APOSTILA DE CÁLCULO ESTRUTURAL

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2006 8-1 ufpr/tc405 
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8LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO1 
8.1 Introdução 
Na teoria das estruturas, consideram-se elementos de superfície aqueles em que uma 
dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face das demais, 
podendo receber as seguintes denominações (Figura 8.1): 
− placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais ao seu 
plano; 
− cascas: elementos de superfície não plana; e 
− chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas em 
seu plano. 
 
Figura 8.1 – Estruturas laminares 
As lajes maciças de concreto armado constituem estruturas laminares, tipo placa. Em casos 
especiais, onde se requer 
lajes com maior rigidez 
(maior altura), pode-se 
fazer uso de lajes 
nervuradas (Figura 8.2). 
Figura 8.2 – Lajes maciças e nervuradas 
Quando for desejado que a superfície inferior das lajes nervuradas se torne contínua e 
plana, fecham-se os vazios com elementos inertes (tijolos, 
blocos vazados de concreto, isopor, etc.), como mostrado 
na Figura 8.3. Esta laje é denominada mista. 
Figura 8.3 – Lajes mistas 
As lajes que se apóiam diretamente sobre pilares são denominadas lajes lisas e as lajes que 
se apóiam sobre pilares com capitéis denominam-se lajes cogumelo. 
Neste Capítulo somente serão abordadas as lajes maciças apoiadas em vigas. 
 
1 Este capítulo é uma cópia adaptada da publicação LAJES USUAIS DE CONCRETO ARMADO de Roberto 
Dalledone Machado. 
placa casca chapa 
laje maciça laje nervurada 
2006 8-2 ufpr/tc405 
8.2 Vãos efetivos de lajes 
Segundo a ABNT NBR 6118, item 14.7.2.2, quando os apoios puderem ser considerados 
suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo (Figura 8.4) deve ser calculado 
pela seguinte expressão: 
210ef aa ++= ll Equação 8.1 
com 






=






=
h3,0
t5,0
mina
h3,0
t5,0
mina
2
2
1
1
 
onde: 
lef vão efetivo da laje; 
l0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos; 
t comprimento do apoio paralelo ao vão da laje analisada; 
h espessura da laje. 
 
Figura 8.4 – Vão efetivo de laje 
8.3 Curvaturas de lajes 
As lajes maciças de concreto armado (Figura 8.5) podem apresentar: 
− curvatura em uma 
só direção; ou 
− curvaturas em duas 
direções ortogonais. 
Figura 8.5 – Curvaturas de lajes 
Quando a laje apresenta curvatura em uma só direção, seu comportamento é idêntico ao de 
uma viga de larga base e pouca altura. As lajes com curvaturas em duas direções ortogonais têm 
comportamento de placa. 
h 
t2 t1 
l0 
lef 
laje 
viga 
ly 
lx 
ly 
lx 
2006 8-3 ufpr/tc405 
As lajes com curvatura em uma só direção são apoiadas nas bordas perpendiculares ao 
eixo da curvatura, ao passo que as lajes com curvaturas em duas direções ortogonais são 
apoiadas em todo seu contorno (Figura 8.5). 
Quando a relação entre o vão maior (ly) e vão menor (lx) superar dois, a critério do 
projetista, a curvatura na direção do vão maior pode ser desprezada. Nesta condição somente a 
curvatura (esforços) na direção do vão menor será considerada. 
As lajes consideradas como de curvatura em uma só direção são também chamadas lajes 
armadas em uma só direção. As 
de curvaturas em duas direções 
ortogonais são denominadas 
armadas em duas direções 
(Figura 8.6). 
Figura 8.6 – Lajes armadas em uma ou duas direções 
8.4 Lajes contínuas 
Assim como as vigas, as lajes apresentam, também, condições de continuidade. Desta 
forma os apoios podem ser: 
− apoio simples, onde a extremidade da laje é considerada rotulada, transmitindo à viga 
suporte somente cargas verticais (reação de apoio); 
− apoio contínuo, onde duas lajes contíguas transmitem somente cargas verticais 
(reação de apoio) para a viga suporte; e 
− borda livre, onde a extremidade da laje é considerada em balanço. 
A consideração de apoios simples em lajes de extremidade evita que sejam transmitidos 
momentos torçores para as vigas suportes. 
Na determinação dos esforços de um painel de laje, é prática comum considerar as lajes 
isoladamente. Como em regiões de continuidade de lajes existe momento negativo, este pode ser 
representado, nas lajes isoladas, por um engaste (Figura 8.7). 
Nesta Figura 8.7, 
− o apoio simples é representado por uma linha contínua; 
− o engaste é representado pela hachura; e 
− a borda livre é representada por uma linha tracejada. 
Ainda na Figura 8.7, 
− a laje L1 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V4, contínua na direção 
da laje L2 (apoiada sobre a V5) e contínua na direção da laje L3 (apoiada sobre a V2); 
− a laje L2 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V3, contínua na direção 
das lajes L1 e L3 (apoiada sobre a V5) e com uma borda livre; e 
− a laje L3 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V3 e V4, contínua na direção 
da laje L1 (apoiada sobre a V2) e contínua na direção da laje L2 (apoiada sobre a V5). 
ly 
lx 
ly 
lx 
2006 8-4 ufpr/tc405 
 
Figura 8.7 – Lajes contínuas 
Quando sobre um apoio comum, duas lajes contíguas apresentarem diferentes dimensões, 
considera-se o engaste no vão maior se este for igual ou superior a 2/3 do vão menor (Figura 8.8). 
Deve ser observado na Figura 8.8 que a laje L1 deverá sempre ser considerada como 
engastada na direção da laje L2. 
V1 
V3 
V4
 V2 
V5
 
P1 P2 
P3 P4 
L1 
L2 
L3 
L1 
L3 
L2 
V1 
V2 
V4 V5 
V2 
V5 V4 
V3 
V1 
V5 
V3 
2006 8-5 ufpr/tc405 
 
Figura 8.8 – Lajes contínuas de diferentes dimensões 
8.5 Espessura de lajes 
A fixação da espessura das lajes deve atender às exigências dos esforços solicitantes 
(momento fletor e força cortante) para o estado limite último, bem como às verificações do estado 
limite de serviço (flechas, vibrações, fissuração, etc). 
Segundo a ABNT NBR 6118, item 13.2.4.1, nas lajes maciças devem ser respeitados os 
seguintes limites mínimos para as espessuras: 
− 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
− 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
− 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; e 
− 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN. 
8.6 Cargas atuantes nas lajes 
As cargas atuantes nas lajes podem ser: 
− permanentes, devidas ao peso próprio, contra-piso, revestimento, paredes, etc.; e 
− acidentais, decorrentes das condições de uso da laje (residência, escritório, escola, 
biblioteca, etc.). 
8.6.1 Cargas permanentes 
Segundo a ABNT NBR 6120, os pesos específicos dos materiais de construção que 
eventualmente possam constituir carregamento em lajes podem ser tomados como sendo: 
argamassa de cal, cimento e areia ......................................................................... 19,0 kN/m3 
argamassa de cimento e areia ................................................................................ 21,0 kN/m3 
argamassa de gesso ............................................................................................... 12,5 kN/m3 
reboco ..................................................................................................................... 20,0 kN/m3 
concreto simples ..................................................................................................... 24,0 kN/m3 
concreto armado ..................................................................................................... 25,0 kN/m3 
21 3
2
ll ≥ L1 
L2 
l1 
l2 
L1 
L2 
21 3
2
ll < L1 
L2 
l1 
l2 
L1 
L2 
2006 8-6 ufpr/tc405 
O carregamento atuante na laje (peso por unidade de área) é dado pela expressão: 
hg matγ= Equação 8.2 
onde: 
g carga permanente uniformemente distribuída,geralmente em kN/m2; 
γmat peso específico do material, geralmente em kN/m3; e 
h espessura do material, geralmente em m. 
Para materiais de acabamento ou coberturas, podem ser adotados os seguintes valores, 
considerando pesos por unidade de área: 
cerâmica ................................................................................................................. 0,70 kN/m2 
tacos ....................................................................................................................... 0,65 kN/m2 
cobertura de telhas francesas (com vigamento) .................................................... 0,90 kN/m2 
cobertura de telhas coloniais (com vigamento) ...................................................... 1,20 kN/m2 
cobertura de fibro-cimento (com vigamento) .......................................................... 0,30 kN/m2 
cobertura de alumínio (com vigamento) ................................................................. 0,16 kN/m2 
8.6.2 Cargas acidentais 
A ABNT NBR 6120 apresenta uma série de valores que podem ser assumidos para as 
cargas acidentais que venham a constituir carregamento em lajes. Alguns valores são 
reproduzidos a seguir: 
arquibancadas .......................................................................................................... 4,0 kN/m2 
bibliotecas 
sala de leitura .................................................................................................. 2,5 kN/m2 
sala para depósito de livros ............................................................................ 4,0 kN/m2 
sala com estantes ........................................................................................... 6,0 kN/m2 
cinemas 
platéia com assentos fixos .............................................................................. 3,0 kN/m2 
estúdio e platéia com assentos móveis .......................................................... 4,0 kN/m2 
banheiro .......................................................................................................... 2,0 kN/m2 
corredores 
com acesso ao público .................................................................................... 3,0 kN/m2 
sem acesso ao público .................................................................................... 2,0 kN/m2 
edifícios residenciais 
dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro ..................................................... 1,5 kN/m2 
dispensa, área de serviço e lavanderia ........................................................... 2,0 kN/m2 
escadas 
com acesso ao público .................................................................................... 3,0 kN/m2 
sem acesso ao público .................................................................................... 2,5 kN/m2 
escolas 
anfiteatro, corredor e sala de aula .................................................................. 3,0 kN/m2 
outras salas ..................................................................................................... 2,0 kN/m2 
escritórios ................................................................................................................. 2,0 kN/m2 
forros sem acesso de pessoas ................................................................................. 0,5 kN/m2 
ginásio de esportes .................................................................................................. 5,0 kN/m2 
hospitais 
dormitório, enfermarias, sala de recuperação ou cirurgia, banheiro ............... 2,0 kN/m2 
corredor ........................................................................................................... 3,0 kN/m2 
lojas .......................................................................................................................... 4,0 kN/m2 
restaurantes ............................................................................................................. 3,0 kN/m2 
teatros 
palco ............................................................................................................... 5,0 kN/m2 
platéia com assentos fixos .............................................................................. 3,0 kN/m2 
estúdio e platéia com assentos móveis .......................................................... 4,0 kN/m2 
banheiro .......................................................................................................... 2,0 kN/m2 
2006 8-7 ufpr/tc405 
Exemplo 8.1: Determinar o carregamento em uma laje de edifício comercial. A laje terá de 10 cm 
de espessura, contra-piso (argamassa de cimento e areia) de 1 cm, acabamento 
superior com tacos e acabamento inferior com forro de gesso com 1 cm de 
espessura. 
 
