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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA 
GERÊNCIA EDUCACIONAL DE ELETRÔNICA 
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DIGITAIS 
 
 
 
 
 
 
LÓGICA COMBINACIONAL 
 
 
Prof. Wilson B. Zapelini, Dr. 
 
 
 
FLORIANÓPOLIS 
2003 
 
 
 
 1
 
 
SUMÁRIO Página 
1 Lógica 2 
1.1 Introdução 2 
1.2 Principais características da lógica formal 2 
1.3 O silogismo 5 
1.4 Lógicas não clássicas 7 
1.5 A dualidade do pensamento 8 
1.6 A multiplicidade do pensamento 8 
2. Álgebra booleana 9 
2.1 Introdução - princípios 9 
 2.2 Funções e portas (Gates) lógicas 10 
 2.3 Descrição booleana de circuitos lógicos e de chaveamento 15 
 2.4 Implementação de circuitos a partir expressões booleanas 16 
 2.5 Representação booleana através da tabela da verdade 17 
3. Minimização de Expressões 19 
 3.1 Método algébrico 19 
 3.2 Método do diagrama de Veitch-Karnaugh 21 
 3.3 Método de Quine-McCluskey 26 
4. Solução de problemas por lógica combinacional 28 
 4.1 Sistemas digitais e sistemas analógicos 28 
 4.2 Sistemas combinacionais e sistemas seqüenciais 28 
 4.3 Especificação e implementação de um projeto 29 
 4.4 Níveis de implementação de um sistema digital 30 
 4.5 Resolução de projetos de sistemas digitais 31 
 4.6 Fluxograma para desenvolvimento de projetos digitais 32 
5. Sistemas numéricos e Códigos 35 
 5.1 Sistemas de numeração 35 
 5.2 Códigos 42 
 5.3 Codificador decimal/binário 44 
 5.4 Decodificador para display de 7 segmentos 46 
6. Circuitos aritméticos 50 
 6.1 Representação binária de números inteiros 50 
 6.2 Adição e subtração binária 52 
 6.3 Adição e subtração em BCD 53 
 6.4 Multiplicação e divisão binária 55 
 6.5 Meio somador 55 
 6.6 Somador completo 55 
 6.7 Meio subtrator 56 
 6.8 Subtrator completo 57 
 6.9 Somador/subtrator binário 57 
 6.10 Somador/subtrator binário usando complemento de 2 58 
 6.11 Unidade Lógica e Aritmética (ULA) 59 
7. Circuitos multiplex e demultiplex 62 
 7.1 Multiplex 62 
 7.2 Demultiplex 66 
 7.3 Multiplex e Demultiplex utilizados na transmissão de dados 69 
 Experimentos 72 
 Referências Bibliográficas 81 
 
 
 2
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA 
GERÊNCIA EDUCACIONAL DE ELETRÔNICA 
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DIGITAIS 
UNIDADE DE ENSINO: LÓGICA COMBINACIONAL 
 
 
1 LÓGICA 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
A lógica ocupa um lugar de destaque no pensamento contemporâneo, tanto por sua 
importância filosófica, como por suas implicações técnicas. 
 
A relação entre a lógica e a realidade foi sempre uma das mais importantes questões da 
filosofia e, através dessa, da teoria das ciências. Nascida na Grécia clássica, a lógica 
formal tendeu sempre a assumir o caráter de disciplina exata, terminando por se fundir 
intimamente com a matemática. 
 
A palavra lógica é familiar, pois freqüentemente, fala-se em comportamento lógico, 
explicação lógica, espírito lógico. Lógica, no sentido epistemológico, vem do latim logica, 
ciência das leis do raciocínio. É usada, fundamentalmente, na mesma acepção de 
razoável. 
 
O estudo da lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio 
correto do incorreto. Naturalmente, não se pretende afirmar que só é possível argumentar 
corretamente com alguém que tenha estudado lógica. No entanto, uma pessoa com 
conhecimentos de lógica tem mais probabilidades de raciocinar corretamente do que 
aquela que não se aprofundou nos princípios gerais implicados nessa atividade. 
 
1.2 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA LÓGICA FORMAL 
 
A lógica caracteriza-se como: 
• Instrumental: é o instrumento do pensamento para pensar corretamente e verificar a 
correção do que está sendo pensado; 
• Formal: não se ocupa com os conteúdos ou com os objetos referidos pelo 
pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressas 
através da linguagem. 
• Propedêutica: é o que devemos conhecer antes de iniciar uma investigação científica 
ou filosófica, pois somente ela pode indicar os procedimentos (métodos, raciocínios, 
demonstrações) que devemos empregar para cada modalidade de conhecimento; 
• Normativa: fornece princípios, leis, regras e normas que todo pensamento deve seguir 
se quiser ser verdadeiro; 
• Doutrina da prova: estabelece as condições e os fundamentos necessários de todas 
as demonstrações; 
• Geral e temporal: as formas do pensamento, seus princípios e suas leis não 
dependem do tempo e do lugar, nem das pessoas e circunstâncias, mas são 
universais, necessárias e imutáveis como a própria razão. 
 
O objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem, os juízos 
formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito: 
S é P. O encadeamento dos juízos constitui o raciocínio e este se exprime logicamente 
através da conexão de proposições, chamada silogismo. A lógica estuda os elementos 
que constituem uma proposição (as categorias), os tipos de proposições e de silogismos 
 3
e os princípios necessários a que toda proposição e todo silogismo devem obedecer para 
serem verdadeiros. 
 
Na proposição, as categorias ou termos são os predicados atribuídos a um sujeito. O 
sujeito (S) é uma substância; os predicados (P) são as propriedades atribuídas ao sujeito; 
a atribuição ou predicação se faz por meio do verbo de ligação ser. Ex: Pedro é alto. 
 
A proposição é um discurso declarativo que enuncia ou declara verbalmente o que foi 
pensado e relacionado pelo juízo. A proposição reúne ou separa verbalmente o que o 
juízo reuniu ou separou mentalmente. 
 
A reunião ou separação dos termos recebe o valor de verdade ou de falsidade quando o 
que foi reunido ou separado em pensamento e linguagem está reunido ou separado na 
realidade (verdade), ou quando o que foi reunido ou separado em pensamento e 
linguagem não está reunido ou separado em realidade (falsidade). A reunião se faz pela 
afirmação (S é P). A separação se faz pela negação (S não é P). 
 
A proposição representa o juízo (coloca o pensamento na linguagem) e a realidade 
(declara o que está unido e o que está separado). 
 
Do ponto de vista do sujeito, existem dois tipos de proposições: 
- existencial: declara a existência, posição, ação ou paixão do sujeito. Ex: “Um homem 
é (existe)”; “Um homem anda”. E suas negativas: “Um homem não é (não existe)”; “Um 
homem não anda”. 
- predicativa: declara a atribuição de alguma coisa a um sujeito por meio da ligação é. 
Ex: “Um homem é justo”; Um homem não é justo”. 
 
As proposições se classificam segundo a qualidade e a quantidade. Do ponto de vista da 
qualidade, as proposições se dividem em: 
- afirmativas: as que atribuem alguma coisa a um sujeito: S é P. 
- negativas: as que separam o sujeito de alguma coisa: S não é P. 
 
Do ponto de vista da quantidade, as proposições se dividem em: 
- universais: quando o predicado se refere à extensão total do sujeito, afirmativamente 
(todos os S são P) ou negativamente (nenhum S é P); 
- particulares: quando o predicado é atribuído a uma parte da extensão do sujeito, 
afirmativamente (alguns S são P) ou negativamente (alguns S não são P); 
- singulares: quando o predicado é atribuído a um único indivíduo, afirmativamente 
(este S é P) ou negativamente (este S não é P). 
 
As proposições também se distinguem pela modalidade, sendo classificadas como: 
- necessárias: quando o predicado está incluído na essência do sujeito, fazendo parte 
dessa essência. Ex: “Todo triângulo é uma figura de três lados”. 
- não-necessárias ou impossíveis: quando o predicado não pode, de modo algum, ser 
atribuído ao sujeito. Ex: “Nenhum triângulo é figura de quatro lados”. 
- possíveis:quando o predicado pode ser ou deixar de ser atribuído ao sujeito. Ex: 
“Alguns homens são justos”. 
 
Como todo pensamento e todo juízo, a proposição está submetida aos três princípios 
lógicos fundamentais , condições de toda a verdade: 
1. Princípio da identidade: um ser é sempre idêntico a si mesmo: A é A; 
“O que é, é; o que não é, não é”. 
2. Princípio da não-contradição: é impossível que um ser seja e não seja idêntico a si 
mesmo ao mesmo tempo e na mesma relação. É impossível A é A e não-A; 
 4
“O que é não é o que não é”. 
3. Princípio do terceiro excluído: das duas proposições com o mesmo sujeito e o 
mesmo predicado, uma afirmativa e outra negativa, uma delas é necessariamente 
verdadeira e a outra necessariamente falsa. A é x ou não-x, não havendo terceira 
possibilidade. 
 
Através destes princípios, as proposições podem ainda ser classificadas segundo a 
relação em: 
- contraditórias: quando se tem o mesmo sujeito e o mesmo predicado, uma das 
proposições é universal afirmativa (todos os S são P) e a outra é particular negativa 
(alguns S não são P); ou quando se tem uma universal negativa (nenhum S é P) e 
uma particular afirmativa (alguns S são P); 
- contrárias: quando, tendo o mesmo sujeito e o mesmo predicado, uma das 
proposições é universal afirmativa (todo S é P) e a outra é universal negativa (nenhum 
S é P); ou quando uma das proposições é particular afirmativa (alguns S são P) e a 
outra é particular negativa (alguns S não são P); 
- subalternas: quando uma universal afirmativa subordina uma particular afirmativa de 
mesmo sujeito e predicado, ou quando uma universal negativa subordina uma 
particular negativa de mesmo sujeito e predicado. 
 
Os lógicos medievais criaram uma figura, conhecida como o quadrado dos opostos, na 
qual pode-se visualizar as proposições segundo a qualidade, a quantidade, a modalidade 
e a relação. As vogais indicam a qualidade e a qualidade. 
 
 
 A contrárias E 
 
 
 
 contraditórias 
 
 
 
 
 I sub-contrárias O 
 
Universal afirmativa Universal negativa 
Todos os homens são sábios (A) ---- Todos os homens não são sábios (E) 
 
Particular afirmativa Particular negativa 
Alguns homens são sábios ( I ) ---- Alguns homens não são sábios (O) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 s
ub
al
te
rn
as
 
 s
ub
al
te
rn
as
 
 5
Pode-se utilizar os diagramas lógicos de Euler/Venn para visualizar as relações entre 
conjuntos, onde se associa cada termo a uma região do plano, limitado por uma curva 
fechada. 
 
