Apostila de MecFlu

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Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
60 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
A Mecânica dos Fluidos estuda o comportamento dos corpos fluidos em repouso 
(Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica) e os efeitos dos fluidos em contato com 
fronteiras, que podem ser sólidos ou outros fluidos. 
É natural iniciar o estudo da Mecânica dos Fluidos pela definição de fluido. Um fluido é 
aquela substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço tangencial, não 
importando a magnitude deste esforço. Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou 
de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado 
sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento. Aplicando-se uma força tangencial F 
(Fig. 1) sobre um elemento sólido fixado entre duas placas, o elemento sofre uma deformação 
e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao cessar a aplicação da 
força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um fluido, ele irá se 
deformar continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele. 
 
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante 
A Hipótese do Contínuo 
Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido é bastante inferior às 
dimensões físicas dos problemas estudados em engenharia, considera-se o fluido como uma 
substância que pode ser dividida ao infinito. 
 
PROPRIEDADES 
A seguir, são apresentadas algumas propriedades dos fluidos, que ainda não foram definidas 
na parte de Termodinâmica. 
Peso Específico: Peso do fluido contido em uma unidade de volume 
 
 : Peso específico [N/m3] 


W
 W: Peso da substância [N] 
 
][m fluido do Volume: 3
 
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O peso específico é relacionado à massa específica através da seguinte equação 
gg
mmg





 
 
Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: Propriedade que determina o grau de resistência do 
fluido à força de cisalhamento ou, em outras palavras, a dificuldade do fluido em escoar. 
A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por 
dAy
dFx
Ay
Fx
lim
0Ay
yx 




 
A taxa de deformação é igual a 
t
lim
0t 


 
 
Figura 2 – Deformação de um Elemento de Fluido 
Se 
t
l
u



, a distância entre os pontos M e M' (Fig. 2) pode ser dada por 
tul 
 (a) 
A deformação do fluido 

é calculada através da expressão 
y
l
tg



 
Para pequenos ângulos, 
y
l



 
Assim, 
 yl
 (b) 
Igualando-se (a) e (b), 
dy
du
dt
d
y
u
t








 
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Para fluidos Newtonianos, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação, ou 

dy
du
yx dy
du
yx  
 
A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, . No SI, a 
unidade da viscosidade é kg/m.s (= N.s/m
2
 = Pa.s). No sistema britânico, utiliza-se slug/ft.s. 
Uma unidade comum é o Poise, sendo 1 Poise = 0,1 Pa.s. A Tabela A.1 apresenta valores de 
viscosidade absoluta para alguns fluidos. 
O comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1. 
Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os 
líquidos apresentam comportamento inverso. 
 
Exemplo 1 – Cálculo da tensão de cisalhamento 
Suponha o escoamento de óleo SAE 10W entre uma placa inferior estacionária e uma placa 
superior movendo-se em regime permanente com uma velocidade V, como mostrado na 
figura. A distância entre as placas é h. Calcule a força de atrito na placa superior, se V=3m/s e 
h=2cm. Considere que a largura da placa é 20 cm e o seu comprimento, 1,2 m. 
 
A força de atrito em qualquer posição do fluido pode ser determinada a partir da tensão de 
cisalhamento, através da relação 
AF yxat 
 
onde A á a área de contato entre o fluido e a superfície, dada pelo produto entre a largura e o 
comprimento da placa. 
A tensão de cisalhamento em qualquer posição do fluido é dada pela expressão 
dy
du
yx 
 
onde 
dydu
é a derivada da velocidade u em relação a y. Para se calcular a tensão de cisalhamento é 
necessário determinar 
dydu
. 
Sabendo-se que o perfil de velocidades é linear, são necessários dois pontos para se determinar a 
equação. Em y = 0, u = 0 e em y = h, u = V. Assim, a equação do perfil de velocidades é 
h
Vy
u 
 
h
V
dy
du

 
A tensão de cisalhamento é 
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h
V
yx 
 
Da Tabela A.1, 
s.m/kg104,0
 
m02,0
s/m3
s.m
kg
104,0yx 
 
Pa6,15yx 
 
Assim, 
)m2,1.m2,0(.Pa6,15AF yxat 
 
N744,3Fat 
 ◄ 
 
Viscosidade Cinemática: Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica. 
: Viscosidade cinemática [m2/s] 



 : Viscosidade absoluta [Ns/m2] 
 : massa específica [kg/m3] 
Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stoke, sendo 1 Stoke = 1cm
2
/s. 
Número de Reynolds: Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as 
forças viscosas. 
 Re: Número de Reynolds [adimensional] 
 : massa específica do fluido [kg/m3] 



**LV
Re
 V
*
: Velocidade característica do escoamento [m/s] 
 L
*
: Dimensão característica do escoamento [m] 
 : Viscosidade absoluta do fluido [Ns/m2] 
O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele 
determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de 
tubos, o valor aceito para caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é 
2.300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x10
5
. Para escoamentos no interior 
de tubos, 
Se 








o turbulenté escoamento o 4000,Re
 transiçãode faixa na está escoamento o 4000,Re2300
laminar é escoamento o 2300,Re
 
Deve-se ressaltar que V
*
 e L
*
 correspondem, respectivamente, à velocidade e à dimensão 
características do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, V
*
 é a velocidade média 
no interior do tubo e L
*
, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V
*
 é a 
velocidade da corrente livre e L
*
, o comprimento da placa. 
 
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Exemplo 2 – Cálculo do número de Reynolds e determinação do regime de escoamento 
Para o escoamento de óleo SAE 30W (a 20
o
C) a 2 m/s no interior de um tubo de 20 cm de 
diâmetro, determine o regime de escoamento. 
O regime de escoamento é definido pelo número de Reynolds, 



**LV
Re
 
Para escoamento no interior de um tubo, V
*
 é a velocidade média no interior do tubo e L
*
, o seu 
diâmetro.  e  são, respectivamente, a massa específica e a viscosidade absoluta do fluido, no caso, o 
óleo. Da Tabela A.1, 
.s.m/kg29,0em/kg891 3 
 
1229
s.m/kg29,0
m20,0.s/m2.m/kg891
Re
3

 
Como Re < 2300, o escoamento é laminar. ◄ 
 
Campo de Velocidades 
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidades. Seja o volume de 
fluido 

 mostrado na Fig. 3. 
 
Figura 3 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto 
A velocidade instantâneado fluido em um ponto C qualquer do escoamento é definida como a 
velocidade do centro de gravidade do volume infinitesimal 

 que envolve o ponto C no 
instante de tempo em questão. 
O campo de velocidades 
V
 é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa 
representação do campo de velocidades é dada por 
 t,z,y,xVV


 
O vetor velocidade 
V
 pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares. 
Chamando as componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de 
velocidades pode ser escrito como 
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kˆwjˆviˆuV 
 , 
onde as componentes escalares também dependem das coordenadas cartesianas e do tempo, 
     tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu 
 
Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não variam 
com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é 
0
t



, onde  representa uma propriedade qualquer do escoamento. 
Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. 
Campo Uniforme de Escoamento: O módulo e o sentido do vetor velocidade permanecem 
constantes em todo o campo de escoamento, podendo, no entanto, variar com o tempo. 
Escoamentos uni-, bi- e tridimensionais: 
Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o 
número de coordenadas necessárias para descrever seu campo de velocidades. Nem todos os 
escoamentos são tridimensionais. Suponha, por exemplo, o escoamento laminar em regime 
permanente no interior de um duto de seção transversal constante, como mostrado na Fig. 4. 
 
Figura 4 – Exemplo de Escoamento Unidimensional 
A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela 
equação 















2
max
R
r
1uu
 
Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é 
unidimensional. 
Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 5). Como o canal é 
considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo de velocidades será idêntico em todos 
os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função 
somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional. 
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Figura 5 – Exemplo de Escoamento Bidimensional 
 
FLUIDOESTÁTICA 
A fluidoestática é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos 
em repouso. A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. 
Em um problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da 
distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido. 
A EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de 
superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças 
desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso 
das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de campo 
que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força 
gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um 
meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes 
forças normais à superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças 
de cisalhamento sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a 
força de pressão. 
Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 6. 
 
