Notas - Séries 2011 (Santa Cruz)

Prévia do material em texto

UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO 3 - 2o¯ Semestre de 2011
Notas de curso: Se´ries Nume´ricas e Se´ries de Taylor
Professor: Se´rgio Santa Cruz
Estas notas teˆm o objetivo de auxiliar o aluno no estudo dos to´picos da terceira unidade
do curso. Como uma fonte adicional de exerc´ıcios, e para um tratamento mais completo,
o aluno pode recorrer ao cap´ıtulo 11 do segundo volume de Ca´lculo de James Stewart.
I. POLINOˆMIOS DE TAYLOR
Comec¸amos nossa investigac¸a˜o com a seguinte questa˜o:
Q. Dada uma func¸a˜o f(x), qual e´ o polinoˆmio de grau n (onde n ≥ 0 e´ um nu´mero
inteiro fixado) que melhor aproxima f perto de x = 0?
O aluno atento percebe que a resposta a esta pergunta depende da interpretac¸a˜o de
“melhor aproximac¸a˜o”. Reformulamos a pergunta de modo mais preciso a seguir.
Q. Dada uma func¸a˜o f(x), qual o polinoˆmio Pn(x) de grau n que tem as mesmas derivadas
que f(x) na origem, ate´ a ordem n?
Assim, de acordo com nosso ponto de vista, podemos chamar P1(x) de melhor apro-
ximac¸a˜o linear para f(x) perto de x = 0; P2(x) e´ a melhor aproximac¸a˜o quadra´tica, e
assim por diante. Em geral, chamamos Pn(x) o polinoˆmio de Taylor de grau n para f(x)
perto de x = 0.
Chame por um momento Pn = P . Enta˜o P (x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · · anxn deve
satisfazer
P (0) = f(0), P ′(0) = f ′(0), · · ·P (n)(0) = f (n)(0).
Aqui, adotamos a notac¸a˜o f (k)(x) para denotar a k-e´sima derivada de f(x) - tambe´m
chamada de derivada de k-e´sima ordem de f(x). Note que por convenc¸a˜o f (0)(x) = f(x).
Observe que para a questa˜o acima fazer sentido, temos de supor que f admite derivadas
(na origem) ate´ ordem n.
Agora, ao derivarmos P (x) k vezes (onde 0 ≤ k ≤ n), observamos que P (k)(x) e´ da
forma
k!ak + (termos em x, x
2, · · ·xn−k),
(verifique isto!) e assim P (k)(0) = k!ak.
Como devemos impor que P e f tenham as mesmas derivadas na origem, ate´ ordem
n, obtemos que os coeficientes do polinoˆmio Pn sa˜o dados por
ak =
f (k)(0)
k!
,
e assim o n-e´simo polinoˆmio de Taylor e´ dado por
Pn(x) = f(0) + f
′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 + · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn.
1
Em particular, quando n = 1, y = P1(x) nada mais e´ que a equac¸a˜o da reta tangente
a` curva y = f(x) no ponto (0, f(0)). O gra´fico de y = P2(x) pode ser interpretado como
a para´bola que melhor aproxima o gra´fico de y = f(x) perto do ponto (0, f(0)), e assim
por diante. Observe que, estritamente falando, Pn(x) pode ter grau ≤ n.
Exerc´ıcio. Se f(x) = cos(x), calcule P0(x), P1(x), P2(x), P3(x), P4(x) e plote os gra´ficos
de cada um destes polinoˆmios num mesmo sistema de eixos, juntamente com o gra´fico de
f(x).
Depois de fazer este exerc´ıcio, o aluno provavelmente tera´ notado que, a` medida
que n aumenta, o polinoˆmio Pn(x) aproxima cada vez melhor o gra´fico de cosx perto de
x = 0. Um dos nossos objetivos sera´ tornar precisa uma tal afirmac¸a˜o, e ate´ estimar o
erro da aproximac¸a˜o.
Exerc´ıcio . Prove que o polinoˆmio de Taylor Pn(x) em torno de x = 0 para f(x) = e
x e´
Pn(x) = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · x
n
n!
.
Exerc´ıcio. Calcule Pn(x) para: (a) f(x) = cos x; (b) f(x) = sen x.
Para cada um dos exemplos acima, gostar´ıamos de provar a seguinte afirmac¸a˜o:
para cada x fixado, Pn(x) converge para f(x) quando n → ∞. A pro´xima etapa do
nosso estudo consiste em formalizar tal tipo de afirmac¸a˜o, para enta˜o investigar formas
de prova´-la.
II. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES
Chamamos sequeˆncia (infinita) a uma colec¸a˜o de nu´meros reais
a0, a1, a2, · · · , an, · · ·
indexados pelos nu´meros inteiros n ≥ 0 (mas observe que tambe´m consideramos sequeˆncias
que teˆm como ı´ndice inicial n = 1, ou n = 2, etc). Denotamos esta sequeˆncia por {an} ou
(an).
Dizemos que a sequeˆncia (an) e´ convergente se existe um nu´mero real L de modo
que a seguinte propriedade vale:
Qualquer intervalo centrado em L conte´m todos os termos an da sequeˆncia, exceto
possivelmente para um nu´mero finito de ı´ndices n.
Neste caso dizemos que (an) converge para L, e que L e´ o limite da sequeˆncia;
escrevemos enta˜o lim
n→∞
an = L.
Intuitivamente, os nu´meros an na reta “se acumulam” em torno do nu´mero L.
Exerc´ıcio. Prove, usando esta definic¸a˜o, que a sequeˆncia (an) definida por an = n
−1
converge para 0. Idem para an = n
−p, onde p > 0.
Observe que as sequ¨eˆncias abaixo na˜o convergem:
1,−1, 1,−1, . . . = ((−1)n);
2
1, 2, 3, 4, 5, . . . = (n).
Muitas vezes, os an sa˜o dados por uma expressa˜o da forma an = f(n), onde f e´ uma
func¸a˜o definida para todos os nu´meros reais positivos. Por exemplo, se an = 1/n, enta˜o
podemos tomar f(x) = 1/x. Nem sempre reconhecemos os termos de uma sequeˆncia sob
esta forma, como no caso das sequeˆncias {(−1)n} e { n!
nn
}; no entanto, muitas vezes isto
e´ poss´ıvel, e enta˜o e´ u´til observar o seguinte fato, relacionando limites de sequeˆncias a
limites no infinito de func¸o˜es:
• Se lim
x→∞
f(x) = L, enta˜o lim
n→∞
f(n) = L
Isto e´ consequeˆncia das definic¸o˜es de limite para func¸o˜es e para sequeˆncias; a demons-
trac¸a˜o sera´ omitida. Entenda intuitivamente o resultado por meio do gra´fico da func¸a˜o
f(x).
Exerc´ıcio. Calcule o limite das seguintes sequeˆncias:
an =
ln(n)
n
; an = n
1/n; an =
senn
n
; an = p
1
n
(no u´ltimo item, p e´ um nu´mero positivo fixado.)
Exerc´ıcio. Prove que se a e´ um nu´mero real qualquer,
lim
n→∞
(
1 +
a
n
)n
= ea.
Como no caso de limites de func¸o˜es, com muita frequeˆncia se calculam limites de
sequeˆncias a partir de limites ja´ conhecidos, utilizando as propriedades do limite em
relac¸a˜o a`s operac¸o˜es elementares. Listamos abaixo estas propriedades; as demonstrac¸o˜es
sera˜o omitidas.
