GabaritoG4-2011-2

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G4 de MAT1158 – Cálculo B – 3 de Dezembro de 2011 
Não escreva nesta folha pois ela não precisará ser entregue. 
 
1. Seja 
 
 
 onde 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
 . 
 logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
2. 
a. Calcule 
 Bom, 
 e 
logo é preciso reescrever 
 
 
 
 
 agora tanto 
numerador quanto denominador vão a infinito e podemos usar l´ hospital, 
portanto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Calcule o volume do sólido infinito obtido girando em torno do eixo a região 
limitada pela curva a reta , e o próprio eixo 
 
Calculando o volume por discos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calculando o 
volume por cascas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Note que é 
calculado por partes com 
 
 
 e 
 
 
 ) 
 
3. Seja 
a. Faça o gráfico de e conclua que para todo . 
 
 que é positiva para x>0 e 
negativa para x<0 pois 
ou seja, o ponto é mínimo global e f é 
positiva em todo seu domínio. 
 logo concavidade para cima em todo 
domínio.
b. Seja 
 
 
 Faça o gráfico de e use o item anterior para mostrar 
que crescente. Como temos que g é crescente 
em todo seu domínio. 
 
 apenas para 
 ou seja, concavidade para 
cima apenas quando . 
c. Considere os gráficos e 
 
 
. Quantos pontos de interseção tem 
estas curvas? As interseções destas duas curvas são as raízes da função 
 
 
 
, que por ser estritamente crescente, possui apenas uma raiz, logo haverá 
apenas um ponto de interseção. Bom, para negativo, há um ponto de 
interseção, mas para positivo não, pois 
 
 
 
 
d. Ache tal que as curvas e tenham pelo menos dois 
pontos de interseção quando . Escolha por exemplo, neste caso 
 
 
 
 Usando a sugestão e calculando 
 
 
 
 
 
 Sabemos que 
 
 
 usando l’hospital e 
 
 logo 
 e a exponencial “ultrapassa” 
novamente. 
 
4. (2,5) Uma barragem vertical tem um portão semielíptico. Calcule a força hidrostática 
contra o portão. O semieixo maior da elipse mede 2 m e o menor, 1 m. A barragem 
tem 12 m de altura e o nível da água está 2 m abaixo da superfície. Neste caso, 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
A força hidrostática 
é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira integral é resolvida substituindo 
 e 
 
 
 
 
 
 
A segunda integral é resolvida substituindo e 
 
 
 
 
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