Figura 6 – Volume de Controle Infinitesimal 
A força total atuando no elemento é dada por 
SC FdFdFd


 
Como já foi dito, a única força de campo a ser considerada é a força peso. 
g.dmFd C


 
Assim, 
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SFdg.dmFd


 
A força líquida de pressão 
 SFd
 é dada pela soma das forças de pressão em cada uma das 
faces do elemento. Se a pressão atuando na face esquerda do elemento é P, a força de pressão 
atuando na face esquerda do elemento é 
  dz.dxPdFL 
 
A força de pressão na face direita é dada por 
dz.dxdy
y
P
PdFR 








 
A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do 
elemento, 
       
   kˆdy.dxdz
z
P
Pkˆdy.dxP
jdz.dxdy
y
P
Pjdz.dxPiˆdz.dydx
x
P
Piˆdz.dyPFd S



























 
ou 
dz.dy.dxkˆ
z
P
j
y
P
iˆ
x
P
Fd S 














 
A força total é dada, portanto, por 
dz.dy.dxkˆ
z
P
j
y
P
iˆ
x
P
g.dmFdg.dmFd S 














 
Como 
dz.dy.dx.d.dm 
, 
  













 dPgdz.dy.dxkˆ
z
P
j
y
P
iˆ
x
P
g.dz.dy.dx.Fd
 
A 2ª Lei de Newton estabelece que 
a.dmFd


 
Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as 
forças deve ser zero. Assim, 
  0Pg 

 
Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares, 
0g
x
P
x 



 
0g
y
P
y 



 
0g
z
P
z 



 
Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor 
gravidade esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z 
apontando para cima 
 gge0g,0g zyx 
, as equações podem ser reescritas como 
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0
x
P



 
0
y
P



 
g
z
P



 
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do 
fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig. 7). 
 
Figura 7 – Variação de Pressão em um Fluido Estático 
ghPP CB 
 
Observando as equações anteriores, pode-se concluir que: 
1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, 
situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma 
pressão; 
2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna 
fluida (Equação Fundamental da Hidrostática); 
3. No limite para z infinitamente pequeno, o elemento tende a um ponto. A pressão 
passa a não variar, sendo independente da orientação (Lei de Pascal). 
Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As 
maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado. 
Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. Quando 
o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas pressões 
manométricas ou efetivas. O valor padrão adotado para a pressão atmosférica é Patm = 1atm = 
101.325 Pa. 
A pressão absoluta e a pressão manométrica se relacionam por 
manatmabs PPP 
 ou 
atmabsman PPP 
 
A pressão manométrica pode assumir, portanto, valores positivos, negativos ou nulos (Fig. 8). 
Se P>Patm, Pman > 0 
Se P<Patm,Pman < 0 
Se P=Patm, Pman = 0 
A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras equações de 
estado é a pressão absoluta. 
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Figura 8 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica 
 
O Barômetro de Mercúrio 
A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor de pressão 
atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto peso específico 
(geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório contendo o mesmo 
fluido. No processo de inversão do tubo, o fluido desce, criando um vácuo na parte superior 
do tubo, como mostrado na Fig. 9. 
 
Figura 9 – O Barômetro de Mercúrio 
hghP
ghP
Vácuo P
ghPP
repouso em fluido mesmo no altura mesma uma a situadosPontos PP
PP
atm
A
E
EA
AA
atmA









0
'
´
 
Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida de 
mercúrio. 
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 70 
mmHg760atm1mm760h 
 
Se o fluido for a água, a altura da coluna é de 10,332 m. 
mca332,10atm1m332,10h 
 
 
APLICAÇÃO PARA A MANOMETRIA 
Da mesma maneira que a pressão atmosférica, uma diferença de pressão pode ser medida a 
partir de uma diferença de elevação, conhecendo-se as massas específicas dos fluidos. Este é 
o princípio de funcionamento dos manômetros de líquido (Fig. 10), que são tubos 
transparentes e curvos, geralmente em forma de U, contendo o líquido manométrico. Para 
medição de altas pressões, utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. 
No caso de menores pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como a 
água ou um óleo. Os manômetros metálicos são instrumentos usados para medir as pressões 
dos fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon – Fig. 11) ou de um 
diafragma (Fig. 12), que cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em 
aplicações industriais. 
 
BA
BatmB
AatmA
BA
pp
ghpp
ghpp
hh






 
Figura 10 – Manômetro de Líquido 
 
Figura 11 – Tubo de Bourdon Figura 12 – Manômetro de Diafragma 
 
Exemplo 3 – Variação de pressão em uma coluna de múltiplos fluidos 
Determine a pressão absoluta no ponto A e a pressão manométrica no ponto B da figura, 
sendo as dimensões dadas em cm. 
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 71 
 
A Equação Fundamental da Hidrostática estabelece que a diferença de pressão entre dois pontos de 
uma massa fluida em equilíbrio é diretamente proporcional à diferença de altura entre eles, ou 
ghPP 12 
 
Se o ponto na superfície livre do reservatório for chamado de C e os pontos nas interfaces dos líquidos 
forem chamados de D e E, tem-se que 
1oleoCD ghPP 
 (1) 
2gliDA ghPP 
 (2) 
3gliAE ghPP 
 (3) 
 32gliDE hhgPP 
 (4) 
4mercEB ghPP 
 (5) 
onde 
m20,0h1 
 
m12,0h2 
 
m13,0h3 
 
m40,0h4 
 
É necessário conhecer as massas específicas dos fluidos. Da Tabela A.1, 
3
oleo m/kg891
 
3
gli m/kg1260
 
3
merc m/kg13550
 
Somando-se as equações (1) e (2), 
2gli1oleoatm2gli1oleoCA ghghPghghPP 
 
Pa414,566.104m12,0.
s
m
81,9.
m
kg
1260m20,0.
s
m
81,9.
m
kg
891Pa325.101P
2323A

 
kPa5,104PA 
 ◄ 
Somando-se as equações (1), (4) e (5), 
    4merc32gli1oleoatm4merc32gli1oleoCB ghhhgghPghhhgghPP 
 
m4,0.
s
m
81,9.
m
kg
13550m25,0.
s
m
81,9.
m
kg
1260m20,0.
s
m
81,9.
m
kg
891Pa325.101P
232323B

 
Pa492,333.159PB 
 
Para se obter o valor da pressão manométrica no ponto B, basta subtrair a pressão atmosférica do valor 
obtido, ou seja, 
Pa325.101Pa492,333.159PPP atmman,Bman,B 
 
kPa58P man,B 
 ◄ 
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 72 
Exemplo 4 – Manômetros de líquido 
Na figura, o manômetro A lê uma pressão de 1,5 kPa. Determine as alturas hB e hC dos fluidos 
nos tubos piezométricos abertos para a atmosfera. Despreze o peso do ar. 
 
Se os pontos nas interfaces dos líquidos forem chamados de 1, 2 e 3, tem-se que 
1arA1 ghPP 
 (1) 
2oleo12 ghPP 
 (2) 
3gli23 ghPP 
 (3) 
onde 
m2h1 
 
m5,1h2 
 
m1h3 
 
Ao mesmo tempo, as pressões nos pontos 2 e 3 podem ser relacionadas à pressão atmosférica por 
 3Coleoatm2 hhgPP 
 (4) 
Bgliatm3 ghPP 
 (5) 
É necessário conhecer as massas específicas dos fluidos. Da Tabela A.1, 
3
oleo m/kg891
 
3
gli m/kg1260
 
Somando-se as equações (1), (2) e (3), pode-se determinar a pressão no ponto 3 em relação à pressão 
lida pelo manômetro. 
3gli2oleo1arA3 ghghghPP 
 
Como o peso do ar pode ser desprezado, 
3gli2oleoA3 ghghPP 
 
A pressão manométrica no ponto 3 será 
Pa7,971.26m1.
s
m
81,9.
m
kg
1260m5,1.
s
m
81,9.
m
kg
891Pa1500P
23233

 
Substituindo-se na equação (5), 
B23Bgliatm3
h.
s
m
81,9.
m
kg
12600Pa7,971.26ghPP 
 
m18,2hB 
 ◄ 
Deve ser ressaltado que, como foi utilizada a pressão manométrica no ponto 3, foi utilizado a pressão 
atmosférica manométrica (0 Pa). 
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Mecânica dos Fluidos 
 73 
Da mesma maneira, a altura hC pode ser encontrada igualando-se as equações (2) e (4), 
 3Coleoatm2oleo12 hhgPghPP 
 
 m1h.
s
m
81,9.
m
kg
8910m5,1.
s
m
81,9.
m
kg
891Pa1500 C2323

 
m67,2hC 
 ◄ 
 
EQUILÍBRIO DOS CORPOS FLUTUANTES 
Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua (em decorrência da 
pressão do fluido) é chamada de empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 13, 
imerso em um fluido em repouso. 
 