 
A - Proposição universal afirmativa E - Proposição universal negativa 
 Todos os X são Y Nenhum X é Y 
 
 
 
 
 
 
 
 I - Proposição particular afirmativa O - Proposição particular negativa 
 Algum X é Y Algum X é não-Y (algum X não é Y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 O SILOGISMO 
 
Aristóteles elaborou uma teoria do raciocínio como inferência. Inferir é tirar uma 
proposição como conclusão de uma outra ou de várias outras proposições que a 
antecedem e são sua explicação ou sua causa. O raciocínio é uma operação do 
pensamento realizada por meio de juízos e enunciada lingüística e logicamente pelas 
proposições encadeadas, formando um silogismo. Raciocínio e silogismo são operações 
mediatas de conhecimento, pois a inferência significa que só conhecemos alguma coisa 
(a conclusão) por meio ou pela mediação de outras coisas. A teoria aristotélica do 
silogismo é o coração da lógica, pois é a teoria das demonstrações ou das provas, da 
qual depende o pensamento científico e filosófico. 
 
O silogismo possui três características principais: 
a) Mediato: exige um percurso de pensamento e de linguagem para que se possa 
chegar a uma conclusão; 
b) Dedutivo: movimento de pensamento e de linguagem que parte de certas afirmações 
verdadeiras para chegar a outras também verdadeiras e que dependem 
necessariamente das primeiras; 
c) Necessário: porque é dedutivo (as conseqüências a que se chega na conclusão 
resultam necessariamente da verdade do ponto de partida). 
 
Exemplo mais famoso de silogismo: 
Todos os homens são mortais. 
Sócrates é homem. 
Logo, 
Sócrates é mortal. 
Y 
X 
YY 
Y
X 
X 
X 
 6
Um silogismo é constituído de três proposições. A primeira é chamada de premissa 
maior, a segunda, de premissa menor e a terceira, de conclusão, inferida das 
premissas pela mediação de um termo chamado termo médio. As premissas possuem 
termos chamados extremos e a função do termo médio é ligar os extremos. Essa ligação 
é a inferência ou dedução e sem ela não há raciocínio nem demonstração. Por isso, a arte 
do silogismo consiste em saber encontrar o termo médio que ligará os extremos e 
permitirá chegar à conclusão. 
 
O silogismo deve obedecer a um conjunto complexo de regras para chegar a uma 
conclusão verdadeira, os quais são apresentadas a seguir as mais importantes. 
ƒ A premissa maior deve conter o termo extremo maior (mortais) e o termo médio 
(homens); 
ƒ A premissa menor deve conter o termo extremo menor (Sócrates) e o termo médio 
(homem); 
ƒ A conclusão deve conter o maior (Sócrates) e o menor (mortal) e jamais deve conter o 
termo médio (homem). Sendo função do médio ligar os extremos, deve estar nas 
premissas, mas nunca na conclusão. 
 
Portanto, a idéia geral da dedução ou inferência silogística é: 
A é verdade de B. 
B é verdade de C. 
Logo, A é verdade de C. 
 
Pode a inferência silogística ser construída com negativas: 
Nenhum anjo é mortal (A é verdade de B). 
Miguel é anjo (B é verdade de C). 
Logo, Miguel não é mortal (A é verdade de C). 
 
Exemplos de enunciados, checando se é um argumento e identificando as 
premissas e conclusão: 
 
a) Ele é Leão, pois nasceu na primeira semana de agosto. 
 Premissa: Ele nasceu na primeira semana de agosto. 
 Conclusão: Ele é Leão. 
 
b) Eu não quero ir para cama, mamãe. O filme ainda não acabou. 
 Premissa: O filme ainda não acabou. 
 Conclusão: Eu não quero ir para cama. 
 
c) Nos Estados Unidos muitas pessoas não sabem se o seu país apóia ou se opõe ao 
governo da Nicarágua. 
 Não é um argumento. 
 
Exercícios: Alguns dos enunciados seguintes são argumentos. Identifique as suas 
premissas e a sua conclusão. 
 
a) A economia não pode ser melhorada. O déficit comercial está crescendo todo dia. 
b) Nós estávamos superados em número e em armas pelo inimigo, e suas tropas estavam 
constantemente sendo reforçadas enquanto as nossas forças estavam diminuindo. 
Assim, um ataque direto teria sido suicida. 
c) Ele está respirando e, portanto, está vivo. 
d) Há alguém, aqui, que entende este documento? 
e) As pessoas talentosas como você deveriam receber uma educação superior. Vá para a 
faculdade! 
 7
 
1.4 LÓGICAS NÃO-CLÁSSICAS 
 
A lógica de dois valores: verdadeiro-falso é dita clássica, com axiomas que traduzem, com 
certa fidelidade, a argumentação corriqueira. Entretanto, foi sendo, aos poucos, 
considerada insuficiente para o entendimento de situações. Surgem outras lógicas que 
utilizam diferentes axiomas, diferentes valores e diferentes classificações para as 
sentenças. 
 
1.4.1 LÓGICA TRIVALENTE 
 
A lógica trivalente nasce da contemplação de sentenças que não sejam definitivamente 
verdadeiras nem falsas, podendo admitir um terceiro status: indeterminação ou 
neutralidade. 
 
O terceiro estado, aquele que é indiferente ao sim e ao não, pode ser exemplificado numa 
forma mais concreta. Uma tomada deenergia elétrica pode suprir a demanda de um 
aparelho que pode estar ligado ou desligado; mas pode também, ocorrer a falta de 
energia elétrica. Nesse caso, nenhum dos dois estado está presente, mas sim uma 
indiferença perante as duas possibilidades. 
 
Tal lógica encontra ampla aplicação nos circuitos de microprocessadores, rebatizada de 
tri-state. Os chamados circuitos integrados possuem três estados possíveis na saída: um, 
zero e desabilitado. 
 
1.4.2 LÓGICA PLURIVALENTE OU POLIVALENTE 
 
Um novo aperfeiçoamento da lógica formal, com uma classificação mais complicada, que 
leva em conta modalidades, como: 
- Certamente verdadeiro 
- Provavelmente verdadeiro 
- Indiferente 
- Provavelmente falso 
- Certamente falso 
 
1.4.3 LÓGICA DIFUSA (FUZZY LOGIC) 
 
A teoria da fuzzy logic foi desenvolvida por Lotfi Zadeh e permite que seja aplicada em 
máquinas/computadores processando informações vagas em termos relativos. Quando 
aplicada num equipamento, age como se um operador experiente estivesse presente em 
seu interior. Tem sua aplicação nos chamados sistemas especialistas, estabelecida por 
linguagem denominada inteligência artificial. 
 
Linguagens convencionais trabalham com informações do tipo sim ou não, podendo 
responder sem problemas se uma pessoa é homem ou mulher. Porém, haveria uma 
desorientação diante de uma questão mais vaga, como: a pessoa é alta? Se o 
computador for instruído para considerar alto quem tiver mais de 1,80 m, então ele vai 
classificar como baixo quem tiver 1,75 m. Entretanto, uma pessoa com 1,75 m é 
razoavelmente alta. Dessa forma, a linguagem utilizada não seria condizente para a 
questão proposta. 
 
Os sistemas especialistas utilizam técnicas específicas que codificam o conhecimento 
num conjunto de regras que, usadas por qualquer pessoa, permitem obter respostas a 
 8
problemas relacionados a um determinado assunto. Devem estabelecer uma ajuda 
preciosa no diagnóstico, na concepção e na resolução de problemas. 
 
O conhecimento heurístico é o mais difícil de obter porque os especialistas raramente 
conseguem defini-lo. A representação do conhecimento num computador necessita de um 
procedimento de inferência, isto é, um método de raciocínio que utiliza o conhecimento 
juntamente com os dados do problema. O termo heurística deriva da mesma raiz grega de 
heureca (descobrir) e se refere às regras de aprender com a prática ou pela boa 
estimativa, ou ainda, pelo bom senso. 
 
O grande desafio dos cientistas que desenvolvem inteligência artificial é criar programas 
que aprendam com a experiência, isto é, criem conhecimento a partir do conhecimento 
que lhes foi fornecido. 
 
 
1.5 A DUALIDADE DO PENSAMENTO 
 
• Desenvolvimento do pensamento: teses e antíteses definem a síntese 
• Dualidade está profundamente ligada à própria consciência existencial humana: 
 - palavras e seus antônimos 
 - conceitos de afirmação e negação 
 - questões filosóficas: - yin e yang da milenar sabedoria oriental 
 - ter ou não ter do mundo capitalista 
• A concepção e diferenciação do pensamento dual no homem: 
 ocidental: determina por exclusão – é bom ou é ruim, é positivo ou é negativo 
 oriental: determina por associação – é bom e é ruim, é positivo e é negativo 
• Maniqueísmo (doutrina persa Mani/Manes): uma deturpação do dualismo(?) 
• Percepção do oriental: dois pólos estão presentes em qualquer situação ou objeto. 
Qual polaridade é determinante dependerá de quem vê ou sente 
• A estrutura biológica do pensamento: interligações entre neurônios (sinapses) ocorrem 
em série 
• A formação das estruturas mentais: através de agrupamentos seqüenciais de 
alternativas binárias 
• A complexidade da natureza humana inviabiliza sua reprodução artificial-clone 
• A questão de deter consciência inviabiliza a ação inteligente numa máquina 
• A memória muscular - todo corpo possui a característica de restabelecer ou recuperar 
sua antiga situação (tratamentos de Ortopedia e Ortodontia) 
• O homem condiciona-se a determinados procedimentos mentais que são programados 
pela máquina 
 
 
1.6 A MULTIPLICIDADE DO PENSAMENTO 
 
• Quando as idéias não obedecem à lógica dual: no amor e no ódio 
Apesar de complementares, rompem com qualquer princípio lógico 
• As pessoas agem de forma diversificada, têm comportamentos diferenciados em 
situações distintas 
Pode-se ter um lado romântico, artístico, sensitivo que convive com outro racional, 
objetivo, frio, prático 
 
 
 
 
 9
 
2 ÁLGEBRA BOOLEANA 
 
2.1 INTRODUÇÃO - PRINCÍPIOS 
 
O período contemporâneo da lógica tem suas raízes estabelecidas nos trabalhos de 
George Boole (1815-1864), que imprime novos rumos para a matéria com sua obra 
Investigations of the laws of thought, publicada em 1854, onde compara as leis do 
pensamento com as leis da álgebra. Boole atribuiu grande importância à sua álgebra, 
imaginando que poderia provar as mais notáveis leis lógicas. 
 
