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Lista1_Integral

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Ca´lculo Integral - 2014.1
Lista Parte 1
Equipe de Matema´tica, Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia, UFMA - Campus Cidade Universita´ria
Primitivas
1 Determine y = f (x), com x ∈ R, tal que f ′(x) = −2x f (x) e f (0) = 1.
(Resp.: f (x) = e−x2)
2 Seja x 7−→ f (x), com x ∈ R, uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel tal que f ′′(x)+ f (x) = 0,
para todo x ∈ R. Se g(x) := f ′(x) sin x − f (x) cos x, prove que g e´ constante.
3 Sejam f , g : R −→ R duas func¸o˜es diferencia´veis. Suponha que f (0) = 0 e g(0) = 1 e que,
para todo x,
f ′(x) = g(x) e g′(x) = − f (x).
• Mostre que, para todo x ∈ R,
( f (x) − sin x)2 + (g(x) − cos x)2 = 0.
• Conclua que f (x) = sin x e g(x) = cos x.
4 Sejam f , g : R −→ R duas func¸o˜es diferencia´veis e tais que, para todo t ∈ R,
f ′(t) = 2g(t) e g′(t) = − f (t)
Suponha, ainda, que f (0) = 0 e g(0) = 1.
• Prove que, para todo t ∈ R,
( f (t) − √2 sin t)2 + (g(t) − cos t)2 = 0.
• Conclua que o ponto ( f (t), g(t)) pertence a` elipse x
2
2
+ y2 = 1.
5 Calcule:
•
∫
(x2 + x + 1) dx
•
∫
(x + 1/x3) dx
•
∫
(a + bx) dx, a e b constantes.
•
∫
(
√
x + 1/x2) dx
6 Seja α , 0 um nu´mero real fixado. Calcule:
•
∫
sin(αx) dx •
∫
cos(αx + 2013) dx
7 Calcule:
•
∫
(x + 3ex) dx
•
∫
(e2x + e−2x) dx
•
∫
(sin 3x − cos 5x) dx
8 Calcule:
•
∫
(1/x + e2012x) dx
•
∫
( 3
√
x + cos 2013x) dx
•
∫
(e2x + e−2x) dx
9 Verifique que
•
∫
1√
1 − x2
dx = arcsin x + k, −1 < x < 1.
•
∫
1
1 + x2
dx = arctan x + k.
Enunciado das quatro questo˜es a seguir. Determine y := y(x), com x ∈ I ⊆ R, tal que:
10
dy
dx
= 3x3 − 2 e y(0) = 2.
11
dy
dx
= sin 3x − 2 cos 2x e y(0) = 1.
12
dy
dx
= e−x + 1/x e y(1) = 1.
13
dy
dx
= 1/x − 1/x2 e y(1) = 2.
14 Uma partı´cula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t−3, t ≥ 0. Sabe-se que,
no instante t = 3, a partı´cula encontra-se na posic¸a˜o x = 2.
• Qual a posic¸a˜o da partı´cula no instante t?
2
• Determine a posic¸a˜o da partı´cula no instante t = 2.
• Determine a acelerac¸a˜o.
15 Uma partı´cula desloca-se sobre o eixo Ox com func¸a˜o de posic¸a˜o x = x(t), t ≥ 0.
Determine x = x(t), sabendo que:
• dx
dt
= 2t2012 − 1 e x(0) = 2.
• d
2x
dt
= sin 2t, v(0) = 1 e x(0) = 0.
• d
2x
dt
= e−t+1/(t+1), v(0) = 0 e x(0) = 1.
• dx
dt
= 1/(1 + t2) e x(0) = 1.
Enunciado das quatro questo˜es a seguir. Esboce o gra´fico da func¸a˜o y = y(x), com
x ∈ R, sabendo que:
16
dy
dx
= 2x − 1 e y(0) = 0.
17
d2y
dx2
= −2 cos 2x, y′(0) = 0 e y(0) = 1.
18
d2y
dx2
= e−x + 1/(x + 2), y′(0) = −1 e y(0) = 0.
19
dy
dx
= 1/(2 + x2) e y(0) = 0.