Se lim
n→∞
an e lim
n→∞
bn existem, enta˜o
• lim
n→∞
(an + bn) = lim
n→∞
an + lim
n→∞
bn
• lim
n→∞
(anbn) = ( lim
n→∞
an)( lim
n→∞
bn)
• Se lim
n→∞
bn 6= 0 enta˜o lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
an
lim
n→∞
bn
Sequeˆncias crescentes e decrescentes: No caso em que a sequeˆncia {an} e´ crescente, isto
e´, an ≤ an+1 para todo n, temos o seguinte crite´rio para convergeˆncia:
• Uma sequeˆncia crescente e´ convergente se e somente se ela e´ limitada superiormente.
Por sequeˆncia limitada superiormente entendemos uma sequeˆncia para a qual existe
uma constante M tal que an ≤ M para todo n. Se a sequeˆncia e´ crescente, o menor
de tais nu´meros M e´ precisamente o limite desta sequeˆncia - fac¸a uma figura para se
convencer disto; a demonstrac¸a˜o formal deste fato sera´ omitida.
Temos um resultado ana´logo para sequeˆncias decrescentes (enuncie-o).
3
OBS. No livro de James Stewart (quarta edic¸a˜o) ha´ uma terminologia usada incor-
retamente, que aproveitamos para corrigir: uma sequeˆncia e´ dita mono´tona se e´ crescente
ou decrescente. Assim, reformulamos os resultados anteriores como: “uma sequeˆncia
mono´tona e´ convergente se e somente se e´ limitada.” Note tambe´m que em alguns textos
chama-se (an) de sequeˆncia crescente se an < an+1 para todo n; aqui preferimos chamar
tais sequeˆncias de estritamente crescentes.
Exerc´ıcio. Deˆ exemplo de: (i) sequeˆncia limitada que na˜o e´ convergente; (ii) sequeˆncia
crescente que na˜o e´ convergente; (iii) sequeˆncia convergente que na˜o e´ crescente nem de-
crescente. Por outro lado, justifique: toda sequeˆncia convergente e´ limitada.
Exerc´ıcio. Prove que a sequeˆncia
√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . . e´ crescente e limitada supe-
riormente, e portanto convergente. A seguir, use o fato que os termos da sequeˆncia sa˜o
dados recursivamente por an+1 =
√
2an para calcular o limite da sequeˆncia. (Note que
para uma sequeˆncia convergente (an) qualquer, lim
n→∞
an+1 = lim
n→∞
an.)
Se´ries nume´ricas.
Voltamos agora ao problema de aproximar uma func¸a˜o por seu polinoˆmio de Taylor
Pn(x) = a0 +a1x+a2x
2 + . . .+anx
n. Para cada x fixado, nos perguntamos se a sequeˆncia
(sn) = (Pn(x)) converge para f(x). Por sua vez, cada termo da sequeˆncia (sn) pode ser
constru´ıdo a partir da sequeˆncia bn = anx
n: temos sn = b0 + b1 + . . . bn.
Isto motiva, mais geralmente,a seguinte definic¸a˜o: Dada uma sequeˆncia (bn), es-
crevemos
∑∞
0 bn para denotar o limite das somas parciais sn = b0 + b1 + . . . bn. Portanto
∞∑
n=0
bn = lim
n→∞
sn.
Caso este limite na˜o exista, dizemos que
∑∞
0 bn diverge.
Nos referimos a
∑∞
0 bn como uma se´rie infinita, ou “soma infinita”. Sem du´vida
isto e´ um abuso de notac¸a˜o: esta expressa˜o e´ definida como um limite de somas (as somas
parciais), visto que na˜o faz sentido somar uma quantidade infinita de nu´meros. O nu´mero
bn e´ chamado n−e´simo coeficiente ou n−e´simo termo da se´rie
∑∞
0 bn.
Usando esta nova terminologia, repomos nossa questa˜o central da seguinte forma: a
se´rie ∞∑
0
f (n)(0)
n!
xn,
chamada se´rie de Taylor de f(x) em torno de x = 0, converge para f(x)? Antes de
tratarmos do assunto espec´ıfico de se´ries de Taylor, consideraremos inicialmente as se´ries
nume´ricas gerais.
De importaˆncia fundamental no nosso estudo sa˜o as se´ries geome´tricas
∞∑
n=0
rn.
Aqui, r e´ um nu´mero real fixado. Para investigarmos a convergeˆncia desta se´rie,
consideramos a n-e´sima soma parcial sn = 1 + r + r
2 + . . . rn. Como rsn = r + r
2 + . . .+
4
rn + rn+1, enta˜o subtraindo estas relac¸o˜es obtemos (para r 6= 1)
sn =
1− rn+1
1− r .
Usando esta fo´rmula, podemos concluir:
• Se |r| < 1, a se´rie geome´trica converge e ∑∞n=0 rn = 11−r ;
• Se |r| ≥ 1, a se´rie geome´trica diverge.
Propriedades elementares de se´ries convergentes. A partir do conhecimento de al-
gumas se´ries convergentes, e´ poss´ıvel construir va´rias outras em vista das seguintes pro-
priedades:
I. Se
∑∞
n=0 an e
∑∞
n=0 bn convergem, enta˜o
∑∞
n=0(an + bn) tambe´m converge, e vale
∞∑
n=0
(an + bn) =
∞∑
n=0
an +
∞∑
n=0
bn.
II. Se
∑∞
n=0 an converge e c e´ uma constante, enta˜o
∑∞
n=0 can converge e
∞∑
n=0
can = c
∞∑
n=0
an.
Vamos verificar a primeira propriedade; a verificac¸a˜o da segunda e´ deixada como exerc´ıcio.
Suponha que
∑∞
n=0 an e
∑∞
n=0 bn convergem. Se sn = a0 + . . . + an e tn = b0 + . . . bn sa˜o as
sequeˆncias de somas parciais destas se´ries, enta˜o por definic¸a˜o de convergeˆncia de se´ries,
∞∑
n=0
an = lim
n→∞ sn,
∞∑
n=0
bn = lim
n→∞ tn.
Mas a n-e´sima soma parcial da se´rie
∑∞
n=0(an + bn) e´
un = (a0 + b0) + (a1 + b1) + . . .+ (an + bn) = (a0 + a1 + . . . an) + (b0 + b1 + . . .+ bn) = sn + tn,
e assim
lim
n→∞un = limn→∞ sn + limn→∞ tn,
isto e´,
∞∑
n=0
(an + bn) =
∞∑
n=0
an +
∞∑
n=0
bn
.
Uma condic¸a˜o necessa´ria para a convergeˆncia de uma se´rie. Observamos agora que para
uma se´rie
∑∞
n=0 an ser convergente, e´ necessa´rio que o termo geral convirja para zero.
• Se ∑∞n=0 an converge, enta˜o limn→∞ an = 0.
5
De fato, podemos escrever o termo geral an como an = sn − sn−1. Se
∑∞
n=0 an converge,
enta˜o por definic¸a˜o limn→∞ sn existe; chame este limite L. Enta˜o tambe´m temos limn→∞ sn−1 =
L, e portanto limn→∞ an = L− L = 0.
Note entretanto que a rec´ıproca do resultado que acabamos de provar na˜o e´ ver-
dadeira. A se´rie harmoˆnica ∞∑
n=0
1
n
fornece um exemplo de uma se´rie divergente, apesar do termo geral convergir para zero.
(A divergeˆncia desta se´rie sera´ provada em aula.)
O resultado anterior e´ u´til como uma condic¸a˜o suficiente para provar que uma se´rie
diverge, pois podemos reformula´-lo como segue:
• Se limn→∞ an 6= 0, enta˜o
∑∞
n=0 an diverge.
Exerc´ıcio. Verifique que as seguintes se´ries divergem:
∞∑
n=0
n1/n;
∞∑
n=0
n sen
1
n
.