Figura 13 – Corpo Imerso em um Fluido Estático 
O empuxo vertical no cilindro elementar de volume 
d
 é dado por 
dAPdAPdE 12 
 
   dAghPdAghPdE 1atm2atm 
 
   gddAhhgdE 12
 
O empuxo total é obtido integrando-se dE, ou seja, 
  ggddEE
 
Princípio de Arquimedes 
Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um empuxo 
vertical, de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume fluido deslocado pelo 
corpo. 
É interessante notar que o “peso” de um corpo pode sofrer variações significativas 
dependendo do meio em que o corpo estiver imerso. Isto ocorre porque, na verdade, o valor 
sentido por uma pessoa ou medido por uma balança é a força resultante que atua sobre a 
pessoa ou a balança. Assim, se o corpo estiver imerso no ar, o empuxo é muito pequeno, 
podendo ser desprezado. Se o corpo estiver imerso na água, o empuxo é significativo e o 
corpo “pesa” menos. 
Quando um corpo é colocado em um recipiente contendo um fluido, podem acontecer três 
situações distintas: 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 74 
1) o corpo afunda 
 
Na situação inicial, a força peso é superior à força de empuxo. 
fluidocorpo
corpofluidocorpocorpo gg
EW



 
Na situação final, o corpo atinge o equilíbrio 
NEW 
 
onde N é a reação normal no contato do corpo com o fundo doreservatório 
2) o corpo retorna à superfície 
 
Na situação inicial, a força peso é inferior à força de empuxo. 
fluidocorpo
corpofluidocorpocorpo gg
EW



 
Na situação final, o corpo atinge o equilíbrio 
gg
EW
deslocfluidocorpocorpo 
 
3) o corpo permanece onde foi colocado 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 75 
fluidocorpo
corpofluidocorpocorpo gg
EW



 
O princípio de Arquimedes é de particular importância na prática. Entre suas principais 
aplicações, destacam-se a navegação de superfície fluvial e marítima, o deslocamento de 
submarinos a uma dada profundidade, a sustentação hidrostática dos aeróstatos (assim 
chamados os veículos mais leves que o ar, como balões e dirigíveis – os últimos equipados de 
hélices propulsoras e de sistemas de direção) e os aparelhos de medição como os densímetros 
(para medição da massa específica), lactômetros (para medição da massa específica do leite) e 
alcoômetros (para medição do teor alcoólico de vinhos e licores). 
 
Exemplo 5 – Empuxo 
Um bloco de madeira flutua, mantendo dois terços de seu volume embaixo d’ água a 20oC. 
Quando flutua no óleo, 90% de seu volume fica submerso. Calcule a massa específica da 
madeira e do óleo. 
Para a situação de equilíbrio, a força resultante vertical deve ser nula, ou seja, a força de empuxo e o 
peso devem se anular. Ou seja, tanto para a água como para o óleo, deve ser obedecida a equação 
WE 
 
gg blocomaddeslocfluido 
 ou 
blocomaddeslocfluido 
 
Da Tabela A.1, 
3agua m
kg
998
 
Para a água, 
blocomadblocoagua
3
2

 
blocomadbloco3 3
2
m
kg
998 
 
3mad m
kg
665
 ◄ 
Para o óleo, 
blocomadblocooleo .90,0. 
 
bloco3blocooleo m
kg
665.90,0. 
 
3oleo m
kg
739
 ◄ 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 76 
FLUIDODINÂMICA 
A Fluidodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos 
em movimento, ou seja, estuda os escoamentos de fluidos. Na solução de problemas da 
fluidodinâmica, é importante definir o tipo de análise a ser feita, ou seja, deve-se escolher 
entre as abordagens utilizando-se um sistema ou um volume de controle 
As Leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre quando há 
uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos problemas de 
Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-se a formulação de 
Volume de Controle. O Teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica, 
escritas utilizando-se a formulação de sistema, sejam transformadas para a formulação de 
volume de controle, como já visto anteriormente. 
 
A EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA MASSA PARA UM VOLUME DE CONTROLE 
ARBITRÁRIO 
A equação de conservação da massa já foi definida anteriormente, no entanto, dada a sua 
importância no estudo da Mecânica dos Fluidos, ela é repetida aqui. 
0AdVd
t
SCVC




 
onde 
 

VC
d
t
 é a taxa de variação da massa dentro do volume de controle 
 
SC
AdV

 é a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle, ou vazão 
mássica através da superfície de controle. 
Para uma seção de uma superfície de controle de área A, define-se a vazão mássica ou vazão 
em massa por: 
 
A
AdVm


 
Para escoamento em regime permanente com um número finito de entradas e saídas, esta 
equação é dada por 
0mm
entradasaída
  
 
Para uma seção de uma superfície de controle de área A, define-se a vazão volumétrica Q por: 
 
A
AdVQ

, 
a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas e 
saídas, como 
0QQ
entradasaída
 
 
A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a velocidade média em uma 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 77 
seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica Q e a área da seção A, ou 
  AdVA
1
A
Q
V
 
Observa-se, assim, que a vazão volumétrica através da seção pode ser dada por 
AVQ 
 
De maneira análoga, pode-se calcular a vazão mássica através da seção por: 
AVm 
 
 
A EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA PARA UM VOLUME DE CONTROLE 
ARBITRÁRIO 
Como já visto, a Primeira Lei da Termodinâmica para um volume de controle é dada por: 
 












SC
2
VC
outrosS AdVgz
2
VP
ude
t
WWQ


 
Na equação, 
SW

 é a taxa de qualquer trabalho de eixo (potência) realizado sobre ou pelo 
volume de controle, 
outrosW

 é a taxa de qualquer trabalho não considerado (como por exemplo 
um trabalho produzido por forças eletromagnéticas). 
É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. Para 
maiores detalhes, recomenda-se consultar os livros texto de Mecânica dos Fluidos sugeridos 
nas referências bibliográficas. 
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento em 
regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com apenas 
uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode ser 
simplificada. 
Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de 
trabalho realizadas, a equação se reduz a 
 









SC
2
S AdVgz
2
VP
uWQ


 
Chamando a entrada da tubulação de 1 e a saída da tubulação de 2, e considerando que, em 
uma dada seção, a energia interna u, a pressão P e a distância vertical z não se alteram, a 
equação pode ser dada por 
 
































1A
11
2
1
2A
22
2
2
22
2
211
1
1S dAV
2
V
dAV
2
V
mgz
P
umgz
P
uWQ 
 
No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva. 
mmm 21  
 
Assim, 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 78 
 






















1A
11
2
1
2A
22
2
2
12
12
12S dAV
2
V
dAV
2
V
mgzgz
PP
uuWQ 
 
Definindo-se o coeficiente de energia cinética  de forma que 
 











A
2
A
2
VdA
2
V
VdA
2
V
, 
pode-se escrever a equação da energia em uma forma mais compacta 
mgzgz
2
V
2
VPP
uuWQ 12
2
1
1
2
2
2
12
12S
 










