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Profª Lilian Brazile 1 DERIVADA Derivada de uma função em um ponto: Consideremos a função 𝑦 = 𝑓(𝑥), contínua e definida em um intervalo 𝐴, e 𝑥0 um elemento desse intervalo, representada no gráfico: Se à variável 𝑥 for acrescentado ∆𝑥 a partir do ponto 𝑥0, teremos: 𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑥 ou ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 (incremento da variável 𝑥). Logo, à função 𝑓(𝑥) também será acrescentado ∆𝑦 a partir de 𝑓(𝑥0). Então, 𝑓(𝑥0) + ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) ou ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) (incremento da função). Dizemos que a função 𝑓(𝑥) é derivável no ponto 𝑥0, se o limite lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 ou lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 existir e for finito. Neste caso, a derivada da função 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥0será determinada por: Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial Derivadas Profª Lilian Brazile Profª Lilian Brazile 2 𝒇′(𝒙𝟎) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎) 𝒙 − 𝒙𝟎 Exemplos: 1) Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto 𝑥0 = 3. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ⟹ 𝑓(3) = 32 = 9 Como 𝑓′(𝑥0) = lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 , então: 𝑓′(3) = lim 𝑥→3 𝑓(𝑥)−𝑓(3) 𝑥−3 = lim 𝑥→3 𝑥2−9 𝑥−3 = lim 𝑥→3 (𝑥+3)(𝑥−3) 𝑥−3 = lim 𝑥→3 (𝑥 + 3) = 6 2) Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 1 no ponto 𝑥0 = −2. Se 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 1 ⟹ 𝑓(−2) = 2. (−2)3 − 1 = 2. (−8) − 1 = −16 − 1 = −17 Como 𝑓′(𝑥0) = lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 , então: 𝑓′(−2) = lim 𝑥→−2 𝑓(𝑥) − 𝑓(−2) 𝑥— 2 = lim 𝑥→−2 (2𝑥3 − 1)— 17 𝑥 − (−2) 𝑥 + 2 = lim 𝑥→−2 2𝑥3 − 1 + 17 𝑥 + 2 = = lim 𝑥→−2 2𝑥3 + 16 𝑥 + 2 = lim 𝑥→−2 2(𝑥3 + 8) 𝑥 + 2 = lim 𝑥→−2 2(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) 𝑥 + 2 = = lim 𝑥→−2 2(𝑥2 − 2𝑥 + 4) = 2((−2)2 − 2. (−2) + 4) = 2(4 + 4 + 4) = 2.12 = 24 Observação: Em alguns casos usaremos as fatorações abaixo: 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) e 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) No exemplo 2 usamos a fatoração 𝑎3 + 𝑏3, ou seja: 𝑥3 + 8 = 𝑥3 + 23 = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 22) = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4). Profª Lilian Brazile 3 Função Derivada: Consideremos a função 𝑦 = 𝑓(𝑥), contínua e definida em um intervalo 𝐴, e o intervalo 𝐴′ ⊂ 𝐴, podemos dizer que, se 𝑦 = 𝑓(𝑥) é derivável para todo 𝑥 ∈ 𝐴′, então 𝑦 = 𝑓(𝑥) é derivável em 𝐴′. Chamamos de função derivada de 𝑓(𝑥), ou simplesmente de derivada de 𝑓(𝑥), à função 𝑓′(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐴′, dada por: 𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 ∆𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) ∆𝒙 Diversos símbolos são usados para representar a derivada de uma de uma função 𝑓. Se for urilizado a notação 𝑦 = 𝑓(𝑥), a derivada de 𝑓 pode ser representada por 𝒇′(𝒙), 𝒚′, 𝑫𝒙 𝒇(𝒙), 𝑫𝒙 𝒚, 𝒅𝒚 𝒅𝒙 , ou 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙). Felizmente, você não precisa encontrar a derivada de uma função diretamente da definição de uma derivada. Em vez disso, você pode memorizar fórmulas padrão para diferenciar certas funções básicas: Profª Lilian Brazile 4 o Derivada de uma Função Constante: A derivada de uma função constante é sempre zero, ou seja, se 𝒇(𝒙) = 𝒌 for uma função constante, logo 𝒇′(𝒙) = 𝟎 . Exemplos: 1) Se 𝑓(𝑥) = 5, então 𝑓′(𝑥) = 0 . 2) Se 𝑓(𝑥) = 29, então 𝑓′(𝑥) = 0 . 3) Se 𝑓(𝑥) = −100, então 𝑓′(𝑥) = 0 . 4) Se 𝑓(𝑥) = 2,54, então 𝑓′(𝑥) = 0 . o Derivada de uma Função Potência: A função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 , onde 𝑛 ∈ ℝ, é denominada função potência. A derivada de uma função potência é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒏 𝒙𝒏−𝟏 . Exemplos: 1) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2, então 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2−1 = 2𝑥 . 