A álgebra booleana difere da álgebra convencional no sentido de que esta trata de 
relações quantitativas, ao passo que a primeira se refere a relações lógicas. Na álgebra 
convencional utilizam-se quantidades simbólicas tais como x, y para representar números. 
Na solução de problemas algébricos, geralmente há interesse em saber o tamanho de x, 
ou se x é maior que y, ou outra informação qualquer relacionada com quantidades. Por 
outro lado, na álgebra booleana existe o interesse de conhecer um dos dois estados 
possíveis de um termo simbólico. Por exemplo, quando é usada em lógica filosófica, 
deseja-se saber se um enunciado pode assumir valores como falso ou verdadeiro. Um 
outro exemplo pode ser encontrado na lógica digital, quando se deseja saber se um termo 
algébrico apresenta valor um ou zero. 
 
Na álgebra da lógica, segundo Boole, a lei: x.x = x é verdadeira para quaisquer valores 
de x, uma vez que a classe formada com objetos que pertencem à classe x e com objetos 
que pertencem a classe x, é a própria classe x. Todavia, na álgebra essa lei não é 
geralmente válida. A equação x2 = x tem duas soluções apenas, a saber x=0 e x=1. 
Levando em conta esse fato, o pensador conclui que na álgebra da lógica são válidas as 
leis da álgebra matemática quando os valores de x se limitam a 0 e 1. Assim, com tal 
restrição, x.x = x é verdadeira para todos os valores da variável (restritos ao par 0,1). 
 
Na sua álgebra da lógica, Boole interpretou os símbolos 0 e 1 como classes especiais, de 
modo que 1 representa a classe de todos os objetos (o universo) e 0 representa a classe 
a que nenhum objeto pertença (a classe vazia). 
 
Boole apresentou a adição e a subtração em sua lógica, interpretadas de um modo 
especial. Assim, x – y é a classe formada com os objetos da classe x, retirados os objetos 
da classe y. Por exemplo, se x é a classe dos homens e y a dos europeus, x – y é a 
classe dos homens não-europeus. De modo perfeitamente adequado, 1 – x seria a classe 
constituída por todos os objetos (do universo) que não fizessem parte da classe x. 
 
As igualdades eram, a seguir, tratadas por Boole de modo matemático. De x.x = x, por 
exemplo, subtraindo x em cada membro da expressão, viria: x – x.x = x – x 
Ou seja: x (1 – x) = 0 que é a legítima inferência , como se depreende de um exemplo 
facilmente compreensível, visto a seguir. 
 
Se x é a classe dos homens, então, 1 – x é a classe dos objetos que não são homens. O 
produto de x por 1 – x deve ser igual a zero, a classe vazia, pois que não pode haver 
objeto simultaneamente homem e não homem. Esse princípio é, para Boole, uma 
formulação do princípio da não contradição, isto é, nenhum objeto pode ter duas 
propriedades contraditórias. 
 
 
 
 
 10
2.2 FUNÇÕES E PORTAS (GATES) LÓGICAS 
 
A álgebra de Boole é um sistema algébrico que consiste do conjunto {0, 1}; de duas 
operaçõesbinárias: OU (+) chamada adição lógica ou união e E (x) chamada produto 
lógico ou interseção; e de uma operação unária NÃO (barra sobreposta) chamada 
complementação lógica ou inversão. 
 
É importante destacar que um circuito lógico é definido como um circuito construído com 
vários dispositivos lógicos para a realização de operações com funções de verdade. Os 
dispositivos utilizados na construção destes circuitos variam com o estágio da tecnologia. 
Por esta razão, é conveniente não se ater a questões referentes a componentes, mas sim 
abordar circuitos lógicos em sua expressão universal como, por exemplo, os circuitos de 
chaveamento, os quais serão aqui tratados. 
 
 
2.2.1 FUNÇÃO E (AND) 
 
Executa o produto lógico de duas ou mais variáveis booleanas. 
 
Expressão 
 
 (lê-se: A e B) 
 
Circuito de chaveamento Tabela da verdade 
 
 
A B A B S 
 0 0 0 
 S 0 1 0 
 1 0 0 
 1 1 1 
 
 
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando todas as entradas forem iguais a um. 
 
 
Símbolo 
 
 A 
 S 
 B 
 
 
 
2.2.2 FUNÇÃO OU (OR) 
 
Executa a adição lógica de duas ou mais variáveis booleanas. 
 
Expressão 
 
 (lê-se: A ou B) 
 
 
 
S = A . B 
S = A + B 
 11
Circuito de chaveamento Tabela da verdade 
 A 
 
 B A B S 
 0 0 0 
 S 0 1 1 
 1 0 1 
 1 1 1 
 
 
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando uma ou mais entradas forem iguais a 
um. 
 
 Símbolo 
 A 
 S 
 B 
 
 
 
2.2.3 FUNÇÃO NÃO (NOT) OU INVERSORA 
 
Executa a complementação lógica ou inversão de uma variável booleana. 
 
Expressão 
 
 (lê-se: A barra) 
 
 
Circuito de chaveamento Tabela da verdade 
 
 
 R A S 
 0 1 
 A S 1 0 
 
 
 
 
Lógica: A saída terá nível lógico inverso ao da entrada. 
 
Símbolo 
 A ______ S 
 
 
 
2.2.4 FUNÇÃO NÃO-E (NAND) 
 
Executa a complementação da multiplicação lógica de duas ou mais variáveis booleanas. 
 
Expressão 
 
 (lê-se: A e B barrados) 
 
 _ 
S = A 
 ____ 
S = A . B 
 12
Circuito de chaveamento Tabela da verdade 
 
 
 R A A B S 
 0 0 1 
 S 0 1 1 
 B 1 0 1 
 1 1 0 
 
 
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando uma ou mais entradas forem iguais a 
zero. 
 
Símbolo 
 A 
 S 
 B 
 
 
2.2.5 FUNÇÃO NÃO-OU (NOR) 
 
Executa a complementação da adição lógica de duas ou mais variáveis booleanas. 
 
Expressão 
 
 (lê-se: A ou B barrados) 
 
 
Circuito de chaveamento Tabela da verdade 
 
 
 R A B S 
 0 0 1 
 A B S 0 1 0 
 1 0 0 
 1 1 0 
 
 
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando todas as entradas forem iguais a zero. 
 
Símbolo 
 A 
 S 
 B 
 
 
 
2.2.6 FUNÇÃO OU-EXCLUSIVO (EXOR – EXCLUSIVE OR) 
 
Expressão 
 
 (lê-se: A ou exclusivo B) 
 
 
 ____ 
S = A + B 
 _ _ 
S = A.B + A.B = A ⊕ B 
 13
Circuito equivalente 
 
 Tabela da verdade 
A B S 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
 
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando as entradas forem diferentes entre si. 
 
Símbolo 
 A 
 S 
 B 
 
 
 
2.2.7 FUNÇÃO COINCIDÊNCIA (NÃO OU-EXCLUSIVO - EXCLUSIVE NOR) 
 
Expressão 
 
 (lê-se: A coincidência B) 
 
 
 
Circuito equivalente 
 
 Tabela da verdade 
A B S 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
 
 
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando as entradas forem iguais entre si. 
 _ _ 
S = A.B + A.B = A ⊗ B = BA ⊕
 14
 
Símbolo 
 A 
 S 
 B 
 
 
 
2.2.8 INTERLIGAÇÃO DE BLOCOS OU-EXCLUSIVO E COINCIDÊNCIA PARA N 
VARIÁVEIS 
 
 
2.2.9 EQUIVALÊNCIA DE PORTAS LÓGICAS 
 _ 
a) Porta lógica Inversora (S = A) 
 
 
 
b) Porta lógica E (S = A.B) 
 15
 
c) Porta lógica OU (S = A + B) 
 ___ 
d) Porta lógica NÃO-E (S = A.B) 
 
 ____ 
e) Porta lógica NÃO-OU (S = A + B) 
 
 
2.3 DESCRIÇÃO BOOLEANA DE CIRCUITOS LÓGICOS E DE CHAVEAMENTO 
 
Todo circuito lógico pode ser completamente descrito através de operações booleanas. A 
regra para a composição de uma expressão lógica é a mesma que se utiliza na álgebra 
comum para determinar a ordem das operações. 
 
Exercícios 
 
1) Escrever as expressões lógicas dos circuitos constituídos de portas lógicas abaixo. 
 
 16
 
 
2) Obter as expressões lógicas dos circuitos de chaveamento abaixo. 
 
H
G
LK
JI
F
E
DC
BA
DB
CA
DC
BA
 
 
 
2.4 IMPLEMENTAÇÃO DE CIRCUITOS A PARTIR DE EXPRESSÕES BOOLEANAS 
 
A partir de uma expressão booleana que define a operação de um circuito, pode-se 
construir este circuito utilizando-se de procedimento inverso ao item anterior. 
 
Exercícios 
1) Desenhar os circuitos com portas lógicas a partir das expressões lógicas abaixo: 
 
 17
 ------- ----- _ 
a) S = (A+B).C.(B+D) d) S = [(A + B) + (C.D)].E 
 ------ ----- _ _ _ 
b) S = A.B.C + (A+B).C e) S = [(A.B) + (C.D)].E + [(A.D.E) + (C.D.E)].A 
 ------------- 
c) S = (A.B + C.D) 
 
2) Desenhar os circuitos de chaveamento a partir das expressões lógicas abaixo. 
 
a) S = [A.(B+C).D] + E.(F+G+H) 
 
b) S = A .F.(C.E + B) + D.{[G.(H+I)] + J + K.L} 
 
 
 
2.5 REPRESENTAÇÃO BOOLEANA ATRAVÉS DA TABELA DA VERDADE 
 
O estudo de uma função booleana pode ser efetuado com o uso da tabela da verdade, 
onde se posicionam todas as situações possíveis e resultados assumidos de uma dada 
expressão lógica. 
 