 
Para escoamento em regime turbulento,  é aproximadamente igual à unidade. Para 
escoamento em regime laminar,  = 2. 
Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se 
12
2
1
1
2
2
2
12
12
S gzgz
2
V
2
VPP
uu
m
W
m
Q








 
Reescrevendo-se a equação, 
 
m
Q
uu
m
W
gz
2
VP
gz
2
VP
12
S
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1


























 
Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia mecânica por 
unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termomWS 
 representa a 
potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido (hS) e o termo 
 
m
Q
uu 12 


 representa a conversão irreversível de energia mecânica na seção 1 em energia 
térmica não desejada e a perda de energia por transferência de calor. Este último termo é 
denominado Perda de Carga, hLT. 
A equação pode ser escrita como 
LTS2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 hhgz
2
VP
gz
2
VP




















 
É importante lembrar que hS representa a energia de eixo por unidade de massa fornecida ou 
retirada do fluido. Pela convenção de sinais adotada, esta energia é positiva quando se trata de 
energia retirada do fluido (como no caso de uma turbina) e negativa quando fornecida ao 
fluido (como no caso de uma bomba). 
Para facilitar a utilização da equação de Bernoulli, pode-se definir a energia de uma bomba 
(por unidade de massa do fluido) por hB e a energia de uma turbina (por unidade de massa do 
fluido) por hT e atribuir sinais a elas, de acordo com a convenção adotada. A equação pode ser 
dada por 
LTBT2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 hhhgz
2
VP
gz
2
VP




















 
A potência de uma bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por: 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 79 
BB QhW 
 
onde  é a massa específica do fluido 
 Q é a vazão volumétrica através da bomba 
 hB é a energia por unidade de massa do fluido fornecida pela bomba. 
No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida pela bomba 
para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito 
no interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como sendo a razão entre a 
energia disponível para o fluido e a energia disponível para a bomba, ou seja, a razão entre a 
potência real da bomba e a sua potência ideal (ou de acionamento), 
oAcionamentedPotência
RealPotência
IdealPotência
RealPotência
b 
 
A potência real é a potência que efetivamente chega ao fluido e a potência ideal ou de 
acionamento de uma bomba é a potência de entrada (normalmente elétrica) da bomba, ou seja, 
a potência gasta para acioná-la. 
A unidade de potência, no SI, é o W (J/s). Outras unidades bastante utilizadas são o cavalo-
vapor (cv) e o horse power (hp), sendo 1cv = 736W e 1 hp = 745,7W, ou seja, 1hp = 1,014cv. 
Da mesma maneira, pode-se definir a potência retirada do escoamento por uma turbina: 
TT QhW 
 
onde  é a massa específica do fluido 
 Q é a vazão volumétrica através da turbina 
 hT é a energia por unidade de massa do fluido retirada pela turbina. 
A energia retirada pela turbina é diferente da energia fornecida para um gerador. Uma parte 
da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito no interior da turbina. A 
eficiência da turbina é definida então como sendo a razão entre a potência disponível para o 
gerador (potência de saída) e a potência retirada pela turbina (potência de entrada), ou seja, a 
razão entre a potência real da turbina e a sua potência ideal, 
IdealPotência
RealPotência
T 
 
Cada termo da equação de Bernoulli, na forma apresentada, tem dimensões de energia por 
unidade de massa, ou m
2
/s
2
. Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um 
escoamento por meios gráficos. Para isto, é mais conveniente a apresentação da equação de 
Bernoulli dividida pela aceleração da gravidade, onde cada termo tem dimensões de 
comprimento, ou carga do fluido em escoamento. 
g
h
g
h
z
g2
V
g
P
z
g2
V
g
P LTS
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 



















 
ou 
LTS2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 HHz
g2
V
g
P
z
g2
V
g
P




















 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 80 
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS 
Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais podem ser desprezados os efeitos 
de atrito (fluidos ideais), tem-se que 
m
Q
uu 12 


 
ou 
hLT = 0 
A equação de Bernoulli pode ser dada então por 
BT2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 hhgz
2
VP
gz
2
VP




















 
Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se conserva. 
A equação é dada por 
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 gz
2
VP
gz
2
VP




 
tetanconsHgz
2
VP 2


 Equação de Bernoulli para fluidos ideais 
A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível em regime 
permanente é constante. 
 
Exemplo 6 – Equação de Bernoulli para fluidos ideais 
Gasolina a 20
o
C escoa através do duto mostrado na figura, com uma vazão de 12kg/s. 
Assumindo comportamento de fluido ideal, calcule a pressão manométrica na seção 1. 
 
A equação de Bernoulli estabelece que 
LTBT
2
2
22
2
2
1
11
1 hhh
2
V
gz
P
2
V
gz
P




 
Se forem desprezadas as perdas de carga, hLT = 0. Além disso, como não existe bomba nem turbina no 
problema, hT = hB = 0. 
A equação se reduz a 
2
V
gz
P
2
V
gz
P 22
22
2
2
1
11
1 



 
É necessário conhecer as velocidades do fluido nos pontos 1 e 2. Elas podem ser determinadas através 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 81 
da definição da vazão mássica, lembrando que ela deve se conservar para um escoamento em regime 
permanente. 
2211 AVAVm 
 
Da Tabela A.1, 
.s.m/kg10x92,2em/kg680 43 
 
 213 m08,04
.V.
m
kg
68012


 
s/m51,3V1 
 
 223 m05,04
.V.
m
kg
68012


 
s/m99,8V2 
 
Para se determinar o regime de escoamento, é necessário calcular o número de Reynolds em ambas as 
seções. 



dV
Re
 
Para a menor velocidade, 
5
4
3
10x54,6
s.m/kg10x92,2
m08,0.s/m51,3.m/kg680
Re 

 
Para a maior velocidade, 
6
4
3
10x05,1
s.m/kg10x92,2
m05,0.s/m99,8.m/kg680
Re 

 
Em ambas as seções, o escoamento é turbulento. Pode-se considerar, portanto, 
121 
 
Se o plano de referência for passado pela seção 1, z1 = 0 e z2 = 12 m. 
Como a incógnita do problema é a pressão manométrica, pode-se utilizar o valor manométrico da 
pressão atmosférica no ponto 2, ou seja, zero. 
   
2
99,8
.181,9.12
680
0
2
51,3
.181,9.0
680
P 22man,1

 
kPa3,103P man,1 
 ◄ 
 
Visualização gráfica da equação de Bernoulli 
Muitas vezes, é conveniente visualizar a equação de Bernoulli graficamente. Esta visualização 
é mais facilmente feita se os termos da equação forem escritos com dimensão de energia por 
unidade de peso. Para fluidos ideais sem trabalho de eixo, a equação de Bernoulli é dada por: 
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 z
g2
V
g
P
z
g2
V
g
P




 
Os termos individuais da equação de Bernoulli são 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 82 
local dinâmica pressão à devida cargaou fluido do peso de unidadepor Cinética Energia :
g2
V
elevação de cargaou fluido do peso de unidadepor Posição de Energia:z
local estática pressão à devida cargaou fluido do peso de unidadepor Pressão de Energia :
g
P
2

Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. A energia 
total por unidade de peso do fluido é a carga total do escoamento. A linha energética 
representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a altura da 
linha energética permanece constante para o escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho 
é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica representa a soma das alturas de carga 
devidas à elevação e à pressão estática. A diferença entre as alturas da linha energética e da 
linha piezométrica representa a altura de carga dinâmica (de velocidade). A Figura 14 
apresenta uma representação das linhas de carga para o escoamento de um fluido. 
 
Figura 14 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento em um Duto 
Linha Energética: 
g2
V
g
P
z
2



 
Linha Piezométrica: 
g
P
z


 
Teorema de Torricelli 
Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, contendo um 
fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício lateral (Fig. 15). 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 83 
 
Figura 15 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas 
A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a 
g2
V
z
g
P
g2
V
z
g
P 21
11
1
2
2
22
2 



 
Para escoamento turbulento, assume-se 
121 
 
A equação da continuidade estabelece que a vazão volumétrica é constante, ou seja, 
2211 VAVAQ 
 
Como 
21 AA 
, pode-se considerar 
0V1 
 
Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, 
atm21 PPP 
. 
Além disso, 
hzz 21 
 
Portanto, 
g2
u
h
2
2
 ou 
gh2V2 
 
Teorema de Torricelli: A velocidade média de um líquido jorrando por um orifício através de 
uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma altura h. 
 