Se´ries com termos positivos
Suponha agora que
∑∞
n=0 an e´ uma se´rie com an ≥ 0 para todo n. Enta˜o a sequeˆncia
de somas parciais sn = a0 + a1 + . . . + an e´ crescente, e portanto a condic¸a˜o para que∑∞
n=0 an convirja e´ que a sequeˆncia de somas parciais seja limitada. Expressamos isto
mais informalmente do seguinte modo:
• Se an ≥ 0 para todo n, enta˜o
∑∞
n=0 an e´ convergente se e somente se e´ limitada.
Observe que neste enunciado basta supor que an ≥ 0 para n suficientemente grande;
pois se an ≥ 0 para n ≥ N , enta˜o podemos escrever cada soma parcial sn (n ≥ N) sob
a forma k + aN + aN+1 + . . . + an, onde k = a0 + . . . + aN−1, e a convergeˆncia da se´rie
original e´ equivalente a` convergeˆncia da se´rie de termos positivos
∑∞
n=N an. Em va´rios re-
sultados que enunciaremos a seguir, que dizem respeito a convergeˆncia de se´ries, podemos
substituir uma frase do tipo “an satisfaz a propriedade P para todo n” por “an satisfaz
a propriedade P para todo n suficientemente grande.” Deixamos a cargo do aluno fazer
estas generalizac¸o˜es em cada caso.
Exemplo. A se´rie
∑∞
n=1 1/n
2 e´ convergente.
Como os termos sa˜o positivos, basta ver que a soma e´ limitada. Para ver isto, agrupe os
termos da seguinte forma:
1 + 1/22 + (1/32 + 1/42) + (1/52 + 1/62 + 1/72 + 1/82) + (1/92 + . . .+ 1/162) + . . . .
Como todos os termos em cada pareˆntesis sa˜o menores que o termo precedendo imediatamente
o pareˆntesis, vemos que esta soma e´ menor que
1 + 1/4 + 2.1/22 + 4.1/42 + 8.1/82 + . . . = 1/4 + 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 + . . . = 1/4 + 2 = 9/4;
na penu´ltima desigualdade usamos que a se´rie geome´trica para r = 1/2 vale 2. Assim, a se´rie
de termos positivos
∑∞
n=1 1/n
2 e´ limitada e consequ¨entemente convergente.
6
Observe que este me´todo de provar convergeˆncia e´ indireto: na˜o nos indica o valor
da se´rie, mas apenas uma estimativa superior (9/4 neste caso.)
OBS. O valor desta se´rie foi calculado pela primeira vez por Euler:
∑∞
n=1 1/n
2 = pi2/6.
De modo similar podemos mostrar que se p > 1 (onde p e´ nu´mero real, na˜o ne-
cessariamente inteiro), a se´rie
∑∞
n=1 1/n
p e´ convergente. Basta modificar ligeiramente o
argumento anterior, considerando uma se´rie geome´trica com r = 1/2p−1.
O teste da comparac¸a˜o. Podemos provar a convergeˆncia de uma se´rie de termos posi-
tivos “comparando” com uma se´rie convergente conhecida. Mais precisamente temos o
“teste da comparac¸a˜o”:
• Suponha que ∑∞0 bn converge. Se 0 ≤ an ≤ bn para todo n, enta˜o ∑∞0 an converge.
Isto e´ uma consequeˆncia imediata do resultado anterior; pois como an ≤ bn, temos para as somas
parciais a0 + a1 + . . .+ an ≤ b0 + b1 + . . .+ bn e enta˜o
∑∞
0 an e´ uma se´rie de termos positivos
limitada pelo nu´mero
∑∞
0 bn; portanto,
∑∞
0 an converge.
Temos o seguinte resultado para verificar que uma se´rie de termos positivos diverge:
• Suponha que ∑∞0 an diverge. Se 0 ≤ an ≤ bn para todo n, enta˜o ∑∞0 bn diverge.
Isto claramente e´ equivalente ao teste da comparac¸a˜o enunciado acima.
Exerc´ıcio. Verifique se as seguintes se´ries sa˜o convergentes ou divergentes, e prove a
sua afirmac¸a˜o:
∞∑
1
arctgn
n4
;
∞∑
2
1
(lnn)2n
;
∞∑
2
n1/n
(lnn)2n
;
∞∑
1
1
(2n)!
;
∞∑
1
lnn
n3
;
∞∑
1
lnn
n
;
∞∑
1
1√
n
.
Exerc´ıcio. Defina uma expansa˜o decimal da forma
n. a1a2a3 · · ·
(onde n, ai sa˜o nu´meros inteiros e 0 ≤ ai ≤ 9) em termos de uma se´rie, e prove que
esta se´rie e´ convergente, por meio de comparac¸a˜o com uma se´rie geome´trica. Portanto a
expressa˜o acima de fato define um nu´mero real.
Exerc´ıcio. (a) Prove que 0, 333 · · · = 1/3;
(b) Prove que 0, 999 · · · = 1;
(c) Expresse 2, 13271271271271 · · · como uma frac¸a˜o.
Convergeˆncia absoluta. O crite´rio da comparac¸a˜o se aplica apenas para se´rie de termos
positivos. Quando a se´rie na˜o e´ desta forma, muitas vezes (mas nem sempre!) podemos
reduzir o problema de convergeˆncia da se´rie a um problema de convergeˆncia de se´ries de
termos positivos, em vista do resultado seguinte:
Teorema. Se
∑∞
0 |an| converge, enta˜o
∑∞
0 an converge.
7
Quando uma se´rie
∑∞
0 an e´ tal que
∑∞
0 |an| converge, dizemos que
∑∞
0 an converge
absolutamente. Em vista desta definic¸a˜o, podemos reenunciar o teorema como se segue:
Teorema. Se
∑∞
0 an e´ absolutamente convergente, , enta˜o
∑∞
0 an e´ convergente.
Demonstrac¸a˜o. Observe que
0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Assim, como por hipo´tese
∑∞
0 |an| converge, temos pelo teste da comparac¸a˜o para
se´ries com termos positivos que
∑∞
0 (an+ |an|) converge. Mas enta˜o
∑∞
0 an e´ convergente,
pois podemos expressaresta se´rie como soma de duas se´ries convergentes:
∞∑
0
an =
∞∑
0
(an + |an|)−
∞∑
0
|an|.
Exerc´ıcio. Prove que as seguintes se´ries sa˜o convergentes:
∞∑
1
(−1)n+1
n2
;
∞∑
1
cosn
n2
;
∞∑
1
lnn+ (−1)n+1n
n3
Observamos, entretanto, que uma se´rie pode convergir sem que convirja absoluta-
mente. Mostraremos adiante, por exemplo, que
∑∞
1
(−1)n
n
converge, embora na˜o convirja
absolutamente.
O teste da raiz. Um me´todo importante para provar que uma se´rie
∑∞
0 an converge
absolutamente consiste em tentar comparar a se´rie
∑∞
0 |an| com uma se´rie geome´trica∑∞
0 r
n com 0 < r < 1.
Em suma, se conseguirmos mostar que para uma certo r com 0 < r < 1,
|an| ≤ rn,
enta˜o como aquela se´rie geome´trica converge, vemos pelo teste da comparac¸a˜o que
∑∞
0 |an|
converge, isto e´,
∑∞
0 an converge absolutamente. De fato, basta que a desigualdade acima valha
para n suficientemente grande (pois como ja´ observamos, verificar a convergeˆncia de
∑∞
0 |an| e´
equivalente a verificar a convergeˆncia de
∑∞
k |an|.) Podemos reformular nossa conclusa˜o do
seguinte modo:
• Se |an| 1n ≤ r para todo n suficientemente grande, onde r e´ uma constante positiva
< 1, enta˜o
∑∞
0 an converge absolutamente.
