taylor e se´rie de MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
ii I´NDICE
Cap´ıtulo 1
Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real:
Primitivac¸a˜o
1.1 Primitivas imediatas
Definic¸a˜o 1.1.1 Sejam f e F duas func¸o˜es definidas num intervalo I. Diz-se que F e´
uma primitiva de f em I se F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.
EXEMPLO 1: Como (sen(x))′ = cos(x) temos que sen(x) e´ primitiva de cos(x).
EXEMPLO 2: De (x2)′ = 2x conclu´ımos que x2 e´ primitiva de 2x.
Definic¸a˜o 1.1.2 Uma func¸a˜o f diz-se primitiva´vel num intervalo I se existir uma
primitiva de f , definida em I.
NOTA: Ha´ func¸o˜es que na˜o sa˜o primitiva´veis. Por exemplo, a func¸a˜o f : R→ R definida
por
f(x) =
{
0, se x < 2
1, se x ≥ 2
na˜o e´ primitiva´vel em R. De facto, a existeˆncia de uma func¸a˜o F : R → R tal que
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ R, contradiz o Teorema de Darboux: f na˜o toma nenhum valor entre
0 e 1.
Teorema 1.1.1 Se F e´ primitiva de f , num intervalo I, enta˜o, qualquer que seja C ∈ R,
a func¸a˜o G(x) = F (x) + C e´ tambe´m primitiva de f em I.
Demonstrac¸a˜o: Basta notar que G′(x) = F ′(x) + C ′ = F ′(x) = f(x).
Teorema 1.1.2 Se F e G sa˜o duas primitivas de f num intervalo I, enta˜o F − G e´
constante em I.
2 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
Demonstrac¸a˜o: Usa-se o Corola´rio 2 do Teorema de Lagrange, notando que F ′(x) =
G′(x) = f(x), ∀x ∈ I.
NOTAS:
1. Como consequeˆncia dos teoremas anteriores temos que todas as primitivas de f sa˜o
da forma F + C com F uma primitiva de f e C ∈ R.
2. Se F e´ uma primitiva de f no intervalo I, designamos por P f qualquer primitiva
de f em I, isto e´, P f = F + C, com C ∈ R, qualquer.
Geometricamente:
Figura 1.1
Definic¸a˜o 1.1.3 Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem directamente
de uma regra de derivac¸a˜o.
A partir das regras de derivac¸a˜o obte´m-se facilmente:
Teorema 1.1.3 Sejam f e g duas func¸o˜es primitiva´veis num intervalo I e a ∈ R. Enta˜o
a) P a f(x) = aP f(x);
b) P (f(x) + g(x)) = P f(x) + P g(x).
Apresentamos a seguir uma tabela com algumas primitivas imediatas.
f(x) P f(x)
xα, α 6= −1 x
α+1
α+ 1
+ C
(u(x))α u′(x), α 6= −1 (u(x))
α+1
α+ 1
+ C
1
x
log(|x|) + C
1.1 Primitivas imediatas 3
f(x) P f(x)
u′(x)
u(x)
log(|u(x)|) + C
ex ex + C
eu(x) u′(x) eu(x) + C
ax, (a > 0)
ax
log(a)
+ C
au(x) u′(x), (a > 0)
au(x)
log(a)
+ C
cos(x) sen(x) + C
cos(u(x))u′(x) sen(u(x)) + C
sen(x) − cos(x) + C
sen(u(x))u′(x) − cos(u(x)) + C
1√
1− x2 arc sen(x) + C
u′(x)√
1− (u(x))2 arc sen(u(x)) + C
− 1√
1− x2 arc cos(x) + C
− u
′(x)√
1− (u(x))2 arc cos(u(x)) + C
1
1 + x2
arc tg(x) + C
u′(x)
1 + (u(x))2
arc tg(u(x)) + C
sec2(x) tg(x) + C
sec2(u(x))u′(x) tg(u(x)) + C
4 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
f(x) P f(x)
cosec2(x) −cotg(x) + C
cosec2(u(x))u′(x) −cotg(u(x)) + C
EXEMPLOS:
P (x2 + x+ 1) = Px2 + Px+ P1 =
x3
3
+
x2
2
+ x+ C;
P cos2(x) = P
1 + cos(2x)
2
=
1
2
(P1 + P cos(2x)) =
1
2
(
x+
sen(2x)
2
)
+ C;
P 2x 3
√
x2 + 3 = P 2x(x2 + 3)
1
3 =
(x2 + 3)
1
3
+1
1
3
+ 1
+ C =
3
4
(x2 + 3)
3
√
x2 + 3 + C;
P
3x2
x3 + 1
= log |x3 + 1|+ C;
Pe5x =
1
5
P 5 e5x =
1
5
e5x + C;
P 10x cos(5x2 + 7) = sen(5x2 + 7) + C;
P
2
1 + (2x)2
= arc tg(2x) + C;
P (cos(x)− 2 e3x) = P cos(x)− 2Pe3x = sen(x)− 2
3
e3x + C;
P
x2
3
√
x3 − 1 = P x
2(x3 − 1)− 13 = 1
3
· (x
3 − 1)− 13+1
−1
3
+ 1
+ C =
1
2
3
√
(x3 − 1)2 + C.
Teorema 1.1.4 Seja f uma func¸a˜o primitiva´vel num intervalo I. Enta˜o, para cada
x0 ∈ I e cada y0 ∈ R, existe uma, e uma so´, primitiva F de f tal que F (x0) = y0.
Em particular, existe uma, e uma so´, primitiva de f que se anula em x0.
EXEMPLO 1: Calculemos f sabendo que f ′(x) = x
√
x e f(1) = 2.
Comecemos por calcular as primitivas F de f ′, pois f e´ uma dessas func¸o˜es.
F (x) =
2
5
x
5
2 + C.
1.1 Primitivas imediatas 5
Mas
f(1) = 2⇔ 2
5
+ C = 2⇔ C = 8
5
,
portanto, f(x) =
2
5
x
5
2 +
8
5
·
EXEMPLO 2: Pretendemos calcular f sabendo que f ′′(x) = 12x2 + 6x − 4, f(0) = 4 e
f(1) = 5.
A func¸a˜o f pertence ao conjunto das func¸o˜es F tais que
F ′(x) = 4x3 + 3x2 − 4x+ C
e, portanto, sera´ uma func¸a˜o da forma F (x) = x4 + x3 − 2x2 + Cx+ C1. Como{
f(0) = 4
f(1) = 5
⇔
{
C1 = 4
C = 1
enta˜o f(x) = x4 + x3 − 2x2 + x+ 4.
6 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
1.2 Me´todos gerais de primitivac¸a˜o: Primitivac¸a˜o por
partes e por substituic¸a˜o
Teorema 1.2.1 (Primitivac¸a˜o por partes) Sejam I um intervalo, F uma primitiva
de f em I e g uma func¸a˜o diferencia´vel em I. Enta˜o
P (fg) = F g − P (Fg′)
Demonstrac¸a˜o: Pela regra da derivac¸a˜o do produto (F g)′ = F ′ g+F g′ = fg+Fg′, o que
implica que fg = (Fg)′ − Fg′ e, portanto, P (fg) = F g − P (Fg′).
EXEMPLO 1: Seja h(x) = x log(x). Calculemos a primitiva de h por partes: considere-
mos f(x) = x e g(x) = log(x).
P (x log(x)) =
x2
2
log(x)− P
(
x2
2
· 1
x
)
=
x2
2
log(x)− 1
2
P (x) =
x2
2
log(x)− x
2
4
+ C.
EXEMPLO 2: Podemos primitivar a func¸a˜o h(x) = log(x) usando este me´todo. Sejam
f(x) = 1 e g(x) = log(x).
P (log(x)) = P (1. log(x)) = x log(x)− P
(
x
1
x
)
= x log(x)−P (1) = x log(x)− x+ C.
EXEMPLO 3: Seja h(x) = cos(x) log(sen(x)). Sejam f(x) = cos(x) e g(x) = log(sen(x)).
Enta˜o
P (cos(x) log(sen(x))) = sen(x) log(sen(x))− P
(
sen(x)
cos(x)
sen(x)
)
= sen(x) log(sen(x))− P (cos(x))
= sen(x) log(sen(x))− sen(x) + C.
EXEMPLO 4: Para calcular a primitiva de h(x) = cos(log(x)) consideremos f(x) = 1 e
g(x) = cos(log(x)). Enta˜o
P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + P sen(log(x)).
Esta u´ltima primitiva calcula-se novamente por partes obtendo-se
P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x))− P cos(log(x)),
e, portanto,
2P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)),
1.2 Primitivac¸a˜o por partes e por substituic¸a˜o 7
ou seja,
P (cos(log(x))) =
x
2
(cos(log(x)) + sen(log(x))) + C.
EXEMPLO 5: Sejam h(x) = log3(x), f(x) = 1 e g(x) = log3(x).
P (1. log3(x)) = x log3(x)− P (3 log2(x)).
Primitivando novamente por partes, e usando o resultado obtido anteriormente para
P (log(x)), obtemos
P (1. log3(x)) = x log3(x)− 3 (x log2(x)− P (2 log(x)))
= x log3(x)− 3x log2(x) + 6x log(x)− 6x+ C.
Teorema 1.2.2 (Primitivac¸a˜o por substituic¸a˜o) Sejam f uma func¸a˜o primitiva´vel
num intervalo J e ϕ uma func¸a˜o bijectiva e diferencia´vel no intervalo I tal que ϕ(I) = J .
Seja Φ(t) = P (f(ϕ(t))ϕ′(t)). Enta˜o a func¸a˜o F (x) = Φ(ϕ−1(x)) e´ uma primitiva de f
em J .
Demonstrac¸a˜o: Seja F uma primitiva de f . Como, por hipo´tese, x = ϕ(t) temos F (x) =
F (ϕ(t)). Pela regra de derivac¸a˜o da func¸a˜o composta
(F (ϕ(t)))′ = F ′(ϕ(t))ϕ′(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t) = Φ′(t),
porque designa´mos por Φ(t) uma primitiva de f(ϕ(t))ϕ′(t).
Como F (ϕ(t)) e Φ(t) sa˜o ambas primitivas de f(ϕ(t))ϕ′(t) sabemos que
F (ϕ(t))− Φ(t) = C, C constante real,
ou ainda,
F (ϕ(t)) = Φ(t) + C,
o que implica que
F (x) = Φ(ϕ−1(x)) + C.
EXEMPLO 1: Seja f(x) =
x3√
x− 1 . Para calcular a primitiva de f fac¸amos
√
x− 1 = t,
isto e´, ϕ(t) = 1 + t2 = x.
P (f(ϕ(t)).ϕ′(t)) = P
(1 + t2)3
t
2t = 2P (1+t2)3 = 2P (1+3t2+3t4+t6) = 2(t+t3+3
t5
5
+
t7
7
).
Assim,
P
x3√
x− 1 = 2
(√
x− 1 + (√x− 1)3 + 3
5
(
√
x− 1)5 + 1
7
(
√
x− 1)7
)
+ C.
8 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
EXEMPLO 2: Consideremos f(x) =
1
ex + e−x
· Podemos calcular a sua primitiva fazendo
ex = t, isto e´, ϕ(t) = log(t).
P (f(ϕ(t)).ϕ′(t)) = P
1
t+ t−1
· 1
t
= P
1
1 + t2
= arc tg(t).
Consequentemente,
P f(x) = arc tg(ex) + C.
NOTA: Usamos, por vezes a notac¸a˜o
P f(x) = {Pt f(ϕ(t))ϕ′(t)} t=ϕ−1(x) .
1.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais 9
1.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais
Sejam
P (x) = anx
n + · · ·+ a1x+ a0
e
Q(x) = bmx
m + · · ·+ b1x+ b0,
n,m ∈ N0, an 6= 0, bm 6= 0, dois polino´mios com coeficientes aj, bj ∈ R; n e m os graus
de P e Q, respectivamente.
Definic¸a˜o 1.3.1 Chama-se func¸a˜o racional toda a func¸a˜o f : D ⊂ R → R que pode
ser expressa na forma
f(x) =
P (x)
Q(x)
em que P e Q sa˜o polino´mios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.
Definic¸a˜o 1.3.2 Dois polino´mios P e Q dizem-se iguais, e escreve-se P = Q, se P (x) =
Q(x), ∀x ∈ R.
Verifica-se facilmente que, sendo P (x) = anx
n+ · · ·+ a1x+ a0 e Q(x) = bmxm+ · · ·+
b1x+ b0, se tem
P (x) = Q(x), ∀x ∈ R⇔ n = m ∧ an = bm, . . . , a1 = b1, a0 = b0.
Dados dois polino´mios P e Q, de graus n e m, respectivamente, n > m, existem
polino´mios M e R tais que P (x) = M(x)Q(x)+R(x) e grau de R < grau de Q. M diz-se
o polino´mio quociente e R o polino´mio resto.
Definic¸a˜o 1.3.3 Um polino´mio P de grau maior ou igual a 1 diz-se redut´ıvel se existem
polino´mios P1 e P2 tais que grau de Pi < grau de P (i = 1, 2) e P (x) = P1(x)P2(x). O
polino´mio P diz-se irredut´ıvel se na˜o for redut´ıvel.
E´ poss´ıvel determinar quais sa˜o precisamente os polino´mios irredut´ıveis. Considere-se,
sem perda de generalidade, os polino´mios unita´rios (com coeficiente an = 1): P (x) =
xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0.
• Todos os polino´mios de grau 1, P (x) = x− a, sa˜o irredut´ıveis.
• Um polino´mio de grau 2, P (x) = x2 + bx + c e´ irredut´ıvel se, e so´ se, na˜o tem
ra´ızes reais, isto e´, b2 − 4ac < 0. Assim os polino´mios de grau 2 irredut´ıveis sa˜o
precisamente os polino´mios da forma P (x) = (x − α)2 + β2, α, β ∈ R, β 6= 0,
associado a`s duas ra´ızes complexas conjugadas α± iβ.
10 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
• Os u´nicos polino´mios irredut´ıveis sa˜o os considerados e mostra-se que todo o po-
lino´mio P (x) com grau maior ou igual a 1 e´ produto de polino´mios irredut´ıveis:
P (x) = (x− a1)n1 · · · (x− ap)np [(x− α1)2 + β21 ]m1 · · · [(x− αq)2 + β2q ]mq
em que ni,mj ∈ N representam o grau de multiplicidade do correspondente
factor em P .
Definic¸a˜o 1.3.4 Uma func¸a˜o racional f(x) =
P (x)
Q(x)
diz-se irredut´ıvel se P e Q na˜o
tiverem ra´ızes comuns.
Dada uma func¸a˜o racional irredut´ıvel, podemos ter dois casos:
1o O grau do polino´mio P e´ maior ou igual ao grau do polino´mio Q.
2o O grau do polino´mio P e´ menor do que o grau do polino´mio Q.
No primeiro caso, fazendo a divisa˜o dos polino´mios obtemos
P (x) = M(x)Q(x) +R(x),
em que M e R sa˜o polino´mios, sendo M o quociente e R o resto (que tem grau inferior
ao grau de Q). Temos enta˜o
P (x)
Q(x)
= M(x) +
R(x)
Q(x)
o que implica que
P
(
P (x)
Q(x)
)
= P (M(x)) + P
(
R(x)
Q(x)
)
·
A primitiva de M e´ imediata por ser a primitiva de um polino´mio. A segunda e´ a
primitiva de uma func¸a˜o racional, em que o grau do numerador e´ menor do que o do deno-
minador. Conclu´ımos, assim, que basta estudar o caso das func¸o˜es racionais irredut´ıveis
em que o grau do numerador e´ menor do que o grau do denominador, isto e´, ficamos
reduzidos ao 2o caso atra´s considerado. Os teoremas seguintes, que na˜o demonstraremos,
permitem-nos decompor uma func¸a˜o racional irredut´ıvel do 2o caso na soma de func¸o˜es
racionais cujas primitivas sa˜o “fa´ceis” de calcular (ou mesmo primitivas imediatas). A
primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais irredut´ıveis fica, pois, completamente resolvida.
Comecemos por analisar os casos em que Q admite apenas ra´ızes reais. Temos o
seguinte teorema:
Teorema 1.3.1 Se
P (x)
Q(x)
e´ uma func¸a˜o racional irredut´ıvel, se o grau de P e´ menor que
o grau de Q e se
Q(x) = a0 (x− a1)n1 (x− a2)n2 . . . (x− ap)np ,
1.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais 11
com a1, a2, . . . , ap nu´meros reais distintos e n1, n2, . . . , np ∈ N, enta˜o a func¸a˜o e´ decom-
pon´ıvel numa soma da forma
P (x)
Q(x)
=
An1
(x− a1)n1 + · · ·+
A1
x− a1 + · · ·+
Bnp
(x− ap)np + · · ·+
B1
x− ap
onde An1 , . . . , A1, . . . , Bnp , . . . , B1 sa˜o nu´meros reais.
NOTA: Nas condic¸o˜es do Teorema 1.3.1, qualquer das parcelas em que se decompo˜e a
func¸a˜o tem primitiva imediata:
P
A
(x− a)p =
A
1− p ·
1
(x− a)p−1 , se p 6= 1
P
A
x− a = A log |x− a|
1o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade 1, isto e´, Q decompo˜e-se em factores do tipo
x − a com a ∈ R. A cada raiz a de Q associa-se uma parcela do tipo A
x− a , com A
constante a determinar.
EXEMPLO: Calculemos a primitiva da func¸a˜o f definida por f(x) =
4x2 + x+ 1
x3 − x ·
Como o nu´mero de ra´ızes de um polino´mio na˜o ultrapassa o seu grau e x3− x admite
as ra´ızes x = 0, x = −1 e x = 1, podemos concluir que estas ra´ızes teˆm multiplicidade 1.
Enta˜o
4x2 + x+ 1
x3 − x =
A
x
+
B
x− 1 +
C
x+ 1
=
A(x2 − 1) +Bx(x+ 1) + Cx(x− 1)
x3 − x
=
(A+B + C)x2 + (B − C)x− A
x3 − x
Pelo me´todo dos coeficientes indeterminados temos

