Dimensionamento de Lajes - Roldão Araújo

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DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddee LLaajjeess 
 Lajes são peças estruturais laminares submetidas a cargas predominantemente 
normais à superfície média. 
 O detalhamento total de uma laje em concreto armado consiste no cálculo de sua 
armadura. A armadura por sua vez, é função dos momentos fletores atuantes na laje. 
Lajes Maciças: Lajes convencionais de concreto armado apoiadas em vigas. 
™ Classificação: 
Î Lajes armadas em uma direção: λ > 2 
- Apenas os bordos maiores são considerados como apoios, para fins de cálculo, 
e os momentos são calculados apenas na direção correspondente ao menor vão. 
Ex.: 
3,0 m
7,0 m
apoios
 
λ = maior lado da laje/menor lado da laje 
λ = 7/3 
λ = 2,33 
(1 direção) 
Î Lajes armadas em duas direções (em cruz): λ ≤ 2 
- Os momentos nessas lajes são calculados segundo as duas direções para 
quaisquer condição de apoio: engaste ou apoio simples. 
Ex.: 
4,0 m
6,0 mapoios
ap
oi
os
 
λ = maior lado da laje/menor lado da laje 
λ = 6/4 
λ = 1,50 
(2 direções) 
 
 
 
 
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™ Espessura: 
Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a 
espessura: 
a) 
b) 
c) 
d) 
™ 
5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN. 
Carregamento da Laje (kgf/m2): 
Para o cálculo dos momentos fletores, parte-se do carregamento distribuído 
uniformemente na área da laje, calculando-se, para obtenção dos momentos, a carga 
distribuída em 1m2 da laje. 
1,0 m
1,0 m
 
 
q = carga
(kgf/m2 ) 
 
A carga q, constituída de todos os carregamentos que a laje deverá suportar 
(suposta igual para toda a área), é composta de: 
a) Peso Próprio (pp): 
Para cada metro quadrado, o peso da laje é calculado partindo-se do peso 
específico do concreto (γconc = 2500kg/m3). 
2,5 ton
1,0 m1,0 m
1,0 m 
h1,0 m
1,0 m 
pp = γconc × h ; sendo h a altura da laje 
Ex.: pp = 2500 × 0,08 = 200 kgf/m2
 
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b) 
- 
- 
- 
- 
c) 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
d) 
- 
- 
- 
Revestimento: 
Acabamento de pisos: 100 kgf/m2 
Acabamento de forros: 30 kgf/m2 
Revestimento em granito: 150 kgf/m2 
Impermeabilização: 150 kgf/m2 
Principais Cargas Acidentais (sobrecargas): 
Dormitórios, salas, copas, cozinhas e banheiros: 150kgf/m2; 
Compartimentos destinados a forros que não servirão de depósitos: 
50 kgf/m2; 
Compartimentos destinados à reunião ou acesso ao público (escolas, 
teatros, cinemas, etc...): 300 kgf/m2; 
Compartimentos destinados à despensas, lavanderia e área de serviços: 
200 kgf/m2; 
Compartimento destinados à bailes, ginásticas e esporte em geral: 
500 kgf/m2; 
Salas com estantes de livros: 600 kgf/m2; 
Escritórios: 200 kgf/m2; 
Escadas: 300 kgf/m2; 
Sala de máquina de elevadores e lajes para pouso de helicóptero: 
1000 kgf/m2. 
Peso das paredes: 
Quando as paredes são erguidas diretamente sobre as lajes, e não estão apoiadas 
sobre vigas, o peso da alvenaria deverá ser somadas às demais cargas. Permitindo-se 
considerar a carga da parede como distribuída por toda a área da laje. 
P = γ × v → P = γ × (e × L × h) 
L → comprimento da parede; 
h → altura da parede; 
γ → peso específico do material: 
Alvenaria acabada de tijolos maciços: 1800 kgf/m3; 
Alvenaria acabada de tijolos furados: 1300 kgf/m3; 
Alvenaria acabada de blocos de concreto: 1400 kgf/m3. 
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e) Floreira (calha): 
 