No entanto, este resultado e´ mais facilmente aplicado sob a seguinte forma, usual-
mente chamado “teste da raiz”:
Teorema. Suponha que L = lim
n→∞
|an| 1n existe. Enta˜o:
(a) Se L < 1, a se´rie
∑∞
0 an converge absolutamente (em particular, ela converge);
(b) Se L > 1, a se´rie
∑∞
0 an diverge.
O item (a) e´ consequeˆncia do resultado enunciado anteriormente; de fato, se limn→∞ |an| 1n =
L < 1, e se r e´ qualquer nu´mero tal que L < r < 1, enta˜o a definic¸a˜o de limite implica que
|an| 1n < r para n suficientemente grande (por queˆ? justifique!) e enta˜o podemos usar o resultado
8
anterior.
O item (b) segue do fato que, se L > 1, temos similarmente que |an| 1n > 1 para n suficientemente
grande, ou seja |an| > 1; em particular na˜o pode ser verdade que limn→∞ an = 0, e portanto a
se´rie diverge.
Observe que o teorema na˜o nos da´ informac¸a˜o quando L = 1, como as se´ries
∑∞
0
1
n
e∑∞
0
1
n2
mostram: para ambas as se´ries, obtemos L = 1 (verifique isto), mas a primeira di-
verge e a segunda converge. O teorema tambe´m na˜o da´ nenhuma informac¸a˜o se lim
n→∞
|an| 1n
na˜o existir.
Exerc´ıcio. Use o teste da raiz para verificar se as seguintas se´ries convergem:
∞∑
1
(−2)n
n2
;
∞∑
1
(−2)n
nn
;
∞∑
1
(
3n− 5
7n− 8
)n
O teste da raza˜o. Outro teste muito importante, e muitas vezes mais facilmente aplica´vel
que o teste da raiz, e´ o teste da raza˜o enunciado a seguir.
Teorema. Suponha que a se´rie
∑∞
0 an e´ tal que
L = lim
n→∞
|an+1
an
|
existe. Enta˜o:
(a) Se L < 1, a se´rie converge (absolutamente);
(b) Se L > 1, a se´rie diverge.
Como no teste da raiz, o caso L = 1 na˜o nos da´ nenhuma informac¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o do teste da raza˜o.
(a) Suponha L < 1, e seja r um nu´mero satisfazendo L < r < 1. Para n suficientemente grande
temos |an+1||an| < r, isto e´, |an+1| < r|an|. Por simplicidade suponha que isto vale para todo n
(sena˜o, se isto vale a partir de n = k, observe que basta verificar a convergeˆncia ou divergeˆncia
de
∑∞
k an, e enta˜o podemos reindexar os ı´ndices desta se´rie: b0 = ak, b1 = ak+1, . . . e aplicar o
argumento abaixo para
∑∞
0 bn.) Portanto
|a1| < r|a0|, |a2| < r|a1| < r2|a0|, . . . , |an| < rn|a0|.
Assim, a se´rie
∑∞
0 |an| pode ser comparada com a se´rie
∑∞
0 r
n|a0| = |a0|
∑∞
0 r
n (que e´ uma
se´rie geome´trica convergente, ja´ que tomamos r com 0 ≤ r < 1.) O teste da comparac¸a˜o agora
nos garante que
∑∞
0 |an| converge.
A demonstrac¸a˜o do item (b) e´ similar a`quela para o teste da raiz e sera´ omitida.
Exerc´ıcio. Use o teste da raza˜o para verificar se as seguintes se´ries sa˜o convergentes
ou divergentes:
∞∑
0
n!
en
;
∞∑
0
en
n!
;
∞∑
0
n2
2n
;
∞∑
0
an
n!
;
∞∑
0
nn
n!
.
9
No penu´ltimo item, a e´ uma constante qualquer. Voceˆ verificara´ que esta se´rie
converge, qualquer que seja a constante a. Se lembrarmos agora que a se´rie de Taylor
para ex em torno de x = 0 e´ dada por
∞∑
n=0
xn
n!
,
conclu´ımos o seguinte: a se´rie de Taylor de ex e´ convergente para todo x ∈ R. Observe
que na˜o mostramos ainda, no entanto , que a soma da se´rie e´ de fato igual a ex.
Ainda estudaremos, ao longo destas notas, outros testes de convergeˆncia para se´ries
nume´ricas: o teste para se´ries alternadas (teste de Leibniz), o teste da integral e o se-
gundo teste da comparac¸a˜o. Pore´m, o que aprendemos ate´ o momento ja´ e´ suficiente para
analisarmos as se´ries de poteˆncias, um cap´ıtulo de suma importaˆncia em nosso estudo, e
em especial as se´ries de Taylor.
III. SE´RIES DE POTEˆNCIAS
Uma se´rie de poteˆncias e´ uma expressa˜o da forma
∞∑
n=0
anx
n,
onde a0, a1, a2, . . . sa˜o constantes. Por exemplo, a se´rie de Taylor em torno da origem de
uma func¸a˜o f(x) e´ uma se´rie de poteˆncias. A pergunta relevante aqui e´ a seguinte:
Q. Para que valores de x a se´rie de poteˆncias
∑∞
n=0 anx
n converge?
E´ o´bvio que a se´rie converge quando x = 0; portanto e´ natural perguntar se a se´rie
de poteˆncias converge para algum x 6= 0, e em caso afirmativo qual e´ o conjunto de todos
os tais nu´meros (a “regia˜o de convergeˆncia” da se´rie.)
Por exemplo, ja´ vimos que a se´rie geome´trica
∞∑
n=0
xn
converge para |x| < 1, e a se´rie de Taylor de ex converge para todo x.
Exerc´ıcio. Verifique para que valores de x as seguintes se´ries de poteˆncias convergem:
(a)
∑∞
n=0 nx
n;
(b)
∑∞
n=0 x
n/n2;
(c)
∑∞
n=0 n
nxn;
(d)
∑∞
n=0 x
n!
(e)
∑∞
n=0(−1)nxn
(f) A se´rie de Taylor para f(x) = cos x em torno da origem.
Sugesta˜o: primeiro veja que informac¸a˜o podemos obter pelo teste da raza˜o ou da
raiz; a seguir, examine separadamente a convergeˆncia para aqueles valores de x tais que
o teste usado na˜o da´ informac¸a˜o.
10
Teorema. Dada uma se´rie de poteˆncias
∑∞
n=0 anx
n, uma das seguintes situac¸o˜es ocorre:
(a) A se´rie de poteˆncias diverge para todo x 6= 0, ou
(b) A se´rie de poteˆncias converge (absolutamente) para todo x, ou
(c) Existe uma nu´mero R > 0 tal que a se´rie converge (absolutamente) para |x| < R e
diverge para |x| > R.
O nu´mero R e´ chamado raio de convergeˆncia e o intervalo (−R,R) e´ o intervalo
(aberto) de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias. No caso (a) pomos R = 0, e no caso (b)
R =∞. Assim, o raio de convergeˆncia da se´rie geome´trica e´ R = 1, e o da se´rie de Taylor
para ex e´ R = ∞. Note que no caso (c) acima, o conjunto de todos os pontos em que a
se´rie converge pode ser da forma (−R,R), [−R,R), (−R,R] ou [−R,R].
Exerc´ıcio. Qual e´ o raio de convergeˆncia de cada se´rie no exerc´ıcio anterior?
Diferenciac¸a˜o e integrac¸a˜o de se´ries de poteˆncias. Se uma se´rie
∑∞
n=0 anx
n de poteˆncias
tem raio de convergeˆncia R > 0, podemos considerar a func¸a˜o
f(x) =
∞∑
n=0
anx
n para |x| < R.
O resultado a seguir (cuja demonstrac¸a˜o te´cnica e´ omitida) nos diz que a derivada
de f(x) e´ obtida derivando a se´rie termo a termo, e que a integral indefinida e´ obtida
integrando termo a termo.