A+B + C = 4
B − C = 1
−A = 1
⇔


B + C = 5
B − C = 1
A = −1
⇔


B = 3
C = 2
A = −1
Assim:
4x2 + x+ 1
x3 − x =
−1
x
+
3
x− 1 +
2
x+ 1
12 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
e
P
(4x2 + x+ 1
x3 − x
)
= P
(−1
x
)
+ P
(
3
x− 1
)
+ P
(
2
x+ 1
)
= − log |x|+ 3 log |x− 1|+ 2 log |x+ 1|+ C
= log
(∣∣∣∣(x− 1)3x
∣∣∣∣ (x+ 1)2
)
+ C.
2o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade p, p > 1, isto e´, Q admite x − a, com
a ∈ R, como divisor p vezes. Na decomposic¸a˜o, a cada raiz a de Q de multiplicidade p
vai corresponder uma soma de p parcelas com a seguinte forma:
Ap
(x− a)p +
Ap−1
(x− a)p−1 + · · ·+
A1
x− a,
com Ap, Ap−1, . . . , A1 constantes a determinar.
EXEMPLO: Calculemos a primitiva da func¸a˜o f definida por f(x) =
2x3 + 5x2 + 6x+ 2
x(x+ 1)3
·
Como x(x+1)3 admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x+1 aparece 3 vezes na factorizac¸a˜o
do polino´mio, podemos concluir que estas ra´ızes teˆm multiplicidade 1 e multiplicidade 3,
respectivamente. Enta˜o
2x3 + 5x2 + 6x+ 2
x(x+ 1)3
=
A
x
+
B
(x+ 1)3
+
C
(x+ 1)2
+
D
x+ 1
=
A(x+ 1)3 +Bx+ Cx(x+ 1) +Dx(x+ 1)2
x(x+ 1)3
=
(A+D)x3 + (3A+ C + 2D)x2 + (3A+B + C +D)x+ A
x(x+ 1)3
Pelo me´todo dos coeficientes indeterminados temos

A+D = 2
3A+ C + 2D = 5
3A+B + C +D = 6
A = 2
⇔


D = 0
C = −1
B = 1
A = 2
Assim:
2x3 + 5x2 + 6x+ 2
x(x+ 1)3
=
2
x
+
1
(x+ 1)3
+
−1
(x+ 1)2
1.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais 13
e
P
(
2x3 + 5x2 + 6x+ 2
x(x+ 1)3
)
= P
(
2
x
)
+ P
(
1
(x+ 1)3
)
− P
(
1
(x+ 1)2
)
= 2 log |x| − 1
2
1
(x+ 1)2
+
1
x+ 1
+ C
= log (x2)− 1
2
1
(x+ 1)2
+
1
x+ 1
+ C.
Vejamos agora os casos em que o polino´mio Q admite ra´ızes complexas.
Teorema 1.3.2 Se
P (x)
Q(x)
e´ uma func¸a˜o racional irredut´ıvel, se o grau de P e´ menor que
o grau de Q e se α+ iβ (α, β ∈ R) e´ uma raiz de Q, de multiplicidade r, enta˜o
P (x)
Q(x)
=
Mr x+Nr
[(x− α)2 + β2]r + · · ·+
M1 x+N1
(x− α)2 + β2 +
H(x)
Q∗(x)
onde H e Q∗ sa˜o polino´mios tais que o grau de H e´ menor que o grau de Q∗, Mr,
Nr, . . . ,M1, N1, sa˜o nu´meros reais e nem α+ iβ nem α− iβ sa˜o ra´ızes do polino´mio Q∗.
1o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade 1, isto e´, Q admite como divisores
polino´mios de grau 2, (uma u´nica vez cada polino´mio), que na˜o teˆm ra´ızes reais. Na
decomposic¸a˜o, a cada par de ra´ızes (α+ iβ, α− iβ) vai corresponder uma parcela com a
seguinte forma:
Ax+B
(x− α)2 + β2
com A e B constantes a determinar.
EXEMPLO: Calculemos a primitiva da func¸a˜o f definida por f(x) =
x2 + 2
(x− 1)(x2 + x+ 1) ·
Como
(x− 1)(x2 + x+ 1) = 0⇔ x = 1 ∨ x = −1
2
± i
√
3
2
podemos concluir que estas ra´ızes teˆm multiplicidade 1. Enta˜o
x2 + 2
(x− 1)(x2 + x+ 1) =
A
x− 1 +
Bx+ C
(x+ 1
2
)2 + 3
4
=
A(x2 + x+ 1) + (Bx+ C)(x− 1)
(x− 1)(x2 + x+ 1)
=
(A+B)x2 + (A−B + C)x+ A− C
(x− 1)(x2 + x+ 1)
14 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
Pelo me´todo dos coeficientes indeterminados temos

A+B = 1
A−B + C = 0
A− C = 2
⇔


A = 1
B = 0
C = −1
Assim:
x2 + 2
(x− 1)(x2 + x+ 1) =
1
x− 1 +
−1
(x+ 1
2
)2 + 3
4
e
P
(
x2 + 2
(x− 1)(x2 + x+ 1)
)
= P
(
1
x− 1
)
+ P
( −1
(x+ 1
2
)2 + 3
4
)
= log |x− 1| − P
(
1
(x+ 1
2
)2 + 3
4
)
.
A primitiva
P
(
1
(x+ 1
2
)2 + 3
4
)
calcula-se fazendo a substituic¸a˜o x +
1
2
=
√
3
2
t, isto e´, ϕ(t) =
√
3
2
t − 1
2
· (No caso geral,
sendo a+ ib a raiz, a substituic¸a˜o e´ x− a = bt). Enta˜o
Pf(ϕ(t)).ϕ′(t) = P
(
1
(
√
3
2
t)2 + 3
4
·
√
3
2
)
=
2√
3
P
1
t2 + 1
=
2√
3
arc tg(t),
portanto,
P
(
1
(x+ 1
2
)2 + 3
4
)
=
2√
3
arc tg
(
2√
3
x+
1√
3
)
.
Finalmente,
Pf(x) = log |x− 1| − 2√
3
arc tg
(
2√
3
x+
1√
3
)
+ C.
2o caso:Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade p, p > 1, isto e´, Q admite como divisores
polino´mios de grau 2 que na˜o teˆm ra´ızes reais, aparecendo p vezes cada polino´mio na
factorizac¸a˜o de Q. Na decomposic¸a˜o, a cada par de ra´ızes (α+iβ, α−iβ) vai corresponder
uma soma de parcelas com a seguinte forma:
Apx+Bp
((x− α)2 + β2)p +
Ap−1x+Bp−1
((x− α)2 + β2)p−1 + · · ·+
A1x+B1
(x− α)2 + β2
com Ap, Ap−1, . . . , A1, Bp, Bp−1, . . . , B1 constantes a determinar.
EXEMPLO: Calculemos a primitiva da func¸a˜o f definida por
f(x) =
x4 − x3 + 6x2 − 4x+ 7
(x− 1)(x2 + 2)2 ·
1.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais 15
Como
(x− 1)(x2 + 2)2 = 0⇔ x = 1 ∨ x = ±i
√
2
e (x − 1)(x2 + 2)2 tem grau 5, podemos concluir que estas ra´ızes teˆm multiplicidade 1 e
multiplicidade 2, respectivamente. Enta˜o
x4 − x3 + 6x2 − 4x+ 7
(x− 1)(x2 + 2)2 =
A
x− 1 +
Bx+ C
(x2 + 2)2
+
Dx+ E
x2 + 2
=
A(x2 + 2)2 + (Bx+ C)(x− 1) + (Dx+ E)(x− 1)(x2 + 2)
(x− 1)(x2 + 2)2
Pelo me´todo dos coeficientes indeterminados temos

A = 1
B = 1
C = −1
D = 0
E = −1
Assim:
x4 − x3 + 6x2 − 4x+ 7
(x− 1)(x2 + 2)2 =
1
x− 1 +
x− 1
(x2 + 2)2
+
−1
x2 + 2
e
P
(
x4 − x3 + 6x2 − 4x+ 7
(x− 1)(x2 + 2)2
)
= P
(
1
x− 1
)
+ P
(
x− 1
(x2 + 2)2
)
+ P
( −1
x2 + 2
)
= log |x− 1|+ P
(
x− 1
(x2 + 2)2
)
− P
(
1
2
1 + x
2
2
)
= log |x− 1|+ P
(
x− 1
(x2 + 2)2
)
− 1√
2
P

