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Profª Lilian Brazile 1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função Seno A função seno é dada por: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ou 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 O gráfico da função seno chama-se senóide. Para construir o gráfico da função seno, vamos observar o ciclo trigonométrico e construir uma tabela com seus respectivos valores. Assim, temos: 𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 0 0 𝜋 2 1 𝜋 0 3𝜋 2 −1 2𝜋 0 O gráfico da função seno 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é dado por: Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial Funções Trigonométricas Profª Lilian Brazile Profª Lilian Brazile 2 A função seno é periódica de período: 𝑝 = 2𝜋, ou seja, o formato da senóide é representado de 0 a 2𝜋 e repetido a partir deste ponto. O domínio da função seno (valores possíveis para a variável 𝑥) é o conjunto de todos os números reais. A imagem da função seno (valores possíveis para a variável 𝑦) é o intervalo [−1, +1], ou seja, os valores da função oscilam de −1 até +1. A função seno é crescente de 0 a 𝜋 2 , decrescente de 𝜋 2 a 𝜋, crescente de 𝜋 a 3𝜋 2 e decrescente de 3𝜋 2 a 2𝜋. Exemplos: 1) Construa o gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥. Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, somando a resposta do seno do ângulo com 1 unidade: Profª Lilian Brazile 3 𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 0 0 1 + 0 = 1 𝜋 2 1 1 + 1 = 2 𝜋 0 1 + 0 = 1 3𝜋 2 −1 1 + (−1) = 0 2𝜋 0 1 + 0 = 1 O gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é dado por: Observação: a imagem da função passou a ser o intervalo [0,2]. 2) Construa o gráfico da função 𝑦 = −2 𝑠𝑒𝑛 𝑥. Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, multiplicando a resposta do seno do ângulo por − 2: Profª Lilian Brazile 4 𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 = −𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 0 0 −2.0 = 0 𝜋 2 1 −2.1 = −2 𝜋 0 −2.0 = 0 3𝜋 2 −1 −2. (−1) = 2 2𝜋 0 −2.0 = 0 O gráfico da função 𝑦 = −2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é dado por: Observação: a imagem da função passou a ser o intervalo [−2,2]. 3) Construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥. Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, dividindo o valor do ângulo por 2: Profª Lilian Brazile 5 𝟐𝒙 𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 0 0: 2 = 0 0 𝜋 2 𝜋 2 : 2 = 𝜋 2 . 1 2 = 𝜋 4 1 𝜋 𝜋: 2 = 𝜋 2 0 3𝜋 2 3𝜋 2 : 2 = 3𝜋 2 . 1 2 = 3𝜋 4 −1 2𝜋 2𝜋: 2 = 𝜋 0 O gráfico da função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 é dado por: Observação: o período da função passou a ser 𝑝 = 𝜋. Função Cosseno: A função cosseno é dada por: 𝑦 = cos 𝑥 ou 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 O gráfico da função cosseno chama-se cossenóide. Profª Lilian Brazile 6 Para construir o gráfico da função cosseno, vamos observar o ciclo trigonométrico e construir uma tabela com seus respectivos valores. Assim, temos: O gráfico da função cosseno 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é dado por: A função cosseno é periódica de período: 𝑝 = 2𝜋, ou seja, o formato da cossenóide é representado de 0 a 2𝜋 e repetido a partir deste ponto. 𝒙 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 0 1 𝜋 2 0 𝜋 −1 3𝜋 2 0 2𝜋 1 Profª Lilian Brazile 7 O domínio da função cosseno (valores possíveis para a variável 𝑥) é o conjunto de todos os números reais. A imagem da função cosseno (valores possíveis para a variável 𝑦) é o intervalo [−1, +1], ou seja, os valores da função oscilam de −1 até +1. A função cosseno é decrescente de 0 a 𝜋 2 , decrescente de 𝜋 2 a 𝜋, crescente de 𝜋 a 3𝜋 2 e crescente de 3𝜋 2 a 2𝜋. Exemplos: 1) Construa o gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, somando a resposta do cosseno do ângulo com 1 unidade: 𝒙 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 0 1 1 + 1 = 2 𝜋 2 0 1 + 0 = 1 𝜋 −1 1 + (−1) = 0 3𝜋 2 0 1 + 0 = 1 2𝜋 1 1 + 1 = 2 O gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é dado por: Profª Lilian Brazile 8 Observação: a imagem da função passou a ser o intervalo [0,2]. 2) Construa o gráfico da função 𝑦 = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, multiplicando a resposta do cosseno do ângulo por − 2: 𝒙 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 = −𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 0 1 −2.1 = −2 𝜋 2 0 −2.0 = 0 𝜋 −1 −2. (−1) = +2 3𝜋 2 0 −2.0 = 0 2𝜋 1 −2.1 = −2 Profª Lilian Brazile 9 O gráfico da função 𝑦 = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é dado por: Observação: a imagem da função passou a ser o intervalo [−2,2]. 3) Construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, dividindo o valor do ângulo por 2: 𝟐𝒙 𝒙 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 0 0: 2 = 0 1 𝜋 2 𝜋 2 : 2 = 𝜋 2 . 1 2 = 𝜋 4 0 𝜋 𝜋: 2 = 𝜋 2 −1 3𝜋 2 3𝜋 2 : 2 = 3𝜋 2 . 1 2 = 3𝜋 4 0 2𝜋 2𝜋: 2 = 𝜋 1 Profª Lilian Brazile 10 O gráfico da função 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 é dado por: Observação: o período da função passou a ser 𝑝 = 𝜋. Função Tangente A função tangente é dada por: 𝑦 = tg 𝑥 ou 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 O gráfico da função tangente chama-se tangentóide. Para construir o gráfico da função tangente, vamos observar o ciclo trigonométrico e construir uma tabela com seus respectivos valores. Assim, temos: 𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 0 0 𝜋 2 ∄ 𝜋 0 3𝜋 2 ∄ 2𝜋 0 Profª Lilian Brazile 11 O gráfico da função tangente 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 é dado por: A função tangente é periódica de período: 𝑝 = 𝜋, ou seja, o formato da tangentóide é representado de 0 a 𝜋 e repetido a partir deste ponto. O domínio da função tangente (valores possíveis para a variável 𝑥) é o conjuntode todos os números reais sem os múltiplos ímpares de 𝜋 2 . A imagem da função tangente (valores possíveis para a variável 𝑦) é o conjunto de todos os números reais. A função tangente é crescente de 0 a 𝜋 2 , crescente de 𝜋 2 a 𝜋, crescente de 𝜋 a 3𝜋 2 e crescente de 3𝜋 2 a 2𝜋. Exemplos: Profª Lilian Brazile 12 1) Construa o gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑡𝑔 𝑥. Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, somando a resposta da tangente do ângulo com 1 unidade: 𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 𝒚 = 𝟏 + 𝒕𝒈𝒙 0 0 1 + 0 = 1 𝜋 2 ∄ ∄ 𝜋 0 1 + 0 = 1 3𝜋 2 ∄ ∄ 2𝜋 0 1 + 0 = 1 O gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑡𝑔 𝑥 é dado por: Profª Lilian Brazile 13 2) Construa o gráfico da função 𝑦 = −2 𝑡𝑔 𝑥. Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, multiplicando a resposta da tangente do ângulo por − 2: 𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 𝒚 = −𝟐𝒕𝒈 𝒙 0 0 −2.0 = 0 𝜋 2 ∄ ∄ 𝜋 0 −2.0 = 0 3𝜋 2 ∄ ∄ 2𝜋 0 −2.0 = 0 O gráfico da função 𝑦 = −2 𝑡𝑔 𝑥 é dado por: Profª Lilian Brazile 14 3) Construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑡𝑔 2𝑥 Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, dividindo o valor do ângulo por 2: 𝟐𝒙 𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝟐𝒙 0 0: 2 = 0 0 𝜋 2 𝜋 2 : 2 = 𝜋 2 . 1 2 = 𝜋 4 ∄ 𝜋 𝜋: 2 = 𝜋 2 0 3𝜋 2 3𝜋 2 : 2 = 3𝜋 2 . 1 2 = 3𝜋 4 ∄ 2𝜋 2𝜋: 2 = 𝜋 0 O gráfico da função 𝑦 = 𝑡𝑔 2𝑥 é dado por: Profª Lilian Brazile 15 Outras funções trigonométricas: Profª Lilian Brazile 16 Tabela de Relações Trigonométricas 01) sen2x + cos2x = 1 02) 1 + tg2x = sec2x 03) 1 + cotg2x = cosec2x 04) sen (-x) = -sen x 05) cos (-x) = cos x 06) tg (-x) = -tg x 07) 08) 09) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) sen 2x = 2 sen x.cos x 19) cos 2x = cos2x - sen2x = 1 - 2 sen2x = = 2 cos2x - 1 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) Profª Lilian Brazile 17 EXERCÍCIO 1) Determine o domínio das funções: a) 𝑦 = 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 b) 𝑦 = −1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 c) 𝑦 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 d) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e) 𝑦 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 f) 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 g) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥) h) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥) i) 𝑦 = 2 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 j) 𝑦 = −1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 k) 𝑦 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 l) 𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 m) 𝑦 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 n) 𝑦 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 o) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥) p) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥) q) 𝑦 = 2 + 𝑡𝑔 𝑥 r) 𝑦 = −1 + 𝑡𝑔 𝑥 s) 𝑦 = 1 − 𝑡𝑔𝑥 t) 𝑦 = 2 𝑡𝑔 𝑥 u) 𝑦 = − 𝑡𝑔 𝑥 v) 𝑦 = 3 𝑡𝑔 𝑥 w) 𝑦 = 𝑡𝑔 (4𝑥) x) 𝑦 = 𝑡𝑔 (3𝑥)
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