 
2.5.1 TABELA DA VERDADE A PARTIR DA EXPRESSÃO BOOLEANA 
 
a) Estrutura-se a tabela a partir do número de variáveis da expressão booleana, 
estabelecendo todas as possibilidades; 
b) Incorporam-se as colunas correspondentes a cada membro da expressão; 
c) Preenchem-se as colunas com os resultados parciais e final.Exercícios 
 
1) A partir da expressão lógica, obtenha a tabela da verdade. 
 ___ 
a) S = (A + B).(B.C) 
b) S = A.B.C + A.D + A.B.D 
 
2) Demonstre através da tabela da verdade as seguintes igualdades/desigualdades: 
 _ _ ___ _ _ ____ _ _ ____ _ _ ___ 
a) A.B ≠ A.B b) A + B ≠ A + B c) A.B = A + B d) A + B = A.B 
 
 
2.5.2 EXPRESSÃO BOOLEANA A PARTIR DA TABELA DA VERDADE 
 
a) Os termos da expressão são obtidos a partir da coluna com valores da saída iguais 
a um; 
b) O valor de cada termo é expresso pela multiplicação lógica das variáveis, sendo 
que para nível lógico zero se expressa uma determinada variável A por A e para 
nível lógico um a mesma é expressa apenas por A. 
c) Por último, somam-se os termos obtidos, compondo a expressão lógica. 
 
 
 18
 
 
Exercícios 
Determine a expressão lógica para cada uma das saídas das tabelas da verdade abaixo. 
 
A B C S A B C D S 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 1 0 
0 1 0 1 0 0 1 0 0 
0 1 1 0 0 0 1 1 0 
1 0 0 0 0 1 0 0 1 
1 0 1 0 0 1 0 1 0 
1 1 0 1 0 1 1 0 1 
1 1 1 1 0 1 1 1 0 
 1 0 0 0 1 
 1 0 0 1 0 
 1 0 1 0 0 
 1 0 1 1 1 
 1 1 0 0 0 
 1 1 0 1 0 
 1 1 1 0 0 
 1 1 1 1 0 
 
 19
 
3 MINIMIZAÇÃO DE EXPRESSÕES 
 
Uma expressão booleana relativa a determinado circuito lógico pode ser reduzida a uma 
forma mais simples, isto é, uma expressão que contenha o menor número possível de 
termos e de respectivas variáveis em cada termo. Esta nova expressão deve resultar num 
circuito lógico com menos portas lógicas e menos conexões entre tais portas. 
 
Três métodos serão aqui abordados: método algébrico, método do diagrama de Veitch-
Karnaugh e método de Quine-McCluskey. 
 
 
3.1 MÉTODO ALGÉBRICO 
 
3.1.1 POSTULADOS 
 
a) Postulado da complementação 
 Se A=0, então: A =1 
 Se A=1, então: A =0 
 Identidade obtida: A =A 
b) Postulados da adição 
 0+0 = 0 Identidades obtidas: A+0=A 
 0+1 = 1 A+1=1 
 1+0 = 1 A+A=A 
 1+1 = 1 A+ A =1 
c) Postulados da multiplicação 
 0.0 = 0 Identidades obtidas: A.0=0 
 0.1 = 0 A.1=A 
 1.0 = 0 A.A=A 
 1.1 = 1 A. A =0 
 
3.1.2 PROPRIEDADES 
 
a) Propriedade Comutativa 
 Adição: A+B = B+A 
 Multiplicação: A.B = B.A 
b) Propriedade Associativa 
 Adição: A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C 
 Multiplicação: A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C 
c) Propriedade Distributiva 
 A.(B+C) = A.B + A.C 
 
3.1.3 TEOREMAS DE AUGUSTUS DE MORGAN 
 
a) O complemento do produto é igual a soma dos complementos. 
 BAB.A += 
 Para N variáveis: N...CBAN....C.B.A ++++= 
 
b) O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. 
 B.ABA =+ 
 Para N variáveis: N.....C.B.AN...CBA =++++ 
 
 20
 
3.1.4 IDENTIDADES AUXILIARES 
 
a) A + A.B = A 
 Demonstração: A+A.B = A.(1+B) = A.1 = A 
 
b) (A+B).(A+C) = A + B.C 
 Demonstração: (A+B).(A+C) = A.A + A.C + A.B + B.C = A + A.C + A.B + B.C 
 = A.(1+B+C) + B.C = A.1 + B.C = A + B.C 
 
c) BAB.AA +=+ 
 Demonstração: B.AA.A)B.(AA)B.A.(AB.AAB.AA +=+==+=+ 
 = BABAB.A +=+= 
 
3.1.5 SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA 
 
Os teoremas da álgebra booleana podem ser usados para simplificar uma expressão 
lógica. Entretanto, nem sempre são possíveis determinar quais os teoremas, postulados e 
propriedades que devem ser aplicados a uma determinada expressão, de modo a 
produzir o resultado mais simples. Além disso, não há uma regra para se determinar se a 
expressão já está em sua forma mais simples ou se ainda há mais simplificações a serem 
feitas. Sendo assim, muitas vezes, a simplificação algébrica se torna um processo de 
tentativa e erro. Com o tempo, pode-se começar a obter resultados razoavelmente bons 
com a aplicação desta metodologia. 
 
Dois passos podem ser descritos como essenciais na simplificação de determinada 
expressão booleana: 
a) A expressão original é colocada na forma de soma-de-produtos por aplicações 
repetidas dos teoremas de DeMorgan e pela multiplicação dos termos obtidos; 
b) Uma vez na forma de soma-de-produtos, os termos de cada produto são verificados de 
maneira a encontrar fatores comuns, sendo a fatoração executada, sempre que 
possível. Assim, a fatoração resultará na eliminação de dois ou mais termos. 
 
Exemplo 
 )C.A.(B.AC.B.AS += 
Simplificação algébrica 
a) Aplica-se o teorema de DeMorgan para eliminar as barras de complementação e após 
a multiplicação dos termos resultantes: 
 C).(AB.AC.B.A)CA.(B.AC.B.AS ++=++= 
 C.B.AB.AC.B.AC.B.AA.B.AC.B.AS ++=++= 
b) Com a expressão na forma de soma-de-produtos, procura-se por variáveis comuns 
entre os diversos termos da expressão, a fim de proceder a fatoração: 
 B.AC.AB.A)1.(C.AB.A)B.(BC.AS +=+=++= 
 )BA(CS += 
 
Exercícios 
Simplifique as expressões booleanas: 
 
a) C.B.AC.B.AS += 
 
 21
b) )CA).(CBA(S +++= 
 
c) )C.B.).(ACBA(S ++= 
 
d) B.AB.AB.AB.AAS ++++= 
 
e) CBAC.B.AS +++= 
 
f) B.AC.AC.B.AS ++= 
 
g) C.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC.B.AS ++++= 
 
h) C)BAC).(B(AS ++++= 
 
i) )D.C.A.(C]DBC.A[S +++= 
 
j) ])CBA.(D)C.(ABB).[(AS ++++⊕= 
 
k) Prove que: BABAS ⊕=⊗= 
 
l) Demonstre em portas ou-exclusivo: C.B.AC.B.AC.B.AC.B.AS +++= 
 
 
3.2 MÉTODO DO DIAGRAMA DE VEITCH-KARNAUGH 
 
É uma forma modificada da tabela da verdade, na qual as combinações das entradas 
estão arranjadas de uma forma particularmente conveniente. Portanto, é um método 
gráfico que usa o processo de mapeamento visual da função booleana a ser simplificada. 
Teoricamente o mapa de Karnaugh pode ser usado em problemas envolvendo qualquer 
número de variáveis de entrada, porém, sua utilização limita-se a circuitos com seis 
variáveis, no máximo. 
 
3.2.1 DIAGRAMA PARA 2 VARIÁVEIS 
 
 B B 
A B.A .BA 
A BA. A.B 
 
Método de simplificação 
• Agrupam-se as regiões onde S=1, no menor número possível de pares (conjunto de 2 
regiões vizinhas); 
• As regiões que não puderem ser agrupadas em pares serão tratadas isoladamente; 
• Verifica-se em cada par o valor da variável: se a mesma muda de valor lógico, é 
desprezada; se a variável mantém seu nível lógico, será o valor do par; 
• Escreve-se a expressão de cada par, isto é, o valor que o mesmo ocupa no diagrama; 
• Somam-se os pares e/ou termos isolados. 
Obs: A simplificação baseia-se na Identidade do Postulado da Adição: 1 A A =+ 
 
 22
Exemplos 
a) A.B BA. .BA S ++= 
 B B 
A 0 1 Expressão simplificada: S = A + B 
A 1 1 
 
 
Circuitos antes e após a simplificação 
 
 
 
b) BA. .BA B.A S ++= 
 B B 
A 1 1 Expressão simplificada: S = BA + 
A 1 0 
 
 
3.2.2 DIAGRAMA PARA 3 VARIÁVEIS 
 
 B B 
A C.B.A .CB.A .B.CA C.B.A
A C.BA. .CBA. A.B.C CA.B.
 C C C 
 
Método de simplificação 
• Localizam-se as quadras (agrupamento de 4 regiões) e escrevem-se suas expressões; 
• Localizam-se os pares e escrevem-se suas expressões, não considerando os pares já 
incluídos nas quadras. Todavia, pode-se ter um par formado por “1” externo à quadra 
e outro “1” pertencente à quadra; 
• Localizam-se os termos isolados que não puderam ser agrupados e escrevem-se suas 
expressões; 
• Somam-se as expressões das quadras, dos pares e dos termos isolados. 
Obs: O diagrama para 3 variáveis fecha-se nas laterais, como um cilindro. 
 
 
Exemplos 
a) CA.B. .CBA. C.BA. .B.CA .CB.AS ++++= 
 B B 
A 1 1 Expressão simplificada: CA. BA. .CA S ++= 
A 1 1 1 
 C C C ou: CA. .CB .CA S ++= 
 23
 
b) CA.B. .B.CA C.BA. C.B.A C.B.A S ++++= 
 B B 
A 1 1 1 Expressão simplificada: .BA C S += 
A 1 1 
 C C C 
 
 
Exercícios: Simplifique as expressões lógicas abaixo 
a) A.B.C .CBA. .B.CA .CB.A C.B.A S ++++= 
b) CA.B. C.BA. .B.CA S ++= 
c) A.B.C .B.CA .B.CA C.B.A C.B.A S ++++= 
 
 
3.2.3 DIAGRAMA PARA 4 VARIÁVEIS 
 
 C C 
A D.C.B.A .DC.B.A .C.DB.A D.C.B.A B 
 D.C.B.A .DC.B.A .B.C.DA D.B.C.A B 
A D.CA.B. .DCA.B. A.B.C.D DA.B.C. 
 D.C.BA. .DC.BA. .C.DBA. D.C.BA. B 
 D D D 
 
Método de simplificação 
• Localizam-se as oitavas (agrupamento de 8 regiões) e escrevem-se suas expressões; 
• Localizam-se as quadras e escrevem-se suas expressões, não considerando as 
quadras já inclusas nas oitavas. Localizam-se os pares e escrevem-se suas 
expressões, não considerando os pares já incluídos nas oitavas e/ou quadras. 
Todavia, pode-se ter uma quadra/par formado por “1s” externos à oitava/quadra e 
outros “1s” pertencentes à oitava/quadra; 
• Localizam-se os termos isolados que não puderam ser agrupados e escrevem-se suas 
expressões; 
• Somam-se as expressões das oitavas, das quadras, dos pares e dos termos isolados. 
Obs: O diagrama para 4 variáveis fecha-se nas laterais, bem como nos extremos superior 
e inferior. 
 