 1√2
1 +
(
x√
2
)2


= log |x− 1|+ P
(
x− 1
(x2 + 2)2
)
− 1√
2
arc tg
(
x√
2
)
.
A primitiva
P
(
x− 1
(x2 + 2)2
)
= P
(
x− 1
(x2 +
√
2
2
)2
)
calcula-se fazendo a substituic¸a˜o x =
√
2 t, isto e´, ϕ(t) =
√
2 t. Enta˜o
16 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
Pf(ϕ(t)).ϕ′(t) = P
( √
2 t− 1
(2t2 + 2)2
·
√
2
)
=
√
2
4
P
(√
2 t− 1
(t2 + 1)2
)
=
√
2
4
P
( √
2 t
(t2 + 1)2
− 1
(t2 + 1)2
)
=
√
2
4
(
P
√
2 t
(t2 + 1)2
− P 1
(t2 + 1)2
)
=
√
2
4
(√
2
2
P 2t(t2 + 1)−2 − P 1
(t2 + 1)2
)
=
√
2
4
(
−
√
2
2
(t2 + 1)−1 − P 1 + t
2 − t2
(t2 + 1)2
)
= −1
4
1
t2 + 1
−
√
2
4
(
P
1 + t2
(t2 + 1)2
− P t
2
(t2 + 1)2
)
= −1
4
1
t2 + 1
−
√
2
4
(
P
1
t2 + 1
− P t
2
2t
(t2 + 1)2
)
= −1
4
1
t2 + 1
−
√
2
4
(
arc tg(t)−
(
− 1
t2 + 1
t
2
+ P
1
2
1
t2 + 1
))
= −1
4
1
t2 + 1
−
√
2
4
arc tg(t)−
√
2
4
t
2(t2 + 1)
+
√
2
8
arc tg(t)
= −
√
2t+ 2
8(t2 + 1)
−
√
2
8
arc tg(t),
portanto,
P
(
x− 1
(x2 + 2)2
)
= − x+ 2
4(x2 + 2)
−
√
2
8
arc tg
(
x√
2
)
.
Finalmente,
Pf(x) = log |x− 1| − 5
√
2
8
arc tg
(
x√
2
)
− x+ 2
4(x2 + 2)
+ C.
1.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais 17
NOTA: Se
P (x)
Q(x)
admite uma decomposic¸a˜o da forma que aparece neste teorema, a sua
primitiva pode ser calculada recorrendo a primitivas de func¸o˜es da forma
Ax+B
(x− α)2 + β2 e
Cx+D
[(x− α)2 + β2]p , p > 1.
Temos no primeiro caso, usando a substituic¸a˜o x− α = βt,
P
Ax+B
(x− α)2 + β2 =
{
Pt
A(α+ βt) +B
β2t2 + β2
· β
}
t=x−α
β
Pt
A (α+ βt) +B
β2t2 + β2
· β = P A α+B + A βt
β(t2 + 1)
= P
A α+B
β(t2 + 1)
+ P
A βt
β(t2 + 1)
=
A α+B
β
P
1
t2 + 1
+ A P
t
t2 + 1
=
A α+B
β
arctg(t) +
A
2
log(t2 + 1)
Portanto,
P
Ax+B
(x− α)2 + β2 =
A α+B
β
arctg
(
x− α
β
)
+
A
2
log
[(
x− α
β
)2
+ 1
]
+ C.
No segundo caso, usando a mesma substituic¸a˜o,
P
Cx+D
[(x− α)2 + β2]p =
{
Pt
C(α+ βt) +D
(β2t2 + β2)p
· β
}
t=x−α
β
.
Pt
C (α+ βt) +D
(β2t2 + β2)p
· β = P C α+D + C βt
β2p−1(t2 + 1)p
= P
C α+D
β2p−1(t2 + 1)p
+ P
C βt
β2p−1(t2+ 1)p
=
C α+D
β2p−1
P
1
(t2 + 1)p
+
C
β2p−2
P
t
(t2 + 1)p
=
C α+D
β2p−1
P
1
(t2 + 1)p
− C
2β2p−2
· 1
p− 1 ·
1
(t2 + 1)p−1
18 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
Resta-nos calcular P
1
(t2 + 1)p
·
Mas
1
(t2 + 1)p
=
1 + t2 − t2
(t2 + 1)p
=
1
(t2 + 1)p−1
− t
2
(t2 + 1)p
o que implica que
P
1
(t2 + 1)p
= P
1
(t2 + 1)p−1
− P t
2
(t2 + 1)p
= P
1
(t2 + 1)p−1
− P t
2
· 2t
(t2 + 1)p
= P
1
(t2 + 1)p−1
+
t
2(p− 1)(t2 + 1)p−1 − P
1
2(p− 1)(t2 + 1)p−1
=
t
2(p− 1)(t2 + 1)p−1 +
2p− 3
2p− 2P
1
(t2 + 1)p−1
,
isto e´, o ca´lculo da primitiva de
1
(t2 + 1)p
ficou apenas dependente do ca´lculo da primitiva
de
1
(t2 + 1)p−1
, que por sua vez pode, de modo ana´logo, fazer-se depender do ca´lculo da
primitiva de
1
(t2 + 1)p−2
, e assim sucessivamente ate´ chegarmos a` primitiva de
1
1 + t2
que
e´ imediata.
Teorema 1.3.3 Se
P (x)
Q(x)
e´ uma func¸a˜o racional irredut´ıvel, se o grau de P e´ menor que
o grau de Q e se
Q(x) = a0 (x− a)p · · · (x− b)q[(x− α)2 + β2]r · · · [(x− γ)2 + δ2]s
enta˜o a func¸a˜o e´ decompon´ıvel numa soma da forma
P (x)
Q(x)
=
Ap
(x− a)p + · · ·+
A1
x− a + · · ·+
Bq
(x− b)q + · · ·+
B1
x− b+
+
Mr x+Nr
[(x− α)2 + β2]r + · · ·+
M1 x+N1
(x− α)2 + β2 + · · ·+
+
Vs x+ Zs
[(x− γ)2 + δ2]s + · · ·+
V1 x+ Z1
(x− γ)2 + δ2
onde Ap, . . . , A1, Bq, . . . , B1, Mr, Nr, . . . ,M1, N1, Vs, Zs, . . . , V1, Z1 sa˜o nu´meros reais.
1.4 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas irracionais 19
1.4 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas irracionais
Vejamos agora alguns tipos de func¸o˜es cuja primitivac¸a˜o pode reduzir-se a` primitivac¸a˜o
de func¸o˜es racionais com uma substituic¸a˜o adequada. Introduza-se em primeiro lugar a
noc¸a˜o de polino´mio e func¸a˜o racional em va´rias varia´veis.
Definic¸a˜o 1.4.1 Designa-se por polino´mio em duas varia´veis , x e y, com coefici-
entes reais, a aplicac¸a˜o P : R× R→ R, dada por
P (x, y) = amnx
myn + · · ·+ a11xy + a10x+ a01y + a00,
com m,n ∈ N0, aij ∈ R. Define-se o grau de P como o maior inteiro i+ j tal que aij 6= 0.
Mais geralmente define-se, de modo ana´logo, polino´mio em p varia´veis u1, . . . , up,
como a aplicac¸a˜o P : R× · · · × R︸ ︷︷ ︸
p vezes
→ R, dada por
P (u1, . . . , up) =
∑
i1,...,ip
ai1...ipu
i1
1 . . . u
ip
p ,
i1, . . . , ip ∈ N0, ai1...ip ∈ R e
∑
i1,...,ip
uma soma finita em i1, . . . , ip.
Definic¸a˜o 1.4.2 Se P (u1, . . . , up) e Q(u1, . . . , up) sa˜o dois polino´mios em p varia´veis,
chama-se func¸a˜o racional em p varia´veis a uma aplicac¸a˜o da forma
R(u1, . . . , up) =
P (u1, . . . , up)
Q(u1, . . . , up)
definida nos elementos (u1, . . . , up) ∈ R× · · · × R︸ ︷︷ ︸
p vezes
tais que Q(u1, . . . , up) 6= 0.
Analisemos enta˜o algumas classes de func¸o˜es suscept´ıveis de serem racionalizadas por
convenientes mudanc¸as de varia´vel. No que se segue R designa uma func¸a˜o racional dos
seus argumentos.
Expressa˜o Substituic¸a˜o
f(x) = R(x
m
n , x
p
q , . . . , x
r
s ) x = tµ
µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}
f(x) = R
(
x,
(
a x+b
c x+d
)m
n ,
(
a x+b
c x+d
) p
q , . . . ,
(
a x+b
c x+d
) r
s
)
a x+b
c x+d
= tµ
µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}
f(x) = xα (a+ b xβ)γ xβ = t
20 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o f(x) =
1√
x+ 3
√
x
=
1
x
1
2 + x
1
3
· A substituic¸a˜o a
usar e´ x = ϕ(t) = t6 e a primitiva a calcular e´
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P
1
t3 + t2
· 6t5 = P 6t
5
t2(t+ 1)
= 6 P
t3
t+ 1
= 6 P
(
t2 − t+ 1− 1
t+ 1
)
= 6
(
t3
3
− t
2
2
+ t− log |t+ 1|
)
= 2t3 − 3t2 + 6t− 6 log |t+ 1|
tendo-se assim
P
1√
x+ 3
√
x
= 3
√
x− 3 3√x+ 6 6√x− 6 log( 6√x+ 1) + C.
EXEMPLO 2: Seja f(x) =
√
2x+ 3
1− 4√2x+ 3 · A substituic¸a˜o 2x + 3 = t
4 permite resolver o
problema. Temos
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P
t2
1− t · 2t
3 = −2 P t
5
t− 1 = −2P
(
t4 + t3 + t2 + t+ 1 +
1
t− 1
)
= −2
(
t5
5
+
t4
4
+
t3
3
+
t2
2
+ t+ log |t− 1|
)
e
Pf(x) = −2
(
( 4
√
2x+ 3)5
5
+
( 4
√
2x+ 3)4
4
+
( 4
√
2x+ 3)3
3
+
( 4
√
2x+ 3)2
2
+ 4
√
2x+ 3
+ log( 4
√
2x+ 3)
)
+ C
EXEMPLO 3: Seja f(x) = x
√
3
√
x2 + 2. Fac¸amos a substituic¸a˜o x
2
3 = t. Obtemos:
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P t
3
2 (2 + t)
1
2
3
2
t
1
2 =
3
2
P t2
√
2 + t
que, como vimos anteriormente (exemplo 2), se resolve fazendo a substituic¸a˜o 2 + t = z2,
isto e´,
3
2
P t2
√
2 + t =
3
2
{
Pz (z
2 − 2)2 · z · 2z}
z=
√
2+t
=
3
2
{
Pz2(z
6 − 4z4 + 4z2)}
z=
√
2+t
= 3
{
z7
7
− 4z
5
5
+ 4
z3
3
}
z=
√
2+t
=
3
7
(√
2 + t
)7
− 12
5
(√
2 + t
)5
+ 4
(√
2 + t
)3
1.4 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas irracionais 21
tendo-se finalmente
P x
√
3
√
x2 + 2 =
3
7
(√
x
2
3 + 2
)7
− 12
5
(√
x
2
3 + 2
)5
+ 4
(√
x
2
3 + 2
)3
+ C.
Expressa˜o Substituic¸a˜o
√
a x2 + b x+ c =
√
a x+ t
se a > 0
√
a x2 + b x+ c = t x+
√
c
f(x) = R(x,
√
a x2 + b x+ c) se c > 0
√
a x2 + b x+ c = t (x− α)
ou
√
a x2 + b x+ c = t (x− β)
se α e β sa˜o zeros reais
distintos de a x2 + b x+ c
EXEMPLO 1: Consideremos a func¸a˜o f(x) =
1
x
√
3x2 − x+ 1. Como a = 3 podemos
usar a substituic¸a˜o
√
3x2 − x+ 1 = √3x+ t, tendo-se:
3x2 − x+ 1 = 3x2 + 2√3xt+ t2
−x− 2√3xt = t2 − 1
x =
1− t2
1 + 2
√
3t
= ϕ(t)
o que implica ϕ′(t) =
−2√3t2 − 2t− 2√3
(2
√
3t+ 1)2
·
A primitiva a calcular e´
P
1
1− t2
1 + 2
√
3t
(√
3 · 1− t
2
1 + 2
√
3t
+ t
) · −2√3t2 − 2t− 2√3
(2
√
3t+ 1)2
= P
−2√3t2 − 2t− 2√3√
3(1− t2)2 + t(1− t2)(2√3t+ 1
= P
−2(√3t2 + t+√3)
(
√
3−√3t2 + 2√3t2 + t)(1− t2)
22 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
= −2P 1
1− t2 = −2P
( 1
2
1− t +
1
2
1 + t
)
= log |1− t| − log |1 + t| = log
∣∣∣∣1− t1 + t
∣∣∣∣
o que implica que
P
1
x
√
3x2 − x+ 1 = log
∣∣∣∣∣1−
√
3x2 − x+ 1 +√3x
1 +
√
3x2 − x+ 1−√3x
∣∣∣∣∣+ C.
EXEMPLO 2: Primitivemos a func¸a˜o f(x) =
1
x
√−x2 + 4x− 3 · Tendo em conta que
−x2+4x−3 = 0⇔ x = 1∨x = 3 podemos usar a substituic¸a˜o √−x2 + 4x− 3 = t(x−3).
√−x2 + 4x− 3 = t(x− 3)
√−(x− 3)(x− 1) = t(x− 3)
−(x− 3)(x− 1) = t2(x− 3)2
−(x− 1) = t2(x− 3)
x =
3t2 + 1
t2 + 1
= ϕ(t)
o que implica ϕ′(t) =
4t
(t2 + 1)2
·
A primitiva a calcular e´
P
1
3t2 + 1
t2 + 1
· t
(
3t2 + 1
t2 + 1
− 3
) · 4t
(t2 + 1)2
= P
4
(3t2 + 1)(3t2 + 1− 3t2 − 3)
= P
−2
3t2 + 1
= − 2√
3
arc tg(
√
3t)
o que implica que
P
1
x
√−x2 + 4x− 3 = −
2√
3
arc tg(
√
3 ·
√−x2 + 4x− 3
x− 3 ) + C.
1.4 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas irracionais 23
Expressa˜o Substituic¸a˜o
√
a2 − x2 x = a cos(t) ou x = a sen(t)
√
x2 − a2 x = a sec(t) ou x = a cosec(t)
√
x2 + a2 x = a tg(t) ou x = a cotg(t)
EXEMPLO 1: Seja f(x) =
√
9− x2
x2
· Fac¸amos a substituic¸a˜o x = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos
ϕ′(t) = 3 cos(t) e
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P
√
9− 9 sen2(t)
9 sen2(t)
· 3 cos(t) = P
√
1− sen2(t)
sen2(t)
· cos(t)
= P
cos2(t)
sen2(t)
= P cotg2(t) = P (cosec2(t)− 1)
= −cotg(t)− t
e, assim,
P
√
9− x2
x2
= −cotg(arc sen(x
3
))− arc sen(x
3
) + C = −
√
9− x2
x
− arc sen(x
3
) + C
EXEMPLO 2: Consideremos a func¸a˜o f(x) =
1
x3
√
x2 − 16 e a substituic¸a˜o x = 4 sec(t) =
ϕ(t). Temos ϕ′(t) = 4 sec(t) tg(t) e
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P
1
43sec3(t)
√
16 sec2(t)− 16 · 4 sec(t) tg(t)
= P
tg(t)
43 sec2(t)
√sec2(t)− 1 = P
tg(t)
43 sec2(t) tg(t)
=
1
43
P
1
sec2(t)
=
1
43
P cos2(t)
=
1
43
(
t
2
+
sen(2 t)
4
)
e, assim,
P
1
x3
√
x2 − 16 =
1
43
(
1
2
arc sec(
x
4
) +
sen(2 arc sec(x
4
))
4
)
+ C
EXEMPLO 3: Para calcular as primitivas de f(x) =
1
x2
√
x2 + 4
podemos fazer a subs-
24 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
tituic¸a˜o x = 2 tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ′(t) = 2 sec2(t) e
P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P
1
4 tg2(t)
√
4 tg2(t) + 4
· 2 sec2(t)
= P
sec2(t)
4 tg2(t)
√
tg2(t) + 1
= P
sec2(t)
4 tg2(t) sec(t)
=
1
4
P
sec(t)
tg2(t)
=
1
4
P cotg(t) cosec(t)
= −1
4
cosec(t)
e, assim,
P
1
x2
√
x2 + 4
= −1
4
cosec(arc tg(
x
2
)) + C = −1
4
√
x2 + 4
x
+ C
1.5 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es transcendentes 25
1.5 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es transcendentes
Expressa˜o Substituic¸a˜o
f(x) = R(sen(x), cos(x)) tg(x
2
) = t
f(x) = R(sen(x), cos(x)) tg(x) = t
R(−y,−z) = R(y, z), ∀y, z
f(x) = R(ex) ex = t
A substituic¸a˜o tg
(x
2
)
= t conduz a uma func¸a˜o racional de t. De facto, de
sen(x) = 2 sen
(x
2
)
. cos
(x
2
)
= 2
tg
(
x
2
)√
1 + tg2
(
x
2
) · 1√
1 + tg2
(
x
2
)
= 2
tg
(
x
2
)
1 + tg2
(
x
2
) = 2t
1 + t2
e
cos(x) = cos2
(x
2
)
− sen2
(x
2
)
=
1
1 + tg2
(
x
2
) − tg2 (x2)
1 + tg2
(
x
2
)
=
1− tg2 (x
2
)
1 + tg2
(
x
2
) = 1− t2
1 + t2
conclui-se, tendo em conta que
tg
(x
2
)
= t⇒ x = 2arc tg(t) = ϕ(t)⇒ ϕ′(t) = 2
1 + t2
,
P f(x) =
{
PtR
(
2t
1 + t2
,
1− t2
1 + t2
)
.
2
1 + t2
}
tg(x2 )=t
A substituic¸a˜o indicada serve no caso geral, mas em certos casos particulares sa˜o
prefer´ıveis outras substituic¸o˜es. Assim, por exemplo, se R(sen(x), cos(x)) e´ func¸a˜o par em
sen(x) e cos(x) (isto e´, se na˜o se altera ao mudarmos simultaneamente sen(x) para−sen(x)
e cos(x) para − cos(x)), pode fazer-se a substituic¸a˜o tg(x) = t, ou seja, ϕ(t) = arc tg(t) e
sen(x) =
t√
1 + t2
e cos(x) =
1√
1 + t2
·
EXEMPLO 1: Calculemos as primitivas de f(x) =
1
2 cos(x) + 1
· A substituic¸a˜o indicada
26 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
e´ tg
(x
2
)
= t:
P
1
2
1− t2
1 + t2
+ 1
· 2
1 + t2
= P
2
3− t2
=
1√
3
P
(
1√
3− t +
1√
3 + t
)
=
1√
3
(− log |
√
3− t|+ log |
√
3 + t|) = 1√
3
log
∣∣∣∣∣
√
3 + t√
3− t
∣∣∣∣∣
o que implica que
P
1
2 cos(x) + 1
=
1√
3
log
∣∣∣∣∣∣
√
3 + tg
(x
2
)
√
3− tg
(x
2
)
∣∣∣∣∣∣+ C.
EXEMPLO 2: Para calcular as primitivas de f(x) =
1
cos2(x)− sen2(x) fazemos a substi-
tuic¸a˜o tg(x) = t e obtemos
P
1
1
1 + t2
− t
2
1 + t2
· 1
1 + t2
= P
1
1− t2
=
1
2
P
(
1
1− t +
1
1 + t
)
=
1
2
(− log |1− t|+ log |1 + t|) = 1
2
log
∣∣∣∣1 + t1− t
∣∣∣∣
e, portanto,
P
1
cos2(x)− sen2(x) =
1
2
log
∣∣∣∣1 + tg(x)1− tg(x)
