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Profª Lilian Brazile 1/2 DERIVADAS INTEGRAIS Na tabela 𝐮 e 𝐯 são funções e 𝐚 e k são constantes ∈ ℝ 1. k′ = 0 1. ∫ 𝑢𝑘 𝑑𝑢 = 𝑢𝑘+1 𝑘+1 + 𝐶 (𝑘 ≠ −1) 2. (uk )′= k · un−1 2. ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶 3. ∫ 1 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 3. (ln u)’ = u’ u 4. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 + 𝐶 (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) 4. (eu)’ = eu · u′ 5. ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 6. ∫ 𝑒𝑘𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑘𝑢 𝑘 + 𝐶 5. ( 1 u ) ′ = − u′ u2 7. ∫ sen 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = − 1 𝑎 cos 𝑎𝑢 + 𝐶 6. (au)′ = au · ln a · u′ 8. ∫ cos 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 1 𝑎 sen 𝑎𝑢 + 𝐶 7. (uv)′ = uv · (v · u’ u + v′ · ln u) 9. ∫ tg 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑙𝑛|cos 𝑢| + 𝐶 8. (sen u)′ = cos u · u′ 10. ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢 + tg 𝑢 | + 𝐶 9. (cos u)′ = −sen u · u′ 11. ∫ cossec 𝑢 𝑑𝑢 = ln| cossec 𝑢 − cotg 𝑢| + 𝐶 10. (tg u)′ = sec2 u · u′ 12. ∫ cotg 𝑢 𝑑𝑢 = ln| sen 𝑢| + 𝐶 11. (sec u)′ = u′ · sec u · tg u 13. ∫ sec2 𝑢 𝑑𝑢 = tg 𝑢 + 𝐶 12. (cossec u)′ = −u′ · cossec u · cotan u 14. ∫ cossec2 𝑢 𝑑𝑢 = − cotg 𝑢 + 𝐶 13. (cotg u)′ = −u′ · cossec2 u 15. ∫ cossec 𝑢 · cotg 𝑢 𝑑𝑢 = − cossec 𝑢 + 𝐶 14. (arcsen u)’ = u′ √1−u2 16. ∫ 𝑑𝑢 √𝑎2−𝑢2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 (𝒂 > 0) 15. (arccos u)’ = − u′ √1−u2 17. ∫ 𝑑𝑢 𝑎2+𝑢2 = 1 𝑎 𝑎𝑟𝑐 tg ( 𝑢 𝑎 ) + 𝐶 (𝒂 ≠ 0) 16. (arctg u)’ = u′ 1+u2 18. ∫ 𝑑𝑢 𝑎2−𝑢2 = 1 2·𝑎 𝑙𝑛 | 𝑢+𝑎 𝑢−𝑎 | + 𝐶 Propriedades Teorema Fundamental do Cálculo P1) (k · u) ′ = k · u′ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)]𝑎 𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑏 𝑎 P2) (u ± v) ′ = u′ ± v′ Propriedades P3) (u · v) ′ = u′ · v + u · v′ P1) ∫ 𝑘 · 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 · ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 P4) ( u v ) ′ = u′ · v − u · v′ v2 P2) ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 Regra da Cadeia P3) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 dy dx = dy du · du dx ou y′(x) = f ′(u) · u′(x) Integral por Partes ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 · 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Profª Lilian Brazile 2/2 PRODUTOS NOTÁVEIS (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) EQUAÇÃO DO 2º GRAU, RAÍZES E VÉRTICE 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Raízes: 𝑥 = −𝑏±√∆ 2·𝑎 ∆= 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 𝑉 = (𝑥𝑉 = −𝑏 2·𝑎 , 𝑦𝑉 = −∆ 4𝑎 ) POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 𝑎0 = 1 0𝑎 = 0 𝑎𝑚 · 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 (𝑎 · 𝑏) 𝑛 = 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 (𝑎𝑚) 𝑛 = 𝑎𝑚·𝑛 ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎−1 = 1 𝑎 √ √𝑎 𝑛𝑚 = √𝑎 𝑚·𝑛 𝑎 𝑚 𝑛⁄ = √𝑎𝑚 𝑛 = ( √𝑎 𝑛 ) 𝑚 √𝑎 · 𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 · √𝑏 𝑛 √ 𝑎 𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 LOGARITMOS log𝑏 𝑎 = 𝑥 ↔ 𝑏 𝑥 = 𝑎 , sendo 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 e 𝑏 ≠ 1 log𝑎 1 = 0 log𝑎 𝑎 = 1 𝑏 log𝑏 𝑎 = 𝑎 ln 𝑒𝑥 = 𝑥 Logaritmo Decimal log10 𝑏 = log 𝑏 Logaritmo Natural log𝑒 𝑏 = ln 𝑏 Mudança de base log𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑏 log𝑐 𝑎 Propriedades log(𝑥 · 𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦 log ( 𝑥 𝑦 ) = log 𝑥 − log 𝑦 log 𝑥𝑦 = 𝑦 · log 𝑥 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS tg 𝑥 = sen 𝑥 cos 𝑥 cotg 𝑥 = 1 tg 𝑥 = cos 𝑥 sen 𝑥 sec 𝑥 = 1 cos 𝑥 cossec 𝑥 = 1 sen 𝑥 sen(−𝑥) = − sen 𝑥 cos(−𝑥) = cos 𝑥 tg(−𝑥) = − tg 𝑥 sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 1 + tg2 𝑥 = sec2 𝑥 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥 sen(𝑎 ± 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 ± cos 𝑎 sen 𝑏 cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ∓ sen 𝑎 sen 𝑏 sen(𝑎 − 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sen 𝑏 cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sen 𝑎 sen 𝑏 ÂNGULOS NOTÁVEIS 𝜃 sen 𝜃 cos 𝜃 tg 𝜃 300 1 2 √3 2 √3 3 450 √ 2 2 √2 2 1 600 √3 2 1 2 √3
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