q = γ × h 
™ Momento das Lajes Armadas em Uma Direção (λ > 2): 
As armaduras são obtidas dos esforços calculados em faixas paralelas à menor 
direção, calculadas como vigas de largura unitária. Na maior direção, coloca-se uma 
armadura de distribuição, fixada como uma fração da armadura principal. 
Considera-se “L” o menor lado
1m
apoio
simples
 
q
M = qL2/8
+
* As reações das lajes para 
as vigas são iguais a qL/2. 
1m
engaste
 
q
M = qL2/14,22
+
X = -qL2/8
R1
R2
* As reações das lajes para 
as vigas são: 
R1 = 5qL/8 
R2 = 3qL/8 
 
1m
 
q
M = qL2/24
+
X = -qL2/12
R1 R2
* As reações das lajes para 
as vigas são iguais a qL/2. 
1m
bordo livre 
q
X = -qL2/2
R1
* A reação da laje para a 
viga é igual a qL. 
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™ Critérios para Engastamento de Lajes: 
1. Duas lajes para estarem engastadas, preferencialmente devem estar niveladas; 
2. Uma laje maior só pode ser engastada em uma laje menor quando pelo menos 
70% da mesma estiver em contato com a laje menor; 
4m
7m
X
 
7 x 0,7 = 4,9 m (não pode engastar). 
* O momento torçor aquenta até 30%, 
causa fissuras no bordo superior direito da 
laje maior. 
 
obs.: uma laje não pode ser engastada em outra quando esta for uma laje de balanço, 
pode sobrecarrega-la; 
3. O comprimento do ferro negativo não pode passar da metade da laje. 
4m5m
 
* ¼ x 5 = 1,25 
 1,25 < 4/2 → CERTO 
2m5m
 
* ¼ x 5 = 1,25 
 1,25 > 2/2 → ERRADO 
Cálculo das Flechas: (f ≤ L/300) ™ 
1o Caso: 
f = 5qL4/384EI → E = módulo de 
elasticidade, I = momento de inércia 
2o Caso: 
 
f = 2qL4/384EI 
3o Caso: 
 
f = qL4/384EI 
obs.: caso a flecha não passe, aumenta-se a espessura da laje → aumenta o I e diminui 
a flecha. 
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Exemplos de Dimensionamento de Lajes 
1) Dimensionar e detalhar as lajes de uma escola representadas na figura baixo. 
Considerar a resistência do concreto igual a 200 kgf/cm2, hlaje=10cm e bviga=15cm . 
 
L2L1
 
 
 
L1=7/3=2,33 (1 direção) 
 
 
L2=6/2,5=2,4 (1 direção) 
™ 
™ 
™ 
Carregamento nas lajes (L1= L2): 
→ Peso próprio (pp) ................ 2500 x 0,10 = 250 kgf/m2
→ Revestimento (rev.) .....................................100 kgf/m2
→ Sobrecarga (sob.) ........................................ 300 kgf/m2
Carregamento total ........................................... 650 kgf/m2
Critério para engastamento de lajes: 7 x 0,7 = 4,9 m (pode engastar) 
Cálculo dos momentos: 
M = qL2/14,22 = 650x3,152/14,22 
M = 454 kgf⋅m (positivo) 
L1) 
650
3,15 m
+
-
 
X = -qL2/8 = -650x3,152/8 
X = -806 kgf⋅m (negativo) 
M = qL2/14,22 = 650x2,652/14,22 
M = 321 kgf⋅m (positivo) 
L2) 
650
2,65 m
+
-
 