∣∣∣∣+ C
EXEMPLO 3: Para primitivar a func¸a˜o f(x) =
1
ex + 1
usa-se a substituic¸a˜o ex = t:
P
1
t+ 1
· 1
t
= P
−1
1 + t
+ P
1
t
= − log |1 + t|+ log |t| = log
∣∣∣∣ t1 + t
∣∣∣∣
e
P
1
ex + 1
= log
(
ex
ex + 1
)
+ C.
As func¸o˜es do tipo f(x) = sen(ax)sen(bx), com a e b constantes, |a| 6= |b|, podem
primitivar-se tendo em conta que
sen(ax).sen(bx) =
1
2
[cos(a− b)x− cos(a+ b)x]
1.5 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es transcendentes 27
e conclui-se que
P sen(ax).sen(bx) =
sen(a− b)x
2(a− b) −
sen(a+ b)x
2(a+ b)
+ C
De modo ana´logo,
P cos(ax). cos(bx) =
sen(a− b)x
2(a− b) +
sen(a+ b)x
2(a+ b)
+ C
Se pretendermos primitivar um produto de va´rios factores sen(amx) e cos(bnx) po-
demos comec¸ar por substituir por uma soma o produto de dois dos factores; depois
substituem-se por somas os novos produtos obtidos por associac¸a˜o de novos pares de
factores; e assim sucessivamente ate´ esgotar todos os factores.
EXEMPLO:
P sen(3x) cos(5x)sen(6x)
= P
1
2
(sen(8x) + sen(−2x)) sen(6x)
=
1
2
P
1
2
(cos(2x)− cos(14x))− 1
2
P
1
2
(cos(−4x)− cos(8x))
=
1
4
P cos(2x)− 1
4
P cos(14x)− 1
4
P cos(4x) +
1
4
P cos(8x)
= 1
8
(
sen(2x)− sen(14x)
7
− sen(4x)
2
+
sen(8x)
4
)
+ C
As func¸o˜es do tipo f(x) = p(x)eax, onde p e´ um polino´mio de grau n em x e a e´ uma
constante, primitivam-se por partes:
P p(x)eax =
1
a
eaxp(x)− 1
a
Peaxp′(x).
A primitiva que aparece no segundo membro e´ ainda do mesmo tipo, mas mais simples,
pois o grau de p′(x) e´ inferior em uma unidade ao grau de p(x). Aplicando novamente o
mesmo processo ate´ chegar a um polino´mio de grau zero, obte´m-se
P f(x) =
eax
a
(
p(x)− p
′(x)
a
+
p′′(x)
a2
+ · · ·+ (−1)np
(n)(x)
an
)
+ C.
EXEMPLO: Primitivemos a func¸a˜o f(x) = (x2 + 2x+ 1)e3x.
P (x2 + 2x+ 1)e3x =
1
3
(x2 + 2x+ 1)e3x − 1
3
P (2x+ 2)e3x
=
1
3
(
(x2 + 2x+ 1)e3x − 1
3
(2x+ 2)e3x +
1
3
P2e3x
)
=
1
3
e3x
(
(x2 + 2x+ 1)− 1
3
(2x+ 2) +
2
9
)
+ C.
28 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
As primitivas que obtivemos foram sempre func¸o˜es elementares, isto e´, func¸o˜es alge´-
bricas, a func¸a˜o exponencial, as func¸o˜es trigonome´tricas e as trigonome´tricas inversas e,
de um modo geral, as func¸o˜es que se possam obter por composic¸a˜o destas em nu´mero
finito. Por outras palavras, aprendemos a calcular primitivas de func¸o˜es elementarmente
primitiva´veis. Nem todas as func¸o˜es esta˜o nesta situac¸a˜o. No entanto,
Teorema 1.5.4 Toda a func¸a˜o cont´ınua num intervalo [a, b] e´ primitiva´vel nesse inter-
valo.
1.6 Exerc´ıcios 29
1.6 Exerc´ıcios
1. Determine as primitivas das func¸o˜es definidas pelas expresso˜es anal´ıticas seguintes:
(a) 2x 3
√
x2 + 3;
(b) 5x4 + 2x2 + 3;
(c) ax5, a constante na˜o nula;
(d)
ex√
1− e2x ;
(e) cos(6x);
(f)
2
3x
;
(g) sen(2x− 3);
(h)
3x
5 + x2
;
(i) x
√
x2 + 9 ;
(j) cosx− 5e2x;
(k)
x
2x2 + 5
+ cos(2x);
(l)
1√
1− 5x2 ;
(m) − 3
2x2
+
5
x
+
2√
x
;
(n) sen(x) cos2(x);
(o)
sen(x)
1 + 2 cos(x)
+
1
sen2(x)
;
(p) (cos2(x) + 2 cos(x)) sen(x);
(q)
kx
a+ bx2
, k 6= 0, ab 6= 0;
(r) asen3(x) + x, a 6= 0;
(s)
log |x|
x
;
(t)
1
x log x
.
2. Primitive, por partes, as func¸o˜es definidas pelas expresso˜es anal´ıticas seguintes :
(a) arc tg(x);
30 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
(b) x cos(x);
(c) (x2 + x+ 1) ex;
(d) (x2 + 1) cos(x);
(e)
x
cos2(x)
;
(f)
log |x|
x2
.
3. Primitive, por substituic¸a˜o, usando em cada caso a substituic¸a˜o indicada, as func¸o˜es
definidas por :
(a)
x3√
x− 1 (
√
x− 1 = t);
(b)
x2√
4− x2 (x = 2 sen(t));
(c)
1
x+ 4
√
x+ 2
x+ 4
(√
x+ 2
x+ 4
= t
)
;
(d)
1
ex + e−x
(ex = t);
(e)
1
sen(x) + cos(x)
(tg
(x
2
)
= t).
4. Determine as primitivas das func¸o˜es racionais definidas pelas expresso˜es anal´ıticas
seguintes :
(a)
x5
2x+ 1
;
(b)
x2 + 1
12 + 3x2
;
(c)
x+ 2
3x2 − 12x+ 12 ;
(d)
1
x2 − 9 ;
(e)
2x
(x+ 2)(x− 3) ;
(f)
x3 + x2 + x+ 3
x4 + 2x2 − 3 ;
(g)
x4
2x3 − 4x2 + 8x− 16 ;
(h)
3x
−x2 + x+ 6 ;
1.6 Exerc´ıcios 31
(i)
t+ 1
t4 + t2
;
(j)
2x3
(x2 + 1)2
.
5. Determine a primitiva da func¸a˜o x→ x2ex que toma o valor 1 para x = 0.
6. Determine a primitiva da func¸a˜o x→ 3
9x2 + 6x+ 2
que toma o valor
5π
4
para x = 0.
7. Determine a primitiva da func¸a˜o x → (cos(x)) 35 sen3(x) + x2ex que toma o valor 7
para x = 0.
8. Determine a func¸a˜o f tal quef”(x) =
8
(x+ 1)3
, f ′(1) = −1 e lim
x→+∞
f(x) = 1.
9. (a) Mostre que, com a substituic¸a˜o log x = t , o ca´lculo de P
(
1
x
R(log x)
)
, onde
R designa uma func¸a˜o racional do seu argumento, pode fazer-se depender do
ca´lculo da primitiva de uma func¸a˜o racional em t.
(b) Primitive f(x) =
4
x[(log x)3 − 3 log x− 2] .
10. Sendo g(x) = cosn(x)R(sen(x)), com n ı´mpar, onde R designa uma func¸a˜o racional
do seu argumento , mostre que a substituic¸a˜o sen(x) = t permite primitivar g atrave´s
da primitiva de uma func¸a˜o racional.
11. Primitive as func¸o˜es definidas pelas expresso˜es anal´ıticas seguintes :
(a) x sen(2x− 1);
(b) x arc tg(x);
(c)
x√
1 + x
;
(d)
t+ 1√
t2 + 2t+ 3
;
(e) (x+ 1)ex;
(f)
3x√
x2 + 5
+ tg(9x);
(g)
x3 + 1
5x2 − 10x+ 50 ;
(h)
2√
9− x2 ;
(i)
ex + e−x
e2x − 2ex + 1 ;
32 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
(j)
1
x
√
x2 + 4x− 4 ;
(k) arc tg(5x);
(l)
1√
2 + x− x2 ;
(m)
1√
x+ 1 + 4
√
x+ 1
;
(n) cos4(ax) , a 6= 0;
(o) x5 3
√
(1 + x3)2 ;
(p)
1
5 + 4 cos(x)
;
(q)
√
x− x3ex + x2
x3
;
(r) (log x+ 1)2;
(s)
sen(x)
cos(x)(1 + cos2(x))
;
(t)
3x+ 5
2x3 − 2x2 − 2x+ 2 ;
(u)
x3(x+ 3)
3x3 + 9x2 − 12 ;
(v) (x+ 1)3e2x;
(w)
x3 − 3x− 4
−4x+ 2x2 − 16 ;
(x)
2x+ 1√
3x+ 2
;
(y)
2t− 1
t4 − 2t3 + 2t2 − 2t+ 1 ;
(z)
tg(x)
1 + cos(x)
.
12. Mostre por primitivac¸a˜o que:
(a) P [(sen(x))n−1sen((n+ 1)x)] =
1
n
(sen(x))nsen(nx);
(b) P [(cosx)m cos(nx)] =
1
m+ n
[cosm(x)sen(nx) +mP [cosm−1(x) cos((n− 1)x)]].
13. Estabelec¸a a seguinte fo´rmula de recorreˆncia :
P (tg(x))n =
(tg(x))n−1
n− 1 − P (tg(x))
n−2, n ≥ 2.
1.6 Exerc´ıcios 33
14. Seja fn(x) =
xn√
a+ bx
. Mostre que :
Pfn(x) =
2xn
√
a+ bx
(2n+ 1)b
− 2na
(2n+ 1)b
Pfn−1(x).
34 1. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real:
Ca´lculo Integral
2.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades
Definic¸a˜o 2.1.1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dados n + 2 pontos a = x0 < x1 < x2 < · · · <
xn−1 < xn < xn+1 = b, ao conjunto dos subintervalos da forma [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . , n,
chama-se partic¸a˜o de [a, b].
NOTAS:
1. A partic¸a˜o e´ um conjunto de subconjuntos, mais precisamente:
P = {[xi, xi+1] : i ∈ N0, 0 ≤ i ≤ n}.
O nome partic¸a˜o resulta de ∪ni=0[xi, xi+1] = [a, b] e do facto de dados dois quaisquer
elementos de P a sua intersecc¸a˜o ou e´ vazia ou se reduz a um ponto.
2. A partic¸a˜o P fica bem definida pelo conjunto P ={a= x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn, xn+1=
b} pelo que podemos identificar a partic¸a˜o P com o conjunto P . E´ claro que,
pelo modo como definimos a partic¸a˜o, consideramos o conjunto P ordenado, isto e´,
xi < xi+1, i = 0, 1, . . . , n.
Definic¸a˜o 2.1.2 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dadas duas partic¸o˜es P1 e P2, diz-se que P1 e´
mais fina que P2 se todos os elementos de P1 esta˜o contidos em elementos de P2.
NOTA: Tendo em conta a Nota 2, a seguir a` definic¸a˜o anterior, se P1 e P2 forem os
conjuntos de pontos que definem P1 e P2, respectivamente, a Definic¸a˜o 2.1.2 poderia ser
enunciada do seguinte modo: P1 e´ mais fina que P2 se P2 ⊂ P1.
Proposic¸a˜o 1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dadas duas partic¸o˜es de [a, b], P1 e P2, existe
uma partic¸a˜o de [a, b], P3, mais fina que P1 e P2.
Demonstrac¸a˜o: Tendo em conta a Nota 2 a seguir a` Definic¸a˜o 2.1.1 e a nota a seguir a`
Definic¸a˜o 2.1.2, se P1 e P2 sa˜o os conjuntos de pontos que definem P1 e P2, basta tomar
a partic¸a˜o P3 definida por P3 = P1 ∪ P2.
36 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
Definic¸a˜o 2.1.3 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma func¸a˜o limitada e P uma
partic¸a˜o de [a, b]. Chama-se soma inferior de Darboux de f , relativa a` partic¸a˜o P a
sP(f) =
n∑
i=0
(xi+1 − xi) inf
x∈[xi,xi+1]
f(x).
Chama-se soma superior de Darboux de f , relativa a` partic¸a˜o P a
SP(f) =
n∑
i=0
(xi+1 − xi) sup
x∈[xi,xi+1]
f(x).
NOTAS:
1. As somas superior e inferior esta˜o bem definidas. Como f e´ limitada em [a, b], f
e´ limitada em [xi, xi+1], isto e´, o conjunto {f(x) : x ∈ [xi, xi+1]} e´ limitado e,
portanto, tem ı´nfimo e supremo.
2. E´ o´bvio que sP(f) ≤ SP(f). Veremos que esta propriedade se pode generalizar: para
uma func¸a˜o limitada em [a, b], qualquer soma superior e´ maior ou igual a qualquer
soma inferior.
3. Se f e´ uma func¸a˜o na˜o negativa em [a, b], dada uma partic¸a˜o P, a soma inferior
de Darboux e´ igual a` soma das a´reas dos rectaˆngulos cujos lados teˆm comprimento
xi+1 − xi e inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) (ver Figura 2.1).
xba
y
x x x x x xx x x x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 2.1: Soma inferior de Darboux.
Analogamente, a soma superior de Darboux e´ igual a` soma das a´reas dos rectaˆngulos
cujos lados teˆm comprimento xi+1 − xi e sup
x∈[xi,xi+1]
f(x) (ver Figura 2.2).
2.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades 37
Figura 2.2: Soma superior de Darboux.
Proposic¸a˜o 2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b]→ R uma func¸a˜o limitada, P1 e P2 duas
partic¸o˜es de [a, b], P1 mais fina que P2. Enta˜o: sP2(f) ≤ sP1(f) ≤ SP1(f) ≤ SP2(f).
Demonstrac¸a˜o: Da Definic¸a˜o 2.1.2, para cada [xi, xi+1] ∈ P2, existem [yj, yj+1] ∈ P1, j =
ki, . . . , pi, tais que ∪pij=ki [yj, yj+1] = [xi, xi+1]. Enta˜o
inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) ≤ inf
x∈[yj ,yj+1]
f(x), j = ki, . . . , pi,
pelo que
pi∑
j=ki
(yj+1 − yj) inf
x∈[yj ,yj+1]
f(x) ≥
pi∑
j=ki
(yj+1 − yj) inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) =
= inf
x∈[xi,xi+1]
f(x)
pi∑
j=ki
(yj+1 − yj) = (xi+1 − xi) inf
x∈[xi,xi+1]
f(x).
Somando estas expresso˜es (de i = 0 a i = n) obte´m-se sP2(f) ≤ sP1(f). Analogamente se
obtinha SP1(f) ≤ SP2(f). A proposic¸a˜o fica demonstrada tendo em conta que sP1(f) ≤
SP1(f) (ver Nota 2 a seguir a` Definic¸a˜o 2.1.3).
Proposic¸a˜o 3 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b]→ R uma func¸a˜o limitada, P1 e P2 duas
partic¸o˜es de [a, b]. Enta˜o: sP1(f) ≤ SP2(f) e sP2(f) ≤ SP1(f).
Demonstrac¸a˜o: Pela Proposic¸a˜o 1 existe uma partic¸a˜o P3 mais fina que P1 e P2. Pela
Proposic¸a˜o 2, sP1(f) ≤ sP3(f) ≤ SP3(f) ≤ SP2(f) e sP2(f) ≤ sP3(f) ≤ SP3(f) ≤ SP1(f).
NOTA: Resulta desta proposic¸a˜o que se a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R e´ uma func¸a˜o
limitada, o conjunto das somas superiores e´ minorado (todas as somas inferiores sa˜o
minorantes) e o conjunto das somas inferiores e´ majorado (todas as somas superiores sa˜o
majorantes); estes conjuntos teˆm, pois, ı´nfimo e supremo, respectivamente.
38 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
Definic¸a˜o 2.1.4 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma func¸a˜o limitada. Ao
ı´nfimo do conjunto das somas superiores de f chama-se integral superior de f em
[a, b] e representa-se por
∫ b
a
f(x) dx. Ao supremo do conjunto das somas inferiores de f
chama-se integral inferior de f em [a, b] e representa-se por
∫ b
a
f(x) dx. Se
∫ b
a
f(x) dx =∫ b
a
f(x) dx, diz-se que f e´ integra´vel a` Riemann em [a, b]; a este nu´mero chama-se in-
tegral de f em [a, b] e representa-se
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx.
NOTAS:
1. Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma func¸a˜o limitada. O integral superior de
f em [a, b] e o integral inferior de f em [a, b] existem (ver nota antes da definic¸a˜o).
No entanto a func¸a˜o pode na˜o ser integra´vel; consideremos, por exemplo, a func¸a˜o
f(x) =