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS REAIS – PERDA DE CARGA 
A perda de carga total hLT é dada pela soma das perdas distribuídas, hd, devidas aos efeitos de 
atrito no escoamento completamente desenvolvido em tubos de seção reta constante, com as 
perdas localizadas, hL, devidas a entradas, acessórios, mudanças de área e outros. 
LdLT hhh 
 
A equação de Bernoulli é dada, então, por 
LdBT2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 hhhhgz
2
VP
gz
2
VP




















 
Perdas de carga distribuídas 
A perda de carga distribuída é dada por 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 84 
2
V
D
L
fh
2
d 
 
onde L é a distância percorrida pelo fluido entre as duas seções consideradas 
 D é o diâmetro do tubo 
V
é a velocidade média do fluido 
f é o fator de atrito. 
O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito. Basicamente, ele 
depende da rugosidade  e do diâmetro D da tubulação, da velocidade média do escoamento 
V
e das propriedades do fluido ( e ). Através de análise dimensional, obtém-se que o fator 
de atrito é função de dois adimensionais: a rugosidade relativa /D e o número de Reynolds. O 
adimensional de Reynolds, ou Re, é definido por 





DVDV
Re
 
Como já visto, o número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento. Para escoamentos 
no interior de tubos, 
Se 








o turbulenté escoamento o 4000,Re
 transiçãode faixa na está escoamento o 4000,Re2300
laminar é escoamento o 2300,Re
 
O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares, o fator de 
atrito pode ser calculado por: 
Re
64
f 
 
Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais complicada. A 
expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook 









5,05,0 fRe
51,2
7,3
D/
log2
f
1
 
A expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por um procedimento 
iterativo. No entanto, as calculadoras científicas atuais possuem recursos para resolver estas 
equações sem a necessidade de iterações manuais. 
Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram determinados 
experimentalmente para uma série de valores de Re e de /D e sumarizados em um ábaco 
(Fig. 16), denominado Ábaco de Moody. 
Moody apresenta também uma tabela para determinação da rugosidade absoluta  em tubos, 
para alguns materiais comuns de engenharia, em boas condições (Tabela 2). 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 85 
Tabela 2 – Rugosidade para Tubos de Materiais Comuns de Engenharia 
Material Rugosidade  (mm) 
Aço Rebitado 0,9-9 
Concreto 0,3-3 
Madeira 0,2-0,9 
Ferro Fundido 0,26 
Ferro Galvanizado 0,15 
Ferro Fundido Asfaltado 0,12 
Aço Comercial 0,046 
Aço Galvanizado 0,06 a 0,20 
Trefilado 0,0015 
PVC 0,015 
 
Exemplo 7 – Cálculo do fator de atrito – escoamento laminar 
Óleo SAE 30W a 20
o
C escoa no interior de um tubo novo de aço comercial de 2 in de 
diâmetro. Determine o fator de atrito do escoamento, se a velocidade do óleo é de 3 m/s. 
Para a determinação do fator de atrito, é necessário conhecer o número de Reynolds e a rugosidade 
relativa do tubo. 



dV
Re
 
Da Tabela A.1, 
3m
kg
891
 
s.m
kg
29,0
 
m0508,0in2d 
 
468
s.m/kg29,0
m0508,0.s/m3.m/kg891
Re
3

 
Como Re < 2300, o escoamento é laminar. O fator de atrito independe da rugosidade relativa do tubo, 
sendo dado pela expressão 
468
64
Re
64
f 
 
137,0f 
 ◄ 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 86 
 
Figura 16 – Ábaco de Moody 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 87 
Exemplo 8 – Cálculo do fator de atrito – escoamento turbulento 
Determine o fator de atrito do escoamento de água a 15
o
C, para as mesmas condições do 
exemplo anterior. 
As propriedades da água a 15
o
C são 
3m
kg
999
 
s.m
kg
10x14,1 3
 
Assim, pode-se calcular o número de Reynolds 



dV
Re
 
550.133
s.m/kg10x14,1
m0508,0.s/m3.m/kg999
Re
3
3


 
Como Re > 2300, o escoamento é turbulento. É necessário, portanto, determinar a rugosidade relativa 
do tubo. 
Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do aço comercial é 0,046 mm. A rugosidade relativa pode ser 
obtida dividindo-se a rugosidade absoluta pelo diâmetro do tubo. É importante ressaltar que ambas as 
grandezas devem estar expressas nas mesmas unidades. 
0009,0
mm8,50
mm046,0
d


 
Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se 
021,0f 
 ◄ 
 
Perdas de carga localizadas 
Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma série de 
acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao passar por estes 
obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão diminuída. As perdas de carga 
locais foram determinadas experimentalmente e modeladas segundo duas equações diferentes 
2
V
Kh
2
L 
 
2
V
D
L
fh
2
e
L 
 
onde K é o coeficiente de perda local e Le é o comprimento equivalente da tubulação. Para 
cada tipo de acessório, existe um coeficiente ou comprimento equivalente. A perda de carga 
localizada total é dadapela soma das perdas de carga localizadas individuais. 


















 
2
V
D
L
f
2
V
Kh
2
e
2
L
 
A entrada do escoamento em um tubo pode causar uma perda de carga considerável, se for 
mal projetada. Na Tabela 3, são apresentadas três geometrias básicas de entradas. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 88 
Tabela 3 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada e Saída do Escoamento 
Tipo K 
 
0,78 
 
0,5 
 
r/D 0,02 0,06 >0,015 
K 0,28 0,15 0,04 
Saída Submersa 

 
 
Toda a energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento descarrega de 
um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim, para uma saída 
submersa, o coeficiente de perda é igual a , não importando a geometria (Tabela 3). Deve-se 
lembrar que o coeficiente de energia cinética 

 é determinado pelo regime de escoamento. 
Para escoamento laminar, 

 = 2,0 e, para escoamento turbulento, 

 = 1,0. 
Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este caso, a 
Tabela 4 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de áreas AR (razão 
entre a menor e a maior área da contração ou expansão). 
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Contração e Expansão 
 
AR = A2 / A1 Kcontração Kexpansão 
0 0,5 1 
0,2 0,43 0,64 
0,25 0,40 0,58 
0,4 0,3 0,39 
0,6 0,17 0,17 
0,8 0,1 0,06 
1,0 0 0 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 89 
Para se obter coeficientes de perda de carga correspondentes a valores de AR intermediários 
entre os apresentados na Tabela 4, deve-se fazer uma interpolação. 
Exemplo 9 – Determinação do coeficiente de perda de carga em uma expansão abrupta 
Um tubo de 15 cm de diâmetro (d) tem a sua seção subitamente alterada para 25 cm (D). 
Determine o coeficiente de perda de carga correspondente a esta expansão. 
Em primeiro lugar, deve-se determinar a razão de áreas AR, definida como a razão entre a área menor 
e a área maior. 
2
2
2
D
d
4/D
4/d
A
a
AR 







 
36,0
25
15
AR
2







 
Na aplicação de uma interpolação linear, assume-se que o coeficiente de perda de carga varia 
linearmente entre os extremos encontrados, como observado na figura a seguir. Para uma expansão 
com AR = 0,2, o valor de k correspondente é 0,64. Para uma expansão com AR = 0,4, o valor de k 
correspondente é 0,39. 
 
Como os triângulos na figura são semelhantes, pode-se dizer que: 
4,036,0
39,0k
4,02,0
39,064,0





 
Assim, k = 0,44 ◄ 
 
As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pela instalação de um bocal ou 
um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo utilizado para a 
redução gradual da seção do escoamento (Fig. 17). A Tabela 5 apresenta os coeficientes de 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 90 
perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para diferentes ângulos . 
 