X = -qL2/8 = -650x2,652/8 
X = -571 kgf⋅m (negativo) 
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™ Cálculo das flechas: 
Laje L1: cm
Lf 05,1
300
315
300
==≤ (flecha limite) 
EI
qLf
384
2 4= 
MPaE 96,25043205600 == 
E = 250439,6 kgf/cm2
I = b⋅h3/12 → b = 1m, h = 0,1m 
34
4
10,0106,250439384
12)15,3(6502
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=f 
f = 0,0016 m = 0,16 cm (ok!) 
Laje L2: cm
Lf 88,0
300
265
300
==≤ (flecha limite) 
EI
qLf
384
2 4= 
34
4
10,0106,25043938412)65,2(6502
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=f 
f = 0,0008 m = 0,08 cm (ok!) 
L2L1
454
80
6
57
1 321
 
Equilíbrio de Momento Negativo (utilizar o maior momento) 
a) 
b) 
(806+571)/2 = 689 kgf⋅m 
80% do maior momento = 0,8⋅806 = 645 kgf⋅m 
O momento de equilíbrio utilizado no cálculo: 689 kgf⋅m 
 
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obs1.: cobertura da armadura (cobrimentos mínimos – norma antiga): cobrimento de 
concreto pelo menos igual ao diâmetro da barra, mas não menor que: 
1. Concreto revestido com pelos menos 1cm de argamassa: 
9 
9 
9 
9 
9 
9 
9 
Lajes no interior de edifícios .................................... 0,5 cm 
Paredes no interior de edifícios ............................... 1,0 cm 
Lajes e paredes ao ar livre ...................................... 1,5 cm 
Vigas, pilares e arcos no interior de edifícios .......... 1,5 cm 
Vigas, pilares e arcos ao ar livre ............................. 2,0 cm 
2. Concreto aparente: 
No interior de edifícios ............................................ 2,0 cm 
Ao ar livre ................................................................ 2,5 cm 
3. Concreto em contato com o solo: ................................. 3,0 cm 
4. Concreto em meio fortemente agressivo: ..................... 4,0 cm 
O esquema: 
ah
av
Pastilha de argamassa
ou espaçador plástico
c
c
 
 Quando c > 6 deve-se empregar armadura de pele cujo cobrimento mínimo deve 
respeitar os valores já dados. 
 Como informação adicional dão-se valores mínimos de: 
ah
2 cm
1 φ
1,2 dagregado 
av
2 cm
1 φ
0,5 dagregado 
 
 
 
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™ Determinação da armadura positiva: 
Conhecendo a resistência do concreto fck = 20MPa e o tipo de aço, CA 50, 
determina-se o valor de k6 através da equação: M
dbk
2
6
⋅= . 
onde: 
b = 100 cm (cálculo por metro) 
d = distância da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura 
em cm. 
d = h -2cm para maior momento positivo 
d = h -2,5cm para menor momento positivo 
d = h -2cm para momentos negativos 
M = momento em tf⋅cm 
d centro de
gravidade da
armadura
metro
M
borda mais comprimida
c 
obs1.: As tabelas que serão utilizadas, já incorporam os coeficientes de minoração de 
resistência dos materiais e os coeficientes de majoração de cargas. 
M = 45,4 tf⋅cm (L1) 
d = 8,0 cm 
97,140
4,45
0,8100 2
6 =⋅=k (tabela) 
336,03 =k 
M = 32,1 tf⋅cm (L2) 
d = 8,0 cm 
38,199
1,32
0,8100 2
6 =⋅=k (tabela) 
332,03 =k 
Encontrados os valores de k3, determina-se a seção de aço em cm2/m através 
da equação: 
d
Mk
As
⋅= 3 
 
 
 