1, x ∈ [0, 1] ∩Q
0, x ∈ [0, 1] \Q
Como entre quaisquer dois pontos existem racionais e irracionais, dada uma partic¸a˜o
qualquer, P, inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) = 0 e sup
x∈[xi,xi+1]
f(x) = 1, pelo que
∫ 1
0
f(x) dx = 0 e∫ 1
0
f(x) dx = 1.
2. Se f e´ cont´ınua, na˜o negativa e integra´vel em [a, b], o integral de f e´ igual a` a´rea da
figura limitada pelo gra´ficode f e pelas rectas x = a, x = b e y = 0 (eixo dos xx)
(ver Figura 2.3). Para nos convencermos deste facto, basta ter em conta as figuras
2.1 e 2.2 e a definic¸a˜o. O integral e´ o ı´nfimo do conjunto das somas superiores, que
sa˜o todas maiores ou iguais que aquela a´rea (ver Figura 2.2), portanto o integral e´
maior ou igual que a a´rea da figura referida. Por outro lado, o integral tambe´m e´
o supremo do conjunto das somas inferiores, que sa˜o todas menores ou iguais que
aquela a´rea (ver Figura 2.1) portanto o integral e´ menor ou igual que a a´rea da
figura referida. Conclui-se assim que o integral e´ igual a` a´rea da figura.
Proposic¸a˜o 4 Se a < b e f(x) = c, ∀x ∈ [a, b], enta˜o ∫ b
a
f(x) dx = c (b− a)
Demonstrac¸a˜o: Qualquer que seja a partic¸a˜o P, sP(f) = SP(f) = c (b− a).
Proposic¸a˜o 5 Se a < b e f, g : [a, b]→ R sa˜o duas funco˜es integra´veis em [a, b] tais que
f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], enta˜o ∫ b
a
f(x) dx ≤ ∫ b
a
g(x) dx.
2.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades 39
Figura 2.3: O integral e´ igual a` a´rea da figura indicada.
Demonstrac¸a˜o: Qualquer que seja a partic¸a˜o P, sP(f) ≤ sP(g) pelo que, os integrais,
(que, por hipo´tese, existem e sa˜o iguais aos supremos dos conjuntos das somas inferiores)
verificam a desigualdade.
Proposic¸a˜o 6 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b]→ R uma func¸a˜o limitada. f e´ integra´vel
se, e so´ se, para todo o ε > 0 existe uma partic¸a˜o P tal que SP(f)− sP(f) < ε.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que f e´ integra´vel e seja ε > 0, qualquer. Visto que o integral
e´ o supremo do conjunto das somas inferiores, existe uma partic¸a˜o P1 tal que
sP1(f) >
∫ b
a
f(x) dx− ε/2; (2.1)
analogamente, visto que o integral e´ o ı´nfimo do conjunto das somas superiores, existe
uma partic¸a˜o P2 tal que
SP2(f) <
∫ b
a
f(x) dx+ ε/2. (2.2)
Enta˜o, SP2(f) − ε/2 <
∫ b
a
f(x) dx < sP1(f) + ε/2 donde obtemos SP2(f) < sP1(f) + ε.
Se tomarmos uma partic¸a˜o P, mais fina que P1 e P2 enta˜o, pela Proposic¸a˜o 2, SP(f) ≤
SP2(f) < sP1(f) + ε ≤ sP(f) + ε.
Reciprocamente, suponhamos que para todo o ε > 0 existe uma partic¸a˜o P tal que
SP(f)− sP(f) < ε, isto e´, SP(f) < sP(f) + ε. Enta˜o,
∫ b
a
f(x) dx ≤ SP(f) < sP(f) + ε ≤∫ b
a
f(x) dx + ε, pelo que, para todo o ε > 0, 0 ≤ ∫ b
a
f(x) dx − ∫ b
a
f(x) dx ≤ ε, o que so´ e´
poss´ıvel se
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx.
Proposic¸a˜o 7 Se a < b e f, g : [a, b] → R sa˜o duas funco˜es integra´veis em [a, b] enta˜o
f + g e´ integra´vel em [a, b] e
∫ b
a
(f + g)(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx.
40 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
Demonstrac¸a˜o: Visto que, para cada i,
inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) ≤ f(x) ≤ sup
x∈[xi,xi+1]
f(x), ∀x ∈ [xi, xi+1]
e
inf
x∈[xi,xi+1]
g(x) ≤ g(x) ≤ sup
x∈[xi,xi+1]
g(x), ∀x ∈ [xi, xi+1],
enta˜o
inf
x∈[xi,xi+1]
f(x)+ inf
x∈[xi,xi+1]
g(x) ≤ f(x)+g(x) ≤ sup
x∈[xi,xi+1]
f(x)+ sup
x∈[xi,xi+1]
g(x), ∀x ∈ [xi, xi+1],
pelo que
inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) + inf
x∈[xi,xi+1]
g(x) ≤ inf
x∈[xi,xi+1]
(f(x) + g(x)) ≤
≤ sup
x∈[xi,xi+1]
(f(x) + g(x)) ≤ sup
x∈[xi,xi+1]
f(x) + sup
x∈[xi,xi+1]
g(x)
Usando estas desigualdades e recorrendo a` definic¸a˜o, obtemos, para qualquer partic¸a˜o,
sP(f) + sP(g) ≤ sP(f + g) ≤ SP(f + g) ≤ SP(f) + SP(g) (2.3)
Seja ε > 0, qualquer. Pela Proposic¸a˜o 6 (desigualdades 2.1 e 2.2) existem partic¸o˜es
P1, P2, P3 e P4 tais que∫ b
a
f(x) dx− ε
2
≤ sP1(f) ≤ SP2(f) ≤
∫ b
a
f(x) dx+
ε
2
e ∫ b
a
g(x) dx− ε
2
≤ sP3(g) ≤ SP4(g) ≤
∫ b
a
g(x) dx+
ε
2
Se considerarmos uma partic¸a˜o P mais fina que P1, P2, P3 e P4, as u´ltimas desigualdades
continuam va´lidas, com as Pi substitu´ıdas por P e, adicionando,∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx−ε ≤ sP(f)+sP(g) ≤ SP(f)+SP(g) ≤
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx+ε
Usando agora as desigualdades 2.3, obtemos∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx− ε ≤ sP(f + g) ≤ SP(f + g) ≤
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx+ ε.
Conclu´ımos assim que
∫ b
a
f(x) dx +
∫ b
a
g(x) dx e´ o supremo das somas inferiores e o
ı´nfimo das somas superiores de f + g, isto e´,
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx =
∫ b
a
(f(x)+ g(x)) dx.
Proposic¸a˜o 8 Se a < b, se f : [a, b] → R e´ integra´vel em [a, b] e c ∈ R, enta˜o c f e´
integra´vel em [a, b] e
∫ b
a
(c f)(x) dx = c
∫ b
a
f(x) dx.
2.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades 41
Demonstrac¸a˜o: Se c = 0, cf ≡ 0 em [a, b] e aplica-se a Proposic¸a˜o 4.
Se c > 0, seja P uma partic¸a˜o de [a, b]. Como, para cada i,
inf
[xi,xi+1]
(cf(x)) = c inf
[xi,xi+1]
(f(x)) e sup
[xi,xi+1]
(cf(x)) = c sup
[xi,xi+1]
(f(x)),
enta˜o sP(cf) = c sP(f) e SP(cf) = c SP(f). Tomando o supremo das somas inferiores e o
ı´nfimo das somas superiores, obtemos:
∫ b
a
(c f)(x) dx = c
∫ b
a
f(x) dx = c
∫ b
a
f(x) dx = c
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
(c f)(x) dx
Se c = −1, inf
[xi,xi+1]
(−f(x)) = − sup
[xi,xi+1]
(f(x)) e sup
[xi,xi+1]
(−f(x)) = − inf
[xi,xi+1]
(f(x)), pelo
que sP(−f) = −SP(f) e SP(−f) = −sP(f); enta˜o,∫ b
a
(−f)(x) dx = −
∫ b
a
f(x) dx e
∫ b
a
(−f)(x) dx = −
∫ b
a
f(x) dx
e destas igualdades conclu´ımos que
∫ b
a
(−f)(x) dx = − ∫ b
a
f(x) dx.
Tendo em conta os casos estudados a proposic¸a˜o fica demonstrada (se c < 0, basta
observar que c = −1 (−c) e aplicar o que se mostrou anteriormente).
Proposic¸a˜o 9 Se a < b, se f : [a, b]→ R e´ integra´vel em [a, b] e se g difere de f apenas
num ponto, enta˜o g e´ integra´vel em [a, b] e
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
g(x) dx.
Demonstrac¸a˜o: Seja M > 0 tal que |f(x)| ≤M ∧ |g(x)| ≤M, ∀x ∈ [a, b].
Dado ε > 0 qualquer, consideremos uma partic¸a˜o P1 de [a, b] tal que∫ b
a
f(x) dx− ε
2
≤ sP1(f) ≤ SP1(f) ≤
∫ b
a
f(x) dx+
ε
2
.
Tomemos uma partic¸a˜o P, mais fina que P1, tal que xi+1 − xi < ε
8M
, i = 0, . . . , n. Como
f e g diferem apenas num ponto, digamos c, as respectivas somas superiores e inferiores
diferem (eventualmente) apenas nas parcelas que conteˆm c (duas no caso de c ser um dos
xi, uma no caso contra´rio). Como |f(c) − g(c)| ≤ 2M , as somas superiores e inferiores
diferem, quando muito de ε/2. Enta˜o,∫ b
a
f(x) dx− ε ≤ sP(g) ≤ SP(g) ≤
∫ b
a
f(x) dx+ ε,
donde deduzimos o resultado.
Corola´rio 1 Se a < b, se f : [a, b] → R e´ integra´vel em [a, b] e se g difere de f apenas
num nu´mero finito de pontos, enta˜o g e´ integra´vel em [a, b] e
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
g(x) dx.
42 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
Demonstrac¸a˜o: Se g difere de f em m pontos, p1, p2, . . . , pm, basta aplicar a proposic¸a˜o m
vezes: considera-se a func¸a˜o f1 que e´ igual a f excepto em p1, onde e´ igual a g, e aplica-se
a proposic¸a˜o; considera-se a func¸a˜o f2 que e´ igual a f1 excepto em p2, onde e´ igual a g, e
aplica-se a Proposic¸a˜o; assim sucessivamente, ate´ chegarmos a fm, que e´ igual a g.
Proposic¸a˜o 10 Se a ≤ c < d ≤ b e se f : [a, b] → R e´ integra´vel em [a, b], enta˜o f e´
integra´vel em [c, d] e
∫ d
c
f(x) dx =
∫ b
a
g(x) dx onde
g(x) =