Figura 17 – Bocal 
 
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção 
Kcontração  
A2 / A1 10
o 
15
o
 - 40
o
 50
o
 - 60
o
 90
o
 120
o
 150
o
 180
o
 
0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26 
0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41 
0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43 
 
As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem de diversas 
variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um aumento da pressão 
estática do escoamento (redução da velocidade média), o coeficiente de perda é comumente 
apresentado em termos de um coeficiente de recuperação de pressão, CP 
2
1
12
P
V21
PP
C



 
O coeficiente de perda de carga é dado por 
P2
C
AR
1
1K 
 
Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de 
recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados, 
2Pi AR
1
1C 
 
PPi CCK 
 
A Figura 18 apresenta os coeficientes de perda de carga para difusores, em função do ângulo 
total do difusor. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 91 
 
Figura 18 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor 
 
Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de 
perda de carga por 
2
V 2
. No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas 
velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser 
usado o maior valor de velocidade. 
As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser 
escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para cada um 
dos acessórios, são mostrados na Tabela 6. 
Tabela 6 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões 
 
Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de 
fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem 
desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma grande 
variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a realizar, das 
propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da temperatura do 
escoamento e da forma de acionamento pretendida. 
As válvulas de gaveta (Figuras 19a e 20a) são as válvulas mais empregadas para escoamento 
de líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 92 
escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o 
volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção (Figura 20a). 
As válvulas de esfera (Figura 19b) são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito 
usadas para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por 
meio de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O 
comando é, em geral, manual, com o auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se aplicam a 
casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar totalmente a passagem do 
fluido. 
 
(a) Válvula Gaveta (b) Válvula de Esfera 
Figura 19 – Exemplos de Válvulas 
 
Figura 20 – Geometrias de Válvulas Comerciais Típicas: (a) Válvula Gaveta; (b) Válvula Globo; 
(c) Válvula Angular; (d) Válvula de Retenção Basculante; (e) Válvula tipo Disco 
 
As válvulas globo (Fig. 20b) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja extremidade 
existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do fluido por um orifício. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 93 
Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com o tampão da vedação do orifício em 
qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga, mesmo com abertura máxima. 
As válvulas angulares (Fig. 20c) são semelhantes às válvulas globo, porém trabalham com 
uma mudança de seção de 90. 
As válvulas de retenção (Fig. 20d) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há a 
tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela diferença de 
pressão provocada. 
As válvulas tipo disco (Fig. 20e) fecham a seção com uma comporta circular. 
Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas de carga localizadas.Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da literatura, proposta por Fox 
e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como dados representativos para algumas 
situações comumente encontradas. Para válvulas, o projeto irá variar significativamente, 
dependendo do fabricante. Sempre que possível, os valores fornecidos pelos fabricantes 
deverão ser utilizados para a obtenção de dados mais precisos. Além disso, como as perdas de 
carga introduzidas por acessórios e válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos 
cuidados tomados durante a fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos, 
por exemplo, poderão causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas. 
 
Exemplo 10 – Equação de Bernoulli para fluidos reais – perdas de carga 
Uma tubulação de aço comercial leva 0,15 m
3
/s de água a 20˚C entre dois reservatórios 
abertos, como mostrado na figura. Sabendo que o diâmetro da tubulação é reduzido de 28 cm 
para 14 cm na seção CD (com  = 90o), calcule o desnível entre os pontos B e G. 
 
Para se resolver o problema, deve-se utilizar a equação de Bernoulli, 
LTBT
2
2
2
2
2
1
1
1 hhh
2
V
gz
P
2
V
gz
P




 
Considerando-se os pontos 1 e 2 na superfície livre do primeiro reservatório e na saída da tubulação, 
podem ser feitas as seguintes simplificações 
atm21 PPP 
 
0V1 
 
10hz1 
 
0z2 
 
0hh BT 
 
A equação se reduz a 
  dL
2
2 hh
2
V
10hg 
 (2) 
Como existem dois diâmetros diferentes ao longo da tubulação, devem ser consideradas duas perdas 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 94 
de carga distribuídas, uma ao longo da tubulação BC e outra ao longo da tubulação DG. As perdas de 
carga localizadas que devem ser consideradas são as perdas devido à entrada do escoamento na 
tubulação (ponto B), à redução gradual de seção (CD) e ao cotovelo de 90
o
 (EF). Indicando as 
propriedades na seção BC pelo subscrito a e, na seção DG, pelo subscrito b, as perdas de carga são 
dadas por 
2
V
d
L
f
2
V
d
L
fh
2
b
b
b
b
2
a
a
a
ad 
 
observando-se que 
m40La 
 
m15hLb 
 
2
V
d
L
f
2
V
K
2
V
Kh
2
b
ovelocot
e
b
2
b
redução
2
a
entradaL 
 
Deve ser observado que a perda de carga na redução foi dada em função da velocidade da seção DG 
(maior valor de velocidade). 
Da Tabela 3, Kentrada = 0,5 (Borda viva). 
Da Tabela 4, para uma razão de áreas de 0,25 e um ângulo de 90
o
, Kredução = 0,17 
Da Tabela 6, 
ovelocot
e
d
L
= 30 
A equação é dada, então, por 
 
2
V
d
L
f
2
V
K
2
V
K
2
V
d
L
f
2
V
d
L
f
2
V
10hg
2
b
ovelocot
e
b
2
b
redução
2
a
entrada
2
b
b
b
b
2
a
a
a
a
2
2 
 
ou. lembrando que 
2b VV 
 
10
g2
V
d
L
fK
d
L
f1
g2
V
K
d
L
fh
2
b
ovelocot
e
bredução
b
b
b
2
a
entrada
a
a
a 












 (1) 
As velocidades devem ser calculadas a partir da vazão volumétrica, que se conserva através de toda a 
tubulação (a água pode ser considerada incompressível). 
bbaa AVA.VQ 
 
 
4
m28,0
.V
s
m
15,0
2
a
3 

 
s/m44,2Va 
 
As propriedades da água a 20
o
C podem ser obtidas na Tabela A.2. 
3m
kg
998
 
s.m
kg
10x0,1 3
 
5
3
3
a 10x81,6
s.m/kg10x0,1
m28,0.s/m44,2.m/kg998
Re 

 
Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do aço comercial é 0,046 mm. A rugosidade relativa na seção BC é 
dada, portanto, por 
00016,0
mm280
mm046,0
d


 
Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 95 
0147,0fa 
 
Para a seção BG, 
 
4
m14,0
.V
s
m
15,0
2
b
3 

 
s/m74,9Vb 
 
6
3
3
b 10x36,1
s.m/kg10x0,1
m14,0.s/m74,9.m/kg998
Re 

 
00033,0
mm140
mm046,0
d


 
0157,0fb 
 
Substituindo-se os valores encontrados na equação (1), tem-se 
     
m10
s/m81,9.2
s/m74,9
30.0157,017,0
m14,0
m15h
0157,01
s/m81,9.2
s/m44,2
5,0
m28,0
m40
0147,0h
2
2
2
2















 
m98,14h 
 ◄ 
 
Exemplo 11 –Potência de uma bomba 
Água para resfriamento de perfuratrizes é bombeada de um reservatório para um canteiro de 
obras usando o sistema de tubulação mostrado. A tubulação tem 10cm de diâmetro e é feita de 
ferro fundido. Entre a saída da bomba e o canteiro de obras, existem 15 conexões, com K = 1 
(cada) e a água percorre um comprimento total de 1 km. A vazão deve ser de 40 litros/s e a 
água desemboca para a atmosfera. Estime a potência de acionamento requerida pela bomba se 
a sua eficiência é de 70%. Despreze as perdas de carga nas curvas. Considere as propriedades 
da água a 15˚C. 
 