Solução: As cargas permanentes (Equação 8.2) e acidentais deverão ser determinadas por 
unidade de área (kN/m2). Os pesos do concreto armado, conta-piso e gesso 
correspondem a 25 kN/m3, 21 kN/m3 e 12,5 kN/m3, respectivamente. Os tacos 
pesam 0,65 kN/m2. A carga acidental de um edifício comercial deve ser 
considerada como sendo 2 kN/m2. 
a. Dados – uniformização de unidades (kN e m) 
 3armconc m/kN25=γ 
 3piso cont m/kN21=γ 
 3gesso m/kN5,12=γ 
 2taco m/kN65,0g = 
 m10,0cm10h armconc == 
 m01,0cm1h piso cont == 
 m01,0cm1hgesso == 
 2com edif m/kN2q = 
b. Carga permanente 
 pp: .................... 25,0 x 0,10 = 2,50 kN/m2 
 contra-piso: ...... 21,0 x 0,01 = 0,21 kN/m2 
 gesso: .............. 12,5 x 0,01 = 0,13 kN/m2 
 tacos: ................................... = 0,65 kN/m2 
 gk = 3,49 kN/m2 (≈ 3,50 kN/m2) 
c. Carga acidental 
 qk = 2,00 kN/m2 
d. Carga total 
 gk = 3,50 kN/m2 
 qk = 2,00 kN/m2 
 pk = 5,50 kN/m2 
 
8.6.3 Paredes 
O peso das paredes depende do tipo de tijolo (maciço ou furado) e da espessura do reboco. 
Este peso normalmente é apresentado por metro quadrado de parede (parede de 1 m de largura 
por 1 m de altura), como mostrado na Figura 8.9. 
O peso por unidade de área de uma parede rebocada em ambas as faces pode ser 
representado por: 
rebrebtijtijpar e2ep γ+γ= Equação 8.3 
onde 
ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; 
γtij peso específico do tijolo, geralmente em kN/m3; 
etij espessura (menor dimensão em planta) do tijolo, geralmente em m. 
γreb peso específico do reboco, geralmente em kN/m3; e 
ereb espessura do reboco, geralmente em m. 
tacos 
contra-piso (1 cm) 
concreto armado (10 cm) 
gesso (1 cm) 
2006 8-8 ufpr/tc405 
 
Figura 8.9 – Carga de paredes 
Para materiais componentes de parede, podem ser usados os seguintes valores: 
tijolo de furado ........................................................................................................... 12 kN/m3 
tijolo de maciço .......................................................................................................... 16 kN/m3 
reboco ....................................................................................................................... 20 kN/m3 
A Tabela 8.1 mostra alguns valores de peso de parede. Na Tabela foi considerado reboco 
de 2,5 cm de espessura por face. 
parede sem reboco parede com reboco 
tijolo 
(cm) 
tijolo furado 
(kN/m2) 
tijolo maciço 
(kN/m2) 
parede 
(cm) 
tijolo furado 
(kN/m2) 
tijolo maciço 
(kN/m2) 
10 1,20 1,60 15 2,20 2,60 
12 1,44 1,92 17 2,44 2,92 
15 1,80 2,40 20 2,80 3,40 
20 2,40 3,20 25 3,40 4,20 
Tabela 8.1 – Pesos de paredes 
8.6.3.1 Cargas de paredes em lajes de dupla curvatura 
As cargas de paredes apoiadas em lajes de dupla curvatura (Figura 8.10) podem ser 
consideradas como equivalentes a uma carga uniformemente distribuídaem toda esta laje. Para 
este caso, considera-se o peso total da parede e divide-se este valor pela área total da laje, como 
apresentado a seguir: 
yx
parparpar
par
hp
g
ll
l
×
××
= Equação 8.4 
onde: 
gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando em 
toda laje, geralmente em kN/m2; 
ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; 
lpar largura da parede, geralmente em metro; 
hpar altura da parede, geralmente em metro; 
 
e 
hpar 
1 m 
1 m 
lpar 
2006 8-9 ufpr/tc405 
lx menor dimensão da laje, geralmente em metro; e 
ly maior dimensão da laje, geralmente em metro. 
 
Figura 8.10 – Parede sobre laje de dupla curvatura 
Exemplo 8.2: Determinar a carga das paredes atuantes na laje abaixo representada. A altura das 
paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 10 cm, reboco 
de 1,5 cm em cada face. 
 
Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3 e a carga 
uniformemente distribuída sobre a laje é determinada pele Equação 8.4. 
a. Dados – uniformização de unidades (kN e m) 
 3tij m/kN12=γ 
 3reb m/kN20=γ 
 m10,0cm10etij == 
 m015,0cm5,1ereb == 
 m7,42,25,2par =+=l 
 m7,2hpar = 
 m5,3x =l 
 m0,6y =l 
b. Curvatura da laje 
 curvaturadupla271,1
5,3
0,6
x
y ⇒<==
l
l
 
c. Peso por metro quadrado de parede 
 rebrebtijtijpar e2ep γ+γ= 
 ( ) ( ) 2par m/kN80,1015,020210,012p =××+×= 
2,
2 
m
 
3,
5 
m
 
6,0 m 
2,5 m 
ly 
lx lpar 
gpar (kN por m2 de laje) 
2006 8-10 ufpr/tc405 
d. Carga uniformemente distribuída na laje 
 
yx
parparpar
par
hp
g
ll
l
×
××
= 
 2par m/kN09,100,650,3
70,270,480,1g =
×
××
= 
 
8.6.3.2 Cargas de paredes em lajes de uma só curvatura 
As cargas de paredes apoiadas em lajes de uma só curvatura se situam em duas condições: 
− paredes paralelas ao lado maior da laje;e 
− paredes paralelas ao lado menor da laje. 
A carga de parede paralela ao lado maior é considerada como uma carga linear 
uniformemente distribuída ao longo de sua largura (Figura 8.11), cujo valor é dado por: 
parparpar hpg ×= Equação 8.5 
onde: 
gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de comprimento 
(linear), atuando ao longo da largura da parede, geralmente em kN/m; 
ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; e 
hpar altura da parede, geralmente em metro. 
 
Figura 8.11 – Parede paralela ao lado maior da laje 
A carga de parede paralela ao lado menor é considerada como uma carga uniformemente 
distribuída na área de dimensões lx por 0,5 lx (Figura 8.12), cujo valor é dado por: 
2
hp
g
x
x
parparpar
par l
l
l
×
××
= Equação 8.6 
onde: 
gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando na 
área de dimensões lx por 0,5 lx, geralmente em kN/m2; 
ppar peso da parede por unidade de área, geralmente em kN/m2; 
lpar largura da parede, geralmente em metro; 
hpar altura da parede, geralmente em metro; e 
lx menor dimensão da laje, geralmente em metro. 
lx 
ly lpar 
gpar (kN por metro de laje) 
2006 8-11 ufpr/tc405 
 
Figura 8.12 – Parede paralela ao lado menor da laje 
Exemplo 8.3: Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura 
das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 12 cm, 
reboco de 1,5 cm em cada face. 
 
Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3. A carga 
linear uniformemente distribuída sobre a laje L1 é determinada pela Equação 8.5 e 
a carga uniformemente distribuída na região lx por 0,5 lx da laje L2 é determinada 
pela Equação 8.6. 
a. Dados – uniformização de unidades (kN e m) 
 3tij m/kN12=γ 
 3reb m/kN20=γ 
 m12,0cm12etij == 
 m015,0cm5,1ereb == 
 m2,2par1 =l 
 m7,1par2 =l 
 m7,2hh 2parpar1 == 
2
xl 
ly 
lx 
gpar (kN por m2 de laje) 
lpar 
1,6 m 
2,5 m 
6 m 
2,4 m 
2,
2 
m
 
L1 
3,6 m 
6 m 
2,4 m 
1,7 m 
L2 
2006 8-12 ufpr/tc405 
 m4,2x2x1 == ll 
 m0,6y2y1 == ll 
b. Curvatura da laje 
 curvaturasóuma250,2
4,2
0,6
x
y ⇒>==
l
l
 
c. Peso por metro quadrado de parede 
 rebrebtijtijpar e2ep γ+γ= 
 ( ) ( ) 2par m/kN04,2015,020212,012p =××+×= 
d. Laje L1 - peso por metro linear de parede 
 parparpar hpg ×= 
 m/kN51,570,204,2gpar =×= 
e. Laje L2 – peso por metro quadrado de parede 
 
2
hp
g
x
x
parparpar
par l
l
l
×
××
= 
 2par m/kN25,3
2
40,240,2
70,270,104,2g =
×
××
= 
f. Carregamentos 
 
 
8.6.4 Parapeitos e balcões 
Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas, uma carga horizontal 
de 0,8 kN/m na altura do corrimão e 
uma carga vertical mínima de 
2 kN/m (ABNT NBR 6120, item 
2.2.15), como mostrado na 
Figura 8.13. 
Figura 8.13 – Parapeitos e balcões 
2 kN/m 0,8 kN/m 
1,6 m 
2,5 m 
6 m 
2,4 m 
2,
2 
m
 
L1 
5,51 kN/m 
L2 
1,2 m 
6 m 
2,4 m 
3,25 kN/m2 
1,7 m 
3 m 
2006 8-13 ufpr/tc405 
8.6.5 Redução de cargas acidentais em pilares e fundações 
No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências e casas 
comerciais não destinadas a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com 
os valores indicados na Tabela 8.2 (ABNT NBR 6120, item 2.2.1.8). 
Nº de pisos que atuam 
sobre o elemento 
Redução percentual das 
cargas acidentais 
1, 2 e 3 0% 
4 20% 
5 40% 
6 ou mais 60% 
Tabela 8.2 – Redução de cargas acidentais 
Na aplicação da Tabela 8.2, o forro deve ser considerado como piso (Figura 8.14). 
 
Figura 8.14 - Redução de cargas 
acidentais 
8.7 Determinação de esforços em lajes 
Para a determinação dos esforços em lajes maciças de concreto armado, duas 
simplificações são admitidas: 
− existe uma separação virtual entre as lajes e as vigas que suportam o painel de lajes; 
e 
− a reação de apoio das vigas suporte do painel de lajes se faz de forma uniformemente 
distribuída. 
Embora concretadas de forma monolítica, admite-se que as lajes e vigas sejam separadas 
virtualmente, de tal forma que possam ser projetadas individualmente (Figura 8.15). As vigas 
suporte das lajes são consideradas como apoios indeslocáveis. 
g + 1,0 q 
g + 1,0 q 
g + 1,0 q 
g + 0,8 q 
g + 0,6 q 
g + 0,4 q 
g + 0,4 q 
g + 0,4 q 
2º 
1º (cob) 
3º 
4º 
5º 
6º 
7º 
iº 
2006 8-14 ufpr/tc405 
 
Figura 8.15 – Separação virtual entre lajes e vigas 
Uma vez que as vigas suportes das lajes são consideradas como indeslocáveis, pode-se 
admitir que as reações de apoio existentes nas interfaces lajes/vigas sejam consideradas como 
uniformemente distribuídas (Figura 8.16). Rigorosamente isto não ocorre pois existe uma 
tendência de levantamento nos cantos das lajes. 
 
Figura 8.16 – Reação de apoio de lajes 
8.7.1 Lajes isoladas 
A determinação dos esforços em lajes isoladas pode ser feita por processos aproximados 
(MARCUS), pela teoria das placas (BARES), pela teoria das 
charneiras plásticas (LANGENDONCK), etc.. Dentre o 
conjunto de soluções apresentadas na literatura mundial, 
destacam-se as tabelas de CZERNY, para determinação dos 
momentos fletores atuantes em lajes isoladas. A notação a 
ser usada para CZERNY está mostrada na Figura 8.17 e o 
conjunto de tabelas é apresentado em 8.11. 
Figura 8.17 – Notação das tabelas 
de CZERNY 
As tabelas de CZERNY foram confeccionadas para varias condições de contorno e carga. 
Os momentos fletores são dados pelas seguintes expressões: 
y
2
x
by
y
2
x
y
x
2
x
bx
x
2
x
x
pmpm
pmpm
β
=
α
=
β
=
α
=
ll
ll
 Equação8.7 
lx 
mby 
ly 
mbx 
my 
mx 
2006 8-15 ufpr/tc405 
onde: 
lx menor vão; 
ly maior vão; 
mx momento fletor positivo na direção x; 
my momento fletor positivo na direção y; 
mbx momento fletor negativo (borda) na direção x; 
mby momento fletor negativo (borda) na direção y; 
p carga uniformemente distribuída em toda laje; 
αx coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x; 
αy coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y; 
βx coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; e 
βy coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y. 
Se a carga uniformemente distribuída corresponder a um valor característico (pk = gk + qk) os 
momentos fletores resultarão característicos (mk). Se a carga corresponder a um valor de cálculo 
(pd = γg gk + γq qk), os momentos fletores resultarão de cálculo (md). 
8.7.2 Lajes contínuas 
Como as tabelas de CZERNY determinam momentos fletores isolados em bordas que são 
contínuas em um painel de lajes, 
torna-se necessário uniformizar estes 
momentos negativos atuantes nestas 
regiões de continuidade de lajes 
(Figura 8.18). 
Figura 8.18 – Momentos fletores em lajes continuas 
O momento negativo de borda, atuante na junção das lajes Li e Lj, é dado pela seguinte 
expressão: 
bibj
bj
bjbi
bij mm
m8,0
2
mm
maxm >







 +
= Equação 8.8 
A uniformização dos momentos fletores negativos atuantes na junção das lajes Li e Lj 
implica em alterações (correções) nos 
momentos fletores positivos mi e mj 
(Figura 8.19). O momento mi tem seu 
valor reduzido ao passo que o 
momento mj tem seu valor 
aumentado. 
Figura 8.19 – Momentos fletores uniformizados em lajes 
continuas 
lxi 
lyi 
lyj 
lxj 
Li Lj 
mi mj 
mbi mbj 
lxi 
lyi 
lyj 
lxj 
Li Lj mbij mbj 
mi,cor mj,cor 
2006 8-16 ufpr/tc405 
O ajuste de momentos fletores positivos nas lajes Li e Lj corresponde a: 
bibj
bijbj
jcor,j
icor,i
mm
2
mm
mm
mm
>
−
+=
=
 Equação 8.9 
Como pode ser observado na Equação 8.9, a correção de momentos positivos só é feita 
para o momento mj (momento que sofre acréscimo). Caso mbi seja maior que mbj, os índices i e j 
devem ser invertidos na Equação 8.8 e na Equação 8.9. 
Deve ser observado também que na Figura 8.18 e na Figura 8.19, bem como na 
Equação 8.8 e na Equação 8.9, os índices x e y correspondentes as direções das lajes Li e Lj não 
foram considerados (aprecem na Figura 8.17). A relação entre os valores apresentados sem os 
índices x e y (direções) corresponde a: 
mi myi momento fletor positivo na direção y da laje Li; 
mj mxj momento fletor positivo na direção x da laje Lj; 
mbi mbyi momento fletor negativo na direção y da laje Li; e 
mbj mbxj momento fletor negativo na direção x da laje Lj. 
Exemplo 8.4: Determinar os momentos fletores de cálculo atuantes no painel de lajes abaixo 
indicado. Considerar: 
 − estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4 
 e γq = 1,4); 
 − carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m2: e 
 − carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m2. 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação 
dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos 
nas regiões de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para 
a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. 
a. Carregamento das lajes (valores de cálculo) 
 qqkgd qgp γ+γ= 
 2d m/kN4,80,24,10,44,1p =×+×= 
b. Laje L1 
 m8,1x1 =l 
 m0,4y1 =l 
 







=β
=β
=α
=α
⇒⇒==
00,12
00,8
20,40
20,14
tab22,2
8,1
0,4
1y
1x
1y
1x
x1
y1
l
l
 
4 m 
1,2 m 
5m 3 m 1,8 m 
L1 L2 L3 
L4 
ly1 = 
4 m 
lx1 = 1,8 m 
L1 mbx1 
mx1 
my1 
mby1 
2006 8-17 ufpr/tc405 
 m/kNm92,1
20,14
8,14,8pm
2
1x
2
1xd
d,1x =
×
=
α
=
l 
 m/kNm68,0
20,40
8,14,8pm
2
1y
2
1xd
d,1y =
×
=
α
=
l 
 m/kNm40,3
00,8
8,14,8pm
2
1x
2
1xd
d,1bx −=
×
−=
β
−=
l 
 m/kNm27,2
00,12
8,14,8pm
2
1y
2
1xd
d,1by −=
×
−=
β
−=
l 
c. Laje L2 
 m0,3x2 =l 
 m0,4y2 =l 
 







=β
=β
=α
=α
⇒⇒==
50,17
00,13
83,47
87,27
tab33,1
0,3
0,4
2y
2x
2y
2x
x2
y2
l
l
 
 m/kNm71,2
87,27
0,34,8pm
2
2x
2
2xd
d,2x =
×
=
α
=
l 
 m/kNm58,1
83,47
0,34,8pm
2
2y
2
2xd
d,2y =
×
=
α
=
l 
 m/kNm82,5
00,13
0,34,8pm
2
2x
2
2xd
d,2bx −=
×
−=
β
−=
l 
 m/kNm32,4
50,17
0,34,8pm
2
2y
2
2xd
d,2by −=
×
−=
β
−=
l 
d. Laje L3 
 m0,4x3 =l 
 m0,5y3 =l 
 







=β
=β
=α
=α
⇒⇒==
90,12
10,11
40,34
90,24
tab25,1
0,4
0,5
3y
3x
3y
3x
x3
y3
l
l
 
 m/kNm40,5
90,24
0,44,8pm
2
3x
2
3xd
d,3x =
×
=
α
=
l 
 m/kNm91,3
40,34
0,44,8pm
2
3y
2
3xd
d,3y =
×
=
α
=
l 
 m/kNm11,12
10,11
0,44,8pm
2
3x
2
3xd
d,3bx −=
×
−=
β
−=
l 
 m/kNm42,10
90,12
0,44,8pm
2
3y
2
3xd
d,3by −=
×
−=
β
−=
l 
e. Laje L4 (laje isostática – laje em balanço) 
 m2,1x4 =l 
 m/kNm05,6
2
2,14,8
2
pm
22
4xd
d,4bx −=
×
−=−=
l 
ly2 = 
4 m 
lx2 = 3 m 
L2 mbx2 
mx2 
my2 
mby2 
lx3= 
4 m 
ly3 = 5 m 
L3 
mby3 
my3 
mbx3 
mx3 
lx4= 
1,2 m 
L4 
mbx4 
2006 8-18 ufpr/tc405 
f. Uniformização de momentos fletores – Lajes L1/L2 
 d,1bd,2b
d,2b
d,2bd,1b
d,12b mm
m8,0
2
mm
maxm >







 +
= 
 








×
+
=
82,58,0
2
82,540,3
maxm d,12b 
 





=
66,4
61,4
maxm d,12b 
 m/kNm66,4m d,12b = ◄ 
 d,1bd,2b
d,12bd,2b
d,2cor,d,2 mm2
mm
mm >
−
+= 
 
2
66,482,571,2m cor,d,2
−
+= 
 m/kNm29,3m cor,d,2 = ◄ 
g. Uniformização de momentos fletores – Lajes L2/L3 
 d,2bd,3b
d,3b
d,3bd,2b
d,23b mm
m8,0
2
mm
maxm >







 +
= 
 








×
+
=
42,108,0
2
42,1082,5
maxm d,23b 
 





=
34,8
12,8
maxm d,23b 
 m/kNm34,8m d,23b = ◄ 
 d,2bd,3b
d,23bd,3b
d,3cor,d,3 mm2
mm
mm >
−
+= 
 
2
34,842,1091,3m cor,d,3
−
+= 
 m/kNm95,4m cor,d,3 = ◄ 
h. Uniformização de momentos fletores – Lajes L1/L4 
 Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático 
 (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor 
 atuante na junção das lajes L1 e L4 é o da laje L4 
 (6,05 kNm/m). 
 Não há correção do momento positivo da laje L1 
 pois o momento da borda desta laje (2,27 kNm/m) é 
 inferior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m). 
 m/kNm05,6mm d,4bd,14b == ◄ 
 m/kNm68,0m d,1 = ◄ 
L1 
3,40 
1,92 
L2 5,82 
2,71 
5,82 
L1 L2 
3,29 
5,82 
1,92 
4,66 
L2 L3 
3,91 
5,82 10,42 
3,29 
4,66 
L2 
3,29 
L3 
4,95 
8,34 
4,66 
L1 
L4 
0,
68
 
2,
27
 
6,
05
 
L1 
L4 
0,
68
 
6,
05
 
2006 8-19 ufpr/tc405 
i. Uniformização de momentos fletores – Lajes L2/L4 
 Como a laje L4 corresponde a um 
 trecho isostático (laje em balanço), 
 obrigatoriamente o momento fletor atuante 
 na junção das lajes L2 e L4 é o da laje L4 
 (6,05 kNm/m). 
 Não há correção do momento positivo 
 da laje L2 pois o momento da borda desta 
 laje (4,32 kNm/m) é inferior ao momento da 
 borda da laje L4 (6,05 kNm/m). 
 m/kNm05,6mm d,4bd,24b == ◄ 
 m/kNm58,1m d,2 = ◄j. Uniformização de momentos fletores – Lajes L3/L4 
 Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente 
 o momento fletor atuante na junção das lajes L3 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m). 
 Há correção do momento positivo da laje L4 pois o momento da borda desta laje 
 (10,42 kNm/m) é superior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m). 
 m/kNm05,6mm d,4bd,34b == ◄ 
 d,4bd,3b
d,34bd,3b
d,4cor,d,4 mm2
mm
mm >
−
+= 
 
2
05,611,1240,5m cor,d,4
−
+= 
 m/kNm43,8m cor,d,4 = ◄ 
k. Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3 
L2 
L4 
1,
58
 
4,
32
 
6,
05
 
L2 
L4 
1,
58
 
6,
05
 
L3 
L4 
5,
40
 
12
,1
1 
6,
05
 
L3 
L4 
8,
43
 
6,
05
 
L1 L2 L3 
L4 
1,92 
3,29 4,95 
4,66 
8,34 
2006 8-20 ufpr/tc405 
l. Momentos fletores (kNm/m) nas direções L1/L4, L2/L4 e L3/L4 
m. Observação 
 Embora a relação entre o vão maior (4 m) e o vão menor (1,8 m) da laje L1 supere 
 dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada. 
 Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje 
 armada em uma só direção), o resultado final praticamente não se alteraria pois o momento 
 fletor positivo na direção do balanço resultou bem próximo de zero (0,68 kNm/m) e o 
 momento fletor negativo (6,05 kNm/m) foi definido pela laje em balanço. 
 
8.8 Armadura de flexão 
8.8.1 Armadura principal e armadura secundária 
Para as lajes armadas em duas direções (curvatura em duas direções ortogonais), todas as 
armaduras de flexão (armaduras longitudinais) são consideradas como principal. 
Para as lajes armadas em uma só direção (uma só curvatura na direção do vão menor), a 
armadura considerada como 
principal é aquela posicionada 
na direção do vão menor. Na 
direção do vão maior deve-se, 
obrigatoriamente, colocar uma 
armadura de distribuição 
denominada armadura 
secundária (Figura 8.20). 
Figura 8.20 – Armadura principal e secundária de lajes 
L1 L2 L3 
L4 
6,
05
 
6,
05
 
6,
05
 
0,
68
 
8,
43
 
1,
58
 
ly ly 
lx lx 
armadura principal 
armadura secundária 
2006 8-21 ufpr/tc405 
8.8.2 Equações gerais 
Na determinação da armadura de flexão (momentos fletores) de lajes devem ser seguidos 
os mesmos princípios estabelecidos no Capítulo [5]. A armadura será determinada para cada 
metro de laje (bw = 1 m). 
Para a determinação da 
altura útil é conveniente 
adotar-se a altura útil da 
armadura mais afastada da 
borda tracionada 
(Figura 8.21). 
Figura 8.21 – Seção transversal de laje 
( )lφ+−= 5,1chd nom Equação 8.10 
Para as lajes de pouca altura, as armaduras de compressão devem ser evitadas. Desta 
forma as equações para determinação ou verificação da armadura longitudinal de lajes 
correspondem a: 
x
yds
cdw
s
min,s
ydsz
1Rd
s
x
x
x
yd
s
x
s
xz
ck
ck
cd
2
w
1Rd
x
s
z
ck
ck
cd
2
w
1Rd
c
1RdRdSd
lim,1RdSd
w
ckcd
2
w
ckcd
2
w
lim,1Rd
fA
fdb68,0
A
fd
mA
259,00,1‰5,31
f
E
259,00,1
4,01
MPa35f400,0
MPa35f500,0
fdb272,0
m5625,125,1
ou
tab
MPa35f228,0
MPa35f272,0
fdb
m
mmm
compressão de armadura de enecessidad há nãomm
cm100b
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0
m
β







=β
≥
ββ
=


















>β≤×





β
β−
≤β
=β
β−=β




>
≤
≤−−=β











β
β
⇒⇒
>
≤
≤=β
==
⇒≤
=




>
≤
=
 
Equação 8.11 
8.8.3 Armadura mínima 
Os valores das armaduras mínimas para lajes maciças de concreto armado estão 
estabelecidos no item 19.3.3.3 da ABNT NBR 6118 e correspondem a: 
− armadura negativa 
c
yd
cd
min,s Af
f035,0A = (por metro de laje) Equação 8.12 
h d = h – (cnom + 1,5 φl) 
bw = 100 cm 
φl 
2006 8-22 ufpr/tc405 
− armadura positiva de lajes armadas em duas direções 
c
yd
cd
min,s Af
f023,0A = (por metro de laje) Equação 8.13 
− armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção 
c
yd
cd
min,s Af
f035,0A = (por metro de laje) Equação 8.14 
− armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção 














=
c
yd
cd
2
princ,s
min,s
A
f
f018,0
cm9,0
A20,0
maxA (por metro de laje) Equação 8.15 
8.8.4 Diâmetro da armadura de flexão 
Segundo o item 20.1 da ABNT NBR 6118, qualquer barra de armadura de flexão de lajes 
deve ter seu diâmetro limitado a 1/8 da 
espessura da laje (Figura 8.22 e 
Equação 8.16). 
Figura 8.22 – Diâmetro máximo da armadura de flexão 
8
h
≤φl Equação 8.16 
8.8.5 Espaçamento da armadura de flexão 
ABNT NBR 6118, item 20.1 
“As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no 
máximo igual 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos 
maiores momentos fletores. 
A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura 
principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm. A 
emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da 
armadura principal.” 
A Figura 8.23 mostra os espaçamentos máximos da armadura de flexão para lajes maciças 
de concreto armado. 
Figura 8.23 - Espaçamento máximo da armadura de flexão 
h 
φl 
8
h
≤φl 
φl 
armadura principal 










≤
h2
cm20
mins
armadura secundária 
cm33s ≤ 
2006 8-23 ufpr/tc405 
Deve ser observado também que o item 20.1 da ABNT NBR 6118 não faz referência ao 
espaçamento mínimo entre as barras de flexão de lajes de concreto armado. Por razões 
construtivas, é conveniente não se posicionar barras com afastamentos inferiores a 7 cm. 
De modo geral, pode-se estabelecer para as barras de flexão de lajes de concreto armado: 
− armadura principal 






≤≤
h2
cm20
minscm7 Equação 8.17 
− armadura secundária 
cm33scm10 ≤≤ Equação 8.18 
Observar que na Equação 8.18 o espaçamento mínimo para armadura secundária foi fixado 
em 10 cm. 
Exemplo 8.5: Determinar as armaduras necessárias para o painel de lajes abaixo representada. 
 Dados: 
 − concreto: C25; e 
 − aço: CA-60. 
 Considerar: 
 − estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4 
 γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); 
 − espessura das lajes (h): 12 cm; 
 − cobrimento nominal (cnom): 2,5 cm; 
 − barras de flexão não alternadas; 
 − carga permanente uniformemente distribuída (gk): 5 kN/m2: e 
 − carga acidental uniformemente distribuída (qk): 1,5 kN/m2. 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação 
dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos 
na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a 
correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. As armaduras 
devem ser determinadas com a aplicação da Equação 8.10, Equação 8.11, 
Equação 8.12, Equação 8.13, Equação 8.14, Equação 8.15, Equação 8.16, 
Equação 8.17 e Equação 8.18. 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 79,11,40
2,5ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 60MPa 600f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
5 m 
6m 4 m 2 m 
L1 L2 L3 
2006 8-24 ufpr/tc405 
 2
s
yk
yd kN/cm 2,521,15
60ff ==
γ
= 
 cm 010bw = 
 cm 12h = 
 cm5,2cnom = 
 ( )lφ+−= 5,1chd nom 
 ( ) cm80,15,15,212d =×+−= (assumido φl = 10 mm) 
 2wc cm 002112100hbA =×== 
 armaduranegativa 
 c
yd
cd
min,s Af
f
035,0A = 
 m/cm44,11200
2,52
79,1035,0A 2min,s =××= 
 armadura positiva de lajes armadas em duas direções 
 c
yd
cd
min,s Af
f023,0A = 
 m/cm95,01200
2,52
79,1023,0A 2min,s =××= 
 armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção 
 c
yd
cd
min,s Af
f035,0A = 
 m/cm44,11200
2,52
79,1035,0A 2min,s =××= 
 armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção 
 














=
c
yd
cd
2
princ,s
min,s
A
f
f018,0
cm9,0
A20,0
maxA 
 














=××
=
m/cm74,01200
2,52
79,1018,0
cm9,0
A20,0
maxA
2
2
princ,s
min,s 
 





=
m/cm90,0
A20,0
maxA 2
princ,s
min,s 
 
8
h
≤φl 
 mm5,12cm50,1
8
12
max, =φ⇒=≤φ ll 
 





≤≤
h2
cm20
minscm7 
 





=×
≤≤
cm24122
cm20
minscm7 
 cm20scm7 ≤≤ (armadura principal) 
 cm33scm10 ≤≤ (armadura secundária) 
 MPa35ffdb272,0m ckcd
2
wlim,1Rd ≤= 
2006 8-25 ufpr/tc405 
 m/kNcm116379,18100272,0m 2lim,1Rd =×××= 
 m/kNm16,31m lim,1Rd = ⇐ máximo momento permitido na laje para que não haja 
 armadura de compressão 
b. Carregamento das lajes (valores de cálculo) 
 qqkgd qgp γ+γ= 
 2d m/kN1,95,14,10,54,1p =×+×= 
c. Laje L1 
 m0,2x1 =l 
 m0,5y1 =l 
 





=β
=α
=α
⇒⇒==
00,8
50,42
20,14
tab50,2
0,2
0,5
1x
1y
1x
x1
y1
l
l
 
 m/kNm56,2
20,14
0,21,9pm
2
1x
2
1xd
d,1x =
×
=
α
=
l 
 m/kNm86,0
50,42
0,21,9pm
2
1y
2
1xd
d,1y =
×
=
α
=
l 
 m/kNm55,4
00,8
0,21,9pm
2
1x
2
1xd
d,1bx −=
×
−=
β
−=
l 
d. Laje L2 
 m0,4x2 =l 
 m0,5y2 =l 
 





=β
=α
=α
⇒⇒==
70,12
20,48
40,26
tab25,1
0,4
0,5
2x
2y
2x
x2
y2
l
l
 
 m/kNm52,5
40,26
0,41,9pm
2
2x
2
2xd
d,2x =
×
=
α
=
l 
 m/kNm02,3
20,48
0,41,9pm
2
2y
2
2xd
d,2y =
×
=
α
=
l 
 m/kNm46,11
70,12
0,41,9pm
2
2x
2
2xd
d,2bx −=
×
−=
β
−=
l 
e. Laje L3 
 m0,5x3 =l 
 m0,6y3 =l 
 





=β
=α
=α
⇒⇒==
10,10
80,23
00,22
tab20,1
0,5
0,6
3y
3y
3x
x3
y3
l
l
 
 m/kNm34,10
00,22
0,51,9pm
2
3x
2
3xd
d,3x =
×
=
α
=
l 
 m/kNm56,9
80,23
0,51,9pm
2
3y
2
3xd
d,3y =
×
=
α
=
l 
 m/kNm52,22
10,10
0,51,9pm
2
3y
2
3xd
d,3by −=
×
−=
β
−=
l 
ly1 = 
5 m 
lx1 = 2 m 
L1 
mbx1 
mx1 
my1 
ly2 = 
5 m 
lx2 = 4 m 
L2 
mbx2 
mx2 
my2 mbx2 
lx3 = 
5 m 
ly3 = 6 m 
L3 
my3 
mx3 mby3 
2006 8-26 ufpr/tc405 
f. Uniformização de momentos fletores – Lajes L1/L2 
 d,1bd,2b
d,2b
d,2bd,1b
d,12b mm
m8,0
2
mm
maxm >







 +
= 
 








×
+
=
46,118,0
2
46,1155,4
maxm d,12b 
 





=
17,9
01,8
maxm d,12b 
 m/kNm17,9m d,12b = 
 d,1bd,2b
d,12bd,2b
d,2cor,d,2 mm2
mm
mm >
−
+= 
 
2
17,946,1152,5m cor,d,2
−
+= 
 m/kNm67,6m cor,d,2 = 
g. Uniformização de momentos fletores – Lajes L2/L3 
 d,2bd,3b
d,3b
d,3bd,2b
d,23b mm
m8,0
2
mm
maxm >







 +
= 
 








×
+
=
52,228,0
2
52,2246,11
maxm d,23b 
 





=
02,18
99,16
maxm d,23b 
 m/kNm02,18m d,23b = 
 d,2bd,3b
d,23bd,3b
d,3cor,d,3 mm2
mm
mm >
−
+= 
 
2
02,1852,2256,9m cor,d,3
−
+= 
 m/kNm81,11m cor,d,3 = 
h. Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3 
L1 
2,56 
L2 11,46 
5,52 
11,46 4,55 
L1 
2,56 
L2 
6,67 
11,46 9,17 
L2 L3 
9,56 22,52 9,17 
6,67 
11,46 
L2 L3 
11,81 18,02 9,17 
6,67 
L2 L3 
11,81 
18,02 9,17 
L1 
2,56 6,67 
2006 8-27 ufpr/tc405 
i. Momentos fletores (kNm/m) das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3) 
j. Armadura para os momentos fletores na direção L1/L2/L3 
 mSd = 2,56 kNm/m 
 { compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm16,31
lim,1Rd
m/kNm56,2
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm256mmm 1RdRdSd === 
 MPa35f272,0
fdb
m
ck
cd
2
w
1Rd
c ≤≤=β 
 OK272,0022,0
79,18100
256
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
987,0
022,0
s
z
tabela
c 321
 
 min,s
ydsz
1Rd
s Afd
mA ≥
ββ
= 
 m/cm95,0A 2min,s = 
 m/cm95,0m/cm62,0
2,52000,18987,0
256A 22s <=×××
= 
 m/cm95,0A 2s = ◄ 
 cm20scm7 ≤≤ 
 mSd = -9,17 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm16,31
lim,1Rd
m/kNm17,9
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm917mmm 1RdRdSd === 
 OK272,0080,0
79,18100
917
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
950,0
080,0
s
z
tabela
c 321
 
 m/cm44,1A 2min,s = 
 OKm/cm44,1m/cm31,2
2,52000,18950,0
917A 22s >=×××
= 
L1 
0,86 
L2 
3,02 
L3 
10,34 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►5 0,196 ►20 0,98 
 s cm → 0,196 cm2 
 
100 cm → 0,95 cm2 
2006 8-28 ufpr/tc405 
 m/cm31,2A 2s = ◄ 
 cm20scm7 ≤≤ 
 mSd = 6,67 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm16,31
lim,1Rd
m/kNm67,6
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm667mmm 1RdRdSd === 
 OK272,0058,0
79,18100
667
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
964,0
058,0
s
z
tabela
c 321
 
 m/cm95,0A 2min,s = 
 OKm/cm95,0m/cm66,1
2,52000,18964,0
667A 22s >=×××
= 
 m/cm66,1A 2s = ◄ 
 cm20scm7 ≤≤ 
 mSd = -18,02 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm16,31
lim,1Rd
m/kNm02,18
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm1802mmm 1RdRdSd === 
 OK272,0157,0
79,18100
1802
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
897,0
157,0
s
z
tabela
c 321
 
 m/cm44,1A 2min,s = 
 OKm/cm44,1m/cm81,4
2,52000,18897,0
1802A 22s >=×××
= 
 m/cm81,4A 2s = ◄ 
 cm20scm7 ≤≤ 
 mSd = 11,81 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm16,31
lim,1Rd
m/kNm81,11
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm1181mmm 1RdRdSd === 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
5 0,196 8 2,45 
►6 0,283 ►12 2,36 
7 0,385 16 2,41 
 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►5 0,196 ►11 1,78 
6 0,283 17 1,66 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►8 0,503 ►10 5,03 
10 0,785 16 4,91 
 s cm → 0,196 cm2 
 
100 cm → 2,31 cm2 
2006 8-29 ufpr/tc405 
 OK272,0103,0
79,18100
1181
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
935,0
103,0
s
z
tabela
c 321
 
 m/cm95,0A 2min,s = 
 OKm/cm95,0m/cm02,3
2,52000,18935,0
1181A 22s >=×××
= 
 m/cm02,3A 2s = ◄ 
 cm20scm7 ≤≤ 
k. Armadura para os momentos fletores na direção das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3) 
 mSd = 0,86 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm16,31
lim,1Rd
m/kNm86,0
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm86mmm 1RdRdSd === 
 OK272,0008,0
79,18100
86
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
996,0
008,0
s
z
tabela
c 321
 
 m/cm95,0A 2min,s = 
 m/cm95,0m/cm21,0
2,52000,18996,0
86A 22s <=×××
= 
 m/cm95,0A 2s = ◄ 
 cm20scm7 ≤≤ 
 mSd = 3,02 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm16,31
lim,1Rd
m/kNm02,3
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm302mmm 1RdRdSd === 
 OK272,0026,0
79,18100
302
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
984,0
026,0
sz
tabela
c 321
 
 m/cm95,0A 2min,s = 
 m/cm95,0m/cm73,0
2,52000,18984,0
302A 22s <=×××
= 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►6 0,283 ►9 3,14 
8 0,503 16 3,14 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►5 0,196 ►20 0,98 
2006 8-30 ufpr/tc405 
 m/cm95,0A 2s = ◄ 
 cm20scm7 ≤≤ 
 mSd = 10,34 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm16,31
lim,1Rd
m/kNm34,10
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm1034mmm 1RdRdSd === 
 OK272,0090,0
79,18100
1034
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
944,0
090,0
s
z
tabela
c 321
 
 m/cm95,0A 2min,s = 
 OKm/cm95,0m/cm62,2
2,52000,18944,0
1034A 22s >=×××
= 
 m/cm62,2A 2s = ◄ 
 cm20scm7 ≤≤ 
l. Armadura positiva 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►5 0,196 ►20 0,98 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
5 0,196 7 2,80 
►6 0,283 ►10 2,83 
7 0,385 14 2,75 
 
L1 L2 
φ 5 mm @ 20 cm 
L3 
φ 5 mm @ 11 cm φ 6 mm @ 9 cm 
φ 5 mm @ 20 cm φ 5 mm @ 20 cm φ 6 mm @ 10 cm 
2006 8-31 ufpr/tc405 
m. Armadura negativa 
n. Consideração da laje L1 com curvatura em uma só direção 
 Embora a relação entre o vão maior (5 m) e o vão menor (2 m) da laje L1 supere dois, 
 a dupla curvatura desta laje foi considerada, resultando na armadura mostrada no item m 
 (todas armaduras consideradas como principais). 
 Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje 
 armada em uma só direção), os momentos fletores da laje L1 resultariam: 
 m0,2x1 =l 
 m0,5y1 =l 
 0,250,2
0,2
0,5
x1
y1 >==
l
l
 
 m/kNm56,2
2,14
0,21,9
2,14
pm
22
1xd
d,1x =
×
==
l 
 m/kNm55,4
0,8
0,21,9
0,8
pm
22
1xd
d,1bx −=
×
−=−=
l 
 Como não houve modificações nos momentos fletores na direção L1/L2, a distribuição 
 de momentos e armadura nesta direção permanecerá inalterada para todo o painel de laje. 
ly1 = 
5 m 
lx1 = 2 m 
L1 
mbx1 
mx1 
B A l 
p 
8
pm
2
B
l
−= 
2,14
pm
2
AB
l
+= 
L2 L3 
11,81 
18,02 9,17 
L1 
2,56 6,67 
L1 L2 
φ 6 mm @ 12 cm 
L3 
φ 8 mm @ 10 cm 
2006 8-32 ufpr/tc405 
 A única modificação deverá ser feita para a laje L1, na direção do maior vão (5 m), 
 onde não haverá momento positivo atuando e deverá ser posicionada apenas uma 
 armadura de distribuição, função do momento positivo na outra direção (2,56 kNm/m). 
 É importante observar que a armadura positiva para o momento fletor positivo da laje 
 L1 (2,56 kNm/m) resultou em 0,95 cm2/m, correspondente ao valor de armadura mínima 
 para laje armada em duas direções. Como agora a laje será armada em uma só direção, o 
 valor da armadura mínima deve ser alterado para 1,44 cm2/m (1 φ de 5 mm @ 13 cm). Para 
 a armadura de distribuição, tem-se: 
 










=
m/cm90,0
A20,0
maxA
2
princ,s
min,s 
 m/kNm56,2mm/cm44,1A Sd
2
princ,s == 
 









 =×
=
m/cm90,0
m/cm29,044,120,0
maxA
2
2
min,s 
 m/cm90,0A 2min,s = ◄ 
 cm33scm10 ≤≤ 
 A distribuição de armaduras do painel de lajes fica como a seguir indicado. 
 armadura positiva 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►5 0,196 ►21 0,93 
6,3 0,312 33 0,95 
L1 L2 
3,02 
L3 
10,34 
L1 L2 
φ 5 mm @ 13 cm 
L3 
φ 5 mm @ 11 cm φ 6 mm @ 9 cm 
φ 5 mm @ 21 cm φ 5 mm @ 20 cm φ 6 mm @ 10 cm 
2006 8-33 ufpr/tc405 
 armadura negativa (inalterada) 
 
8.8.6 Comprimento de barras 
8.8.6.1 Armadura positiva 
8.8.6.1.1 Barras não alternadas 
Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras não alternadas 
devem seguir o indicado na Figura 8.24. O comprimento total das barras, antes das dobras, será 
igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades. 
 
Figura 8.24 – Comprimento de barras não alternadas – armadura positiva 
Observar na Figura 8.24 que as barras que constituem a armadura positiva das lajes 
maciças de concreto devem terminar em gancho. Isto deve ser feito para melhorar as condições 
de ancoragem. O gancho de 90°, como mostrado na Figura 8.24, é o mais conveniente, embora 
nem sempre possa ser usado. A ponta superior deste gancho deve, também, respeitar o 
cobrimento nominal, o que nem sempre é possível. Quando o gancho de 90º não puder ser 
utilizado, pode-se fazer uso dos ganchos de 135° ou 180º, como mostrado na Figura [7.7] e na 
Figura 8.25. 
c b
y =
 l
0y
 +
 b
w
y1
 +
 b
w
y2
 –
 2
 c
no
m
 - 
φ l
 
b w
y1
 
b w
y2
 
l 0
y 
cbx = l0x + bwx1 + bwx2 – 2 cnom - φl 
bwx2 
l0x 
bwx1 
cbx 
cby 
bw 
cnom 
cnom φl 
≥ cnom 
L1 L2 
φ 6 mm @ 12 cm 
L3 
φ 8 mm @ 10 cm 
2006 8-34 ufpr/tc405 
 
Figura 8.25 – Ganchos da armadura positiva 
O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração 
deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela [7.4] e na Tabela 8.3. 
Tipo de Aço Bitola (mm) 
CA-25 CA-50 CA-60 
<20 4φ 5φ 6φ 
≥20 5φ 8φ - 
Tabela 8.3 – Diâmetro dos pinos de dobramento 
8.8.6.1.2 Barras alternadas 
Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para 
lajes contínuas, devem seguir o indicado na Figura 8.26. O comprimento total das barras, antes 
das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da 
extremidade que chega ao apoio. 
 
Figura 8.26 – Comprimento de barras alternadas – armadura positiva para lajes 
contínuas 
2φ 
D φ 
a) 
4φ 
D φ 
b) 
8φ 
D φ 
c) 
c b
y =
 l
0y
 +
 b
w
y1
 +
 b
w
y2
 - 
0,
2 
l x
 
b w
y1
 
b w
y2
 
l 0
y 
cbx = l0x + bwx1 + bwx2 – 0,2 lx 
bwx2 
l0x 
bwx1 
cbx 
cby 
bw 
2006 8-35 ufpr/tc405 
Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para 
lajes sem continuidade, devem seguir o indicado na Figura 8.27. O comprimento total das barras, 
antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da 
extremidade que chega ao apoio. 
 
Figura 8.27 – Comprimento de barras alternadas – armadura positiva para 
lajes sem continuidade 
Para as lajes que apresentam continuidade em uma só direção, os comprimentos 
horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, devem ser determinados de 
tal forma que: 
− na direção da continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.26; e 
− na direção onde não existe continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.27. 
É importante observar que a ABNT NBR 6118, item 20.1, não faz referência aos 
espaçamentos máximo e mínimo da armadura de 
flexão de lajes maciças de concreto constituídas por 
barras alternadas. Como o mínimo de três barras por 
metro de laje deve ser mantido, o espaçamento 
máximo das barras alternadas deve seguir o indicado 
na Figura 8.28 {[3 bar x (2 x 17 cm )]= 102 cm ≈ 1 m}. 
 
Figura 8.28 – Espaçamento máximo da 
armadura de flexão – barras 
alternadas 
armadura principal 










≤
h2
cm17
mins 
bw 
cnom 
cnom φl 
≥ cnom 
c b
y =
 l
0y
 +
 b
w
y1
 +
 b
w
y2
 –
 0
,1
 l
x 
b w
y1
 
b w
y2
 
l 0
y 
cbx = l0x + bwx1 + bwx2 – 0,1 lx 
bwx2 
l0x 
bwx1 
cbx 
cby 
2006 8-36 ufpr/tc405 
Quanto ao espaçamento mínimo deve-se ser mantido o estabelecido na Equação 8.17. 
Desta forma, pode-se estabelecer para armadura de flexão de lajes maciças de concreto 
constituídas por barras alternadas: 





≤≤
h2
cm17
minscm7 Equação 8.19 
8.8.6.2 Armadura negativa 
8.8.6.2.1 – Lajes contínuas - barras não alternadas 
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras não alternadas de 
lajes contínuas devem seguir o indicado na Figura 8.29. O comprimento total das barras, antes 
das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das 
extremidades. 
 
Figura 8.29 - Comprimento de barras não alternadas de lajes contínuas – 
armadura negativa 
As barras que constituem a armadura negativa das lajes continuas devem terminar em 
gancho de 90°, com mostrado na Figura 8.29. Os detalhes do gancho devem respeitar o indicado 
na Figura 8.25 e na Tabela 8.3. 
8.8.6.2.2 – Lajes contínuas - barras alternadas 
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras alternadas de lajes 
contínuas devem seguir o indicado na Figura 8.30. O comprimento total das barras, antes das 
dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das 
extremidades. 
cb = 0,5 lx,maior 
cb 
l x
i 
lxk 
0,25 lx,maior 0,25 lx,maior 
lxj 
l x
li 
cnom 
≥ cnom 
2006 8-37 ufpr/tc405 
 
Figura 8.30 - Comprimento de barras alternadas de lajes contínuas – armadura 
negativa 
8.8.6.2.3 Lajes em balanço – barras não alternadas 
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras não alternadas de 
lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.31. O comprimento total das barras, antes 
das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das 
extremidades. 
As barras que constituem a armadura negativa das lajes em balanço devem terminar em 
gancho de 90°, com mostrado na Figura 8.31. Os detalhes do gancho devem respeitar o indicado 
na Figura 8.25 e na Tabela 8.3. 
 
Figura 8.31 – Comprimento de barras não alternadas de lajes em balanço – 
armadura negativa 
8.8.6.2.4 Lajes em balanço – barras alternadas 
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb,maior e cb,menor) de barras 
alternadas de lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.32. O comprimento total das 
barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos 
ganchos das extremidades. 
cnom 
cnom 
lbal 
≥ cnom 






bal
x25,0max
l
l
 
lbal 
bal
bal
x
b
25,0
maxc l
l
l
+





= 
cb 
lx 
cnom 
≥ cnom 
cb = 0,375 lx,maior 
cb 
l x
i 
0,25 lx,maior 0,25 lx,maior 
lxj 
2006 8-38 ufpr/tc405 
 
Figura 8.32 – Comprimento de barras alternadas de lajes em balanço – 
armadura negativa 
8.8.6.3 Armadura de fissuração – vigas de contorno 
Nas vigas de contorno, embora consideradas como apoio simples (sem momento negativo), 
é sempre conveniente colocar uma armadura de fissuração como indicado na Figura 8.33. 
 
Figura 8.33 – Vigas de contorno – armadura de fissuração 
cnom 
cnom 
lbal 
≥ cnom 
lbal 
bal
bal
x
maior,b
25,0
maxc l
l
l
+





= 
cb,maior 
lx 






bal
x25,0max
l
l
 
cb,menor 








+





= bal
bal
x
menor,b
25,0
max5,0c l
l
l
 
cnom 
≥ cnom 
8φ
 
l b
 
cb 
φ 
bw 
cb = 0,2 lxi + 0,5 bw 
cb 
l x
i 
0,2 lxi 0,2 lxi 
Li 
cb 
Asy,fiss 
A s
x,
fis
s 
2006 8-39 ufpr/tc405 
A armadura de fissuração, como mostrada na Figura 8.33, deverá corresponder a: 














=
c
yd
cd
2
pos,sx
fiss,sx
A
f
f018,0
cm9,0
A25,0
maxA (por metro de laje) 














=
c
yd
cd
2
pos,sy
fiss,sy
A
f
f018,0
cm9,0
A25,0
maxA (por metro de laje) 
Equação 8.20 
8.9 Reações de apoio 
Segundo a ABNT NBR 6118, item 14.7.6.1, as reações de apoio das lajes maciças 
retangulares com carga uniformemente distribuída, em cada apoio, são as correspondentes às 
cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por retas inclinadas, a partir dos 
vértices com os seguintes ângulos: 
− 45° entre dois apoios do mesmo tipo; 
− 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente 
apoiado; e 
− 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
A Figura 8.34 mostra o esquema para cálculo de reações de apoio de lajes. 
 
Figura 8.34 − Reações de apoio de lajes 
Para a viga Vn, sobre a qual as lajes mostradas na Figura 8.34 estão apoiadas, a reação de 
apoio será dada por: 
i
nk
Vn
Apr
l
= Equação 8.21 
onde: 
rVn reação de apoio na viga Vn; 
pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje; 
An área n definida pelo trapézio de base li da Figura 8.34; 
li vão da laje e da viga Vn, correspondente a base do trapézio da Figura 8.34. 
A Equação 8.21 é válida para qualquer trapézio ou triângulo mostrado na Figura 8.34. A 
reação de apoio em qualquer viga suporte das lajes mostradas na Figura será sempre dada pelo 
produto da carga uniformemente distribuída pela área do triângulo ou trapézio onde atua esta 
carga, dividido pela base do trapézio ou triângulo (vão da viga suporte). 
60° 45° 
60° 45° 
An 
Vn 
li 
60° 90° 
90° 45° 
An 
Vn 
li 
2006 8-40 ufpr/tc405 
Exemplo 8.6: Determinar os esquemas de carregamento das vigas do painel abaixo 
representado. Determinar, também, os carregamentos nos pilares. 
 Dados: 
 − carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2; 
 − carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2; 
 − paredes atuantes sobre as vigas de contorno (tijolo furado de 10 cm, reboco 
 de 1,5 cm e 2,5 m de altura): 4,5 kN/m; e 
 − peso próprio das vigas (20 cm x 50 cm): 2,5 kN/m. 
Solução: A solução do problema consiste na determinação, para as lajes, dos triângulos e 
trapézios conforme o item 14.7.6.1 da ABNT NBR 6118. Os carregamentos sobre 
as vigas são determinados pela aplicação da Equação 8.21. Os carregamentos nos 
pilares são determinados pelo cálculo das reações de apoio das vigas. 
 
a. Laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) 
 
 21A m 928,22
464,14A =×= 
 23 m 177,5464,12
072,25A =×




 += 
 24 m 967,8536,22
072,25A =×




 += 
 22A m 928,22
464,14A =×= 
 OKm20928,2967,8177,5928,2A 2n =+++=∑ 
1,464 
5 
m
 
A1A 
A2A 
A3 A4 
45° 
45° 
60° 
60° 
V4
 
V3
 
V2A 
V1A 
4 m 
1,
46
4 
2,536 
1,
46
4 
2,
07
2 AL1 = 4 m x 5 m = 20 m
2 
 
PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN 
P1 
P3 P4 
P2 
V4
 
V3
 
V2B V2A 
V1B V1A 
L1 L2 
4 m 7 m 
5 m 
2006 8-41 ufpr/tc405 
 
i
nk
Vn
Apr
l
= 
 kN/m 562,2
4
928,25,3rV1A =
×
= 
 kN/m 624,3
5
177,55,3rV3 =
×
= 
 kN/m 277,6
5
967,85,3rV4 =
×
= 
 kN/m 562,2
4
928,25,3rV2A =
×
= 
 
 OKkN70)562,24()277,65()624,35()562,24(Pn =×+×+×+×=∑ 
b. Laje L2 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) 
 
 21B m 088,12500,22
670,27A =×




 += 
 24 m 825,102
330,45A =




 ×= 
 22B m 088,12500,22
670,27A =×




 += 
 OKm35088,12825,10088,12A 2n =++=∑ 
5 
m
 
2,562 kN/m 
2,562 kN/m 
3,
62
4 
kN
/m
 
6,
27
7 
kN
/m
 
V4
 
V3
 
V2A 
V1A 
4 m 
L1 
AL2 = 5 m x 7 m = 35 m2 
 
PL2 = 35 m2 x 3,5 kN/m2 = 122,5 kN 
4,330 
5 
m
 
A1B 
A2B 
A4 
60° 
60° 
90° 
90° 
V4
 
V2B 
V1B 
7 m 
2,
50
0 
2,670 
2,
50
0 
2006 8-42 ufpr/tc405 
 
i
nk
Vn
Apr
l
= 
 kN/m 044,6
7
088,125,3rV1B =
×= 
 kN/m 578,7
5
825,105,3rV4 =
×
= 
 kN/m 044,6
7
088,125,3rV2B =
×
= 
 
 OKkN5,122)044,67()578,75()044,67(Pn =×+×+×=∑ 
c. Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) 
 
5 
m
 
V4
 
V2B 
V1B 
7 m 
6,044 kN/m 
6,044 kN/m 
7,
57
8 
kN
/m
 
06
,2
77
 k
N
/m
 
07
,5
78
 k
N
/m
 
13
,8
55
 k
N
/m
 
P1 
P3 P4 
P2 
V4
 
V3
 
V2B V2A 
V1B V1A 
L1 L2 
4 m 7 m 
5 m 
2,562 kN/m 
3,
62
4 
kN
/m
 
2,562 kN/m 
6,044 kN/m 
6,044 kN/m 
2006 8-43 ufpr/tc405 
d. Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2) 
 
 Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga 
 acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens a, b e c). 
 Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como 
 não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido 
 do painel mostrado no item c, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente). 
e. V3 – carregamento e reações de apoio 
 carga acidental: qk = 1,553 kN/m 
 carga permanente: 
 reação da laje: 03,624 kN/m 
 parede: 04,500 kN/m 
 peso próprio da viga: 02,500 kN/m 
 gk = 10,624 kN/m 
 
 kN560,26
2
5624,10GG 3P,kP1k, =
×
== 
 kN883,3
2
5553,1QQ 3P,kP1k, =
×
== 
f. V4 – carregamento e reações de apoio 
 carga acidental: qk = 5,938 kN/m 
 carga permanente: 
 reação da laje: 13,855 kN/m 
 peso próprio da viga: 02,500 kN/m 
 gk = 16,355 kN/m 
2,
69
0 
kN
/m
 
3,
24
8 
kN
/m
 
5,
93
8 
kN
/m
 
P1 
P3 P4 
P2 
V4
 
V3
 
V2B V2A 
V1B V1A 
L1 L2 
4 m 7 m 
5 m 
1,098 kN/m 
1,
55
3 
kN
/m
 
1,098 kN/m 
2,590 kN/m 
2,590 kN/m 
P3 P1 
V3 
5 m 
qk = 1,553 kN/m 
gk = 10,624 kN/m 
Gk,P1 = 26,560 kN 
Qk,P1 = 3,883 kN 
Gk,P3 
Qk,P3 
2006 8-44 ufpr/tc405 
 
 kN888,40
2
5355,16GG 2V,kV1k, =
×
== 
 kN845,14
2
5938,5QQ 2V,kV1k, =
×
== 
g. V1 = V2 – carregamento e reações de apoio 
 V1A 
 carga acidental: qk = 1,098 kN/m 
 carga permanente: 
 reação da laje: 02,562 kN/m 
 parede: 04,500 kN/m 
 peso próprio da viga: 02,500 kN/m 
 gk = 9,562 kN/m 
 V1B 
 carga acidental: qk = 2,590 kN/m 
 carga permanente: 
 reação da laje: 06,044 kN/m 
 parede: 04,500 kN/m 
 peso próprio da viga: 02,500 kN/m 
 gk = 13,044 kN/m 
 
 kN926,112
11
7888,40
11
5,37044,13
11
94562,9560,26GG 3P,kP1k, =




 ×+




 ××+




 ××+== 
 kN078,84
11
4888,40
11
5,77044,13
11
24562,9GG 4P,kP2k, =




 ×+




 ××+




 ××== 
 kN692,22
11
7845,14
11
5,37590,2
11
94098,1883,3QQ 3P,kP1k, =




 ×+




 ××+




 ××+== 
V2 V1 
V4 
5 m 
qk = 5,938 kN/m 
gk = 16,355 kN/m 
Gk,V1 = 40,888 kN 
Qk,V1 = 14,845 kN 
Gk,V2 
Qk,V2 
V1B 
7 m P1 P2 
V1A 
4 m 
Gk,P2 = 84,078 kN 
Qk,P2 = 18,558 kN 
Gk,P1 = 112,926 kN 
Qk,P1 = 22,692 kN 
qk = 2,590 kN/m 
gk = 13,044 kN/m 
qk = 1,098 kN/m 
gk = 9,562 kN/m 
Qk = 3,883 kN 
Gk = 26,560 kN 
Qk = 14,845 kN 
Gk = 40,888 kN 
2006 8-45 ufpr/tc405 
 kN558,18
11
4845,14
11
5,77590,2
11
24098,1QQ 4P,kP2k, =




 ×+




 ××+




 ××== 
h. Verificação 
 carga permanente: 
 lajes: (20 m2 + 35 m2) x 3,5 kN/m2 ................................ 192,5 kN 
 pp das vigas: [2 x (4 m + 7 m + 5 m)] x 2,5 kN/m ........... 80,0 kN 
 paredes: {[2 x (4 m + 7 m)] + 5 m} x 4,5 kN/m ............. 121,5 kN 
 total: .............................................................................. 394,0 kN 
 carga acidental: 
 lajes: (20 m2 + 35 m2) x 1,5 kN/m2 .................................. 82,5 kN 
 
 carga permanente (V1 + V2): 
 2 x (Gk,P1 + Gk,P2) = 2 x (112,926 + 84,078) .................. 394,0 kN 
 carga acidental (V1 + V2): 
 2 x (Qk,P1 + Qk,P2) = 2 x (22,692 + 18,558) ...................... 82,5 kN 
i. Observação 
 Neste exemplo foram usados números com três casas decimais, o que não é 
 necessário para cálculos normais de estruturas de concreto. Este número exagerado de 
 casas decimais foi usado para demonstrar a precisão da verificação apresentada no item h. 
 
8.10 Força cortante em lajes maciças de concreto armado 
Segundo o item 19.4.1 da ABNT NBR 6118, as lajes maciças podem prescindir de armadura 
transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante 
solicitante de cálculo obedecer à expressão1: 
1RdSd vv ≤ Equação 8.22 
onde: 
vSd força cortante solicitante de cálculo (por metro de laje), podendo ser assumidas as 
reações de apoio como mostrado em 8.9; e 
vRd1 força cortante resistente de cálculo (por metro de laje). 
A força cortante resistente de cálculo2 é dada por: 
( )[ ]d402,1kv 1Rd1Rd ρ+τ= Equação 8.23 
onde: 
τRd tensão resistente de cálculo ao cisalhamento; 
k coeficiente função da taxa de armadura existente na região próxima ao apoio onde 
está sendo considerada a força cortante; 
ρ1 taxa de armadura existente na região próxima ao apoio onde está sendo considerada 
a força cortante; e 
d altura útil da laje. 
A tensão resistente de cálculo ao cisalhamento é dada por: 
MPa em ff0525,0 ck3
2
ck
c
Rd γ
=τ Equação 8.24 
 
1 A ABNT NBR 6118 apresenta a equação de verificação de força cortante como sendo VSd ≤ VRd1, ou seja, 
verificação de forças pontuais (kN). A Equação 8.22 faz a verificação de forças cortantes por unidade de 
comprimento (kN/m). 
2 A expressão apresentada pela ABNT NBR 6118 corresponde a ( )[ ] db15,0402,1kV wcp1Rd1Rd σ+ρ+τ= . Nesta 
expressão estão incluídos o valor de bw, para que a expressão resulte em força pontual (kN), e o valor σcp, relativo à 
força de protensão. A Equação 8.23 não tem bw (resulta em força cortante por unidade de comprimento - kN/m) e 
não tem σcp (não considera força de protensão). 
OK 
OK 
2006 8-46 ufpr/tc405 
O coeficiente k deve ser determinado da seguinte forma: 
a. para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: 
0,1k = Equação 8.25 
b. para os demais casos: 
metros em d
0,1
d6,1
maxk 




 −
= Equação 8.26 
A taxa de armadura ρ1, na região próxima ao apoio onde está sendo considerada a força 
cortante, é dada pela expressão: 














=ρ
%2
db
A
min
w
1s
1 Equação 8.27 
onde: 
As1 área da armadura de tração que se estende até não menos de d + lb,nec além da seção 
considerada (Figura 8.35)1; 
bw largura mínima da seção ao longo da altura útil d (1 metro); e 
d altura útil da laje. 
 
Figura 8.35 – Armadura a ser considerada na verificação de força cortante em lajes 
De modo geral pode-se adotar para valores de As1: 
a. 100% da armadura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força 
cortante, para o caso de armadura não alternada; e 
b. 50% da armadura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força 
cortante, para o caso de armaduraalternada. 
Exemplo 8.7: Verificar, para o painel abaixo representado, se as lajes podem prescindir de 
armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força 
cortante. 
 Dados: 
 − concreto: C25; e 
 − aço: CA-60. 
 Considerar: 
 - estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4 
 γq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); 
 − espessura das lajes (h): 10 cm; 
 − cobrimento nominal (cnom): 2,5 cm; 
 − barras de flexão alternadas; 
 − carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2; e 
 − carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2. 
 
1 Alguns autores preferem considerar, sempre, a armadura positiva que chega ao apoio, ignorando as armaduras 
tracionadas negativas. 
d 
seção 
considerada 
As 
d + lb,nec 
As1 d 
seção 
considerada 
As 
d + lb,nec 
As1 
2006 8-47 ufpr/tc405 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação 
dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos 
na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a 
correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. As armaduras 
devem ser determinadas com a aplicação da Equação 8.10 a Equação 8.19. A 
determinação das reações de apoio das lajes (força cortante) deve ser feita 
conforme o item 14.7.6.1 da ABNT NBR 6118, com a aplicação da Equação 8.21. A 
verificação da força cortante é feita com o uso da Equação 8.22 a Equação 8.27. 
 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 79,11,40
2,5ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 60MPa 600f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 2,521,15
60ff ==
γ
= 
 cm 010bw = 
 cm 10h = 
 cm5,2cnom = 
 ( )lφ+−= 5,1chd nom 
 ( ) cm3,68,05,15,210d =×+−= (assumido φl = 8 mm) 
 2wc cm 000110100hbA =×== 
 armadura negativa 
 c
yd
cd
min,s Af
f035,0A = 
 m/cm20,11000
2,52
79,1035,0A 2min,s =××= 
 armadura positiva de lajes armadas em duas direções 
 c
yd
cd
min,s Af
f023,0A = 
 m/cm79,01000
2,52
79,1023,0A 2min,s =××= 
P1 
P3 P4 
P2 
V4
 
V3
 
V2B V2A 
V1B V1A 
L1 L2 
4 m 4 m 
5 m V5
 
2006 8-48 ufpr/tc405 
 armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção 
 c
yd
cd
min,s Af
f035,0A = 
 m/cm20,11000
2,52
79,1035,0A 2min,s =××= 
 armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção 
 














=
c
yd
cd
2
princ,s
min,s
A
f
f018,0
cm9,0
A20,0
maxA 
 














=××
=
m/cm62,01000
2,52
79,1018,0
cm9,0
A20,0
maxA
2
2
princ,s
min,s 
 





=
m/cm90,0
A20,0
maxA 2
princ,s
min,s 
 
8
h
≤φl 
 mm5,12cm25,1
8
10
max, =φ⇒=≤φ ll 
 





≤≤
h2
cm17
minscm7 (barras alternadas) 
 





=×
≤≤
cm20102
cm17
minscm7 
 cm17scm7 ≤≤ (armadura principal, barras alternadas) 
 cm33scm10 ≤≤ (armadura secundária) 
 MPa35ffdb272,0m ckcd
2
wlim,1Rd ≤= 
 m/kNcm932179,13,6100272,0m 2lim,1Rd =×××= 
 m/kNm32,19m lim,1Rd = ⇐ máximo momento permitido na laje para que não haja 
 armadura de compressão 
b. Carregamento das lajes (valores de cálculo) 
 qqkgd qgp γ+γ= 
 2d m/kN0,75,14,15,34,1p =×+×= 
c. Laje L1 
 m0,4x1 =l 
 m0,5y1 =l 
 





=β
=α
=α
⇒⇒==
9,9
2,35
4,21
tab25,1
0,4
0,5
1x
1y
1x
x1
y1
l
l
 
 m/kNm23,5
4,21
0,40,7pm
2
1x
2
1xd
d,1x =
×
=
α
=
l 
 m/kNm18,3
2,35
0,40,7pm
2
1y
2
1xd
d,1y =
×
=
α
=
l 
l y
1 =
 5
 m
 
lx1 = 4 m 
L1 
mbx1 
mx1 
my1 
2006 8-49 ufpr/tc405 
 m/kNm31,11
9,9
0,40,7pm
2
1x
2
1xd
d,1bx −=
×
−=
β
−=
l 
d. Momentos fletores das lajes com continuidade (L1/L2) 
 A uniformização de momentos é feita pela própria simetria do painel de lajes. 
e. Momentos fletores das lajes sem continuidades (L1 e L2) 
f. Armadura para os momentos fletores 
 mSd = 5,23 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm32,19
lim,1Rd
m/kNm23,5
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm523mmm 1RdRdSd === 
 MPa35f272,0
fdb
m
ck
cd
2
w
1Rd
c ≤≤=β 
 OK272,0074,0
79,13,6100
523
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
954,0
074,0
s
z
tabela
c 321
 
 min,s
ydsz
1Rd
s Afd
mA ≥
ββ
= 
 m/cm79,0A 2min,s = 
 OKm/cm79,0m/cm67,1
2,52000,13,6954,0
523A 22s >=×××
= 
 m/cm67,1A 2s = ◄ 
L1 
11,31 kN/m 
5,23 kN/m 
L2 
5,23 kN/m 
L1 L2 
3,
18
 k
N
/m
 
3,
18
 k
N
/m
 
2006 8-50 ufpr/tc405 
 cm17scm7 ≤≤ 
 mSd = -11,31 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm32,19
lim,1Rd
m/kNm31,11
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm1131mmm 1RdRdSd === 
 OK272,0159,0
79,13,6100
1131
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
896,0
159,0
s
z
tabela
c 321
 
 m/cm20,1A 2min,s = 
 OKm/cm20,1m/cm84,3
2,52000,13,6896,0
1131A 22s >=×××
= 
 m/cm84,3A 2s = ◄ 
 cm17scm7 ≤≤ 
 mSd = 3,18 kNm/m 
 
{
compressãodearmaduradeenecessidadhánãomm
m/kNm32,19
lim,1Rd
m/kNm18,3
Sd ⇒< 321
 
 m/kNcm318mmm 1RdRdSd === 
 OK272,0045,0
79,13,6100
318
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
973,0
045,0
s
z
tabela
c 321
 
 m/cm79,0A 2min,s = 
 OKm/cm79,0m/cm99,0
2,52000,13,6973,0
318A 22s >=×××
= 
 m/cm99,0A 2s = ◄ 
 cm17scm7 ≤≤ 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
6 0,283 7 4,04 
7 0,385 10 3,85 
►8 0,503 ►13 3,87 
 
 s cm → 0,283 cm2 
 
100 cm → 3,84 cm2 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►5 0,196 ►11 1,78 
6 0,283 16 1,77 
7 0,385 17 2,26 
 
 s cm → 0,196 cm2 
 
100 cm → 1,67 cm2 
φ 
(mm) 
As,bar 
(cm2) 
s 
(cm) 
As,ef 
(cm2/m) 
►5 0,196 ►17 1,15 
6 0,283 17 1,66 
2006 8-51 ufpr/tc405 
g. Armadura 
h. Reação de apoio - laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos 
 
 21A m 928,22
464,14A =×= 
 23 m 177,5464,12
072,25A =×




 += 
 24 m 967,8536,22
072,25A =×




 += 
 22A m 928,22
464,14A =×= 
 OKm20928,2967,8177,5928,2A 2n =+++=∑ 
 
i
nk
Vn
Apr
l
= 
 kN/m 562,2
4
928,25,3rV1A =
×
= 
 kN/m 624,3
5
177,55,3rV3 =
×
= 
 kN/m 277,6
5
967,85,3rV4 =
×
= 
 kN/m 562,2
4
928,25,3rV2A =
×
= 
1,464 
5 
m
 
A1A 
A2A 
A3 A4 
45° 
45° 
60° 
60° 
V4
 
V3
 
V2A 
V1A 
4 m 
1,
46
4 
2,536 
1,
46
4 
2,
07
2 AL1 = 4 m x 5 m = 20 m
2 
 
PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN 
L1 L2 φ 5 mm @ 17 cm 
1,15 cm2/m 
φ 5 mm @ 11 cm 
1,78 cm2/m 
φ 8 mm @ 13 cm 
3,87 cm2/m 
2006 8-52 ufpr/tc405 
 
 OKkN70)562,24()277,65()624,35()562,24(Pn =×+×+×+×=∑ 
i. Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos 
 
j. Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2) – valores característicos 
 
 Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga 
 acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens h e i). 
 Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como 
5 
m
 
2,562 kN/m 
2,562 kN/m 
3,
62
4 
kN
/m
 
6,
27
7 
kN
/m
 
V4
 
V3
 
V2A