Exemplos 
a) 
A.B.C.DA.B.C.D .DCA.B. D.CA.B. 
 .C.DBA. .DC.BA. D.C.BA. .B.C.DA .DC.B.A .C.DB.A D.C.B.A .DC.B.A S
++++
++++++++= 
 
 
 C C 
A 1 1 1 B
 1 1 B Expressão simplificada: 
A 1 1 1 .CB.A CA. D S ++= 
 1 1 1 B
 D D D 
 
 24
b) 
 A.B.C.D .DCA.B. D.C.BA. .DC.BA. D.C.BA. .DC.B.A D.C.B.A .DC.B.A D.C.B.A S ++++++++= 
 
 C C 
A 1 1 1 B
 1 B Expressão simplificada: 
A 1 1 D.B .DC A.B.D S ++= 
 1 1 1 B
 D D D 
 
 
Exercícios: Simplifique as expressões lógicas abaixo 
 
a) A.B.C.D D.C.BA. .B.C.DA D.B.C.A .DC.B.A D.C.B.A .C.DB.A .DC.B.A S +++++++= 
 
b) 
A.B.C.D DA.B.C. D.CA.B. 
 D.C.BA. D.C.BA. .B.C.DA D.B.C.A .DC.B.A D.C.B.A D.C.B.A D.C.B.A S
++
++++++++= 
 
c) 
A.B.C.D DA.B.C. 
 .DCA.B. D.CA.B. .C.DBA. D.C.BA. .B.C.DA D.B.C.A .C.DB.A D.C.B.A S
+
++++++++= 
 
d) A.B.C.D .C.DBA. D.C.BA. D.B.C.A D.C.B.A .C.DB.A .DC.B.A D.C.B.A S +++++++= 
 
 
FUNÇÕES INCOMPLETAS - CONDIÇÃO IRRELEVANTE (φ OU X) 
 
Uma função pode ser apresentada sem ser definida para uma ou mais das combinações 
possíveis das variáveis de entrada. Neste caso, a variável pode assumir, 
indiferentemente, o valor 0 ou 1. Por conseguinte, adota-se o nível lógico que representar 
maior grau de simplificação de uma expressão. 
 
Exemplo: 
 
 C C 
A X X 1 B
 1 1 1 B Expressão simplificada: 
A X X .DCA. D.A .CA S ++= 
 1 X B
 D D D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25
3.2.4 DIAGRAMA PARA 5 VARIÁVEIS 
 
A A 
 D D D D 
 E.D.C.B.A
 
.ED.C.B.A
 
.D.EC.BA.
 
E.D.C.B..A
 
C
 
 
 
E.D.C.BA.
 
.ED.C.BA.
 
.D.EC.BA.
 
E.D.C.BA.
 
C
 
B
 
E.D.C.B.A
 
.ED.C.B.A
 
.C.D.EB.A
 
E.C.D.B.A
 C
B
 
E.D.C.BA. .ED.C.BA. .C.D.EBA. E.C.D.BA.
 
 
C
E.D.B.C.A
 
.ED.B.C.A
 
.B.C.D.EA E.B.C.D.A
 
C E.DA.B.C.
 
.EDA.B.C. A.B.C.D.E EA.B.C.D.
 
C
B E.D.CB.A.
 
.ED.C.B.A .D.EC.B.A E.D.C.B.A
 
C
 
B .ED.CA.B. .ED.CA.B. .D.ECA.B. E.D.CA.B.
 
C
 
 E E E E E E
 
Método de simplificação 
 
• Localizam-se as hexas (agrupamento de 16 regiões) e escrevem-se suas expressões; 
• Localizam-se as oitavas e escrevem-se suas expressões, não considerando as oitavas 
já inclusas nas hexas. Localizam-se as quadras e escrevem-se suas expressões, não 
considerando as quadras já inclusas nas oitavas e/ou hexas. Localizam-se os pares e 
escrevem-se suas expressões, não considerando os pares já incluídos nas hexas, 
oitavas e/ou quadras. Todavia, pode-se ter uma oitava/quadra/par formado por “1s” 
externos a hexa/oitava/quadra e outros “1s” pertencentes à hexa/oitava/quadra; 
• Localizam-se os termos isolados que não puderam ser agrupados e escrevem-se suas 
expressões; 
• Somam-se as expressões obtidas das hexas, das oitavas, das quadras, dos pares e 
dos termos isolados. 
Obs: O diagrama para 5 variáveis é constituído de dois diagramas para 4 variáveis. 
 
Exemplo: Obter a expressão lógica simplificada a partir da tabela da verdade abaixo 
 
A B C D E S1 S2 
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 
0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 
0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 
0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 
0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 
0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 
0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 
 
Site alemão com programa para minimizar expressões lógicas por Karnaugh: 
http://maui.theoinf.tu-ilmenau.de/~sane/projekte/karnaugh/embed_karnaugh.html 
 26
 
3.3 MÉTODO DE QUINE-McCLUSKEY 
 
Este método aplica-se exclusivamente a funções booleanas na forma de soma-de-
produtos e notação binária. Supera as limitações do mapa de Karnaugh, que pode ser 
aplicado a funções com mais de seis variáveis e apresenta um procedimento que permite 
a utilização em computadores. Consiste na aplicação sucessiva do teorema expresso por: 
AB.AB.A =+ , termos que diferem entre si apenas por um dígito binário. 
 
Método de simplificação 
 
a) Classificam-se e agrupam-se em conjuntos os termos da função booleana de acordo 
com seus índices (mesmo números de 1’s em sua forma binária) de forma crescente. 
 
b) Comparam-se todos os termos de um dado grupo com cada termo do grupo seguinte, 
ou seja, de índice imediatamente superior, mediante a utilização do teorema 
AB.AB.A =+ . Aplica-se sucessivamente esse teorema comparando cada termo do 
grupo do índice i com todos os termos do grupo do índice i+1 até esgotarem-se as 
possibilidades. O termo resultante consiste na representação fixa original com o dígito 
diferente substituído por um x. Por outro lado, marcam-se com setas todos os termos 
comparados com ao menos outro termo. 
 
c) Após tabular os termos comparados, procede-se novamente conforme o exposto no 
item b até esgotarem-se as possibilidades. Os termos que ficarem sem a seta 
marcada formam o conjunto dos termos irredutíveis, ou seja, os termos da expressão 
simplificada. 
 
Exemplos 
 
1. Determinar a expressão simplificada: 
 C.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC)B,S(A, +++++= 
 
Solução: S(A,B,C) = Σ(1,4,2,3,5,7) = Σ(001,100,010,011,101,111) 
 
Termos A B C Termos A B C Termos A B C 
1 0 0 1 ← 1,3 0 X 1 ← 1,3/5,7 X X 1 C 
2 0 1 0 ← 1,5 X 0 1 ← 1,5/3,7 X X 1 C 
4 1 0 0 ← 2,3 0 1 X B.A 
3 0 1 1 ← 4,5 1 0 X B.A 
5 1 0 1 ← 3,7 X 1 1 ← 
7 1 1 1 ← 5,7 1 X 1 ← 
 
A expressão simplificada é: CBA..BAS ++= 
 
 
2. Determinar a expressão simplificada: 
 
EDCBAEDBCABCDEAEDABCEDBCAEDCBAEDCBAEDCBAECDBACDEBAS +++++++++= 
 
Solução: 
S = Σ(7,22,2,16,18,13,28,15,12,4) 
S = Σ(00111,10110,00010,10000,10010,01101,11100,01111,01100,00100) 
 27
 
Termos A B C D E Termos A B C D E 
2 0 0 0 1 0 ← 2,18 X 0 0 1 0 E.D.C.B 
4 0 0 1 0 0 ← 4,12 0 X 1 0 0 E.D.C.A 
16 1 0 0 0 0 ← 16,18 1 0 0 X 0 E.C.B.A 
12 0 1 1 0 0 ← 12,28 X 1 1 0 0 E.D.C.B 
18 1 0 0 1 0 ← 18,22 1 0 X 1 0 E.D.B.A 
7 0 0 1 1 1 ← 7,15 0 X 1 1 1 E.D.C.A13 0 1 1 0 1 ← 13,15 0 1 1 X 1 E.C.B.A 
22 1 0 1 1 0 ← 
28 1 1 1 0 0 ← 
15 0 1 1 1 1 ← 
 
A expressão simplificada é: 
.B.C.EA.C.D.EAE.D.BA.E.DB.C.E.C.BA.E.D.C.AE.D.C.BS ++++++= 
 
 
 28
 
4 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS POR LÓGICA COMBINACIONAL 
 
4.1 SISTEMAS DIGITAIS E SISTEMAS ANALÓGICOS 
 
Um sistema digital é um sistema no qual os sinais têm um número finito de valores 
discretos. Por outro lado, nos sistemas analógicos os sinais têm valores pertencentes a 
um conjunto contínuo (infinito). 
 