2) Se 𝑓(𝑥) = √𝑥 ou 𝑓(𝑥) = 𝑥 1 2, então 𝑓′(𝑥) = 1 2 𝑥 1 2 −1 = 1 2 𝑥 1−2 2 = 1 2 𝑥− 1 2 = 1 2√𝑥 . 3) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥4, então 𝑓′(𝑥) = 4𝑥4−1 = 4𝑥3 . 4) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥−1, então 𝑓′(𝑥) = −1𝑥−1−1 = −𝑥−2 . o Derivadas de funções Trigonométricas: A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 . A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = −𝒔𝒆𝒏 𝒙 . Profª Lilian Brazile 5 A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒕𝒈 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 . A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 . A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒕𝒈 𝒙 . A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 . o Derivada da função Exponencial Natural 𝒆𝒙: A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒆𝒙 . o Derivadas de funções Exponenciais com bases diferentes de 𝒆: A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒙. 𝒍𝒏 𝒂 . Exemplos: 1) Se 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , então 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛2 . 2) Se 𝑓(𝑥) = ( 1 4 ) 𝑥 , então 𝑓′(𝑥) = ( 1 4 ) 𝑥 𝑙𝑛 ( 1 4 ) . o Derivada da função Logarítmica Natural 𝐥𝐧 𝒙: A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝟏 𝒙 . o Derivadas de funções Logarítmicas com bases diferentes de 𝒆: A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝟏 𝒙 .𝒍𝒏 𝒂 . Exemplos: 1) Se 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, então 𝑓′(𝑥) = 1 𝑥 𝑙𝑛2 . 2) Se 𝑓(𝑥) = log1 4 𝑥, então 𝑓′(𝑥) = 1 𝑥 𝑙𝑛 1 4 . Profª Lilian Brazile 6 o Derivadas de funções Trigonométricas Inversas: A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝟏 √𝟏 − 𝒙𝟐 . A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = − 𝟏 √𝟏 − 𝒙𝟐 . A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝟏 𝟏 + 𝒙𝟐 . Regras de Diferenciação: Regra da Constante Múltipla de uma Função: A derivada de uma constante multiplicada por uma função diferenciável é o produto da constante multiplicada pela derivada da função, ou seja, suponha que 𝑢(𝑥) é uma função diferenciável qualquer e 𝑘 seja um número real qualquer, então 𝑘 𝑢(𝑥) é também diferenciável com sua derivada dada por: 𝒅 𝒅𝒙 𝒌 𝒖(𝒙) = 𝒌 𝒖′(𝒙) A derivada de uma função diferenciável dividida por uma constante é a derivada da função dividida pela constante, ou seja, suponha que 𝑢(𝑥) é uma função diferenciável qualquer e 𝑘 seja um número real qualquer, então 𝑢(𝑥) 𝑘 é também diferenciável com sua derivada dada por: 𝒅 𝒅𝒙 𝒖(𝒙) 𝒌 = 𝟏 𝒌 𝒖′(𝒙) Exemplos: 1) Se 𝑓(𝑥) = −5𝑥2, então 𝑓′(𝑥) = −5 . 2𝑥2−1 = −10𝑥 . 2) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥4 3 , então 𝑓′(𝑥) = 4𝑥4−1 3 = 4𝑥3 3 . Profª Lilian Brazile7 3) Se 𝑓(𝑥) = 5 𝑠𝑒𝑛𝑥, então 𝑓′(𝑥) = 5 cos 𝑥 . 4) Se 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 6 , então 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 6 . Regra das Somas e Diferenças: A derivada da soma (ou da diferença) de duas funções diferenciáveis é igual à soma (ou a diferença) das derivadas das funções individuais. Para qualquer 𝑥 onde tanto 𝑢(𝑥) quanto 𝑣(𝑥) são funções diferenciáveis, a função (𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)) é diferenciável com sua derivada dada por: 𝒅 𝒅𝒙 (𝒖(𝒙) + 𝒗(𝒙)) = 𝒖′(𝒙) + 𝒗′(𝒙) Similarmente, para qualquer 𝑥 onde tanto 𝑢(𝑥) quanto 𝑣(𝑥) são funções diferenciáveis a função (𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥)) é diferenciável com sua derivada dada por: 𝒅 𝒅𝒙 (𝒖(𝒙) − 𝒗(𝒙)) = 𝒖′(𝒙) − 𝒗′(𝒙) Exemplos: 1) Se 𝑓(𝑥) = −5𝑥2 + 𝑥, então: 𝑓′(𝑥) = −5 . 2𝑥2−1 + 1 = −10𝑥 + 1 . 2) Se 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 5𝑥 + 1, então: 𝑓′(𝑥) = 3.4𝑥4−1 − 2.3𝑥3−1 + 5 + 0 = 12𝑥3 − 6𝑥2 + 5 . 