20 Um objeto e´ lanc¸ado para cima com velocidade inicial v0 metros por segundo a partir
de um ponto s0 metros acima do solo. Mostre que
[v(t)]2 = v20 − 2g[s(t) − s0],
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade.
21 Se um mergulhador de massa m permanece na ponta de um trampolim de comprimento
L e densidade linear ρ, o trampolim toma a forma da curva y = f (x), em que
EIy′′ = mg(L − x) + 1
2
ρg(L − x)2
onde E e I sa˜o constantes positivas que dependem do material do trampolim e g < 0 e´ a
acelerac¸a˜o da gravidade.
• Encontre uma expressa˜o para a forma da curva.
• Use f (L) para estimar a distaˆncia horizontal a` ponta do trampolim.
22 A densidade linear de um cabo de comprimento 1 m e´ dado por ρ(x) = 1/
√
x, em
gramas por centı´metro, onde x e´ medido em centı´metros a partir da extremidade do
cabo. Encontre a massa do cabo.
23 Um carro e´ freado com uma desacelerac¸a˜o constante de 5 m/s2, produzindo marcas de
freagem medindo 60 m antes de parar completamente. Qua˜o ra´pido, o carro estava
viajando quando o freio foi acionado pela primeira vez?
3
Primeiro teorema fundamental do ca´lculo
Enunciado das questo˜es a seguir. Calcule as seguintes integrais definidas:
24
∫ 1
0
(x2 − 3x + 1) dx
25
∫ 1
−1
(5x3 − 1/2) dx
26
∫ 4
1
dx√
x
27
∫ 8
0
3√x dx
28
∫ 4
1
1 + x
x3
dx
29
∫ 2
1
1 + t2
t4
dt
30
∫ 0
−pi
sin 3u du
31
∫ pi/2
−pi/3
cos 2v dv
32
∫ 1
−1
e−2x dx
33
∫ pi/4
0
sin x dx
34
∫ pi/3
0
(3 + cos 3x) dx
35
∫ 1
0
sin 2013x dx
36
∫ 1/2
0
dx√
1 − x2
37
∫ 2
0
2014x dx
38
∫ 1
−1
x3ex
4
dx
39
∫ pi/2
0
cos2 x dx
40
∫ pi/3
0
sin2 x dx
41
∫ pi/4
0
sec2 x dx
42
∫ 1
0
3xex dx
43
∫ pi/4
0
tan2 x dx
44
∫ pi/3
0
(sin x + sin 2x) dx
Ca´lculo de a´reas
45 Calcule a a´rea da regia˜o compreendida entre os gra´ficos de
f (x) = x3 − 2x + 1 e f (x) = −x + 1, com − 1 ≤ x ≤ 1.
46 Esboce a regia˜o A := B ∩ C ∩D e calcule sua a´rea, onde
B := {(x, y) ∈ R2|y ≥ x2 − 4},C := {(x, y) ∈ R2|y ≤ 12 − 3x2}
e
D := {(x, y) ∈ R2|y ≤ 3x2 + 12x + 12}
47 A reta horizontal y = c, com c ≥ 0, intercepta a curva y = 2x−3x3 no primeiro quadrante
como mostra a figura. Determine c para a soma das a´reas das duas regio˜es sombreadas
seja a maior possı´vel.
4
48 Esboce a regi˜ao
A := {(x, y) ∈ R
2
|y ≥ x
2
− 1, y ≤ x + 1 e y ≥ −x
2
− 3x − 2}
e calcule sua ´area.
49 Sejam f : [−1, 3] −→ R cont´ınua com f (x) ≤ 0, para todo x ∈ [−1, 3],
A := {(x, y) ∈ R
2
| − 1 ≤ x ≤ 3 e y ≥ f (x)} e B := {(x, y) ∈ R
2
| − 1 ≤ x ≤ 3 e y ≤ x
2
+ 3}
tais que a ´area de A ∩ B seja igual a 23. Calcule
∫
3
−1
f (x) dx.
50 Determine m > 0 para que a ´area delimitada por y = x
2
, y = x
2
/2 e a reta y = mx seja
igual a 4.