f(x), se x ∈ [c, d]
0, se x /∈ [c, d]
Demonstrac¸a˜o: Dado ε > 0 qualquer, consideremos uma partic¸a˜o P1 de [a, b] tal que
SP1(f)− sP1(f) < ε/2 (Proposic¸a˜o 6). Se ao conjunto dos pontos que definem P1 acres-
centarmos c e d, obtemos uma partic¸a˜o P, mais fina que P1, pelo que SP(f)−sP(f) < ε/2.
Se considerarmos agora a partic¸a˜o P ′ de [c, d], que se obte´m de P por considerar
apenas os elementos contidos em [c, d], verifica-se obviamente SP ′(f)−sP ′(f) < ε/2. Pela
Proposic¸a˜o 6, deduzimos que f e´ integra´vel em [c, d].
Falta-nos demonstrar a igualdade dos integrais. Supomos que a < c < d < b. Se
a = c ou d = b, as adaptac¸o˜es (de facto, simplificac¸o˜es) sa˜o evidentes.Procedemos,
agora, de modo semelhante ao da demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 9. Sejam M tal que
|g(x)| ≤M, ∀x ∈ [a, b] e P2 uma partic¸a˜o de [a, b], mais fina que P, tal que os elementos
de P2 em que c e´ extremo direito e os elementos de P2 em que d e´ extremo esquerdo
teˆm comprimento menor ou igual a ε/(2M). Se P ′2 e´ a partic¸a˜o de [c, d] que se obte´m de
P2 por considerar apenas os elementos contidos em [c, d], sP ′2(f) e sP2(g) apenas diferem
(eventualmente) em duas parcelas: as que correspondem ao elemento de P2 em que c e´
extremo direito e ao elemento de P2 em que d e´ extremo esquerdo. O mesmo acontece
em relac¸a˜o a SP ′2(f) e SP2(g). Enta˜o,
sP ′2(f)− ε ≤ sP2(g) ≤ SP2(g) ≤ SP ′2(f) + ε
pelo que conclu´ımos que
∫ d
c
f(x) dx =
∫ b
a
g(x) dx.
Proposic¸a˜o 11 Se a < c < b e f : [a, b] → R e´ integra´vel em [a, b], enta˜o ∫ b
a
f(x) dx =∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx.
Demonstrac¸a˜o: Consideremos as func¸o˜es
g(x) =


f(x), x ∈ [a, c]
0, x ∈]c, b]
e h(x) =


0, x ∈ [a, c[
f(x), x ∈ [c, b]
2.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades 43
Obviamente, f = g + h. Pelas Proposic¸o˜es 10 e 7:∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
(g + h)(x) dx =
∫ b
a
g(x) dx+
∫ b
a
h(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx
Definic¸a˜o 2.1.5 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b]→ R uma func¸a˜o integra´vel. Define-se∫ a
b
f(x) dx = −
∫ b
a
f(x) dx e tambe´m
∫ a
a
f(x) dx = 0
Proposic¸a˜o 12 Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R,
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx,
sempre que os treˆs integrais existam.
Demonstrac¸a˜o: Se a < c < b, trata-se da Proposic¸a˜o 11. Se c < a < b, enta˜o, pela
Proposic¸a˜o 11,
∫ b
c
f(x) dx =
∫ a
c
f(x) dx +
∫ b
a
f(x) dx = − ∫ c
a
f(x) dx +
∫ b
a
f(x) dx, donde
obtemos o resultado. Os restantes casos resolvem-se do mesmo modo.
Proposic¸a˜o 13 Sejam a, b ∈ R e a < b. Se f, g : [a, b]→ R sa˜o duas func¸o˜es integra´veis
em [a, b], enta˜o fg e´ integra´vel em [a, b].
Na˜o demonstraremos esta proposic¸a˜o. A sua demonstrac¸a˜o, embora poss´ıvel a este
n´ıvel, seria demasiado longa para os propo´sitos deste curso.
44 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
2.2 Classes de func¸o˜es integra´veis
Teorema 2.2.1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f e´ cont´ınua em [a, b] enta˜o e´ integra´vel em
[a, b].
Demonstrac¸a˜o: Pelo Teorema de Cantor, f e´ uniformemente cont´ınua em [a, b]. Dado
ε > 0, qualquer, existe θ > 0 tal que ∀x, y ∈ [a, b], |x−y| < θ ⇒ |f(x)−f(y)| < ε/(b−a).
Se tomarmos uma partic¸a˜o, P, em que todos os seus elementos tenham comprimento
menor que θ, enta˜o |f(x) − f(y)| < ε/(b − a), ∀x, y ∈ [xi, xi+1], i = 0, . . . , n pelo que
sup
x∈[xi,xi+1]
f(x)− inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) = max
x∈[xi,xi+1]
f(x)− min
x∈[xi,xi+1]
f(x) < ε/(b− a), i = 0, . . . , n.
Daqui se conclui que
SP(f)− sP(f) =
n∑
i=0
(xi+1 − xi) ( sup
x∈[xi,xi+1]
f(x)− inf
x∈[xi,xi+1]
f(x)) <
<
n∑
i=0
(xi+1 − xi) ε
b− a = (b− a)
ε
b− a = ε.
Pela Proposic¸a˜o 6, f e´ integra´vel em [a, b].
Teorema 2.2.2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma func¸a˜o limitada. Se f e´
cont´ınua em [a, b], excepto num nu´mero finito de pontos, enta˜o e´ integra´vel em [a, b].
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que f e´ cont´ınua em [a, b] excepto num ponto c ∈]a, b[.
Sejam ε > 0, qualquer e M > 0 tal que |f(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Enta˜o pelo Teorema
2.2.1, f e´ integra´vel em [a, c − ε/(12M)] e em [c + ε/(12M), b] (podemos sempre tomar
ε suficientemente pequeno para nenhum destes intervalos ser vazio ou se reduzir a um
ponto), pelo que, pela Proposic¸a˜o 6, existem partic¸o˜es P1 e P2 de [a, c − ε/(12M)] e
[c+ε/(12M), b], respectivamente, tais que SP1(f)−sP1(f) < ε/3 e SP2(f)−sP2(f) < ε/3.
Se considerarmos a partic¸a˜o P, de [a, b], formada pelos elementos de P1, por C = [c −
ε/(12M), c + ε/(12M)] e pelos elementos de P2, enta˜o SP(f) − sP(f) < ε (note-se que
sup
x∈C
f(x)− inf
x∈C
f(x) ≤ 2M e que o comprimento de C e´ ε/(6M)). Tendo em conta a
Proposic¸a˜o 6, f e´ integra´vel em [a, b].
Se f na˜o for cont´ınua num dos extremos do intervalo, procede-se do mesmo modo,
com as adaptac¸o˜es evidentes. O mesmo acontece para o caso em que ha´ va´rios pontos
de descontinuidade. Apenas temos que considerar va´rios conjuntos “C”, um para cada
ponto de descontinuidade, e adaptar as constantes.
Teorema 2.2.3 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma func¸a˜o limitada. Se f e´
mono´tona em [a, b], enta˜o e´ integra´vel em [a, b].
Demonstrac¸a˜o: Vamos fazer a demonstrac¸a˜o supondo que f e´ crescente. Para f decres-
cente, as te´cnicas sa˜o as mesmas com as adaptac¸o˜es evidentes.
2.2 Classes de func¸o˜es integra´veis 45
Sejam ε > 0 e M = sup
x∈[a,b]
f(x)− inf
x∈[a,b]
f(x) = f(b)− f(a). Se M = 0, enta˜o f e´
constante em [a, b], pelo que e´ integra´vel. Se M > 0, seja P uma partic¸a˜o de [a, b] tal que
todos os seus elementos teˆm comprimento menor que ε/M .
Como f e´ crescente, enta˜o inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) = f(xi) e sup
x∈[xi,xi+1]
f(x) = f(xi+1), pelo que
sP =
n∑
i=0
(xi+1 − xi) f(xi) e SP =
n∑
i=0
(xi+1 − xi) f(xi+1)
donde (note-se que f(xi+1)− f(xi) ≥ 0)
SP − sP =
n∑
i=0
(xi+1 − xi) (f(xi+1)− f(xi)) ≤
n∑
i=0
ε
M
(f(xi+1)− f(xi)) =
=
ε
M
n∑
i=0
(f(xi+1)− f(xi)) = ε
M
(f(b)− f(a)) = ε.
Pela Proposic¸a˜o 6, f e´ integra´vel em [a, b].
EXEMPLO: A func¸a˜o
f(x) =


