Lista 3 -MAT 131(Leis de composição Interna e Grupos)

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
MAT 131 - Introdução à Álgebra 2015/I
Tópico: Leis de Composição Interna e Propriedades
1. Em cada item, verifique se a operação ∗ sobre E é associativa, comutativa, admite elementos
neutro, simetrizáveis e regulares:
(a) E = IR e x ∗ y = x + y
2
(b) E = IR e x ∗ y = x
(c) E = IR+ e x ∗ y =
√
x2 + y2
(d) E = IR ∗ e x ∗ y = x
y
(e) E = IR+ e x ∗ y = x + y
1 + xy
(f) E = ZZ e x ∗ y = xy + 2x
(g) E = IR e x ∗ y = x2 + y2 + 2xy
2. Em cada item, verifique se a operação ∗ sobre ZZ × ZZ é associativa, comutativa, admite
elementos neutro, simetrizáveis e regulares:
(a) (a, b) ∗ (c, d) = (ac, 0)
(b) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d)
(c) (a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + bc)
(d) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, bd)
(e) (a, b) ∗ (c, d) = (ac− bd, ad + bc)
3. Sejam E e F dois conjuntos em que estão definidas as operações ∗ e ∆, respectivamente, as
quais são associativas e têm neutros. Sobre o conjunto E × F definimos a operação ◦ por:
(a, b) ◦ (c, d) = (a ∗ c, b∆d).
(a) Mostre que ◦ é associativa e possui elemento neutro.
(b) Determine os elementos inversíveis de E × F para essa operação.
4. Em ZZ × ZZ estão definidas duas operações ∗ e ∆ da seguinte forma:
(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)∆(c, d) = (ac, ad + bc)
Verifique se ∆ é distributiva em relação a ∗.
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5. Decida: quais dos seguintes conjuntos a seguir são partes fechadas de ZZ para a operação de
adição usual?
(a) ZZ−
(b) P = {x ∈ ZZ /x é par }
(c) I = {x ∈ ZZ /x é ímpar }
(d) J = {x ∈ ZZ /x é primo }
(e) K = {x ∈ ZZ /mdc(x, 10) = 1 }
(f) L = {x ∈ ZZ /x = 3q + 1, q ∈ ZZ }
6. Construa a tábua da operação ∗ definida sobre E:
(a) E = {1, 2, 3, 6} e x ∗ y = mdc(x, y)
(b) E = {1, 3, 9, 27} e x ∗ y = mmc(x, y)
(c) E = {1, i,−1,−i} e x ∗ y = x · y
7. Construa a tábua da operação ∗ definida sobre E = {∅, {a}, {b}, {a, b}}:
(a) x ∗ y = x ∪ y
(b) x ∗ y = x ∩ y
(c) x ∗ y = (x ∪ y)− (x ∩ y)
8. Construa as tábuas das operações ∗ e ∆ sobre E = {0, 1, 2, 3} definidas por:
(a) x ∗ y = resto da divisão em ZZ de x + y por 4
(b) x∆y = resto da divisão em ZZ de x · y por 4
9. A partir da tábua a seguir da operação ∆ sobre E = {1, 2, 3, 4}, calcule os seguintes compostos:
∆ 1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 1 2 3 4
3 1 3 4 2
4 1 4 2 3
(a) (3 ∆ 4)∆ 2
(b) 3 ∆ (4 ∆ 2)
(c) [4 ∆ (3 ∆ 3)] ∆ 4
(d) (4 ∆ 3) ∆ (3 ∆ 4)
(e) [(4 ∆ 3)∆ 3] ∆ 4
10. Construa a tábua da operação ◦ (composição) definida sobre o conjunto de funções reais
E = {f1, f2, f3, f4}, em que: f1(x) = 1
x
, f2(x) = −x, f3(x) = −1
x
e f4(x) = x.
Depois responda:
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(a) Qual é o elemento neutro?
(b) Que elementos têm simétrico?
(c) Quais são os valores dos compostos f 21 , f
−1
2 , f 33 e f 21 ◦ f −12 ◦ f 33 ?
11. Seja E = {0, 1} e seja E E o conjunto das aplicações de E em E. Construa a tábua da operação
de composição em E E.
12. A partir das tábuas construídas no exercício 6, responda:
(a) Que operações são comutativas?
(b) Que operações apresentam elemento neutro?
(c) Quais são os elementos simetrizáveis?
(d) Quais são os elementos regulares?
13. Construa a tábua da operação ∗ sobre o conjunto E = {a, b, c, d}, sabendo que:
(a) b é o elemento neutro;
(b) o simétrico de a é a;
(c) o simétrico de c é d;
(d) a ∗ c = d;
(e) todos os elementos de E são regulares.
14. Construa a tábua de uma operação ∗ sobre o conjunto E = {e, a, b, c} de modo a satisfazer
às seguintes condições:
(a) ∗ seja comutativa;
(b) e seja o elemento neutro;
(c) x ∗ a = a, ∀x;
(d) R∗(E) = E − {a}.
Tópico: Grupos
1. Quais dos conjuntos a seguir são grupos em relação à operação indicada?
(a) ZZ−, adição.
(b) ZZ+ , multiplicação.
(c) A = {x ∈ ZZ /x é par }, adição.
(d) B = {x ∈ ZZ /x é ímpar }, multiplicação.
(e) C = {−2,−1, 0, 1, 2}, adição.
(f) D = {1,−1}, multiplicação.
2. Mostre que IR munido da operação ∆ definida por x∆y = x+ y − 3 é um grupo comutativo.
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3. Mostre que Q[
√
2] = {a + b√2 / a, b ∈ Q} é um grupo aditivo abeliano.
4. Mostre IR× IR−{(0, 0)} munido da operação ∆ definida por (a, b)∆(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
é um grupo abeliano.
5. Verifique se ZZ × ZZ é um grupo em relação a cada uma das seguintes leis de composição
internas:
(a) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d)
(b) (a, b)∆(c, d) = (a · c, b · d)
6. Mostre que Q ∗ ×Q munido da operação ∗ definida por
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + d)
é um grupo.
7. Construa a tábua da operação ∗ sobre G = {e, a, b} sabendo que (G, ∗) é um grupo.
8. Sejam a, b, c elementos de um grupo multiplicativoG. Prove que (abc)−1 = c−1b 1a−1.Obtenha
x ∈ G tal que abcxb = c.
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