51 Esboce a regi˜ao delimitada pela curva y = x
3
− x e por sua reta tangente no ponto de
abscissa x = −1. Calcule a ´area desta regi˜ao.
52 Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t − 3, t ≥ 0.
• Calcule o deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 3.
• Qual o espac¸o percorrido entre os instantes t = 1 e t = 3?
• Descreva o movimento realizado pela part´ıcula entre os instantes t = 1 e t = 3.
53 Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = sin 2t, t ≥ 0. Calcule o
espac¸o percorrido entre os instantes t = 0 e t = pi.
Mudanc¸a de vari´avel na integral definida
Enunciado das quest˜oes a seguir. Calcule as seguintes integrais definidas:
5
54
∫ 1
0
(3x + 1)2014 dx
55
∫ 4
−3
3√
5 − x dx
56
∫ 1
−2
3
4 + x
dx
57
∫ 1
0
xex
2
dx
58
∫ 1
0
x2012
1 + x2013
dx
59
∫ 0
−1
x2
√
1 + x3 dx
60
∫ 1
0
x
√
3 + x2 dx
61
∫ 2
1
3s
1 + s2
ds
62
∫ pi/3
0
sin x cos2 x dx
63
∫ pi/6
0
sin x sin2 x dx
64
∫ pi/2
pi/3
sin3 x dx
65
∫ pi/6
0
cos3 x dx
66 Seja f : [−2, 0] −→ R uma func¸a˜o contı´nua. Sabendo-se que
∫ 0
−2
f (x) dx = 3, calcule∫ 2
0
f (x − 2) dx
67 Seja f : [0, 4] −→ R uma func¸a˜o contı´nua. Calcule
∫ 2
−2
x f (x2) dx
68 Calcule
∫ pi
−pi
sin x
x4 + x2 + 1
dx.
69 Calcule a a´rea da regia˜o
A = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x
1 + x2
}
70 Um aluno (precipitado), ao calcular a integral
∫ 1
−1
√
1 + x2 dx, raciocinou da seguinte
maneira: fazendo a mudanc¸a de varia´veis u = 1 + x2, os novos extremos de integrac¸a˜o
seriam iguais a 2 (x = −1 −→ u = 2; x = 1 −→ u = 2) e assim, a integral obtida apo´s
a mudanc¸a de varia´vel seria igual a zero e, portanto,
∫ 1
−1
√
1 + x2 dx = 0. Onde esta´ o
erro?
71 Sejam r > 0 e f : [−r, r] −→ R uma func¸a˜o par, isto e´, f (x) = f (−x) para todo x ∈ [−r, r].
• Mostre que
∫ 0
−r
f (x) dx =
∫ r
0
f (x) dx
• Conclua que
∫ r
−r
f (x) dx = 2
∫ r
0
f (x) dx. Interprete graficamente.
72 Uma mola AB de constante k esta´ presa ao suporte A e a um corpo B de massa m.
O comprimento normal da mola e´ l. Desprezando o atrito entre o corpo B e a barra
horizontal, mostre quea acelerac¸a˜o a do corpo B e´ dada por
a = −kx
m
(
1 − l√
x2 + l2
)
,
em todo instante em que v , 0.
6
73 Uma partı´cula de massa m = 2 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ac¸a˜o da forc¸a resultante
#«
F = −3x #«i . Sabe-se que x(0) = 1 e v(0) = 0.
• Verifique que, para todo t ≥ 0,
3x2
2
+ v2 =
3
2
,
onde x = x(t) e v = v(t).
• Calcule o mo´dulo da velocidade da partı´cula quando esta se encontrar na posic¸a˜o
x = 0.
• Qual o valor ma´ximo de x?
• Em que posic¸a˜o |v| e´ mı´nimo?
• Como voceˆ acha que deve ser o movimento descrito pela partı´cula?