A utilização das técnicas digitais proporciona novas aplicações da eletrônica bem como 
de outras tecnologias, substituindo grande parte dos métodos analógicos existentes. 
Assim, a mudança para a tecnologia digital tem as seguintes vantagens: 
 
a) Os sistemas digitais são mais fáceis de projetar, devido ao fato de os circuitos 
empregados nos sistemas digitais serem circuitos de chaveamento, onde os valores 
exatos de tensão e corrente dos sinais manipulados não são tão importantes, bastando 
resguardar a faixa de operação (alto ou baixo) destes sinais. 
 
b) O armazenamento da informação é fácil, pois os circuitos especiais de chaveamento 
podem reter a informação pelo tempo que for necessário. 
 
c) Precisão e exatidão são maiores, pois os sistemas digitais podem trabalhar com 
tantos dígitos de precisão quantos forem necessários, com a simples adição de mais 
circuitos de chaveamento. 
 
d) As operações podem ser programadas, por um conjunto de instruções previamente 
armazenadas, chamado programa. 
 
e) Os circuitos digitais são menos afetados por ruídos, provocados por flutuações na 
tensão de alimentação ou de entrada, desde que o nível de ruído não atrapalhe a 
distinção entre os níveis alto e baixo. 
 
f) Os circuitos digitais são mais adequados à integração, onde os avanços da 
tecnologia microeletrônica possibilitaram a fabricação de sistemas digitais complexos, 
pequenos, rápidos e baratos. 
 
g) Os circuitos digitais podem ter diferentes implementações de sistemas que 
estabelecem um compromisso entre velocidade e quantidade de hardware. 
 
Só existe uma grande desvantagem para o uso das técnicas digitais: o mundo real é 
predominantemente analógico. A grande maioria das variáveis (quantidades) física é, 
em sua natureza, analógica, e geralmente elas são as entradas e saídas que devem ser 
monitoradas, operadas e controladas por um sistema. Sendo assim, três etapas devem 
ser executadas: 
 
a) Converter o mundo real das entradas analógicas para a forma digital; 
b) Processar (ou operar) a informação digital; 
c) Converter as saídas digitais de volta para o mundo real, em sua forma analógica. 
 
 
4.2 SISTEMAS COMBINACIONAIS E SISTEMAS SEQÜENCIAIS 
 
Os sistemas digitais dividem-se em duas classes: sistemas combinacionais e sistemas 
seqüenciais. 
 29
 
Nos sistemas combinacionais, uma saída no tempo t depende somente da entrada no 
tempo t. Neste caso, o sistema não tem memória porque a saída não depende de 
entradas prévias. Portanto, a saída é dependente, única e exclusivamente, das variáveis 
de entrada. 
 
Exemplo: um cadeado de códigos (usado para prender bicicletas) – o cadeado será 
aberto num dado tempo t quando o código do cadeado é colocado nas entradas em t, 
sem considerar a história nas entradas. Se for o código 234, por exemplo, o cadeado será 
aberto quando esta combinação for colocada nas entradas, independentemente da ordem 
de colocação dos dígitos do código. 
 
Nos sistemas seqüenciais, uma saída no tempo t depende da entrada no tempo t e, 
possivelmente, também depende da entrada no tempo anterior a t. A saída é dependente 
das variáveis de entrada e/ou de seus estados anteriores armazenados. 
 
Exemplo: um sistema de discagem telefônica – o número de um assinante a ser discado 
será efetuado num dado instante t, se forem satisfeitas as seguintes condições: a) os 
dígitos discados antes do instante t devem seguir a seqüência daquela do número do 
assinante; b) o dígito discado no instante t, isto é, o último a ser discado, corresponde ao 
último dígito do número do assinante; c) todos os dígitos devem estar memorizados e 
disponibilizados na mesma seqüência da discagem no instante t. 
 
 
4.3 ESPECIFICAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM PROJETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A especificação de um sistema refere-se a uma descrição de sua função e de outras 
características, necessárias para seu uso, como por exemplo, a velocidade, a tecnologia e 
o consumo de energia. Está relacionada com o que o sistema faz sem referir-se a como 
ele executa a operação. Uma especificação deve ser a mais completa possível e mais 
simples possível, de modo a descrever a função do sistema de uma maneira adequada 
para dois propósitos: 
 
a) usar o sistema como um componente em sistemas complexos; 
b) servir como base para a implementação do sistema através de uma rede de 
componentes mais simples. 
 
Uma implementação de um sistema refere-se a como o mesmo é construído a partir de 
componentes mais simples, No caso de sistemas digitais, a implementação é uma rede 
digital que consiste na interconexão de módulos digitais. Esta rede pode ser definida em 
Especificação 
(função e outras características) 
Implementação 
(rede de módulos) 
Análise Projeto 
 30
diversos níveis, dependendo da complexidade dos módulos primitivos usados, os quais 
podem variar de portas lógicas muito simples até processadores mais complexos. 
 
No nível físico, todos os sistemas digitais são implementados através de uma 
interconexão complexa de componentes eletrônicos elementares, como por exemplo, 
transistores, resistores, etc. Entretanto, a representação ou descrição desta 
implementação não é prática, devida à complexidade da maioria dos sistemas digitais. 
Assim, é necessário definir níveis intermediários de módulos de crescente complexidade, 
cuja descrição inclua somente características que são relevantes para o uso dos mesmos 
num sistema mais complexo. 
 
A análise de um sistema tem como objetivo a determinação de sua especificação a partir 
de uma implementação. O sistema assim analisado pode ser um módulo num sistema de 
maior porte, resultando num processo de análise de múltiplos níveis. 
 
O processo de projeto consiste na obtenção de uma implementação que satisfaça a 
especificação de um sistema. Se o sistema for complexo, também será necessário usar 
uma abordagem de múltiplos níveis. 
 
 Abordagem descendente Abordagem ascendente 
 
Abordagem descendente – decompõe o sistema em subsistemas que são, por sua vez, 
decompostos em outros subsistemas mais simples, até que um nível seja alcançado, no 
qual o subsistema possa ser realizado diretamente com módulos disponíveis. 
 
Abordagem ascendente – conecta vários módulos disponíveis para formar subsistemas 
que, por sua vez, são conectados a outros subsistemas até que a especificação funcional 
necessária seja preenchida. 
 
 
4.4 NÍVEIS DE IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DIGITAL 
 
A implementação de um sistema pode ser descrita em diferentes níveis, como a seguir é 
ilustrado. 
 
 31
 
Nível de módulo – o sistema consiste de dois registradores e um somador. 
 
Nível lógico – o sistema é implementado com portas lógicas e flip-flops. Estes 
componentes são conectados para formarem redes que implementam funções mais 
complexas (como, por exemplo, os registradores e o somador). 
 
Nível físico – neste nível os componentes são realizados em alguma tecnologia 
eletrônica, como, por exemplo, os transistores. 
 
 
4.5 RESOLUÇÃO DE PROJETOS DE SISTEMAS DIGITAIS 
 
As etapas básicas de um projeto de sistema digital são: 
a) descrição (especificação); 
b) projeto (síntese), incluindo várias otimizações para reduzir o custo e melhorar o 
desempenho; 
c) verificação (por simulação ou formalmente) do projeto com relaçãoa sua 
especificação. 
 
a) Descrição 
O modo mais comum de descrever sistemas digitais consiste em uma descrição de sua 
estrutura através de uma forma gráfica (desenho), onde fornece um diagrama lógico do 
sistema em diferentes níveis, mostrando os módulos e suas interligações. Estes desenhos 
podem ser elaborados manualmente, porém, atualmente há ferramentas computacionais 
que permitem gerar e editar estes desenhos. O processo é chamado de captura de 
esquemáticos, porque a ferramenta é usada para capturar a descrição esquemática do 
 32
sistema digital. O processo é suportado por bibliotecas de componentes-padrão, de forma 
que um sistema pode ser construído usando-se partes-padrão que são reunidas para 
compor uma implementação. 
 
Uma abordagem alternativa e que está se tornando amplamente aceita é o uso da 
linguagem de descrição de hardware (HDL). Diversas linguagens deste tipo têm sido 
propostas com a recente padronização de duas delas: a Verilog e a VHDL. 
 
b) Projeto 
As ferramentas de síntese e otimização ajudam a obter uma implementação a partir de 
determinada descrição e a melhorar algumas características como, por exemplo, o 
número de módulos e os retardos da rede. 
 
c) Verificação 
As ferramentas de simulação são utilizadas para verificar a operação do sistema, onde 
usam a descrição do sistema para produzir os valores dos sinais (internos e externos) 
para determinada entrada. A simulação é usada para detectar erros num projeto e para 
determinar características, como retardos e consumo de energia, as quais são difíceis de 
obter analiticamente. 
 
 
4.6 FLUXOGRAMA PARA DESENVOLVIMENTO DE PROJETOS DIGITAIS 
 
 
 
 
 
A seqüência do processo de desenvolvimento de projetos digitais se estabelece, 
inicialmente, com a análise da situação prática, buscando identificar as variáveis de 
entrada e de saída, bem como um modelo que irá solucionar o problema. Em seguida, 
constrói-se a tabela da verdade, simulando todas as possibilidades para as variáveis de 
entrada e obtendo-se os respectivos valores na(s) saída(s). Na continuação, obtêm-se as 
expressões lógicas simplificadas por um dos métodos já vistos. Por último, desenha-se 
o circuito lógico esquemático constituído de portas lógicas. 
 
EXERCÍCIOS DE PROJETOS DIGITAIS 
 
1. Projeto com 2 variáveis 
 Instalação de um sistema automático para controle dos semáforos 
Situação: - carros na rua B ⇒ verde no semáforo 2 
 - carros na rua A ⇒ verde no semáforo 1 
 - carros nas ruas A e B ⇒ verde no semáforo 1, porque rua A é preferencial 
 
 Rua 
 B 
 
 
- Rua A 
 
 
 
 Semáforos 1 Semáforos 2 
 
 
Análise da 
Situação 
Tabela da 
verdade 
Expressão 
 lógica 
simplificada 
Circuito 
lógico 
 33
2. Projeto com 3 variáveis 
 Conexão de 3 aparelhos a um amplificador, obedecendo às prioridades: 
 1a) CD player 
 2a) Tape playback 
 3a) Radio receptor 
 
Situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Projeto com 4 variáveis 
 Conexão de 4 setores, via intercomunicadores, a central da Secretária, obedecendo às 
prioridades: 
 1a) Presidente 
 2a) Vice Presidente 
 3a) Engenharia 
 4a) Chefes de Seção 
 
Situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Desenhe um circuito lógico para, em um conjunto de três chaves, detectar um número 
ímpar destas ligadas. Convencionar que chave fechada equivale a nível lógico 0. 
 