0, se x = 0,
1
n
, se
1
n+ 1
< x ≤ 1
n
, n ∈ N
tem uma infinidade de descontinuidades em [0, 1], mas e´ integra´vel, visto ser crescente.
46 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
2.3 Teoremas Fundamentais
Teorema 2.3.1 (Teorema da me´dia)
Sejam a, b ∈ R e a < b. Se f : [a, b] → R e´ cont´ınua, enta˜o existe c ∈ [a, b] tal que∫ b
a
f(x) dx = f(c) (b− a)
Demonstrac¸a˜o: Como f e´ cont´ınua, sabemos que e´ integra´vel e que tem ma´ximo e mı´nimo
em [a, b]: existem x0 ∈ [a, b] e x1 ∈ [a, b] tais que
f(x0) = min
x∈[a,b]
f(x) ≤ f(x) ≤ max
x∈[a,b]
f(x) = f(x1), ∀x ∈ [a, b]
Pelas Proposic¸o˜es 4 e 5,
f(x0) (b− a) =
∫ b
a
f(x0) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
f(x1) dx = f(x1) (b− a)
isto e´,
f(x0) ≤
∫ b
a
f(x) dx
b− a ≤ f(x1).
Pelo Teorema de Bolzano existe c, entre x0 e x1, tal que
f(c) =
∫ b
a
f(x) dx
b− a
Teorema 2.3.2 (Teorema Fundamental do Ca´lculo Integral)
Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f : [a, b]→ R e´ cont´ınua, enta˜o a func¸a˜o F (x) =
∫ x
a
f(t) dt
e´ diferencia´vel em [a, b] e F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b], isto e´, F e´ uma primitiva de f
(tambe´m conhecida por integral indefinido de f).
Demonstrac¸a˜o: Sejam x ∈ [a, b] (qualquer) e h ∈ R tal que x+ h ∈ [a, b]. Enta˜o
F (x+ h)− F (x) =
∫ x+h
a
f(t) dt−
∫ x
a
f(t) dt
=
∫ x
a
f(t) dt+
∫ x+h
x
f(t) dt−
∫ x
a
f(t) dt =
∫ x+h
x
f(t) dt.
Pelo Teorema 2.3.1, existe c ∈ [x, x+h] tal que F (x+h)−F (x) =
∫ x+h
x
f(t) dt = f(c)h
pelo que
F ′(x) = lim
h→0
F (x+ h)− F (x)
h
= lim
c→x
f(c) = f(x)
2.3 Teoremas Fundamentais 47
(note-se que, para cada h, c esta´ entre x e x+h, pelo que, quando h tende para 0, c tende
para x).
NOTA: Do Teorema anterior obtemos, em particular, que toda a func¸a˜o cont´ınua em
[a, b] e´ primitiva´vel em [a, b].
Corola´rio 1 (Regra de Barrow) Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f : [a, b]→ R e´ cont´ınua e
G e´ uma primitiva de f em [a, b], enta˜o∫ b
a
f(x) dx = G(b)−G(a) = [G(x)]ba
Demonstrac¸a˜o: Vimos no Teorema 2.3.2 que a func¸a˜o F (x) =
∫ x
a
f(t) dt e´ uma primitiva
de f . Enta˜o G(x) − F (x) = c, ∀x ∈ [a, b]; mas F (a) = ∫ a
a
f(t) dt = 0, pelo que c =
G(a) − F (a) = G(a). Por outro lado, c = G(a) = G(b) − F (b) donde se conclui que∫ b
a
f(t) dt = F (b) = G(b)−G(a).
Teorema 2.3.3(Integrac¸a˜o por partes) Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f : [a, b] →
R e´ cont´ınua em [a, b], se F e´ uma primitiva de f em [a, b] e se g ∈ C1([a, b]) enta˜o∫ b
a
f(x) g(x) dx = [F (x) g(x)]ba −
∫ b
a
F (x) g′(x) dx
Demonstrac¸a˜o: Como o produto de func¸o˜es cont´ınuas e´ uma func¸a˜o cont´ınua, tanto fg
com Fg′ sa˜o integra´veis em [a, b].
Como (F g)′(x) = F ′(x) g(x) + F (x) g′(x) = f(x) g(x) + F (x) g′(x), pela Regra de
Barrow, [F (x) g(x)]ba =
∫ b
a
f(x) g(x) dx +
∫ b
a
F (x) g′(x) donde se conclui o resultado pre-
tendido.
Teorema 2.3.4 (Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o) Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R
uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e φ : [α, β] → [a, b] uma func¸a˜o de classe C1 tal que
φ(α) = a e φ(β) = b. Enta˜o∫ b
a
f(x) dx =
∫ β
α
f(φ(t))φ′(t) dt
Demonstrac¸a˜o: Sejam G : [a, b] → R uma primitiva de f e H : [α, β] → R a func¸a˜o
definida por H(t) = G(φ(t)). Enta˜o H ′(t) = G′(φ(t))φ′(t) = f(φ(t))φ′(t), pelo que, pela
Regra de Barrow,
∫ β
α
f(φ(t))φ′(t) dt = H(β)−H(α) = G(φ(β))−G(φ(α)) = G(b)−G(a)
e
∫ b
a
f(x) dx = G(b)−G(a).
48 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
2.4 A´reas de figuras planas
1o CASO
Se f e´ integra´vel em [a, b] e f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], a a´rea da figura plana limitada
pelas rectas x = a, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gra´fico de f (figura 2.3) e´ dada por∫ b
a
f(x) dx, como vimos atra´s.
EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = 0, x =
π
4
, pelo eixo dos xx
e pelo gra´fico de cos(x) e´ dada por:
∫ pi
4
0
cos(x) dx = sen(
π
4
)− sen(0) =
√
2
2
.
2o CASO
Se f e´ integra´vel em [a, b] e f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b], a a´rea da figura plana limitada
pelas rectas x = a, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gra´fico de f (figura 2.4) e´ dada por
− ∫ b
a
f(x) dx. De facto, se considerarmos a simetria em relac¸a˜o ao eixo dos xx, obtemos
uma figura com a mesma a´rea (a simetria em relac¸a˜o a uma recta mante´m as a´reas
invariantes), que e´ limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gra´fico de
−f (figura 2.5). Visto que a func¸a˜o −f e´ na˜o negativa em [a, b], estamos reduzidos ao 1o
caso e a a´rea e´ dada por
∫ b
a
−f(x) dx = − ∫ b
a
f(x) dx.
EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x =
π
2
, x = π, pelo eixo dos xx
e pelo gra´fico de cos(x) e´ dada por: − ∫ pipi
2
cos(x) dx = −(sen(π)− sen(π
2
)) = sen(
π
2
) = 1.
Figura 2.4
2.4 A´reas de figuras planas 49
Figura 2.5
NOTAS:
1. Na˜o esquecer que a a´rea de uma figura na˜o degenerada (isto e´, na˜o reduzida a um
ponto ou segmento de recta ou curva, etc.) e´ um nu´mero positivo.
2. Em ambos os casos, 1 e 2, a a´rea e´ dada por
∫ b
a
|f(x)| dx.
3o CASO
Figura 2.6
Se f e´ integra´vel em [a, b], a a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b,
pelo eixo dos xx e pelo gra´fico de f (figura 2.4) e´ dada por
∫ b
a
|f(x)| dx (note-se que
os casos anteriores sa˜o casos particulares deste). De facto, se f muda de sinal em [a, b]
(figura 2.6), consideramos os subintervalos em que f e´ positiva (nestes subintervalos a a´rea
e´ dada pelo integral de f , isto e´ de |f |) e os subintervalos em que f e´ negativa (nestes
subintervalos a a´rea e´ dada pelo integral de −f , isto e´ de |f |); a a´rea total, que e´ a soma
de todas estas a´reas e´, pois, dada por
∫ b
a
|f(x)| dx (Proposic¸a˜o 11).
50 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = 0, x = 2π, pelo eixo dos xx
e pelo gra´fico de cos(x) e´ dada por:
∫ 2pi
0
| cos(x)| dx = ∫ pi/2
0
cos(x) dx+
∫ 3pi/2
pi/2
− cos(x) dx+∫ 2pi
3pi/2
cos(x) dx = sen(π/2) − sen(0) + (−sen(3π/2) + sen(π/2)) + sen(2π) − sen(3π/2) =
1− 0− (−1) + 1 + 0− (−1) = 4.
4o CASO
f
f
1
2
Figura 2.7
Se f1 e f2 sa˜o integra´veis em [a, b] e f1(x) ≥ f2(x), ∀x ∈ [a, b], a a´rea da figura plana
limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo gra´fico de f1 e pelo gra´fico de f2 (figura 2.7) e´ dada
por
∫ b
a
(f1(x)− f2(x)) dx (=
∫ b
a
|f1(x)− f2(x)| dx visto que f1(x)− f2(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]).
Vamos justificar este resultado. Seja k ∈ R tal que f2(x) + k ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]; enta˜o
f1(x) + k ≥ f2(x) + k ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] e a a´rea pretendida e´ igual a` a´rea da figura plana
limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo gra´fico de f1+k e pelo gra´fico de f2+k (trata-se de
uma translac¸a˜o da figura anterior). Mas a figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b,
pelo eixo dos xx e pelo gra´fico de f1+k conte´m a figura plana limitada pelas rectas x = a,
x = b, pelo eixo dos xx e pelo gra´fico de f2 + k. A a´rea pretendida e´, pois, a diferenc¸a
entre as a´reas destas duas figuras, isto e´,
∫ b
a
f1(x)−
∫ b
a
f2(x) dx =
∫ b
a
(f1(x)− f2(x)) dx.
EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = 0, x = 1, pelo gra´fico de
f(x) = ex e pelo gra´fico de cos(x) e´ dada por
∫ 1
0
(ex−cos(x)) dx = e1−sen(1)−e0+sen(0) =
e− sen(1)− 1.
5o CASO
Se f1 e f2 sa˜o integra´veis em [a, b], a a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = a,
x = b, pelo gra´fico de f1 e pelo gra´fico de f2 (figura 2.7) e´ dada por
∫ b
a
|f1(x)− f2(x)| dx.
Raciocinamos de modo ideˆntico ao do 3o caso. Se f1 − f2 muda de sinal em [a, b] (figura
2.8), consideramos os subintervalos em que f1 ≥ f2 (nestes subintervalos a a´rea e´ dada
pelo integral de f1 − f2, isto e´ de |f1 − f2|) e os subintervalos em que f1 < f2 (nestes
2.4 A´reas de figuras planas 51
Figura 2.8
subintervalos a a´rea e´ dada pelo integral de f2 − f1, isto e´ de |f2 − f1|); a a´rea total, que
e´ a soma de todas estas a´reas e´, pois, dada por
∫ b
a
|f1(x)− f2(x)| dx (Proposic¸a˜o 11).
EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = 0, x = π, pelo gra´fico
de cos(x) e pelo gra´fico de sen(x) e´ dada por:
∫ pi
0
|sen(x) − cos(x)| dx = ∫ pi/4
0
(cos(x) −
sen(x)) dx+
∫ pi
pi/4
(sen(x)− cos(x)) dx = sen(π/4) + cos(π/4)− sen(0)− cos(0)− cos(π)−
sen(π) + cos(π/4) + sen(π/4) =
√
2/2 +
√
2/2− 0− 1− (−1)− 0 +√2/2 +√2/2 = 2√2.
6o CASO
Figura 2.9
Se f1 e f2 sa˜o integra´veis, a a´rea da figura plana limitada pelos gra´ficos de f1 e f2