Teorema. Suponha que a se´rie de poteˆncias
∑∞
n=0 anx
n tem raio de convergeˆncia R > 0.
Enta˜o
d
dx
( ∞∑
n=0
anx
n
)
=
∞∑
n=1
nanx
n−1 para |x| < R.
∫ ( ∞∑
n=0
anx
n
)
=
∞∑
n=0
an
n+ 1
xn+1 + C para |x| < R.
Ale´m disso, os raios de convergeˆncia das se´ries
∞∑
n=1
nanx
n−1 e
∞∑
n=0
an
n+ 1
xn+1
sa˜o iguais a R.
Como uma consequeˆncia da diferenciac¸a˜o termo a termo, obtemos o seguinte fato:
se uma func¸a˜o e´ definida em um certo intervalo por uma se´rie de poteˆncias, enta˜o os
coeficientes desta se´rie de poteˆncias sa˜o unicamente determinados.
Teorema. Se f(x) admite duas representac¸o˜es como se´ries de poteˆncias, f(x) =
∑∞
n=0 anx
n
e f(x) =
∑∞
n=0 bnx
n, enta˜o an = bn para todo n. De fato, temos
an =
f (n)(0)
n!
.
11
A demonstrac¸a˜o e´ similar a` que demos, no in´ıcio das notas, para a determinac¸a˜o dos
coeficientes para polinoˆmios deTaylor.
Vamos mostrar agora uma aplicac¸a˜o destes dois teoremas na determinac¸a˜o das se´ries
de Taylor de algumas func¸o˜es ba´sicas. Primeiro note que podemos interpretar a igualdade
1 + x+ x2 + x3 + . . .+ xn + . . . =
1
1− x para |x| < 1
como o fato que a se´rie de Taylor para f(x) = 1
1−x em torno de x = 0 e´
∑∞
n=0 x
n. Voceˆ
pode verificar isto calculando os coeficientes da se´rie de Taylor em termos das derivadas
de 1
1−x , mas e´ mais simples observar que como a se´rie geome´trica e´ uma se´rie de poteˆncias
que e´ igual a 1
1−x (no intervalo (−1, 1)), enta˜o pelo teorema anterior ela e´ necessariamente
a se´rie de Taylor para 1
1−x .
Segue que a se´rie de Taylor para 1
1+x
e´
∑∞
n=0(−1)nxn e vale 11+x =
∑∞
n=0(−1)nxn
para |−x| < 1, isto e´, |x| < 1. Similarmente, calculando esta expressa˜o em x2, vemos que
1
1 + x2
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n para |x| < 1
(pois a condic¸a˜o |x2| < 1 e´ equivalente a |x| < 1. )
Agora, se integrarmos termo a termo, obtemos
arctgx =
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1 = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ . . . para |x| < 1.
(a constante de integrac¸a˜o deve ser nula pois arctg 0 = 0.)
Note que na˜o so´ calculamos a se´rie de Taylor para arctgx, mas tambe´m provamos
que a se´rie converge para a func¸a˜o no intervalo (−1, 1) (o intervalo de convergeˆncia da
se´rie.) Compare isto com o que provamos ate´ o momento para a se´rie de Taylor de ex:
vimos que ela converge, mas na˜o obtivemos ainda que a soma e´ igual a ex.
Atenc¸a˜o. Observe que, apesar da func¸a˜o arctgx estar definida para todo x, na˜o temos
a igualdade desta func¸a˜o com sua se´rie de Taylor para todo x; de fato, como o raio de
convergeˆncia da se´rie de poteˆncias obtida e´ 1, a se´rie diverge para |x| > 1 e a identidade
vale apenas para |x| < 1. Muita atenc¸a˜o ao manipular com se´ries de poteˆncias como
fizemos acima: em cada etapa, e´ necessa´rio entender para que valores de x a identidade
considerada e´ va´lida.
Na verdade pode ser provado que a igualdade
x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ . . . = arctgx
tambe´m vale para x = 1,−1. (Isto na˜o e´ o´bvio, e omitiremos a explicac¸a˜o.) Como
arctg 1 = pi/4, obtemos a nota´vel identidade
pi
4
= 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+ . . .
12
Exerc´ıcio. Raciocinando nas mesmas linhas, obtenha a se´rie de Taylor para ln(1+x) em
torno de x = 0. Qual e´ o raio de convergeˆncia R desta se´rie? Prove, usando os teoremas
anteriores, que a se´rie de Taylor para ln(1 + x) converge para esta func¸a˜o no intervalo
(−1, 1). Admitindo que a expansa˜o tambe´m vale para x = 1 (o que e´ va´lido, mas na˜o
sera´ provado aqui), obtenha uma expressa˜o para ln 2 como uma se´rie nume´rica.
Exerc´ıcio. Calcule o valor das se´ries (para |x| < 1):
∞∑
n=1
nxn−1;
∞∑
n=1
nxn;
∞∑
n=1
n(n− 1)xn;
∞∑
n=1
n
2n
;
∞∑
n=1
n2 − n
2n
;
∞∑
n=1
n2
2n
.
Exerc´ıcio. Calcule a se´rie de Taylor em torno de x = 0 para as func¸o˜es abaixo, as-
sim como o raio de convergeˆncia da se´rie:
p(x) =
x3
1 + x
; f(x) = x arctgx; g(x) =
∫ x
0
e−t
2
dt; h(x) =
ln(1 + x)
x
.
(Com respeito a esta u´ltima func¸a˜o, que a princ´ıpio na˜o esta´ definida em x = 0, observe
que e´ natural defini-la a´ı pondo h(0) = 1; por queˆ?)
Se´ries de poteˆncias centradas em x = c. Mais geralmente, uma expressa˜o da forma
∞∑
n=0
an(x− c)n
(onde c e´ uma constante) e´ chamada uma se´rie de poteˆncias centrada em x = c. O
raio de convergeˆncia da se´rie e´ o nu´mero R com a seguintes propriedade: a se´rie converge
(absolutamente) para |x−c| < R e diverge para |x−c| > R. Portanto o intervalo (aberto)
de convergeˆncia agora e´ (c−R, c+R), isto e´, o intervalo de raio R centrado em c.
Se f(x) e´ uma func¸a˜o infinitamente diferencia´vel, podemos definir sua se´rie de Taylor
em torno de x = c de modo ana´logo ao que fizemos no caso c = 0:
∞∑
n=0
f (n)(c)
n!
(x− c)n
Para justificar esta definic¸a˜o, o aluno deve verificar a seguinte propriedade: a n-
e´sima soma parcial desta se´rie e´ o polinoˆmio de grau n que tem as mesmas derivadas em
x = c que f(x), ate´ a ordem n. (Repita o procedimento usado na primeira sec¸a˜o.)
Assim como no caso c = 0, se uma func¸a˜o pode ser escrita como uma se´rie de
poteˆncias centrada em x = c, enta˜o esta representac¸a˜o da func¸a˜o e´ u´nica, isto e´, a se´rie
de poteˆncias considerada e´ necessariamente a se´rie de Taylor da func¸a˜o em torno de x = c.
Exerc´ıcio. Seja a um nu´mero real fixado. Calcule a se´rie de Taylor de: (i) f(x) = ex
em torno de x = a; (ii) f(x) =
1
x
em torno de x = a, para a 6= 0. Qual e´ o intervalo de
convergeˆncia da se´rie?
13
IV. APROXIMAC¸O˜ES DE TAYLOR
Dada uma func¸a˜o f(x), nos perguntamos se sua se´rie de Taylor em torno de x = c
coincide, no seu intervalo de convergeˆncia, com a func¸a˜o f .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(c)
n!
(x− c)n?
Escrevendo Pn(x) =
∑n
k=0
f (k)(c)
k!
