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Propriedades de Esperanc¸a Matema´tica
Teorema 1 Se a e b sa˜o constantes e X uma v.a., enta˜o,
E(aX + b) = aE(X) + b
Corola´rio 1 Se a = 0, tem-se E(b) = b, isto e´, a esperanc¸a de
uma constante e´ a pro´pria constante.
Corola´rio 2 Se b = 0, tem-se E(aX) = aE(X), isto e´, a esperanc¸a
do produto de uma constante por uma v.a. e´ o produto da
constante pela esperanc¸a da v.a.
28
Teorema 2 - Teorema da soma Se X e Y sa˜o duas v.a. quaisquer,
enta˜o,
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Esse teorema generaliza-se para n varia´veis
E(X1 +X2 + . . .+Xn) = E(X1) + E(X2) + . . .+ E(Xn)
Teorema 3 - Teorema do produto Se X e Y sa˜o duas v.a. inde-
pendentes, enta˜o,
E(XY ) = E(X)E(Y )
Esse teorema generaliza-se para n varia´veis independentes
E(X1X2 . . . Xn) = E(X1)E(X2) . . . E(Xn)
29
Propriedades de variaˆncia e covariaˆncia
Teorema 1 Se X e´ uma v.a. e k uma constante, enta˜o,
V ar(kX) = k2V ar(X)
Teorema 2 Se X e Y sa˜o duas v.a., enta˜o,
V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y )± 2Cov(X,Y )
Se X e Y forem independentes, enta˜o,
V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y )
e, no caso de n varia´veis independentes, tem-se
V ar(X1 +X2 + . . .+Xn) = V ar(X1) + V ar(X2) + . . .+ V ar(Xn)
40
Teorema 3 Se k e´ uma constante, enta˜o,
V ar(k) = 0
Teorema 4 Se k e´ uma constante e X, Y e Z sa˜o v.a., enta˜o,
Cov(X + Y, Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y, Z)
Cov(kX, Y ) = Cov(X, kY ) = kCov(X,Y )
Cov(k,X) = Cov(X, k) = 0
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