3) Se 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥2, então: 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 − 3(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 2𝑥 = 𝑒𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥 . Profª Lilian Brazile 8 4) Se 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 + √𝑥4 3 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 3 ou ℎ(𝑥) = 5𝑥−1 + 𝑥 4 3 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 3 , então 𝑓′(𝑥) = (−1). 5𝑥−1−1 + 4 3 𝑥 4 3 −1 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 3 = −5𝑥−2 + 4 3 𝑥 4−3 3 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 3 = = − 5 𝑥2 + 4 3 𝑥 1 3 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 3 = − 5 𝑥2 + 4 3 √𝑥 3 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 3 Regra do Produto: A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é igual à primeira função multiplicada pela derivada da segunda função somada à segunda função multiplicada pela derivada da primeira função. Para qualquer 𝑥 onde tanto 𝑢(𝑥) quanto 𝑣(𝑥) são funções diferenciáveis, a função (𝑢(𝑥) . 𝑣(𝑥)) é diferenciável com sua derivada dada por: 𝒅 𝒅𝒙 (𝒖(𝒙) . 𝒗(𝒙)) = 𝒖(𝒙). 𝒗′(𝒙) + 𝒗(𝒙). 𝒖′(𝒙) Exemplos: 1) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥4. 𝑒𝑥 , então: 𝑓′(𝑥) = 𝑥4. (𝑒𝑥) + 𝑒𝑥 . (4𝑥3) = 𝑥4𝑒𝑥 + 4𝑥3𝑒𝑥 = 𝑒𝑥𝑥3(𝑥 − 4) . 2) Se 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 4)(2𝑥 − 3), então: 𝑓′(𝑥) = (𝑥2 + 4). (2 + 0) + (2𝑥 + 0). (2𝑥 − 3) = = (𝑥2 + 4)2 + 2𝑥(2𝑥 − 3) = 2𝑥2 + 8 + 4𝑥2 − 6𝑥 = 6𝑥2 − 6𝑥 + 8 . 3) Se 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 + 1)(−𝑥2 + 5𝑥 + 10), então 𝑓′(𝑥) = (2𝑥3 + 1)(−2𝑥 + 5 + 0) + (6𝑥2 + 0)(−𝑥2 + 5𝑥 + 10) = = (2𝑥3 + 1)(−2𝑥 + 5) + 6𝑥2(−𝑥2 + 5𝑥 + 10) = Profª Lilian Brazile 9 = 2𝑥3. (−2𝑥) + 2𝑥3. 5 + 1. (−2𝑥) + 1.5 + 6𝑥2. (−𝑥2) + 6𝑥2. 5𝑥 + 6𝑥2. 10 = = −4𝑥4 + 10𝑥3 − 2𝑥 + 5 − 6𝑥4 + 30𝑥3 + 60𝑥2 = = −10𝑥4 + 40𝑥3 + 60𝑥2 − 2𝑥 + 5 . 4) Se 𝑓(𝑥) = √𝑥 . 𝑙𝑛 𝑥, então 𝑓′(𝑥) = √𝑥 . 1 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥 . 1 2√𝑥 = √ 𝑥 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥 2√𝑥 . Regra do Quociente: A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis é igual à função denominador multiplicada pela derivada da função numerador menos a função numerador multiplicada pela derivada da função denominador e tudo dividido pelo quadrado da função denominador, para todos os números reais 𝑥 cujo denominador da função seja diferente de zero. Para qualquer 𝑥 onde tanto 𝑢(𝑥) quanto 𝑣(𝑥) são funções diferenciáveis e 𝑣(𝑥) ≠ 0, a função ( 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) ) é diferenciável com sua derivada dada por: 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝒖(𝒙) 𝒗(𝒙) ) = 𝒗(𝒙). 𝒖′(𝒙) − 𝒖(𝒙). 𝒗′(𝒙) (𝒗(𝒙)) 𝟐 Exemplos: 1) Se 𝑓(𝑥) = − 5𝑥2 + 4 3𝑥 , então: 𝑓′(𝑥) = (3𝑥) . (−5.2𝑥 + 0) − (− 5𝑥2 + 4) . (3) (3𝑥)2 = = (3𝑥) . (− 10𝑥) − (− 5𝑥2 + 4) . (3) 9𝑥2 = = −30𝑥2 − (−15𝑥2 + 12) 9𝑥2 = −30𝑥2 + 15𝑥2 − 12 9𝑥2 = = −15𝑥2 − 12 9𝑥2 = − (5𝑥2 + 4) 3𝑥2 Profª Lilian Brazile 10 2) Se 𝑓(𝑥) = 2𝑥3−3𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , então: 𝑓′(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛 𝑥) . (3.2𝑥2 − 3) − (2𝑥3 − 3𝑥) . (𝑐𝑜𝑠 𝑥) (𝑠𝑒𝑛 𝑥)2 = = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (6𝑥2 − 3) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥(2𝑥3 − 3𝑥) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 3) Se 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥− 𝑥 𝑙𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 , então: 𝑓′(𝑥) = (𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥) . (𝑒𝑥 − 1) − (𝑒𝑥 − 𝑥) . ( 1 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥) (𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2 4) Se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 √𝑥 , então: 𝑓′(𝑥) = (√𝑥) . ( 1 1 + 𝑥2 ) − (𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥) . ( 1 2√𝑥 ) (√𝑥) 2 = √𝑥 1 + 𝑥2 − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 2√𝑥 𝑥
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