(x− c)k (o n-e´simo polinoˆmio de Taylor para f(x)
em torno de x = c), definimos o resto de ordem n como Rn = f(x)− Pn(x). Portanto,
f(x) = Pn(x) +Rn(x).
Para provar que a se´rie de Taylor centrada em x = c de f(x) converge para f(x)
num intervalo |x − c| < R, temos de provar que para cada x neste intervalo a sequeˆncia
Pn(x) converge para f(x), e isto a equivalente a provar que
lim
n→∞
Rn(x) = 0 para |x− c| < R.
Vamos procurar desenvolver me´todos para tratar esta questa˜o, dando estimativas
para o resto. O seguinte resultado e´ bastante importante: ele expressa o resto por meio de
uma integral. Aqui, supomos que f e´ uma func¸a˜o que admite derivadas de todas as ordens.
Teorema de Taylor. Temos
f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + f
′′(c)
2!
(x− c)2 + . . .+ f
(n)(c)
n!
(x− c)n +Rn(x),
onde
Rn(x) =
∫ x
c
f (n+1)(t)
n!
(x− t)n dt.
Ou seja, f(x) = Pn(x) +Rn(x), onde Rn(x) e´ dado pela expressa˜o acima (chamada
fo´rmula integral do resto.)
A demonstrac¸a˜o deste fato e´ obtida atrave´s de repetido uso de integrac¸a˜o por partes; inici-
amos observando, pelo teorema fundamental do ca´lculo, que
f(x)− f(c) =
∫ x
c
f ′(t) dt.
Integramos por partes pondo u = f ′(t), dv = 1 dt; pore´m tomamos v = t − x = −(x − t)
em vez de v = t, e obtemos assim a igualdade expressa no teorema para n = 1. Integrando
por partes novamente, obtemos a fo´rmula com n = 2, e assim sucessivamente. O aluno devera´
completar os detalhes.
A importaˆncia do teorema de Taylor esta´ no fato que a expressa˜o obtida para o
resto nos permite muitas vezes estimar este resto. Vamos ilustrar isto para a expansa˜o
da func¸a˜o f(x) = ex em torno de x = 0
Exemplo. Seja f(x) = ex, c = 0. Enta˜o como f (n+1)(t) = et, temos
Rn(x) =
∫ x
0
et
n!
(x− t)n dt.
14
Suponha por simplicidade que x > 0 (o caso x < 0 sera´ omitido; procure completar
o argumento neste caso). Como o integrando e´ positivo, temos Rn(x) > 0; ale´m disso,
como et ≤ ex para t ≤ x, temos
Rn(x) ≤
∫ x
0
ex
n!
(x− t)n dt = ex
∫ x
0
(x− t)n
n!
dt;
calculando esta u´ltima integral, obtemos
0 ≤ Rn(x) ≤ e
xxn+1
(n+ 1)!
.
Agora observe o seguinte limite: para qualquer x,
lim
n→∞
xn
n!
= 0.
(De fato, x
n
n! e´ o termo geral da se´rie de Taylor de e
x, cuja convergeˆncia voceˆ provou, para todo
x, em uma exerc´ıcio anterior; agora use o fato que se uma se´rie e´ convergente, seu termo geral
tem limite nulo.)
Voltando a` desigualdade para o resto, usando o limite acima e o teorema do confronto
para limites, obtemos limn→∞Rn(x) = 0. Assim provamos:
ex = 1 + x+
x2
2!
+ . . .
xn
n!
+ . . . para todo x :
A se´rie de Taylor de ex em torno de 0 converge para ex para todo nu´mero real x.
Observe ainda que, dado n, somos capazes de estimar o erro ao aproximar ex por
Pn(x). Por exemplo: temos, pondo x = 1, a fo´rmula
e =
∞∑
0
1
n!
.
Se agora tomamos uma soma parcial
sn = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ . . .
1
n!
,
temos, pela desigualdade acima para o resto, 0 < e− sn < e(n+1)! < 3(n+1)! .
Exerc´ıcio. (Use uma calculadora - mas apenas para fazer somas, multiplicac¸o˜es e di-
viso˜es...) Calcule e com um erro menor que 10−7.
Usando como modelo nosso estudo de ex acima, fac¸a os exerc´ıcios seguintes:
Exerc´ıcio. Prove quepara as seguintes func¸o˜es f(x) a se´rie de Taylor em torno de
x = 0 converge para f(x): (a) f(x) = cos x; (b) f(x) = sen x.
Exerc´ıcio. Obtenha uma cota superior para o maior erro poss´ıvel do polinoˆmio de
Taylor de grau n (em torno de x = 0) que aproxima cos x no intervalo [0, 1].
15
Exerc´ıcio. Qual e´ o grau do polinoˆmio de Taylor que voceˆ precisa para calcular cos 1
com precisa˜o de quatro casas decimais? E com seis casas decimais?
Se´ries alternadas. Uma se´rie e´ dita alternada se seus termos sa˜o alternadamente positivos
e negativos. Portanto uma se´rie alternada pode ser da forma
b0 − b1 + b2 − b3 + . . . onde bn ≥ 0 para todo n,
ou da forma
−c0 + c1 − c2 + c3 + . . . onde cn ≥ 0 para todo n.
No que segue, vamos supor que a se´rie e´ do primeiro tipo; note que o termo geral da
se´rie e´ an = (−1)nbn. Obviamente, uma se´rie do segundo tipo e´ o negativo de uma se´rie
do primeiro tipo.
Observe que va´rias das se´ries de Taylor que voceˆ calculou sa˜o alternadas: as se´ries
para cosx, senx sa˜o alternadas para todo x, enquanto que a se´rie para ex e´ alternada
apenas para x negativo; a se´rie de arctg x e´ alternada (mas convergente apenas para
|x| ≤ 1), etc.
Teorema (Teste de Leibniz). Suponha que uma se´rie alternada
∞∑
0
(−1)nbn (bn ≥ 0)
satisfaz :
(i) bn ≥ bn+1 para todo n (ou para n suficientemente grande);
(ii) limn→∞ bn = 0.
Enta˜o a se´rie converge.
Exemplo. A se´rie
∞∑
0
(−1)n 1
n+ 1
= 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− . . .
cumpre os requisitos deste teorema, portanto converge. Observe que temos enta˜o um
exemplo de uma se´rie que e´ convergente mas na˜o e´ absolutamente convergente, tendo em
vista que a se´rie harmoˆnica diverge.
A demonstrac¸a˜o do teorema se baseia no fato que as somas parciais de ordem ı´mpar s1, s3, s5, . . .
formam uma sequeˆncia crescente e limitada superiormente, enquanto as somas parciais de or-
dem par s0, s2, s4 . . . formam uma sequeˆncia decrescente e limitada inferiormente. De fato, para
verificar a segunda afirmac¸a˜o, por exemplo, observe que s2n+2−s2n = −b2n+1+b2n+2 ≤ 0, tendo
em vista que os bn formam uma sequeˆncia decrescente, por hipo´tese. Logo s2(n+1) ≤ s2n. Ale´m
disso, observe que
s2n = (b0 − b1) + (b2 − b3) + . . . (b2n−2 − b2n−1) + b2n ≥ 0 + 0 + . . .+ 0 + 0 = 0;
assim, {s2n} e´ decrescente e limitada inferiormente (por 0, por exemplo). Similarmente, as somas
parciais s2n+1 formam uma sequeˆncia crescente limitada superiormente (por b0, por exemplo).