 
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Laje L1: 
0,8
4,45336,0 ⋅=sA → cm1,91As = 2/m 
Armadura Principal → φ5.0mm c/10cm 
Laje L2: 
0,8
1,32332,0 ⋅=sA → cm1,33As = 2/m 
norma → )10100(
100
15,0)%(15,0min ⋅=⋅= hbAs 
501,As = cm2/m (adotada) 
Armadura Principal → φ5.0mm c/13cm 
Armadura Secundária → φ5.0mm c/22cm Armadura Secundária → φ5.0mm c/22cm 
 
obs2.: De um modo geral o diâmetro das barras utilizadas em lajes é de 4 a 10mm. 
Obs3.: Para lajes, as barras são dispostas com espaçamentos que deverão obedecer: 
9 
9 
espaçamento mínimo = 7cm; 
espaçamento máximo = 20cm (armada em cruz); 
 = 2xh (armada em uma direção). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Detalhe da Armadura Positiva
 
70φ5.0 c/10-2,55
14φ
5.0
 c/2
2-
7,
15
 
47φ5.0 c/13-2,15
12φ
5.0
 c/2
2-
6,
15
 
armadura de 
complemento
 
obs4.: Critérios para contrafiamento de armadura positiva (gera economia). 
1. Se a φ utilizada for de 5.0 mm, e estando espaçada acima de 13cm, não deve ser 
contrafiada; 
2. Se a φ utilizada for de 5.0 mm, e estiver espaçada de 13cm ou abaixo, deve 
contrafiar, sendo que o comprimento da barra deve ser 80% da medida de eixo a eixo 
do apoio; 
3. Se a φ utilizada for de 6.3 mm ou mais grossa, deve-se contrafiar, independente do 
espaçamento, sendo o comprimento da barra 80% da medida de eixo a eixo de apoio. 
obs5.: Critérios para armadura mínima. 
1. A armadura mínima de tração deve possuir área igual ou maior que 0,15% de bw⋅h; 
2. O diâmetro máximo da barras das armaduras não deve ser superior a 10% da 
espessura da laje; 
3. Nas regiões centrais das lajes, onde agem os máximos momentos fletores, o 
espaçamento das barras da armadura principal não deve ser superior a 20cm. No caso 
de lajes armadas numa direção, esse espaçamento, além de atender a exigência 
acima, também não deve ser superior a 2h; 
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4. A armadura secundária de flexão deve corresponder à percentagem de armadura 
igual ou superior a 20% da armadura principal ou 0,9cm2/m, prevalecendo a maior taxa 
de armadura, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33cm. 
Determinação da armadura Negativa: o mesmo procedimento da armadura positiva. ™ 
M = 689 kgf⋅m , d = 8 cm 
02,93
9,68
8100 2
6 =⋅=k (tabela) 
344,03 =k 
d
MkAs
⋅= 3 
8
9,68344,0 ⋅=sA → cm2,96As = 2/m 
Armadura Negativa → φ6.3mm c/10cm 
Detalhe da Armadura Negativa 
3,15/4 ≅ 0,80 
0,80/3 ≅ 30 
ancoragem = h-2 
10 -2 = 8 cm 
 
60φ6.3 c/10-1,46
 
Detalhe: 
 
130 
8 8
 
 
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	Dimensionamento de Lajes
	P = \( × v \( P = \( × \(e × 
	L ( comprimento da parede;
	h ( altura da parede;
	R1 = 5qL/8
	Exemplos de Dimensionamento de Lajes
	Equilíbrio de Momento Negativo (utilizar o maior momento)
	(806+571)/2 = 689 kgf(m
	80% do maior momento = 0,8(806 = 645 kgf(m
	O momento de equilíbrio utilizado no cál�
	obs1.: cobertura da armadura (cobrimentos mínimos – norma an
	Determinação da armadura positiva:
	M = 45,4 tf(cm (L1)
	M = 32,1 tf(cm (L2)
	Detalhe da Armadura Positiva
	obs4.: Critérios para contrafiamento de armadura positiva (g
	obs5.: Critérios para armadura mínima.
	Determinação da armadura Negativa: o mesmo procedimento da a
	M = 689 kgf(m , d = 8 cm
	(tabela)
	Detalhe da Armadura Negativa
	Detalhe: