Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Ca´lculo Integral - 2014.1 Lista Parte 1 Equipe de Matema´tica, Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia, UFMA - Campus Cidade Universita´ria Primitivas 1 Determine y = f (x), com x ∈ R, tal que f ′(x) = −2x f (x) e f (0) = 1. (Resp.: f (x) = e−x2) 2 Seja x 7−→ f (x), com x ∈ R, uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel tal que f ′′(x)+ f (x) = 0, para todo x ∈ R. Se g(x) := f ′(x) sin x − f (x) cos x, prove que g e´ constante. 3 Sejam f , g : R −→ R duas func¸o˜es diferencia´veis. Suponha que f (0) = 0 e g(0) = 1 e que, para todo x, f ′(x) = g(x) e g′(x) = − f (x). • Mostre que, para todo x ∈ R, ( f (x) − sin x)2 + (g(x) − cos x)2 = 0. • Conclua que f (x) = sin x e g(x) = cos x. 4 Sejam f , g : R −→ R duas func¸o˜es diferencia´veis e tais que, para todo t ∈ R, f ′(t) = 2g(t) e g′(t) = − f (t) Suponha, ainda, que f (0) = 0 e g(0) = 1. • Prove que, para todo t ∈ R, ( f (t) − √2 sin t)2 + (g(t) − cos t)2 = 0. • Conclua que o ponto ( f (t), g(t)) pertence a` elipse x 2 2 + y2 = 1. 5 Calcule: • ∫ (x2 + x + 1) dx • ∫ (x + 1/x3) dx • ∫ (a + bx) dx, a e b constantes. • ∫ ( √ x + 1/x2) dx 6 Seja α , 0 um nu´mero real fixado. Calcule: • ∫ sin(αx) dx • ∫ cos(αx + 2013) dx 7 Calcule: • ∫ (x + 3ex) dx • ∫ (e2x + e−2x) dx • ∫ (sin 3x − cos 5x) dx 8 Calcule: • ∫ (1/x + e2012x) dx • ∫ ( 3 √ x + cos 2013x) dx • ∫ (e2x + e−2x) dx 9 Verifique que • ∫ 1√ 1 − x2 dx = arcsin x + k, −1 < x < 1. • ∫ 1 1 + x2 dx = arctan x + k. Enunciado das quatro questo˜es a seguir. Determine y := y(x), com x ∈ I ⊆ R, tal que: 10 dy dx = 3x3 − 2 e y(0) = 2. 11 dy dx = sin 3x − 2 cos 2x e y(0) = 1. 12 dy dx = e−x + 1/x e y(1) = 1. 13 dy dx = 1/x − 1/x2 e y(1) = 2. 14 Uma partı´cula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t−3, t ≥ 0. Sabe-se que, no instante t = 3, a partı´cula encontra-se na posic¸a˜o x = 2. • Qual a posic¸a˜o da partı´cula no instante t? 2 • Determine a posic¸a˜o da partı´cula no instante t = 2. • Determine a acelerac¸a˜o. 15 Uma partı´cula desloca-se sobre o eixo Ox com func¸a˜o de posic¸a˜o x = x(t), t ≥ 0. Determine x = x(t), sabendo que: • dx dt = 2t2012 − 1 e x(0) = 2. • d 2x dt = sin 2t, v(0) = 1 e x(0) = 0. • d 2x dt = e−t+1/(t+1), v(0) = 0 e x(0) = 1. • dx dt = 1/(1 + t2) e x(0) = 1. Enunciado das quatro questo˜es a seguir. Esboce o gra´fico da func¸a˜o y = y(x), com x ∈ R, sabendo que: 16 dy dx = 2x − 1 e y(0) = 0. 17 d2y dx2 = −2 cos 2x, y′(0) = 0 e y(0) = 1. 18 d2y dx2 = e−x + 1/(x + 2), y′(0) = −1 e y(0) = 0. 19 dy dx = 1/(2 + x2) e y(0) = 0. 20 Um objeto e´ lanc¸ado para cima com velocidade inicial v0 metros por segundo a partir de um ponto s0 metros acima do solo. Mostre que [v(t)]2 = v20 − 2g[s(t) − s0], onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade. 21 Se um mergulhador de massa m permanece na ponta de um trampolim de comprimento L e densidade linear ρ, o trampolim toma a forma da curva y = f (x), em que EIy′′ = mg(L − x) + 1 2 ρg(L − x)2 onde E e I sa˜o constantes positivas que dependem do material do trampolim e g < 0 e´ a acelerac¸a˜o da gravidade. • Encontre uma expressa˜o para a forma da curva. • Use f (L) para estimar a distaˆncia horizontal a` ponta do trampolim. 22 A densidade linear de um cabo de comprimento 1 m e´ dado por ρ(x) = 1/ √ x, em gramas por centı´metro, onde x e´ medido em centı´metros a partir da extremidade do cabo. Encontre a massa do cabo. 23 Um carro e´ freado com uma desacelerac¸a˜o constante de 5 m/s2, produzindo marcas de freagem medindo 60 m antes de parar completamente. Qua˜o ra´pido, o carro estava viajando quando o freio foi acionado pela primeira vez? 3 Primeiro teorema fundamental do ca´lculo Enunciado das questo˜es a seguir. Calcule as seguintes integrais definidas: 24 ∫ 1 0 (x2 − 3x + 1) dx 25 ∫ 1 −1 (5x3 − 1/2) dx 26 ∫ 4 1 dx√ x 27 ∫ 8 0 3√x dx 28 ∫ 4 1 1 + x x3 dx 29 ∫ 2 1 1 + t2 t4 dt 30 ∫ 0 −pi sin 3u du 31 ∫ pi/2 −pi/3 cos 2v dv 32 ∫ 1 −1 e−2x dx 33 ∫ pi/4 0 sin x dx 34 ∫ pi/3 0 (3 + cos 3x) dx 35 ∫ 1 0 sin 2013x dx 36 ∫ 1/2 0 dx√ 1 − x2 37 ∫ 2 0 2014x dx 38 ∫ 1 −1 x3ex 4 dx 39 ∫ pi/2 0 cos2 x dx 40 ∫ pi/3 0 sin2 x dx 41 ∫ pi/4 0 sec2 x dx 42 ∫ 1 0 3xex dx 43 ∫ pi/4 0 tan2 x dx 44 ∫ pi/3 0 (sin x + sin 2x) dx Ca´lculo de a´reas 45 Calcule a a´rea da regia˜o compreendida entre os gra´ficos de f (x) = x3 − 2x + 1 e f (x) = −x + 1, com − 1 ≤ x ≤ 1. 46 Esboce a regia˜o A := B ∩ C ∩D e calcule sua a´rea, onde B := {(x, y) ∈ R2|y ≥ x2 − 4},C := {(x, y) ∈ R2|y ≤ 12 − 3x2} e D := {(x, y) ∈ R2|y ≤ 3x2 + 12x + 12} 47 A reta horizontal y = c, com c ≥ 0, intercepta a curva y = 2x−3x3 no primeiro quadrante como mostra a figura. Determine c para a soma das a´reas das duas regio˜es sombreadas seja a maior possı´vel. 4 48 Esboce a regi˜ao A := {(x, y) ∈ R 2 |y ≥ x 2 − 1, y ≤ x + 1 e y ≥ −x 2 − 3x − 2} e calcule sua ´area. 49 Sejam f : [−1, 3] −→ R cont´ınua com f (x) ≤ 0, para todo x ∈ [−1, 3], A := {(x, y) ∈ R 2 | − 1 ≤ x ≤ 3 e y ≥ f (x)} e B := {(x, y) ∈ R 2 | − 1 ≤ x ≤ 3 e y ≤ x 2 + 3} tais que a ´area de A ∩ B seja igual a 23. Calcule ∫ 3 −1 f (x) dx. 50 Determine m > 0 para que a ´area delimitada por y = x 2 , y = x 2 /2 e a reta y = mx seja igual a 4. 51 Esboce a regi˜ao delimitada pela curva y = x 3 − x e por sua reta tangente no ponto de abscissa x = −1. Calcule a ´area desta regi˜ao. 52 Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t − 3, t ≥ 0. • Calcule o deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 3. • Qual o espac¸o percorrido entre os instantes t = 1 e t = 3? • Descreva o movimento realizado pela part´ıcula entre os instantes t = 1 e t = 3. 53 Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = sin 2t, t ≥ 0. Calcule o espac¸o percorrido entre os instantes t = 0 e t = pi. Mudanc¸a de vari´avel na integral definida Enunciado das quest˜oes a seguir. Calcule as seguintes integrais definidas: 5 54 ∫ 1 0 (3x + 1)2014 dx 55 ∫ 4 −3 3√ 5 − x dx 56 ∫ 1 −2 3 4 + x dx 57 ∫ 1 0 xex 2 dx 58 ∫ 1 0 x2012 1 + x2013 dx 59 ∫ 0 −1 x2 √ 1 + x3 dx 60 ∫ 1 0 x √ 3 + x2 dx 61 ∫ 2 1 3s 1 + s2 ds 62 ∫ pi/3 0 sin x cos2 x dx 63 ∫ pi/6 0 sin x sin2 x dx 64 ∫ pi/2 pi/3 sin3 x dx 65 ∫ pi/6 0 cos3 x dx 66 Seja f : [−2, 0] −→ R uma func¸a˜o contı´nua. Sabendo-se que ∫ 0 −2 f (x) dx = 3, calcule∫ 2 0 f (x − 2) dx 67 Seja f : [0, 4] −→ R uma func¸a˜o contı´nua. Calcule ∫ 2 −2 x f (x2) dx 68 Calcule ∫ pi −pi sin x x4 + x2 + 1 dx. 69 Calcule a a´rea da regia˜o A = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x 1 + x2 } 70 Um aluno (precipitado), ao calcular a integral ∫ 1 −1 √ 1 + x2 dx, raciocinou da seguinte maneira: fazendo a mudanc¸a de varia´veis u = 1 + x2, os novos extremos de integrac¸a˜o seriam iguais a 2 (x = −1 −→ u = 2; x = 1 −→ u = 2) e assim, a integral obtida apo´s a mudanc¸a de varia´vel seria igual a zero e, portanto, ∫ 1 −1 √ 1 + x2 dx = 0. Onde esta´ o erro? 71 Sejam r > 0 e f : [−r, r] −→ R uma func¸a˜o par, isto e´, f (x) = f (−x) para todo x ∈ [−r, r]. • Mostre que ∫ 0 −r f (x) dx = ∫ r 0 f (x) dx • Conclua que ∫ r −r f (x) dx = 2 ∫ r 0 f (x) dx. Interprete graficamente. 72 Uma mola AB de constante k esta´ presa ao suporte A e a um corpo B de massa m. O comprimento normal da mola e´ l. Desprezando o atrito entre o corpo B e a barra horizontal, mostre quea acelerac¸a˜o a do corpo B e´ dada por a = −kx m ( 1 − l√ x2 + l2 ) , em todo instante em que v , 0. 6 73 Uma partı´cula de massa m = 2 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ac¸a˜o da forc¸a resultante #« F = −3x #«i . Sabe-se que x(0) = 1 e v(0) = 0. • Verifique que, para todo t ≥ 0, 3x2 2 + v2 = 3 2 , onde x = x(t) e v = v(t). • Calcule o mo´dulo da velocidade da partı´cula quando esta se encontrar na posic¸a˜o x = 0. • Qual o valor ma´ximo de x? • Em que posic¸a˜o |v| e´ mı´nimo? • Como voceˆ acha que deve ser o movimento descrito pela partı´cula? 74 Quando um ga´s se expande em um cilindro de raio r, a pressa˜o a um dado momento e´ e´ uma func¸a˜o do volume: P = P(V). A forc¸a exercida pelo ga´s no pista˜o (veja a figura) e´ o produto da pressa˜o pela a´rea: F = pir2P. Mostre que o trabalho feito pelo ga´s quando o volume expande de V1 para V2 e´ W = ∫ V2 V1 P dV 75 A Lei da Gravitac¸a˜o Universal afirma que dois corpos com massas m1 e m2 atraem um ao outro com uma forc¸a F = G m1m2 r2 onde r e´ a distaˆncia entre os corpos e G e´ a constante gravitacional. Se um dos corpos e´ fixo, encontre o trabalho necessa´rio para mover o outro corpo de r = a para r = b. 7 76 Um aqua´rio de 2 m de comprimento, 1 m de largura e 1 m de profundidade esta´ cheio de a´gua. Encontre o trabalho necessa´rio para bombear metade da a´gua fora do aqua´rio. (Use o fato de que a densidade da a´gua e´ de 1000 kg/m3.) Integrais indefinidas Enunciado das questo˜es a seguir. Calcule as seguintes integrais indefinidas: 77 ∫ x7 + x2 + 1 x2 dx 78 ∫ e2x dx 79 ∫ cos 7x dx 80 ∫ tan2 x dx 81 ∫ 7 x − 2 dx 82 ∫ tan3 x sec2 x dx 83 ∫ sin3 x√ cos x dx 84 ∫ tan x dx 85 ∫ tan3 x dx 86 ∫ x 1 + x2 dx 87 ∫ x 1 + x4 dx 88 ∫ x2 1 + x2 dx 89 ∫ x √ 1 − x2 dx 90 ∫ sec x dx 91 ∫ dx x √ 1 + ln x 92 ∫ x2 5√ x3 + 1 dx 93 ∫ 4x + 8 2x2 + 8x + 20 dx 94 ∫ √ ln x x dx 95 ∫ dx arcsin x √ 1 − x2 96 ∫ ex 1 + ex dx 97 ∫ sin 2x 1 + cos2 x dx 98 ∫ ex 3 x2 dx 99 ∫ ex 3√ 1 + ex dx 100 ∫ sin √ x√ x dx 101 ∫ earctan x 1 + x2 dx 102 ∫ 2x(1 + x)2013 dx 103 ∫ x sin x dx 104 ∫ ex cos x dx 105 ∫ xr ln x dx, r ∈ R 106 ∫ (ln x)2 dx 107 ∫ xe−x dx 108 ∫ x arctan x dx 109 ∫ arcsin x dx 110 ∫ sec3 x dx 111 ∫ cos2 x dx 112 ∫ sin2 x cos3 x dx 113 ∫ sin2 x cos2 x dx 114 ∫ 1 − sin x cos x dx 115 ∫ 3x2 + 4x + 5 (x − 1)(x − 2)(x − 3) dx 116 ∫ dx 2x2 + 8x + 20 117 ∫ 3x2 + 4x + 5 (x − 1)2(x − 2) dx 118 ∫ x5 + x + 1 x3 − 8 dx 119 ∫ x2√ 1 − x2 dx 120 ∫ x2 √ 1 − x2 dx 8 121 ∫ e √ x dx 122 ∫ ln(x + √ 1 + x2) dx 123 ∫ dx√ 5 − 2x + x2 124 ∫ √ x ln x dx 125 ∫ sin(ln x) dx 126 ∫ x x2 − 4 dx 127 ∫ 3x2 + 5x + 4 x3 + x2 + x − 3 dx 128 ∫ √ a2 + b2x2 dx 129 ∫ dx a2 + b2x2 130 ∫ √ x2 − 2x + 2 dx 131 ∫ √ 3 − 2x − x2 dx 132 ∫ dx (1 + x2) √ 1 − x2 133 ∫ cos3 x dx 134 ∫ sin5 x dx 135 ∫ sin5 x sin3 x dx 136 ∫ sin3 x 2 cos5 x 2 dx 137 ∫ dx sin5 x cos3 x 138 ∫ sin4 x dx 139 ∫ sin2 x cos5 x dx 140 ∫ sin2 x cos4 x dx 141 ∫ cos6(3x) dx 142 ∫ cos2 x sin6 x dx 143 ∫ dx sin2 cos4 x 144 ∫ √ 1 − x 1 + x dx 145 ∫ dx√ x − 3√x 146 ∫ x + 1 x2(x2 + 4)2 dx 147 ∫ arctan x x2 dx 148 ∫ x2√ 2x − x2 dx 149 ∫ 4x2 − 3x + 3 (x2 − 2x + 2)(x + 1) dx 150 ∫ dx 1 + ex 151 ∫ ln(x + 1) x2 dx 152 ∫ x5e−x 3 dx 153 ∫ x + 1 x2(x2 + 4) dx Resultados gerais 154 Para cada n > 1, verifique que∫ secn x dx = 1 n − 1 sec n−2 x tan x + n − 2 n − 1 ∫ secn−2 x dx 155 Calcule ∫ sec5 x dx Enunciado das duas questo˜es a seguir. Verifique que, para cada inteiro n > 1, tem-se: 156 ∫ sinn x dx = −1 n sinn−1 x cos x + n − 1 n ∫ sinn−2 x dx 9 157 ∫ cosn x dx = 1 n cosn−1 x cos x + n − 1 n ∫ cosn−2 x dx 158 Calcule ∫ sin3 x dx e ∫ cos4 x dx. 159 Se s > 0 e´ uma constante, calcule ∫ e−st sin t dt. 160 Verifique que, para todo inteiro n > 0 e s > 0 real,∫ tne−st dt = −1 s tne−st + n s ∫ tn−1e−st dt Enunciado das duas questo˜es a seguir. Sejam m e n inteiros positivos. Mostre que: 161 ∫ 1 0 xn(1 − x)m dx = m n + 1 ∫ 1 0 xn+1(1 − x)m−1 dx 162 ∫ 1 0 xn(1 − x)m dx = n!m! (m + n + 1)! 163 Verifique que, para todo inteiro n > 1,∫ pi/2 0 sinn x dx = n − 1 n ∫ pi/2 0 sinn−2 x dx Enunciado das duas questo˜es a seguir. Verifique que, para todo inteiro n > 0, 164 ∫ 1 0 (1 − x2)n dx = 2n 2n + 1 ∫ 1 0 (1 − x2)n−1 dx 165 ∫ 1 0 (1 − x2)n dx = 2 2n(n!)2 (2n + 1)! 166 Seja g : [0,+∞) −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel tal que g′ e´ contı´nua e g(0) = 0. Mostre que ∫ x 0 g′(t)e−st dt = g(x)e−sx + s ∫ x 0 g(t)e−st dt 167 Suponha f ′′ e´ contı´nua em [a, b]. Prove que f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + ∫ b a (b − t) f ′′(t) dt 10 168 Suponha f ′′′ e´ contı´nua em [a, b]. Prove que f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + f ′′(a) 2 (b − a)2 + ∫ b a (b − t)2 2 f ′′′(t) dt 169 Sejam m e n constantes na˜o nulas. Mostre que∫ mu + n 1 + u2 du = m 2 ln(1 + u2) + n arctan u + k Enunciado das duas questo˜es a seguir. Se m e n sa˜o inteiros positivos, calcule: 170 ∫ pi pi sin nx cos mx dx 171 ∫ pi pi sin nx sin mx dx 172 ∫ pi pi cos nx cos mx dx Refereˆncias [1] INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA DA UNIVERSIDADE DE SA˜O PAULO, MAT2453-Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia I. Disponı´vel em: http://www.ime.usp.br/mat/2453-2012/ Acesso em 24 de set. de 2013. [2] Demidovitch, H.L., Problemas e Exercı´cios de Ana´lise Matema´tica. Editora Mir Moscou, 6a. Edic¸a˜o, 1987. [3] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Ca´lculo. Volume 1, Rio de Janeiro, LTC, 5a. Edic¸a˜o, 2001. [4] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Ca´lculo. Volume 2, Rio de Janeiro, LTC, 5a. Edic¸a˜o, 2001. [5] Stewart, J., Ca´lculo. Volume 1, Sa˜o Paulo, Cengage Learning, 6a. Edic¸a˜o, 2011. 11
Compartilhar