(figura 2.9) e´ calculada do seguinte modo: em primeiro lugar calculamos os pontos de
intersecc¸a˜o dos gra´ficos; consideramos as abcissas destes pontos, isto e´, os y ∈ R tais
que f1(y) = f2(y); sejam a o menor dos y e b o maior; a a´rea pretendida e´ dada por∫ b
a
|f1(x)− f2(x)| dx (trata-se do 5o caso, porque as rectas x = a e x = b teˆm, cada uma,
um ponto comum com a figura). Note-se que a existeˆncia de a e b e´ garantida pelo facto
de a figura ser limitada.
52 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelos gra´ficos das func¸o˜es x2 e 2−x2 e´ dada
por
∫ 1
−1((2 − x2) − x2) dx =
∫ 1
−1(2 − 2x2) dx = 2 · 1 − 2 · 1/3 − (2 · (−1) − 2 · (−1)/3) =
4− 4/3 = 8/3.
2.5 Integrais impro´prios 53
2.5 Integrais impro´prios
Na definic¸a˜o de integral de Riemann de uma func¸a˜o f num intervalo I, exige-se que
o intervalo seja fechado limitado e que f seja limitada nesse intervalo. Vamos estudar
generalizac¸o˜es da noc¸a˜o de integral quando na˜o se verifica alguma destas condic¸o˜es.
Para motivar a via que adopta´mos nesta generalizac¸a˜o do conceito de integral, supo-
nhamos que, sendo a, b ∈ R e a < b, a func¸a˜o f e´ integra´vel em qualquer intervalo [a, x]
com x ∈ [a, b[. Nestas condic¸o˜es, se a func¸a˜o f for limitada em [a, b], sera´ integra´vel em
[a, b] e tem-se ∫ b
a
f(t) dt = lim
x→b−
∫ x
a
f(t) dt,
devido a` continuidade do integral indefinido.
Pode, no entanto, acontecer que, na˜o sendo f limitada em [a, b], o integral indefinido∫ x
a
f(t) dt
tenha limite finito quando x→ b−. Enta˜o podemos fazer por definic¸a˜o∫b
a
f(t) dt = lim
x→b−
∫ x
a
f(t) dt.
De modo ana´logo, se g for uma func¸a˜o integra´vel no intervalo [a, x], ∀x > a, e se o
integral indefinido ∫ x
a
g(t) dt
tem limite finito quando x→ +∞, poderemos escrever∫ +∞
a
g(t) dt = lim
x→+∞
∫ x
a
g(t) dt.
A. Integrais impro´prios de 1a espe´cie: definic¸a˜o e crite´rios de
convergeˆncia
Definic¸a˜o 2.5.1 Sejam a ∈ R e f uma func¸a˜o definida no intervalo [a,+∞[. Suponha-
mos que f e´ integra´vel em qualquer intervalo [a, x] com x > a. Seja, para cada x > a,
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt.
Chama-se integral impro´prio de 1a espe´cie de f em [a,+∞[ a
lim
x→+∞
∫ x
a
f(t) dt
54 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
e designa-se por ∫ +∞
a
f(t) dt.
a) Se F (x) tem limite finito quando x → +∞, diz-se que f e´ integra´vel (em sentido
impro´prio) no intervalo [a,+∞[ ou que o integral impro´prio
∫ +∞
a
f(t) dt existe, tem
sentido ou e´ convergente.
b) Se F (x) na˜o tem limite ou tem limite infinito quando x → +∞, diz-se que f na˜o
e´ integra´vel no intervalo [a,+∞[ ou que o integral impro´prio
∫ +∞
a
f(t) dt na˜o existe ou
e´ divergente.
EXEMPLO 1: Consideremos o integral
∫ +∞
0
cos(x) dx. Este integral e´ divergente porque:
lim
x→+∞
∫ x
0
f(t) dt = lim
x→+∞
[ sen(t) ]x0 = limx→+∞
sen(x)
e este limite na˜o existe.
EXEMPLO 2: Consideremos o integral
∫ +∞
1
1
x
dx. E´ um integral impro´prio de 1a espe´cie.
Como ∫ +∞
1
1
x
dx = lim
x→+∞
∫ x
1
1
t
dt = lim
x→+∞
[ log(t) ]x1 = limx→+∞
log(x) = +∞
o integral impro´prio e´ divergente.
EXEMPLO 3: O integral
∫ +∞
0
e−x dx e´ um integral impro´prio de 1a espe´cie convergente:
∫ +∞
0
e−x dx = lim
x→+∞
∫ x
0
e−t dt = lim
x→+∞
[−e−t ]x
0
= lim
x→+∞
(−e−x + 1) = 1.
Nota: Se o integral
∫ +∞
a
f(x) dx e´ convergente enta˜o
a) o limite de f quando x→ +∞, se existir, e´ igual a zero;
b) qualquer que seja h > 0, o integral de f no intervalo [x, x+ h] (ou o valor me´dio de f
no mesmo intervalo), tende para zero quando x→ +∞.
Teorema 2.5.1 Se f e g sa˜o tais que os integrais
∫ +∞
a
f(t) dt e
∫ +∞
a
g(t) dt sa˜o con-
vergentes e se α, β ∈ R, enta˜o o integral
∫ +∞
a
(α f + β g)(t) dt e´ convergente e
∫ +∞
a
(α f + β g)(t) dt = α
∫ +∞
a
f(t) dt+ β
∫ +∞
a
g(t) dt.
2.5 Integrais impro´prios 55
Teorema 2.5.2 Se o integral
∫ +∞
a
f(t) dt e´ convergente e se b > a enta˜o o integral∫ +∞
b
f(t) dt e´ convergente e
∫ +∞
a
f(t) dt =
∫ b
a
f(t) dt+
∫ +∞
b
f(t) dt.
Nem sempre nos interessa saber o valor do integral impro´prio e outras vezes na˜o e´
poss´ıvel calcula´-lo porque a func¸a˜o na˜o e´ elementarmente primitiva´vel (considere-se, por
exemplo, o integral
∫ +∞
0
e−x
2
dx). Precisamos enta˜o de crite´rios que nos permitam saber
se um determinado integral impro´prio e´ ou na˜o convergente. Esses crite´rios chamam-se
crite´rios de convergeˆncia.
Teorema 2.5.3 O integral impro´prio de 1a espe´cie
∫ +∞
a
f(t) dt, com f(t) ≥ 0, ∀t ≥ a,
e´ convergente se, e so´ se, existe uma constante M tal que∫ x
a
f(t) dt ≤M, ∀x > a.
O valor do integral impro´prio na˜o excede M .
Demonstrac¸a˜o: Seja F (x) =
∫ x
a
f(t) dt. Como f(t) ≥ 0 ∀t ≥ a, F (x) ≥ 0, ∀x ≥ a. Por
definic¸a˜o, o integral
∫ +∞
a
f(t) dt e´ convergente se existir e for finito o limite lim
x→+∞
F (x).
A func¸a˜o F e´ crescente, pois se a ≤ x ≤ y vem
F (y)− F (x) =
∫ y
a
f(t) dt−
∫ x
a
f(t) dt =
∫ y
x
f(t) dt ≥ 0
porque f(t) ≥ 0 ∀t ≥ a.
Suponhamos que F e´ limitada superiormente, isto e´, existe uma constante M tal que
F (x) ≤ M , ∀x ≥ a. Como F e´ crescente, existe e e´ finito o limite lim
x→+∞
F (x) 1. Ale´m
disso, lim
x→+∞
F (x) ≤M .
Se F na˜o e´ limitada superiormente enta˜o para cada M existe sempre um x tal que
F (x) > M . Como F e´ crescente lim
x→+∞
F (x) = +∞, o que significa que
∫ +∞
a
f(t) dt e´
divergente.
1Toda a func¸a˜o real f limitada e mono´tona numa parte na˜o majorada X de R tem limite quando
x→ +∞ e lim
x→+∞
f(x) = sup
x∈X
f(x) ou lim
x→+∞
f(x) = inf
x∈X
f(x) conforme f e´ crescente ou decrescente.
56 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
Teorema 2.5.4 Sejam
∫ +∞
a
f(x) dx e
∫ +∞
b
g(x) dx dois integrais impro´prios de 1a
espe´cie com func¸o˜es integrandas na˜o negativas e suponhamos que existe c ∈ R tal que
f(x) ≤ g(x), ∀x > c.
a) Se
∫ +∞
b
g(x) dx e´ convergente enta˜o
∫ +∞
a
f(x) dx e´ convergente.
b) Se
∫ +∞
a
f(x) dx e´ divergente enta˜o
∫ +∞
b
g(x) dx e´ divergente.
Demonstrac¸a˜o: Seja d = max {a, b, c}. Consideremos os integrais∫ +∞
d
f(x) dx e
∫ +∞
d
g(x) dx.
Sendo x > d temos
0 ≤
∫ x
d
f(t) dt ≤
∫ x
d
g(t) dt. (2.4)
Se o integral
∫ +∞
d
g(t) dt e´ convergente, pelo Teorema 2.5.3 existe M1 tal que
∫ x
d
g(t) dt ≤M1, ∀x > d.
Mas por (2.4),
∫ x
d
f(t) dt ≤
∫ x
d
g(t) dt, ∀x > d, pelo que
∫ +∞
d
f(t) dt e´ convergente,
usando, novamente o Teorema 2.5.3.
Se
∫ +∞
d
f(t) dt e´ divergente enta˜o, pelo Teorema 2.5.3,
∫ x
d
f(t) dt na˜o e´ limitada, o
que implica, por (2.4), que
∫ x
d
g(t) dt tambe´m na˜o e´ limitada e, portanto,
∫ +∞
d
g(x) dx
e´ divergente.
Corola´rio 1 Sejam
∫ +∞
a
f(x) dx e
∫ +∞
b
g(x) dx dois integrais impro´prios de 1a espe´cie
com func¸o˜es integrandas na˜o negativas e suponhamos que existem c, k ∈ R tais que f(x) ≤
k g(x), ∀x > c.
a) Se
∫ +∞
b
g(x) dx e´ convergente enta˜o
∫ +∞
a
f(x) dx e´ convergente.
b) Se
∫ +∞
a
f(x) dx e´ divergente enta˜o
∫ +∞
b
g(x) dx e´ divergente.
2.5 Integrais impro´prios 57
Demonstrac¸a˜o: Basta notar que
lim
x→+∞
∫ x
c
k g(t) dt = lim
x→+∞
k
∫ x
c
g(t) dt = k lim
x→+∞
∫ x
c
g(t) dt
pelo que
∫ +∞
c
k g(x) dx e´ convergente se, e so´ se,
∫ +∞
c
g(x) dx e´ convergente; termina-se
aplicando o Teorema.
EXEMPLO 1: Consideremos o integral
∫ +∞
0
1
3
√
1 + x3
dx. E´ um integral impro´prio de 1a
espe´cie e a func¸a˜o integranda e´ positiva no intervalo [0,+∞[. Como
(1+x)3 ≥ 1+x3, ∀x ≥ 0⇒ 1+x ≥ 3
√
1 + x3, ∀x ≥ 0⇒ 0 < 1
1 + x
≤ 1
3
√
1 + x3
, ∀x ≥ 0
e ∫ +∞
0
1
1 + x
dx = lim
x→+∞
∫ x
0
1
1 + t
dt = lim
x→+∞
[ log(1 + t) ]x0 = limx→+∞
log(1 + x) = +∞,
isto e´, o integral
∫ +∞
0
1
1 + x
dx e´ divergente, conclu´ımos, pelo Teorema 2.5.4, que o
integral em estudo e´ divergente.
Como se pode ver pelo exemplo anterior, e´ u´til conhecer a natureza de alguns integrais
impro´prios de modo a facilitar o uso dos crite´rios de convergeˆncia. Um exemplo de tais
integrais e´ o seguinte:
EXEMPLO 2: Estudemos o integral impro´prio de 1a espe´cie∫ +∞
a
1
xα
dx
sendo a > 0 e α ∈ R.
Se α = 1 ∫ x
a
1
t
dt = [ log(t) ]xa = log(x)− log(a)
e se α 6= 1 ∫ x
a
1
tα
dt =
[
t−α+1
−α+ 1
]x
a
=
x−α+1
−α + 1 −
a−α+1
−α+ 1
tendo-se
lim
x→+∞
∫ x
a
1
tα
dt =


+∞, se α ≤ 1
− a
−α+1
−α+ 1 , se α > 1
58 2. Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral
Enta˜o o integral converge se, e so´ se, α > 1.
EXEMPLO 3: Consideremos o integral
∫ +∞
0
1√
1 + x3
dx. E´ um integral impro´prio de 1a
espe´cie e a func¸a˜o integranda e´ positiva no intervalo [0,+∞[. Como
1 + x3 > x3, ∀x > 0⇒
√
1 + x3 >
√
x3, ∀x > 0⇒ 0 < 1√
1 + x3
<
1√
x3
, ∀x > 0
e
∫ +∞
1
1√
x3
dx e´ convergente, podemos concluir, pelo Teorema 2.5.4, que o integral em
estudo e´ convergente.
Teorema 2.5.5 Sejam
∫ +∞
a
f(x) dx e
∫ +∞
b
g(x) dx dois integrais impro´prios de 1a
espe´cie