Situação: 
 A 
 
 B S 
 
 C 
 
 
 
 
 
5. Num entroncamento de três ruas A, B e C deseja-se instalar um conjunto de semáforos 
para as seguintes funções: 
a) Quando o semáforo 1 abrir para a rua A, automaticamente os semáforos 2 e 3 
devem fechar, para possibilitar ao motorista ambas as conversões; 
b) Analogamente, quando o semáforo 2 abrir, devem fechar os semáforos 1 e 3; 
c) Pelo mesmo motivo, quando o semáforo 3 abrir, devem fechar os semáforos 1 e 2. 
Deve-se seguir também, as seguintes prioridades: 
CD player Tape playback Radio 
Amplificador 
Presidente Vice Chefes de Seção 
Central 
Secretária
Engenharia 
 
Circuito 
lógico 
 34
a) O motorista que está na rua A tem prioridade em relação ao motorista que está na 
rua B; 
b) O motorista que está na rua B tem prioridade em relação ao motorista que está na 
rua C; 
c) O motorista que está na rua C tem prioridade em relação ao motorista que está na 
rua A; 
d) Quando houver carros nas três ruas, a rua A é preferencial; 
e) Quando não houver nenhum carro nas ruas, deve-se abrir o sinal para a rua A. 
 
Obtenha as expressões e os circuitos dos sinais verdes e vermelhos, dos semáforos 1, 2 
e 3. 
Situação: Rua B 
 
 
 
 
 3 1 
 
 
 
 
 
 
 Rua A Rua C 
 
 
 2 
 
6. Projete um circuito lógico para acender 3 leds, isoladamente, nas seguintes situações: 
a) um número par acende o led 1; 
b) um número ímpar acende o led 2; 
c) um número múltiplo de 3 acende o led 3. 
 
7. Projetar um circuito lógico para comparar 2 números binários de 2 bits cada, tal que: 
A1A0 < B1B0 ⇒ acende led 1; 
A1A0 = B1B0 ⇒ acende led 2; 
A1A0 > B1B0 ⇒ acende led 3. 
 
8. Desenhe um circuito com portas lógicas para detectar um número par de chaves 
ligadas, num conjunto de 5 chaves. Convencionar que chave fechada equivale a nível 
lógico 0. 
 
 
 
 35
5 SISTEMAS NUMÉRICOS E CÓDIGOS 
 
5.1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
 
DECIMAL 
(base 10) 
BINÁRIO 
(base 2) 
OCTAL 
(base 8) 
HEXADECIMAL 
(base 16) 
0 0 0 0 
1 1 1 1 
2 10 2 2 
3 11 3 3 
4 100 4 4 
5 101 5 5 
6 110 6 6 
7 111 7 7 
8 1000 10 8 
9 1001 11 9 
10 1010 12 A 
11 1011 13 B 
12 1100 14 C 
13 1101 15 D 
14 1110 16 E 
15 1111 17 F 
16 10000 20 10 
17 10001 21 11 
18 10010 22 12 
19 10011 23 13 
20 10100 24 14 
21 10101 25 15 
22 10110 26 16 
23 10111 27 17 
24 11000 30 18 
25 11001 31 19 
26 11010 32 1A 
27 11011 33 1B 
28 11100 34 1C 
29 11101 35 1D 
30 11110 36 1E 
31 11111 37 1F 
32 100000 40 20 
33 100001 41 21 
34 100010 42 22 
35 100011 43 23 
36 100100 44 24 
37 100101 45 25 
38 100110 46 26 
39 100111 47 27 
40 101000 50 28 
41 101001 51 29 
42 101010 52 2A 
43 101011 53 2B 
44 101100 54 2C 
45 101101 55 2D 
46 101110 56 2E 
47 101111 57 2F 
48 110000 60 30 
49 110001 61 31 
50 110010 62 32 
 36
5.1.1 Introdução 
 
O sistema numérico de maior importância utilizado pelos sistemas digitais é o binário, 
embora existam alguns outros também importantes. Um deles, o decimal, tem relativa 
importância em função de ser universalmente usado para representar quantidades 
utilizadas fora dos sistemas digitais. Isto significa que, em determinadas situações, os 
valores decimais têm de ser convertidos em valores binários antes de serem utilizados em 
sistemas digitais. Por exemplo, quando teclamos um número decimal em nossa 
calculadora, ou em nosso computador, um circuito interno destas máquinas converte o 
valor decimal digitado para seu correspondente em binário. 
 
Da mesma forma, existem situações onde os valores binários presentes na saída de um 
circuito digital devem ser convertidos para valores decimais, que serão apresentados no 
display de sua calculadora ou no dispositivo de saída de seu computador. Por exemplo, 
sua calculadora (ou computador) usa números binários para calcular o resultado de 
determinada operação solicitada e, então, converte tal resultado em decimal, colocando-o 
no display neste formato. 
 
Além dos sistemas decimal e binário, dois outros são utilizados em sistemas digitais, o 
sistema octal (base 8) e o hexadecimal (base 16). Ambos os sistemas são utilizados para 
a mesma finalidade: representar números binários muito grandesde uma forma eficiente 
e simples. 
 
Um número pode ser explicitado através de seu valor ou de sua representação. O valor 
corresponde à quantidade que ele expressa. A representação corresponde aos dígitos 
que se utiliza para simbolizá-lo. Exemplificando, no sistema decimal expressa-se a 
quantidade doze (valor) para o número 12 (representação). No sistema hexadecimal, a 
mesma quantidade é representada pelo número C. 
 
De modo geral, um sistema posicional pode ser especificado em termos de uma 
constante denominado base, que determina o valor de um número e sua representação 
através da expressão: 
 n=i 
 Valor = ∑ di . Bi 
 i=0 
di ⇒ i-ésimo dígito do número, contado da direita para a esquerda 
n ⇒ número de dígitos 
B ⇒ base 
 
Exemplos 
a) Número no sistema decimal: 123410 = 4.100 + 3.101 + 2.102 + 1.103 = 123410 
b) Número no sistema binário: 11012 = 1.20 + 1.21 + 0.22 + 1.23 = 1310 
c) Número no sistema hexadecimal: 4D216 = 2.160 + 13.161 + 2.162 = 123410 
 
Também se utiliza uma notação para especificar a base em que se representa um valor. 
Nesse sentido, é estabelecido que, para: 
- números binários são seguidos pela letra Y; 
- números decimais são seguidos pela letra T; 
- números octais são seguidos pela letra Q; 
- números hexadecimais são seguidos pela letra H. 
Exemplos 
100Y (binário), 100T (decimal), 100Q (octal), 100H (hexadecimal) 
 37
 
5.1.2 Conversão Binário-Decimal 
 
O sistema de numeração binário é posicional, onde a cada dígito binário (bit) são 
atribuídos dois valores: o valor absoluto e o valor posicional. O valor absoluto é 0 ou 1, e 
o posicional é uma potência inteira de 2, começando de 20 (bit menos significativo), que 
depende da posição do bit em relação ao bit menos significativo. Qualquer número binário 
pode ser convertido em decimal simplesmente somando os valores posicionais de todos 
os bits com valor absoluto igual a 1. Exemplos: 
 
 
 1 1 0 1 12 (binário) 
 24 + 23 + 0 + 21 + 20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 2710 (decimal) 
 
 
 1 0 1 1 1 0 1 12 (binário) 
 27 + 0 + 25 + 24 + 0 + 22 + 0 + 20 = 18710 (decimal) 
 
 
Composição de no binário fracionário ⇒ 101,101(2) = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 
 1x2-3 = 4 + 0 + 1 + 1/2 + 0 + 1/8 = 5,625(10) 
Exercícios 
Converter os seguintes números binários para decimais: 
a) 11111(2) = 
b) 1001100(2) = 
c) 1011,11(2) = 
d) 1100,0011(2) = 
 
5.1.3 Conversão Decimal-Binário 
 
O método mais confiável para conversão decimal-binário utiliza as divisões sucessivas 
por 2. No exemplo a seguir, o número decimal 25 é dividido várias vezes por 2, sendo os 
restos destas divisões colocados à parte, até que o quociente seja igual a zero. Observe 
que o valor binário equivalente é obtido, escrevendo-se o primeiro resto como o bit menos 
significativo e o último como o mais significativo. Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
8,375(10) ⇒ 8 ⎥_2__ 0,375 
 0 4 ⎥_2__ x 2_ 
 0 2 ⎥_2__ 0,750 
 0 1 Obtenção da parte inteira ⇒ 1000(2) x 2_ 
 1,500 ⇒ 0,500 
 x2_ 
 1,000 
Obtenção da parte fracionária ⇒ 0,011(2) 
 
Composição da parte inteira + fracionária ⇒ 1000 + 0,011 = 1000,011(2) 
 
Exercícios 
Converter os seguintes números decimais para binários: 
a) 215(10) ⎥____ c) 9,92(10) ⇒ 9⎥___ 0,92 
 x 2_ 
 
 
 
b) 102(10) ⎥_____ d) 7,47(10) ⇒ 7⎥_____ 0,47 
 __x 2_ 
 
 
5.1.4 Sistema Numérico Octal 
 
O sistema numérico octal é muito importante no estudo dos computadores digitais. Este 
sistema utiliza a base oito, o que significa que ele tem oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. 
Os pesos de cada dígito no sistema octal são mostrados na tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
O maior dígito octal é 7, de modo que para contar em octal basta começar do zero e 
incrementar uma unidade até chegar a 7. Ao alcançar 7, devemos recomeçar a contagem 
do zero, acrescentando uma unidade ao dígito imediatamente superior. Isto é ilustrado 
nas seguintes seqüências de contagem octal: 
 (a) 65, 66,67,70,71,..... 
 (b) 275, 276, 277, 300,301,..... 
 
5.1.5 Conversão Octal-Decimal 
Um valor octal pode ser facilmente convertido em decimal multiplicando-se cada dígito 
octal por seu valor posicional (peso). Exemplo: 
 3728 = 3 x 82 + 7 x 81 + 2 x 80 = 3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1 = 25010 
 
5.1.6 Conversão Decimal-Octal 
Um valor decimal inteiro pode ser convertido em seu equivalente octal pelo método das 
divisões sucessivas, conforme já visto para o caso da conversão decimal-binário, só que 
utilizando divisões por oito em vez de por 2. Exemplo: 
 
 
 
 
8-484 83 82 81 80 8-1 8-2 8-3 8-5,
Vírgula octal
 39
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O resto da primeira divisão passa a ser o dígito menos significativo do número octal, e o 
resto da última divisão é o bit mais significativo. 
 
5.1.7 Conversão Octal-Binário 
A principal vantagem do sistema octal é a facilidade para se converter um número binário 
em octal e vice-versa. Para passar de octal para binário, cada dígito octal deve ser 
convertido em seu equivalente binário. 
 
Dígito Octal
Equivalente Binário
7
111
6
110
5
101
4
100
3
011
2
010
1
001
0
000 
 
Por exemplo, podemos converter o valor octal 472 em binário da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Portanto, o octal 472 é igual ao binário 100111010. 
Como outro exemplo, considere a conversão de 54318 para binário. 
 