Ambas as sequeˆncias acima portanto convergem, digamos para limites L1 e L2. Como todos
16
os somas parciais do tipo s2n+1 esta˜o a` esquerda das somas parciais do tipo s2n (por queˆ?),
devemos ter s2n+1 ≤ L1 ≤ L2 ≤ s2n. Mas a diferenc¸a entre s2n e s2n+1 tende a zero, pois
s2n+1 − s2n = −b2n+1 → 0 (pela hipo´tese do teorema); assim, como 0 ≤ L2 − L1 ≤ s2n − s2n+1,
devemos ter L2 = L1. Portanto a sequeˆncia sn converge para L = L1 = L2, isto e´, a se´rie∑∞
0 (−1)nbn converge. CQD.
O resultado seguinte nos da´ uma maneira simples de estimar o resto da aproximac¸a˜o
de certas se´ries alternadas por meio de suas somas parciais.
Estimativa do resto para se´rie alternadas. Considere uma se´rie alternada satis-
fazendo as hipo´teses do teorema anterior. Enta˜o, se
∑∞
0 (−1)nbn = L, temos a seguinte
estimativa para o resto Rn = L− sn da aproximac¸a˜o de L pela n-e´sima soma parcial sn:
|Rn| ≤ bn+1.
Suponha, por exemplo, que n e´ par. Enta˜o, como observamos antes, sn+1 ≤ L ≤ sn, e portanto
|Rn| = |sn − L| ≤ |sn − sn+1| = bn+1. O caso n ı´mpar e´ similar.
Exemplo. Estime e−1 com erro inferior a 10−3.
Soluc¸a˜o. Expressando a igualdade de ex com sua se´rie de Taylor para x = −1, obtemos
e−1 =
∞∑
0
(−1)n
n!
= 1− 1 + 1
2!
− 1
3!
+
1
4!
− . . . .
Observe que se trata de uma se´rie alternada com bn =
1
n!
, e que as hipo´teses do teste
de Leibniz sa˜o satisfeitas (verifique!). Temos
b7 =
1
7!
=
1
5040
<
1
5000
= 0, 0002.
Assim, a diferenc¸a entre e−1 e s6 e´ menor, em valor absoluto, que 0, 0002:
|e−1 − s6| ≤ b7 < 0, 0002.
Calculando s6, temos
s6 =
1
2
− 1
6
+
1
24
− 1
120
+
1
720
= 0, 3680 . . . ;
assim, este e´ o valor aproximado para e−1 com erro menor que 0, 0002 (em particular,
menor que 10−3).
Exerc´ıcio. Calcule ln(3/2) com erro inferior a 0, 01 (sugesta˜o: considere a se´rie de
Taylor para ln(1 + x) que voceˆ calculou anteriormente.)
Exemplo. Calcule
∫ 1
0
e−x
2
dx com erro menor que 0, 001.
Soluc¸a˜o. Usando a expansa˜o de Taylor de ex calculada em −x2, obtemos
e−x
2
= 1− x
2
1!
+
x4
2!
− x
6
3!
+ . . .+ (−1)nx
2n
n!
+ . . .
Esta expansa˜o e´ va´lida para todo x (por queˆ?)
17
Integrando termo a termo, obtemos∫ x
0
e−t
2
dt = x− x
3
3.1!
+
x5
5.2!
− x
7
7.3!
+ . . .+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1).n!
+ . . . .
Pondo x = 1, obtemos∫ 1
0
e−t
2
dt = 1− 1
3.1!
+
1
5.2!
− 1
7.3!
+ . . .+
(−1)n
(2n+ 1).n!
+ . . . .
Esta e´ uma se´rie alternada com
bn =
1
(2n+ 1)(n!)
.
Como 0 < bn <
1
n
, claramente temos limn→∞ bn = 0; ale´m disso, como (2n+ 3).(n+
1)! > (2n+ 1).n!, temos bn+1 < bn. Assim, as hipo´teses do teorema para se´ries alternadas
sa˜o todas satisfeitas, e podemos concluir que o erro da aproximac¸a˜o de
∫ 1
0
e−x
2
dx pela
n-e´sima soma parcial da se´rie acima e´ menor que bn+1.
Portanto, se consideramos a soma parcial para n = 6, por exemplo:
1− 1
3.1!
+
1
5.2!
− 1
7.3!
+
1
9.4!
= 0, 7475 . . .
temos que o erro e´ menor que 1
11.5!
= 1
1320
< 0, 001, como desejamos.
(Observe que podemos concluir, por exemplo, que a expansa˜o decimal de
∫ 1
0
e−x
2
dx
comec¸a com 0, 74 . . .; isto e´, este e´ o valor de
∫ 1
0
e−x
2
dx com precisa˜o de duas casas deci-
mais.)
Exerc´ıcio. Calcule
∫ 1
0
sen (x2) dx com precisa˜o de treˆs casas decimais.
A se´rie binomial.
Concluiremos nossas notas com um exemplo muito importante: a se´rie binomial, des-
coberta por I. Newton. De fato, estamos aqui revertendo a ordem histo´rica: original-
mente, a se´rie binomial foi descoberta por Newton sem fazer uso da se´rie de Taylor (enta˜o
desconhecida). De certa forma, foi o estudo da se´rie binomial uma das motivac¸o˜es de
Newton no desenvolvimento do ca´lculo, da´ı sua importaˆncia histo´rica.
Com o nosso conhecimento de se´ries de Taylor, pore´m, obteremos um caminho mais
ra´pido e simples que o de Newton para expandir a func¸a˜o
(1 + x)k
em se´rie de poteˆncias. Aqui, na˜o estamos supondo que k e´ uma inteiro positivo! O argu-
mento a seguir funciona para qualquer valor real de k (podendo ser inclusive negativo.)
Teorema. Seja k um nu´mero real. A se´rie de Taylor para f(x) = (1 + x)k em torno de
x = 0 (chamada se´rie binomial) e´
1 +
∞∑
n=1
k(k − 1) . . . (k − n+ 1)
n!
xn;
18
seu raio de convergeˆncia e´ R = 1, e a se´rie de Taylor converge para f(x) no intervalo
(−1, 1).
Observe que quando k e´ um inteiro positivo, podemos escrever o n-e´simo coeficiente da se´rie
acima como
k!
(k − n)!n! =
(
k
n
)
.
Neste caso, os termos da se´rie sa˜o todos nulos para n > k,e a igualdade de (1 + x)k com sua
se´rie de Taylor nada mais e´ do que a fo´rmula do binoˆmio de Newton aprendida na escola.
Note que se definirmos, motivados pelo caso que acabamos de discutir,
(
k
n
)
=
k(k − 1) . . . (k − n+ 1)
n!
para n ≥ 1; (k0) = 1
qualquer que seja a constante real k, enta˜o a se´rie binomial do teorema pode ser escrita
sob a forma
∑∞
0
(
k
n
)
xn.
Para verificarmos o teorema, primeiro calculamos as derivadas de f(x):
f (n)(x) = k(k − 1) . . . (k − n+ 1)(1 + x)k−n.
Obtemos enta˜o para os coeficientes da se´rie de Taylor:
an =
f (n)(0)
n!
=
k(k − 1) . . . (k − n+ 1)
n!
.
Assim, obtemos a fo´rmula para a se´rie de Taylor dada no enunciado do teorema.
Para calcular o raio de convergeˆncia, usaremos o teste da raza˜o. Observe que o termo geral
da se´rie e´ anx
n, logo para aplicarmos este teste temos de estudar o limite de |an+1xn+1
anxn
| =
|an+1
an
x|. Temos
|an+1|
|an| |x| =
|k(k − 1) . . . (k − n)|
(n+ 1)!
n!
|k(k − 1) . . . (k − n+ 1)| |x| =
|k − n|
n+ 1
|x|;
Como k e´ uma constante, vemosque o limite desta expressa˜o quando n → ∞ e´
L = |x|. O teste da raza˜o nos diz que a se´rie converge se L < 1 e diverge se L > 1; ou
seja: a se´rie binomial converge para |x| < 1 e diverge para |x| > 1. A convergeˆncia da
se´rie nos casos em que o teste na˜o da´ informac¸a˜o, ou seja, para x = 1 e x = −1, depende
do valor de k e na˜o sera´ tratada aqui.