A potência de acionamento da bomba pode ser calculada pela expressão 

 B
B
Qh
W 
 (1) 
onde hB é a energia, por unidade de peso, que a bomba fornece para o fluido e  é a eficiência da 
bomba. hB pode ser calculada pela equação de Bernoulli, 
LdBT
2
2
22
2
2
1
11
1 hhhh
2
V
gz
P
2
V
gz
P




 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 96 
Se os pontos 1 e 2 forem definidos como sendo, respectivamente, a superfície livre do reservatório e o 
canteiro de obras, podem ser feitas as seguintes simplificações 
atm21 PPP 
 
0V1 
 
0z1 
 
m120z2 
 
A equação se reduz a 
Ld
2
2
22B hh
2
V
gzh 
 (2) 
onde hL e hd representam, respectivamente, as perdas de carga localizadas e distribuídas. No problema 
em questão, deve ser considerada apenas uma perda de carga distribuída, ao longo de 1 km de 
extensão da tubulação e perdas de carga localizadas devido à entrada do escoamento na tubulação, à 
válvula gaveta e às conexões. 
As perdas de carga são dadas por 
2
V
d
L
fh
2
2
d 
 
2
V
K15
2
V
d
L
f
2
V
Kh
2
2
con
2
2
válvula
e
2
2
entradaL 
 
Da Tabela 3, Kentrada = 0,78 (Entrada Reentrante). 
Da Tabela 6, 
gavetaválvula
e
d
L
= 8 
   
2
V
f.878,15
2
V
1.15f.878,0
2
V
K15
d
L
fKh
2
2
2
2
2
2
con
válvula
e
entradaL 








 
A equação é dada, então, por 
 
2
V
f.878,15
2
V
d
L
f
2
V
gzh
2
2
2
2
2
2
22B 
 
É necessário calcular a velocidade do fluido no ponto 2 e o fator de atrito do escoamento. A 
velocidade é calculada através da vazão volumétrica, 
2
2
2 A.VQ 
 
 
4
m10,0
.V
s
m
040,0
2
2
2
3 

 
s/m09,5V2 
 
Para se determinar o fator de atrito, é necessário calcular o número de Reynolds e a rugosidade relativa 
do tubo. As propriedades da água a 15
o
C podem ser obtidas na Tabela A.2. 
3m
kg
999
 
s.m
kg
10x14,1 3
 
5
3
3
10x46,4
s.m/kg10x14,1
m10,0.s/m09,5.m/kg999
Re 

 
Como Re > 2300, o escoamento é turbulento. Portanto, 
12 
. 
Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do ferro fundido é 0,26 mm. A rugosidade relativa é dada por 
0026,0
mm100
mm26,0
d


 
Fenômenosde Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 97 
Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se 
025,0f 
 
A energia por unidade de peso fornecida pela bomba é dada pela equação (2) 
   
 
 
2
s/m09,5
025,0.878,15
2
s/m09,5
m10,0
m1000
025,0
2
s/m09,5
.1m120.s/m81,9h
222
2
B 
 
2
2
B
s
m
52,3458h 
 
A potência de acionamento da bomba é então calculada através da expressão (1) 
70,0
s/m040,0s/m52,3458.m/kg999
W
3223
B 

 
hp265kW197WB 

 ◄ 
 
MEDIDORES DE VAZÃO 
Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem diferentes 
dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em duas classes: 
instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos mecânicos medem 
a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade de fluido. Os dispositivos de 
perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma corrente fluida e a 
queda da pressão do escoamento, como mostrado na Fig. 21 para um bocal genérico. 
 
Figura 21 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico 
A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de uma 
zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A corrente 
principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma vena contracta 
na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do tubo. Na vena 
contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima. 
A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da equação 
de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação da massa. A equação de 
Bernoulli estabelece que 
2
V
gz
P
2
V
gz
P 22
22
2
2
1
11
1 



 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 98 
Como z1 = z2, a equação se reduz a 
2
VP
2
VP 22
2
2
2
1
1
1 



 
Assim, considerando-se escoamento turbulento, 
121 
 e 
 212221 VV
2
PP 


 











2
2
2
1
2
2
21
V
V
1
2
V
PP
 
As velocidades 
21 VeV
podem ser relacionadas através da equação de conservação da massa, 
2211 AVAV 
 
ou 
1
2
2
1
A
A
V
V

 
Assim, 

















2
1
2
2
2
21
A
A
1
2
V
PP
 
A velocidade teórica (ideal) 
2V
 é, portanto, dada por 
 
  212
21
2
AA1
PP2
V



 
A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por 
22AVQ 
 
 
   2212
21 A
AA1
PP2
Q



 
No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da vazão 
através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando a vena 
contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser considerados 
uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes quando os contornos do 
medidor são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de pressão influencia a leitura 
da pressão diferencial. 
A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico C. 
 
   t21t
21
real CA
AA1
PP2
Q



 
Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área da 
garganta, e não a área do escoamento na seção 2. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 99 
São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão, medidos 
com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na entrada do 
medidor. 
O Tubo de Venturi 
O tubo de Venturi consiste em uma redução da seção do escoamento, provocando um 
aumento de velocidade e uma queda na pressão, como mostrado na Fig. 22. Em geral, os 
medidores são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o 
desempenho de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os 
coeficientes de descarga variam de 0,980 a 0,995 para altos números de Reynolds (maiores 
que 2x10
5
). Por isso, C = 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa com cerca de 1% 
de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos fabricantes deve ser consultada. 
 
Figura 22 – Tubo de Venturi 
A Placa de Orifício 
A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a sua 
geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais 
desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga imposta ao sistema. As 
tomadas de pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das 
tomadas influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de 
manuais. 
 
Figura 23 – Placa de Orifício 
A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com tomadas de canto 
(Fig. 23) é 
5,2
75,0
1D
81,2
1D
Dt
Re
71,91
1D
Dt
184,0
1D
Dt
0312,05959,0C 


















 
Equações de correlação similares estão disponíveis para placas de orifício com tomadas de 
flange e com tomadas de pressão com D e D/2. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 100 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 101 
LISTA DE EXERCÍCIOS – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
1) Qual a unidade de viscosidade absoluta no Sistema Gravitacional Britânico? Transforme 
para unidades do Sistema Internacional. 
2) Um cubo oco, de aresta a = 2 cm, é totalmente preenchido com mercúrio a 20oC. 
Utilizando os valores dados no Apêndice A, determine: 
a) A densidade relativa; 
b) o volume específico; 
c) o peso específico; 
d) a viscosidade cinemática do mercúrio e 
e) a pressão exercida pelo mercúrio na face inferior do cubo. 
3) O óleo lubrificante SAE 70, a 55oC, tem um peso específico de 55lbf/ft3 e uma 
viscosidade absoluta de 0,0088slug/(ft.s). Em unidades do SI, quais são: 
a) A sua viscosidade  e 
b) a sua viscosidade cinemática ? 
4) Uma placa infinita move-se sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada 
líquida de espessura h = 0,3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades seja linear 
com Vmax = 0,3m/s, que a viscosidade seja 0,65 centipoise e que a densidade relativa valha 
0,88, calcule: (a) A viscosidade absoluta do líquido em slug/ft.s, (b) A viscosidade 
cinemática do líquido em m
2
/s, (c) A tensão tangencial na placa superior em lbf/ft
2
 e (d) A 
tensão tangencial na placa inferior em Pa. 
 
Exercício 4 
5) Um bloco cúbico uniforme de aresta a = 10 cm é puxado sobre uma superfície horizontal 
sobre a qual há uma fina película de óleo com viscosidade μ = 0,3 N.s/m2. A película de 
óleo tem espessura h = 1 mm, como mostrado na figura. Supondo que a distribuição de 
velocidades na película de óleo seja linear, determine qual deve ser a força necessária para 
puxar o bloco com velocidade constante V = 0,8 m/s. 
 