 
 
 
 
5.1.8 Conversão Binário-Octal 
 A conversão binário-octal é obtida através de processo inverso do descrito anteriormente. 
Os bits do número binário devem ser agrupados de 3 em 3, a partir do menos 
significativo, e convertidos no seu equivalente octal. Para ilustrar, considere a conversão 
de 1001110102 em octal. 
 
 
 
 
 
 
 
Nem sempre o número binário tem grupos completos de três bits. Nestes casos, podemos 
acrescentar um ou dois zeros à esquerda do bit mais significativo do número binário. 
Observe o seguinte exemplo, onde o valor 110101102 deve ser convertido em seu 
equivalente octal. 
 
 
 
 
 40
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Converter 6148 em decimal. 
2. Converter 14610 em binário, passando por octal. 
3. Converter 100111012 em octal. 
4. Complete a seqüência em octal: 624, 625, 626,____,____,____. 
5. Converter 97510 em binário, passando por octal. 
6. Converter o valor binário 1010111011 em decimal, passando por octal. 
 
5.1.9 Sistema Numérico Hexadecimal 
 
O sistema hexadecimal, também conhecido como sistema hexa, utiliza a base 16. 
Portanto, este sistema tem 16 dígitos, representados pelos dígitos decimais de 0 a 9 e 
pelas letras maiúsculas de A a F. 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Decimal Binário
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Hexadecimal
 
 
Observe que cada dígito hexadecimal é representado por um grupo de quatro bits. É 
importante lembrar que os dígitos hexa de A a F são equivalentes aos valores decimais 
de 10 a 15, respectivamente. 
 
Quando contamos em hexa, cada dígito de 0 a F deve ser incrementado de 1. Ao chegar 
a F, esta posição volta a zero,e a próxima posição é então incrementada. As seqüências 
abaixo ilustram contagens em hexa: 
(a) 38, 39, 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, 40, 41, 42 
(b) 6F8, 6F9, 6FA, 6FB, 6FC, 6FD, 6FE, 6FF, 700 
 
 
 41
5.1.10 Conversão Hexadecimal-Decimal 
 
 Um número em hexa pode ser convertido em seu equivalente decimal através do valor 
posicional (peso) que cada dígito ocupa no número. O dígito menos significativo tem peso 
igual a 160 = 1, o seguinte 161 = 16, o seguinte 162 = 256, e assim por diante. 
Exemplos: 
35616 = 3 x 162 + 5 x 161 + 6 x 160 
 = 768 + 80 + 6 
 = 85410 
 
2AF16 = 2 x 162 + 10 x 161 + 15 x 160 
 = 512 + 160 + 15 
 = 68710 
 
Observe que, no segundo exemplo, o valor 10 substituiu o dígito hexadecimal A, e o valor 
15 entrou no lugar do dígito hexa F, na conversão em decimal. 
 
5.1.11 Conversão Decimal-Hexadecimal 
 
Para converter decimal em binário usamos a divisão por 2 repetidas vezes, e na 
conversão decimal-octal empregamos a divisão por 8. Desta mesma forma, para 
convertermos um número decimal em hexa, devemos dividi-lo sucessivamente por 16. 
Exemplos: 
Converter 42310 em hexa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Converter 21410 em hexa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe novamente como os restos formam os dígitos do número hexa. Além disso, os 
restos maiores que 9 são representados pelas letras de A a F. 
 
5.1.12 Conversão Hexa-Binário 
 
Assim como o sistema octal, a principal utilidade do sistema hexadecimal é "abreviar" a 
representação de seqüências binárias muito grandes. Cada dígito hexa é convertido em 
seu equivalente binário de quatro bits. 
 
 
 
 42
 
 
 
 
 
 
5.1.13 Conversão Binário-Hexa 
 
Converter de binário para hexa é justamente fazer ao contrário o processo que acabamos 
de ver. O número binário é separado em grupos de quatro bits, e cada grupo é convertido 
no seu equivalente hexa. Acrescentam-se zeros à esquerda, se for necessário completar 
o grupo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para realizar conversões entre números binários e hexa, é imprescindível saber a 
equivalência entre os dígitos hexa e os números binários de quatro bits (0000 até 1111). 
Uma vez memorizadas, as conversões não precisam de calculadora. Essa é uma das 
razões da utilidade destes sistemas (hexa e octal) na representação de grandes números 
binários. 
 
Exercícios 
 
1. Converta 24CE16 para decimal. 
2. Converta 311710 para hexa e depois para binário. 
3. Converta 10010111101101012 para hexa. 
4. Encontre os quatro números seguintes da seqüência hexa: 
 E9A, E9B, E9C, E9D,_____,_____,_____. 
5. Converta 35278 para hexa. 
 
 
 
5.2 CÓDIGOS 
 
São grupos de símbolos representados por números, letras ou palavras que estabelecem 
uma determinada característica ou combinação entre dois sistemas de numeração. 
 
CÓDIGO SIGNIFICADO 
BCD 8421 Binary-Coded-Decimal – Binário Codificado em Decimal 
8421 – valores dos algarismos: 23=8, 22=4, 21=2, 20=1 
EXCESSO 3 Código BCD 8421 adicionado de três unidades binárias 
GRAY Código cuja variação de um número para outro é de apenas 1 bit 
2 ENTRE 5 Código que apresenta 2 bits iguais a 1 dentre 5 bits. Usado em 
código de barras, por evitar grandes repetições de espaços ou de 
barras 
 
 
 
 43
 
DECIMAL BINÁRIO BCD 8421 EXCESSO 3 GRAY 2 ENTRE 5 
0 0 0000 0011 0000 00011 
1 1 0001 0100 0001 00101 
2 10 0010 0101 0011 00110 
3 11 0011 0110 0010 01001 
4 100 0100 0111 0110 01010 
5 101 0101 1000 0111 01100 
6 110 0110 1001 0101 10001 
7 111 0111 1010 0100 10010 
8 1000 1000 1011 1100 10100 
9 1001 1001 1100 1101 11000 
10 1010 0001 0000 1111 
11 1011 0001 0001 1110 
12 1100 0001 0010 1010 
13 1101 0001 0011 1011 
14 1110 0001 0100 1001 
15 1111 0001 0101 1000 
 
Código ASCII – American Standard Code for Information Intercharge 
É um código alfanumérico usado para obter informações pelo computador. Seus 7 bits 
fornecem 128 combinações, das quais 96 se referem a caracteres de impressão e 32 a 
comandos de controle. 
X6X5X4X3X2X1X0 => onde cada X pode ser 0 ou 1 
 
 
 
A tabela mostrou ser insuficiente para outras exigências, como a necessidade de 
padronizar a representação de caracteres acentuados, caracteres usados em molduras 
de janelas de texto e outros. Sendo assim, surge a tabela ASCII de 8 bits (code pages), 
englobando a representação de 256 caracteres. Os primeiros 128 caracteres são 
idênticos ao da tabela ASCII de 7 bits e os demais variam de acordo com as 
necessidades da língua em cada país. No Brasil é utilizada a página de código 850 
apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 44
 
 
5.3 CODIFICADOR DECIMAL/BINÁRIO 
 
Codificar significa transformar informações conhecidas, de uso comum e de fácil 
entendimento, em um conjunto de símbolos, letras, números ou palavras de forma a 
minimizar ou facilitar o armazenamento, o processamento e a transmissão da informação 
original. Em sistemas digitais, na maioria dos casos, codificar significa transformar um 
número decimal em um número binário para a manipulação desses sistemas, utilizando-
se qualquer um dos códigos citados anteriormente. 
 
A entrada do código decimal é feita através de um conjunto de chaves numeradas de 0 a 
9 e a saída por 4 fios, para fornecer um código binário de 4 bits, correspondente à chave 
acionada. 
Obs: A chave fechada equivale a nível lógico 0, para evitar o problema prático, 
principalmente da família TTL, do terminal aberto seja equivalente a nível lógico 1. 
 ch0 
 ch1 
 ch2 
 ............ 
 ch9 
 
 
 
 
Codificador 
Decimal/Binário 
A
B
C
D 
 45
Tabela da verdade 
Relação da entrada decimal com a saída em binário 
Chave A B C D 
Ch0 0 0 0 0 
Ch1 0 0 0 1 
Ch2 0 0 1 0 
Ch3 0 0 1 1 
Ch4 0 1 0 0 
Ch5 0 1 0 1 
Ch6 0 1 1 0 
Ch7 0 1 1 1 
Ch8 1 0 0 0 
Ch9 1 0 0 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito integrado TTL 74147 – Codificador Decimal-BCD 
 
 
 
 
 
 
 
 
D
C
B
A
74LS30
S9S8S7S0 S1 S6S5S4S3S2
74LS20
74LS20
74LS00
 46
5.4 DECODIFICADOR PARA DISPLAY DE 7 SEGMENTOS 
 
Decodificar significa transformar informações que estão escritas de forma codificada, 
pouco conhecida ou identificável, de volta à sua forma original, completa ou em outra 
informação de mais fácil compreensão. Nos sistemas digitais, decodificar significa, na 
maioria dos casos, transformar um número binário de volta a seu formato decimal para a 
manipulação ou visualização pelo homem. 
 
5.4.1 Display de 7 segmentos 
 
Com o desenvolvimento do LED (diodo emissor de luz), surgiu a possibilidade de se 
construir elementos que “desenhavam” os algarismos. Chamados de display’s 
(mostradores) de 7 segmentos, estes elementos se popularizaram rapidamente. Na 
seqüência da evolução tecnológica, construíram-se os LCD (display de cristal líquido) que 
tem o mesmo princípio de funcionamento do display de 7 segmentos. No entanto, gastam 
menos energia, pois funcionam através da polarização das moléculas dos cristais via 
campo elétrico (corrente nula). Para os LED’s, além da tensão de polarização, há a 
necessidade de uma corrente considerável. 
 
O display de LED’s de 7 segmentos é um elemento passivo construído por 7 LED’s em 
forma de barra (retangular) e um oitavo LED que é utilizado como ponto decimal. Montado 
da forma como é mostrado abaixo, permite “desenhar” o algarismo que se quer visualizar 
mediante o acendimento de alguns LED’s. Os demais permanecem apagados para uma 
melhor nitidez do “desenho”. 
 
 
e
f
d
g
c
b
a
h
 
 
 
Os display’s de 7 segmentos podem ser encontrados em duas construções diferentes: 
cátodo comum ou ânodo comum. 
 
Ânodo