A demonstrac¸a˜o de que a se´rie binomial de fato converge para (1 + x)k para |x| < 1
sera´ omitida; a estimativa do resto pela fo´rmula integral e´ mais te´cnica que aquela feita
para ex nas notas.
Exerc´ıcio. Expanda (8 + x)1/3 em se´rie de poteˆncias. Enta˜o use-a para calcular (8, 2)1/3
com erro menor que 0, 0001.
Exemplo. Como Newton calculava... Newton fez uso extensivo da se´rie binomial; a
partir desta se´rie ele calculou expanso˜es para diversas func¸o˜es. Vamos exemplificar o
19
me´todo de Newton calculando a se´rie de Taylor de f(x) = arcsenx (−1 < x < 1) em
torno de x = 0.
Primeiro notamos que
f ′(x) =
1√
1− x2 = (1− x
2)−1/2,
que e´ uma func¸a˜o da forma estudada anteriormente com k = −1/2, mas calculada em
−x2.
Assim, f ′(x) pode ser expandida numa se´rie da forma
∑∞
0 an(−x2)n, onde a0 = 1
e, para n ≥ 1,
an =
(−1/2)(−1/2− 1)(−1/2− 2) . . . (−1/2− n+ 1)
n!
,
ou seja
an =
(−1/2)(−3/2)(−5/2) . . . ((−2n+ 1)/2)(−1)n
n!
.
Esta expansa˜o e´ va´lida para | − x2| < 1, isto e´, para |x| < 1. Como (−x2)n =
(−1)nx2n, obtemos
(1− x2)−1/2 = 1 +
∞∑
n=1
1.3.5 . . . (2n− 1)
n!2n
x2n para |x| < 1.
Agora, observando que
arcsenx =
∫ x
0
(1− t2)−1/2 dt,
e integrando termo a termo a expressa˜o acima, obtemos
arcsenx = x+
∞∑
n=1
1.3.5 . . . (2n− 1)
n!2n(2n+ 1)
x2n+1 para |x| < 1.
Os primeiro termos desta expansa˜o sa˜o:
arcsenx = x+
x3
6
+
3
40
x5 +
15
336
x7 + . . .
Observe que a partir desta fo´rmula, podemos obter as derivadas de qualquer ordem
para arcsenx em x = 0. Por exemplo, comparando o se´timo coeficiente da se´rie acima
com a expressa˜o geral dos coeficientes dados pela expansa˜o de Taylor, obtemos que se
f(x) = arcsen x, enta˜o
f (7)(0)
7!
=
15
336
,
e portanto f (7)(0) = 15.7!
336
.
Exerc´ıcio. Calcule a se´rie de Taylor de f(x) =
√
1 + x2 em torno de x = 0. Use-a
para calcular f (10)(0).
20
V. TESTES ADICIONAIS DE CONVERGEˆNCIA PARA SE´RIES NUME´RICAS
Temos ainda os seguintes testes adicionais para verificar a convergeˆncia ou divergeˆncia de
se´ries nume´ricas de termos positivos.
O teste da integral
• Se f : [k,∞) → R e´ uma func¸a˜o cont´ınua positiva e decrescente, enta˜o pondo
an = f(n), temos que a se´rie
∑∞
n=k an e´ convergente se e somente se a integral
impro´pria
∫∞
k
f(x) dx e´ convergente.
Exerc´ıcio. Seja p > 0. (i) Prove que
∞∑
n=1
1
np
converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
(ii) Investigue a convergeˆncia de
∞∑
n=1
1
n(lnn)p
na dependeˆncia de p.
O teste da integral pode ser explicado por meio de um argumento geome´trico; o aluno
deve acompanhar o argumento a seguir por meio de figuras. Suponha que no enunciado k = 1,
para fixar as ide´ias. Segue do fato que f e´ decrescente que o retaˆngulo sobre o intervalo [n, n+1]
de altura an+1 = f(n + 1) esta´ situado abaixo do gra´fico de f . Comparando a´reas, temos
a2 + a3 + · · · an ≤
∫ n
1 f(x) dx. Similarmente, o retaˆngulo sobre o intervalo [n, n + 1] de altura
an = f(n) esta´ situado acima do gra´fico de f , e portanto a1 + a2 + · · · an−1 ≥
∫ n
1 f(x) dx. Se∫∞
1 f(x) dx converge, a primeira desigualdade mostra que as somas parciais de
∑∞
n=1 an sa˜o limi-
tadas superiormente (pelo nu´mero a1 +
∫∞
1 f(x) dx, por exemplo) e portanto a se´rie de termos
positivos
∑∞
n=1 an e´ convergente. Por outro lado, se
∫∞
1 f(x) dx diverge, a segunda desigualdade
mostra que as somas parciais de
∑∞
n=1 an tendem a ∞ quando n → ∞, e portanto
∑∞
n=1 an
diverge.
Estimativa do erro. Suponha agora que
∑∞
n=1 an e´ convergente e aproximamos o seu
valor s =
∑∞
n=1 an por uma soma parcial sn = a1 + a2 + · · · an; queremos estimar o erro
Rn = |s− sn| de tal aproximac¸a˜o. Sob as mesmas hipo´teses exigidas no teste da integral,
temos:
• Rn ≤
∫∞
n
f(x) dx.
Justificativa: Argumentando de modo similar a` demonstrac¸a˜o do teste da integral, observe (com-
parando a´reas) que Rn = an+1 + an+2 + · · · ≤
∫∞
n f(x) dx.
Exemplo. Ao aproximarmos
∑∞
1
1
n4
por 1 + 1
24
+ 1
34
+ · · · + 1
104
, o erro cometido na˜o
ultrapassa
∫∞
10
1
x4
dx = 1
3000
.
O “segundo teste da comparac¸a˜o”
• Sejam ∑∞0 an e ∑∞0 bn se´ries de termos positivos. Suponha que ∑∞0 bn converge.
Se lim
n→∞
an
bn
= c para algum nu´mero real c, enta˜o
∑∞
0 an converge.
A justificativa e´ baseada no fato que, como anbn esta´ pro´ximo de c para n grande, enta˜o se tomar-
mos um nu´mero M maior que c seguira´ que para n suficientemente grande anbn < M , ou seja
21
an < Mbn. O resultado agora segue do teste da comparac¸a˜o usual.
Note ainda que se lim
n→∞
an
bn
= c e c 6= 0, enta˜o lim
n→∞
bn
an
= 1/c e podemos concluir,
pelo resultado anterior, que a convergeˆncia de
∑∞
0 an implica na convergeˆncia de
∑∞
0 bn.
Assim:
• Se ∑∞0 an e ∑∞0 bn sa˜o se´ries de termos positivos e limn→∞ anbn = c para algum nu´mero
c 6= 0, enta˜o ambas as se´ries convergem ou ambas as se´ries divergem.
Exerc´ıcio. Verifique se a se´rie converge: (i)
∞∑
n=2
n+ 3
3
√
n7 − n2 ; (ii)
∞∑
n=1
sen(
1
n
). Em cada
caso, perceba primeiro que na˜o e´ claro como usar o (primeiro) teste da comparac¸a˜o;
voceˆ enta˜o deve procurar uma se´rie de termos positivos, cuja convergeˆncia ou divergeˆncia
ja´ seja conhecida, que possa ser comparada com a se´rie dada no sentido do segundo
teste da comparac¸a˜o. Por exemplo, para a se´rie (i) deve ser u´til comparar com a se´rie
∞∑
n=2
n
3
√
n7
=
∞∑
n=2
1
n4/3
. Complete o argumento.
22