74 Quando um ga´s se expande em um cilindro de raio r, a pressa˜o a um dado momento e´
e´ uma func¸a˜o do volume: P = P(V). A forc¸a exercida pelo ga´s no pista˜o (veja a figura) e´
o produto da pressa˜o pela a´rea: F = pir2P. Mostre que o trabalho feito pelo ga´s quando
o volume expande de V1 para V2 e´
W =
∫ V2
V1
P dV
75 A Lei da Gravitac¸a˜o Universal afirma que dois corpos com massas m1 e m2 atraem um
ao outro com uma forc¸a
F = G
m1m2
r2
onde r e´ a distaˆncia entre os corpos e G e´ a constante gravitacional. Se um dos corpos e´
fixo, encontre o trabalho necessa´rio para mover o outro corpo de r = a para r = b.
7
76 Um aqua´rio de 2 m de comprimento, 1 m de largura e 1 m de profundidade esta´ cheio
de a´gua. Encontre o trabalho necessa´rio para bombear metade da a´gua fora do aqua´rio.
(Use o fato de que a densidade da a´gua e´ de 1000 kg/m3.)
Integrais indefinidas
Enunciado das questo˜es a seguir. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
77
∫
x7 + x2 + 1
x2
dx
78
∫
e2x dx
79
∫
cos 7x dx
80
∫
tan2 x dx
81
∫
7
x − 2 dx
82
∫
tan3 x sec2 x dx
83
∫
sin3 x√
cos x
dx
84
∫
tan x dx
85
∫
tan3 x dx
86
∫
x
1 + x2
dx
87
∫
x
1 + x4
dx
88
∫
x2
1 + x2
dx
89
∫
x
√
1 − x2 dx
90
∫
sec x dx
91
∫
dx
x
√
1 + ln x
92
∫
x2
5√
x3 + 1 dx
93
∫
4x + 8
2x2 + 8x + 20
dx
94
∫ √
ln x
x
dx
95
∫
dx
arcsin x
√
1 − x2
96
∫
ex
1 + ex
dx
97
∫
sin 2x
1 + cos2 x
dx
98
∫
ex
3
x2 dx
99
∫
ex
3√
1 + ex dx
100
∫
sin
√
x√
x
dx
101
∫
earctan x
1 + x2
dx
102
∫
2x(1 + x)2013 dx
103
∫
x sin x dx
104
∫
ex cos x dx
105
∫
xr ln x dx, r ∈ R
106
∫
(ln x)2 dx
107
∫
xe−x dx
108
∫
x arctan x dx
109
∫
arcsin x dx
110
∫
sec3 x dx
111
∫
cos2 x dx
112
∫
sin2 x cos3 x dx
113
∫
sin2 x cos2 x dx
114
∫
1 − sin x
cos x
dx
115
∫
3x2 + 4x + 5
(x − 1)(x − 2)(x − 3) dx
116
∫
dx
2x2 + 8x + 20
117
∫
3x2 + 4x + 5
(x − 1)2(x − 2) dx
118
∫
x5 + x + 1
x3 − 8 dx
119
∫
x2√
1 − x2
dx
120
∫
x2
√
1 − x2 dx
8
121
∫
e
√
x dx
122
∫
ln(x +
√
1 + x2) dx
123
∫
dx√
5 − 2x + x2
124
∫ √
x ln x dx
125
∫
sin(ln x) dx
126
∫
x
x2 − 4 dx
127
∫
3x2 + 5x + 4
x3 + x2 + x − 3 dx
128
∫ √
a2 + b2x2 dx
129
∫
dx
a2 + b2x2
130
∫ √
x2 − 2x + 2 dx
131
∫ √
3 − 2x − x2 dx
132
∫
dx
(1 + x2)
√
1 − x2
133
∫
cos3 x dx
134
∫
sin5 x dx
135
∫
sin5 x
sin3 x
dx
136
∫
sin3
x
2
cos5
x
2
dx
137
∫
dx
sin5 x cos3 x
138
∫
sin4 x dx
139
∫
sin2 x cos5 x dx
140
∫
sin2 x cos4 x dx
141
∫
cos6(3x) dx
142
∫
cos2 x
sin6 x
dx
143
∫
dx
sin2 cos4 x
144
∫ √
1 − x
1 + x
dx
145
∫
dx√
x − 3√x
146
∫
x + 1
x2(x2 + 4)2
dx
147
∫
arctan x
x2
dx
148
∫
x2√
2x − x2
dx
149
∫
4x2 − 3x + 3
(x2 − 2x + 2)(x + 1) dx
150
∫
dx
1 + ex
151
∫
ln(x + 1)
x2
dx
152
∫
x5e−x
3
dx
153
∫
x + 1
x2(x2 + 4)
dx
Resultados gerais
154 Para cada n > 1, verifique que∫
secn x dx =
1
n − 1 sec
n−2 x tan x +
n − 2
n − 1
∫
secn−2 x dx
155 Calcule
∫
sec5 x dx
Enunciado das duas questo˜es a seguir.