Exercício 5 
6) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar completamente desenvolvido 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 102 
entre placas paralelas é dada por 
2
max h
y2
1
u
u







 
onde h é a distância separando as placas.A origem está situada na linha mediana entre as 
placas. Considere um escoamento de água a 20°C, com 
maxu
= 0,10 m/s e h = 0,25 mm. 
Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior. 
7) Petróleo bruto, com densidade relativa SG = 0,85 e viscosidade  = 2,15x10-3 lbf.s/ft2, 
escoa em regime permanente sobre uma superfície inclinada de 30° para baixo em relação 
à horizontal, em uma película de espessura h = 0,12 in. O perfil de velocidades é dado por 











 sen
2
y
hy
g
u
2 
A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela. Determine a tensão de 
cisalhamento que atua sobre a superfície. 
8) Um bloco cúbico pesando 45 N e com aresta de 25 cm é puxado para cima sobre uma 
superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo (
2m/s.N037,0
). A 
velocidade do bloco é de 0,6 m/s e a película de óleo tem 0,001 in de espessura. A 
superfície está inclinada de 25° em relação à horizontal. Supondo que a distribuição de 
velocidades na película de óleo seja linear, determine: 
a) A tensão de cisalhamento sobre a superfície inferior do bloco; 
b) A força de atrito entre o bloco e a película de óleo; 
c) A força necessária para puxar o bloco. 
9) Um bloco é puxado para cima sobre uma superfície inclinada 
 25
 sobre a qual há 
uma fina película de óleo, de espessura h = 0,01 in. Para que o bloco se movimente para 
cima com uma velocidade constante de 1,5 m/s, é necessária uma força F = 130 N. A 
densidade relativa do material do bloco é SGb = 5,3 e suas dimensões são a = 12 cm, b = 
13 cm e c = 15 cm (perpendicular ao plano da folha). Sabendo que a densidade relativa do 
óleo é 0,85, determine sua viscosidade cinemática. Considere que o perfil de velocidades 
na película de óleo é linear. 
 
Exercício 9 
10) Um bloco cúbico de aresta a = 20 cm desliza para baixo sobre uma superfície inclinada 
sobre a qual há uma fina película de óleo (viscosidade absoluta de 0,3 N.s/m
2
), de 
espessura h = 0,01 in. A superfície está inclinada de θ = 20˚ em relação à horizontal, como 
mostra a figura. Suponha que o perfil de velocidades no óleo é linear. Determine qual deve 
ser a densidade absoluta do material do bloco para que ele se desloque para baixo com 
velocidade constante U = 1,2 m/s. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 103 
 
Exercício 10 
11) Água a 20oC escoa no interior de um tubo de 20cm de diâmetro com uma velocidade de 
1,0 m/s. Calcule o número de Reynolds característico do escoamento. 
12) Seja o escoamento laminar em um duto circular. A velocidade u em um ponto qualquer, 
longe da região de entrada, é dada por 
 2r25612u ,
 
Determine: a) a velocidade máxima do escoamento; b) o raio do duto; c) a velocidade do 
fluido nos pontos r = 0, r = 0,20 m e r = 0,40 m. d) Sabendo que a velocidade média do 
escoamento é igual à metade da velocidade máxima, determine qual deve ser a mínima 
viscosidade cinemática do fluido para garantir que o escoamento seja laminar. 
13) O campo de velocidades de um escoamento é dado por 
kwjviuV ˆˆˆ 
 , onde 
54/3,24  ywyxvyxu
. Determine se o escoamento é uni, bi ou 
tridimensional, permanente ou transiente e calcule a velocidade do elemento fluido 
localizado no ponto P = (0,-1,2). 
14) Para os campos de velocidade dados a seguir, determine se o escoamento é uni, bi ou 
tridimensional e permanente ou transiente. a e b são constantes. 
a) 
 iaeV bx ˆ
 b) 
 jeaxV bt ˆ2 
 c) 
   jbyitaxV ˆˆ 2
 
15) Para os campos de velocidade dados a seguir, determine se o escoamento é uni, bi ou 
tridimensional e permanente ou transiente. 
a) u = 2x + 3y v = 3z 
b) u = 2x + 3y v = 3zt 
c) u = 3x
2
 v = 2xyt w = 2y
2
 
16) Supondo que a água do mar seja incompressível , calcule a diferença de pressão entre um 
ponto na superfície livre e um ponto localizado na profundidade de 4km. O peso 
específico médio da água salgada é 10.050N/m
3
. 
17) Calcule a pressão absoluta no fundo de um reservatório aberto de 2m de altura contendo: 
a) água 
b) mercúrio 
18) Um tanque fechado contém mercúrio, água e óleo SAE 10W30, nas condições indicadas 
na figura. O peso do ar acima do óleo é desprezível. Sabendo que a pressão no fundo do 
tanque é 200 kPa, determine a pressão na superfície do óleo. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 104 
 
 Exercício 18 Exercício 19 
19) O tanque mostrado na figura está aberto para a atmosfera. Se a pressão absoluta no fundo 
do tanque é 242 kPa, determine a massa específica do fluido X. O óleo é SAE 50W. 
20) Determine a pressão no ponto “o” do mecanismo mostrado na figura, desprezando o atrito 
entre o bloco (de massa m = 100kg) e a parede. O óleo utilizado é SAE 30W. 
 
 Exercício 20 Exercício 21 
21) A carga de 500 kg do macaco hidráulico mostrado na figura deve ser elevada despejando-
se óleo (SG = 0,78) dentro de um tubo fino. Determine a altura h necessária para que o 
peso comece a ser levantado. Ambos os lados do macaco hidráulico estão abertos para a 
atmosfera. Considere que os tubos têm seção circular. 
22) Na figura, um líquido manométrico tem densidade relativa 0,90 e em A e B existe água. 
Sendo h1 = 0,40m, h2 = 0,30m e h3 = 0,80m, determine a diferença de pressão entre A e 
B. 
 
Exercício 22 
23) Um manômetro é constituído por um tubo de vidro de diâmetro interno uniforme, D = 
6,35 mm, como mostrado na figura. O tubo em U formado é preenchido parcialmente com 
água. Em seguida, um volume de 3,25 cm
3
 de um óleo (com densidade relativa de 0,827) é 
adicionado no lado esquerdo do tubo. Calcule a altura de equilíbrio H quando ambas as 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 105 
pernas do tubo em U estão abertas para a atmosfera. 
 
Exercício 23 Exercício 24 
24) Um manômetro é constituído por um tubo de vidro de diâmetro interno D = 1 in, como 
mostrado na figura. O tubo em U formado é preenchido parcialmente com água. Um 
volume de óleo (SG = 0,8) é adicionado no lado direito do tubo. Quando ambas as pernas 
do tubo estão abertas para a atmosfera, H = 2,5 cm. Determine o volume de óleo 
adicionado. 
25) O manômetro de tubo em U mostrado na figura contém água e querosene 
 3m/kg820Considere 
. Com ambos os tubos abertos para a atmosfera, as elevações da 
superfície livre diferem de Ho = 20 mm. Determine a diferença de elevação H quando 
uma pressão manométrica de 98 Pa é aplicada no tubo da direita. 
 
Exercício 25 Exercício 26 
26) Na figura, um líquido manométrico tem massa específica 1500kg/m3 e em A e B existe 
água. Sendo h1 = 0,40m, h2 = 0,70m e h3 = 0,35m, determine a diferença de pressão entre 
B e A. 
27) Na figura, os fluidos estão a 20˚C. 
a) Determine a diferença de pressão entre os pontos A e B, sabendo que h1 = 0,8 m, h2 = 
0,25 m e h3 = 0,5 m. 
b) Um manômetro colocado em B registrou uma pressão de 12 kPa. Determine a pressão 
absoluta em A. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Mecânica dos Fluidos 
 106 
 
Exercício 27 
28) Calcule a pressão manométrica da água no ponto C, sabendo que o ponto F está aberto 
para a atmosfera. 
 
Exercício 28 
29) Considere o manômetro mostrado na figura. Todos os fluidos estão a 20oC. a) Determine a 
diferença de pressão entre os pontos A e B, em função das variáveis mostradas. b) Calcule 
a diferença de pressão entre A e B, se h1 = 20cm, h2 = 8cm, h3 = 40cm, h4 = 9cm, h5 = 
14cm, SGbenzeno = 0.88. 
 
Exercício 29 
30) Na figura, as extremidades do manômetro estão abertas para a atmosfera. Determine