Verifique que, para cada inteiro n > 1, tem-se:
156
∫
sinn x dx = −1
n
sinn−1 x cos x +
n − 1
n
∫
sinn−2 x dx
9
157
∫
cosn x dx =
1
n
cosn−1 x cos x +
n − 1
n
∫
cosn−2 x dx
158 Calcule
∫
sin3 x dx e
∫
cos4 x dx.
159 Se s > 0 e´ uma constante, calcule
∫
e−st sin t dt.
160 Verifique que, para todo inteiro n > 0 e s > 0 real,∫
tne−st dt = −1
s
tne−st +
n
s
∫
tn−1e−st dt
Enunciado das duas questo˜es a seguir.
Sejam m e n inteiros positivos. Mostre que:
161
∫ 1
0
xn(1 − x)m dx = m
n + 1
∫ 1
0
xn+1(1 − x)m−1 dx
162
∫ 1
0
xn(1 − x)m dx = n!m!
(m + n + 1)!
163 Verifique que, para todo inteiro n > 1,∫ pi/2
0
sinn x dx =
n − 1
n
∫ pi/2
0
sinn−2 x dx
Enunciado das duas questo˜es a seguir.
Verifique que, para todo inteiro n > 0,
164
∫ 1
0
(1 − x2)n dx = 2n
2n + 1
∫ 1
0
(1 − x2)n−1 dx
165
∫ 1
0
(1 − x2)n dx = 2
2n(n!)2
(2n + 1)!
166 Seja g : [0,+∞) −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel tal que g′ e´ contı´nua e g(0) = 0. Mostre
que ∫ x
0
g′(t)e−st dt = g(x)e−sx + s
∫ x
0
g(t)e−st dt
167 Suponha f ′′ e´ contı´nua em [a, b]. Prove que
f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) +
∫ b
a
(b − t) f ′′(t) dt
10
168 Suponha f ′′′ e´ contı´nua em [a, b]. Prove que
f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + f
′′(a)
2
(b − a)2 +
∫ b
a
(b − t)2
2
f ′′′(t) dt
169 Sejam m e n constantes na˜o nulas. Mostre que∫
mu + n
1 + u2
du =
m
2
ln(1 + u2) + n arctan u + k
Enunciado das duas questo˜es a seguir.
Se m e n sa˜o inteiros positivos, calcule:
170
∫ pi
pi
sin nx cos mx dx 171
∫ pi
pi
sin nx sin mx dx 172
∫ pi
pi
cos nx cos mx dx
Refereˆncias
[1] INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA DA UNIVERSIDADE DE SA˜O
PAULO, MAT2453-Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia I. Disponı´vel em:
http://www.ime.usp.br/mat/2453-2012/ Acesso em 24 de set. de 2013.
[2] Demidovitch, H.L., Problemas e Exercı´cios de Ana´lise Matema´tica. Editora Mir Moscou, 6a.
Edic¸a˜o, 1987.
[3] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Ca´lculo. Volume 1, Rio de Janeiro, LTC, 5a. Edic¸a˜o, 2001.
[4] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Ca´lculo. Volume 2, Rio de Janeiro, LTC, 5a. Edic¸a˜o, 2001.
[5] Stewart, J., Ca´lculo. Volume 1, Sa˜o Paulo, Cengage Learning, 6a. Edic¸a˜o, 2011.
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